我们使用改进的最小路径Eikonal方程向3D图像引入一种新的对象分割方法。该方法利用隐式约束 - 对eikonal的非均匀最小路径的二阶校正 - 防止相邻的最小路径轨迹无法控制地分歧。所提出的修改大大减少了通过最小路径揭示的表面积，允许使用计算的最小路径设置为近似表面的参数线。它还具有与也推导出真正的最小表面eikonal方程的松散连接。

本文介绍了一组数字方法，用于在不变（弹性）二阶Sobolev指标的设置中对3D表面进行Riemannian形状分析。更具体地说，我们解决了代表为3D网格的参数化或未参数浸入式表面之间的测量学和地球距离的计算。在此基础上，我们为表面集的统计形状分析开发了工具，包括用于估算Karcher均值并在形状群体上执行切线PCA的方法，以及计算沿表面路径的平行传输。我们提出的方法从根本上依赖于通过使用Varifold Fidelity术语来为地球匹配问题提供轻松的变异配方，这使我们能够在计算未参数化表面之间的地理位置时强制执行重新训练的独立性，同时还可以使我们能够与多用途算法相比，使我们能够将表面与vare表面进行比较。采样或网状结构。重要的是，我们演示了如何扩展放松的变分框架以解决部分观察到的数据。在合成和真实的各种示例中，说明了我们的数值管道的不同好处。

我们提供了概率分布的Riemannian歧管上的经典力学的信息几何公式，该分布是具有双翼连接的仿射歧管。在非参数形式主义中，我们考虑了有限的样本空间上的全套正概率函数，并以统计歧管上的切线和cotangent空间为特定的表达式提供了一种，就希尔伯特束结构而言，我们称之统计捆绑包。在这种情况下，我们使用规范双对的平行传输来计算一维统计模型的速度和加速度，并在束上定义了Lagrangian和Hamiltonian力学的连贯形式主义。最后，在一系列示例中，我们展示了我们的形式主义如何为概率单纯性加速自然梯度动力学提供一个一致的框架，为在优化，游戏理论和神经网络中的直接应用铺平了道路。

Riemannian geometry provides powerful tools to explore the latent space of generative models while preserving the inherent structure of the data manifold. Lengths, energies and volume measures can be derived from a pullback metric, defined through the immersion that maps the latent space to the data space. With this in mind, most generative models are stochastic, and so is the pullback metric. Manipulating stochastic objects is strenuous in practice. In order to perform operations such as interpolations, or measuring the distance between data points, we need a deterministic approximation of the pullback metric. In this work, we are defining a new metric as the expected length derived from the stochastic pullback metric. We show this metric is Finslerian, and we compare it with the expected pullback metric. In high dimensions, we show that the metrics converge to each other at a rate of $\mathcal{O}\left(\frac{1}{D}\right)$.

基于Eikonal方程的最小测地模型能够在各种图像分割场景中找到合适的解决方案。现有的基于测地的分割方法通常与几何正则化术语一起利用图像特征，例如欧几里德曲线长度或曲率惩罚长度，用于计算测地曲线。在本文中，我们考虑了一个更复杂的问题：在先前用凸形形状找到曲率惩罚的测距路径。我们建立了依赖于取向升降策略的新测地模型，通过该曲线可以映射到高维定向依赖的空间。凸起形状以前用于构建编码特定曲率约束的局部测地度量的约束。然后，可以通过最先进的Hamiltonian快速行进方法有效地计算定向空间中的测地距离和相应的闭合大气路。此外，我们将所提出的测地模型应用于活动轮廓，导致有效的交互式图像分割算法，其保留凸起形状的优点和曲率损失。

