扩散模型是图像产生和似然估计的最新方法。在这项工作中，我们将连续的时间扩散模型推广到任意的Riemannian流形，并得出了可能性估计的变异框架。在计算上，我们提出了计算可能性估计中需要的黎曼分歧的新方法。此外，在概括欧几里得案例时，我们证明，最大化该变异的下限等效于Riemannian得分匹配。从经验上讲，我们证明了Riemannian扩散模型在各种光滑的歧管上的表达能力，例如球体，Tori，双曲线和正交组。我们提出的方法在所有基准测试基准上实现了新的最先进的可能性。

Denoising diffusions are state-of-the-art generative models which exhibit remarkable empirical performance and come with theoretical guarantees. The core idea of these models is to progressively transform the empirical data distribution into a simple Gaussian distribution by adding noise using a diffusion. We obtain new samples whose distribution is close to the data distribution by simulating a "denoising" diffusion approximating the time reversal of this "noising" diffusion. This denoising diffusion relies on approximations of the logarithmic derivatives of the noised data densities, known as scores, obtained using score matching. Such models can be easily extended to perform approximate posterior simulation in high-dimensional scenarios where one can only sample from the prior and simulate synthetic observations from the likelihood. These methods have been primarily developed for data on $\mathbb{R}^d$ while extensions to more general spaces have been developed on a case-by-case basis. We propose here a general framework which not only unifies and generalizes this approach to a wide class of spaces but also leads to an original extension of score matching. We illustrate the resulting class of denoising Markov models on various applications.

我们对通过歧管（例如球形，Tori和其他隐式表面）描述的复杂几何形状的学习生成模型感兴趣。现有（欧几里德）生成模型的当前延伸仅限于特定几何形状，