动态MRI可以捕获具有高对比度的软组织器官中的时间解剖变化，但是获得的序列通常遭受有限的体积覆盖，这使得器官形状轨迹的高分辨率重建在时间研究中的主要挑战。由于腹部器官形状的变异性跨越时间和受试者，本研究的目的是朝向3D致密速度测量来完全覆盖整个表面并提取有意义的特征，其特征在于观察到的器官变形并实现临床作用或决定。我们在深呼吸运动期间提出了一种用于表征膀胱表面动力学的管道。对于紧凑的形状表示，首先使用重建的时间体积来使用LDDMM框架建立专用的动态4D网状序列。然后，我们从诸如网格伸长和失真的机械参数执行器官动力学的统计表征。由于我们将器官引用作为非平面，因此我们还使用平均曲率变化为度量来量化表面演变。然而，曲率的数值计算强烈地取决于表面参数化。为了应对这一依赖性，我们采用了一种用于表面变形分析的新方法。独立于参数化并最小化测地曲线的长度，通过最小化Dirichlet能量，它使表面曲线平滑地朝向球体。 eulerian PDE方法用于从曲线缩短流中导出形状描述符。使用Laplace Beltrami操作员特征函数来计算各个运动模式之间的接口，用于球形映射。用于提取用于局部控制的模拟形状轨迹的表征相关曲线的应用演示了所提出的形状描述符的稳定性。

变异的计算与差异几何形状结合在一起，作为模型和解决图像处理和计算机视觉问题的工具，在20世纪后期和90年代后期引入了。在这些方向上的广泛作品的开始是由大地测量轮廓（GAC），Beltrami框架，Osher和Sethian的水平设置方法等作品标记的。陈和兽医的作品仅举几例。在许多情况下，这些功能的优化是通过梯度下降方法通过计算Euler-Lagrange方程来完成的。在梯度下降方案中直接使用所得的EL方程会导致非几何，在某些情况下，非感觉方程式。为了获得几何和/或感觉方程式，修改这些EL方程甚至功能本身是成本的。本注释的目的是指出得出EL和梯度下降方程的正确方法，以使所得的梯度下降方程是几何的，并且是有道理的。

扩散模型是图像产生和似然估计的最新方法。在这项工作中，我们将连续的时间扩散模型推广到任意的Riemannian流形，并得出了可能性估计的变异框架。在计算上，我们提出了计算可能性估计中需要的黎曼分歧的新方法。此外，在概括欧几里得案例时，我们证明，最大化该变异的下限等效于Riemannian得分匹配。从经验上讲，我们证明了Riemannian扩散模型在各种光滑的歧管上的表达能力，例如球体，Tori，双曲线和正交组。我们提出的方法在所有基准测试基准上实现了新的最先进的可能性。

Traditionally, robots are regarded as universal motion generation machines. They are designed mainly by kinematics considerations while the desired dynamics is imposed by strong actuators and high-rate control loops. As an alternative, one can first consider the robot's intrinsic dynamics and optimize it in accordance with the desired tasks. Therefore, one needs to better understand intrinsic, uncontrolled dynamics of robotic systems. In this paper we focus on periodic orbits, as fundamental dynamic properties with many practical applications. Algebraic topology and differential geometry provide some fundamental statements about existence of periodic orbits. As an example, we present periodic orbits of the simplest multi-body system: the double-pendulum in gravity. This simple system already displays a rich variety of periodic orbits. We classify these into three classes: toroidal orbits, disk orbits and nonlinear normal modes. Some of these we found by geometrical insights and some by numerical simulation and sampling.

量子哈密顿学习和量子吉布斯采样的双重任务与物理和化学中的许多重要问题有关。在低温方案中，这些任务的算法通常会遭受施状能力，例如因样本或时间复杂性差而遭受。为了解决此类韧性，我们将量子自然梯度下降的概括引入了参数化的混合状态，并提供了稳健的一阶近似算法，即量子 - 固定镜下降。我们使用信息几何学和量子计量学的工具证明了双重任务的数据样本效率，因此首次将经典Fisher效率的开创性结果推广到变异量子算法。我们的方法扩展了以前样品有效的技术，以允许模型选择的灵活性，包括基于量子汉密尔顿的量子模型，包括基于量子的模型，这些模型可能会规避棘手的时间复杂性。我们的一阶算法是使用经典镜下降二元性的新型量子概括得出的。两种结果都需要特殊的度量选择，即Bogoliubov-Kubo-Mori度量。为了从数值上测试我们提出的算法，我们将它们的性能与现有基准进行了关于横向场ISING模型的量子Gibbs采样任务的现有基准。最后，我们提出了一种初始化策略，利用几何局部性来建模状态的序列（例如量子 - 故事过程）的序列。我们从经验上证明了它在实际和想象的时间演化的经验上，同时定义了更广泛的潜在应用。

我们提出了一种基于langevin扩散的算法，以在球体的产物歧管上进行非凸优化和采样。在对数Sobolev不平等的情况下，我们根据Kullback-Leibler Divergence建立了有限的迭代迭代收敛到Gibbs分布的保证。我们表明，有了适当的温度选择，可以保证，次级最小值的次数差距很小，概率很高。作为一种应用，我们考虑了使用对角线约束解决半决赛程序（SDP）的burer- monteiro方法，并分析提出的langevin算法以优化非凸目标。特别是，我们为Burer建立了对数Sobolev的不平等现象 - 当没有虚假的局部最小值时，但在鞍点下，蒙蒂罗问题。结合结果，我们为SDP和最大切割问题提供了全局最佳保证。更确切地说，我们证明了Langevin算法在$ \ widetilde {\ omega}（\ epsilon^{ - 5}）$ tererations $ tererations $ \ widetilde {\ omega}（\ omega}中，具有很高的概率。

我们详细介绍了一种开发Stein方法的方法，该方法是针对Riemannian歧管$ \ Mathbf M $界定的概率度量界定整体指标的。我们的方法利用了$ \ mathbf m $扩散的生成器与目标不变度度量及其表征Stein运算符之间的关系。我们考虑了一对具有不同起点的扩散，并通过对两对之间的距离过程进行分析，得出了Stein因子，该因子将解决方案绑定到Stein方程及其衍生物。Stein因子包含曲率依赖性的术语，并减少到当前可用于$ \ Mathbb r^m $的因子，此外，暗示$ \ Mathbb r^m $的界限在$ \ Mathbf M $时保持有效

大脑的结构网络或结构连接组可以由多种拖拉机方法产生的纤维束表示。尽管这种方法给出了对大脑结构的定性见解，但对于它们是否可以提供定量信息，尤其是在人口水平上，却存在争议。为了实现结构连接组的人口级统计分析，我们提出代表连接组为Riemannian度量，这是无限二维流形的点。我们将这种歧管配备了Ebin Metric，这是该空间的自然度量结构，以获得Riemannian歧管及其相关的几何特性。然后，我们使用这个Riemannian框架应用面向对象的统计分析来将地图集定义为Riemannian指标人群的fr \'echet平均值。这种表述与现有的图像图像构造构造的现有框架相关联，使我们能够通过同时整合DWMRI的互补白质结构细节和T1加权MRI的皮质细节来构建多模式地图集。我们用Connectome注册和地图集组的2D数据示例说明了我们的框架。最后，我们使用从人类Connectome Project的主体子集估计的扩散张量衍生的T1图像和连接组构建了一个示例3D多模式地图集。

在本文中，我们研究了多视图几何中基本和基本矩阵估计的5-和7点问题的数值不太稳定性。在这两种情况下，我们表征了末极估计的条件号是无限的呈现不良世界场景。我们还以给定的图像数据表征不良实例。为了达到这些结果，我们提出了一般的框架，用于分析基于Riemannian歧管的多视图几何体中最小问题的调理。综合性和现实世界数据的实验然后揭示了一个引人注目的结论：在结构 - 从 - 动作（SFM）中的随机样本共识（RANSAC）不仅用于过滤输出异常值，而且RANSAC还选择用于良好的良好的图像数据，足够分离我们的理论预测的不良座位。我们的研究结果表明，在未来的工作中，人们可以试图通过仅测试良好的图像数据来加速和增加Ransac的成功。

机器人社区在为软机器人设备建模提供的理论工具的复杂程度中看到了指数增长。已经提出了不同的解决方案以克服与软机器人建模相关的困难，通常利用其他科学学科，例如连续式机械和计算机图形。这些理论基础通常被认为是理所当然的，这导致复杂的文献，因此，从未得到完整审查的主题。Withing这种情况下，提交的文件的目标是双重的。突出显示涉及建模技术的不同系列的常见理论根源，采用统一语言，以简化其主要连接和差异的分析。因此，对上市接近自然如下，并最终提供在该领域的主要作品的完整，解开，审查。

我们将最初在多维扩展和降低多元数据的降低领域发展为功能设置。我们专注于经典缩放和ISOMAP - 在这些领域中起重要作用的原型方法 - 并在功能数据分析的背景下展示它们的使用。在此过程中，我们强调了环境公制扮演的关键作用。

机器学习中的许多新的发展都与基于梯度的优化方法相连。最近，已经使用变分透视研究了这些方法。这已经开辟了使用几何集成引入变分和辛方法的可能性。特别是，在本文中，我们引入了变分集成商，使我们能够导出不同的优化方法。使用汉密尔顿和拉格朗日 - 德尔尔堡的原则，我们在一对一的对应中获得了两个各自的优化方法的一个家庭，即概括Polyak的厚球和众所周知的Nesterov加速梯度方法，其中第二个是模仿行为的第二个对应首先减少经典动量方法的振荡。然而，由于考虑的系统是明确时间依赖的，因此自主系统的杂交的保存仅在这里发生在纤维上。几个实验举例说明结果。

最近的技术在将表面重建为由深神经网络参数化的学习函数（如签名距离字段）的级别集。但是，许多这些方法仅限于闭合表面，并且无法重建具有边界曲线的形状。我们提出了一种混合形状表示，其将明确的边界曲线与隐式学习内部结合起来。使用从几何测量理论中的机器，我们使用深网络参数化电流，并使用随机梯度下降来解决最小的表面问题。通过根据目标几何形状修改度量，例如，从网格或点云，我们可以使用这种方法来表示任意曲面，学习隐式定义的具有明确定义的边界曲线的形状。我们进一步展示了由边界曲线和潜在码共同参数化的形状的学习系列。

在本章中，我们确定了基本的几何结构，这些几何结构是采样，优化，推理和自适应决策问题的基础。基于此识别，我们得出了利用这些几何结构来有效解决这些问题的算法。我们表明，在这些领域中自然出现了广泛的几何理论，范围从测量过程，信息差异，泊松几何和几何整合。具体而言，我们解释了（i）如何利用汉密尔顿系统的符合性几何形状，使我们能够构建（加速）采样和优化方法，（ii）希尔伯特亚空间和Stein操作员的理论提供了一种通用方法来获得可靠的估计器，（iii）（iii）（iii）保留决策的信息几何形状会产生执行主动推理的自适应剂。在整个过程中，我们强调了这些领域之间的丰富联系。例如，推论借鉴了抽样和优化，并且自适应决策通过推断其反事实后果来评估决策。我们的博览会提供了基本思想的概念概述，而不是技术讨论，可以在本文中的参考文献中找到。

计算科学和统计推断中的许多应用都需要计算有关具有未知归一化常数的复杂高维分布以及这些常数的估计。在这里，我们开发了一种基于从简单的基本分布生成样品，沿着速度场生成的流量运输的方法，并沿这些流程线执行平均值。这种非平衡重要性采样（NEIS）策略是直接实施的，可用于具有任意目标分布的计算。在理论方面，我们讨论了如何将速度场定制到目标，并建立所提出的估计器是一个完美的估计器，具有零变化。我们还通过将基本分布映射到目标上，通过传输图绘制了NEIS和方法之间的连接。在计算方面，我们展示了如何使用深度学习来代表神经网络，并将其训练为零方差最佳。这些结果在高维示例上进行了数值说明，我们表明训练速度场可以将NEIS估计量的方差降低至6个数量级，而不是Vanilla估计量。我们还表明，NEIS在这些示例上的表现要比NEAL的退火重要性采样（AIS）更好。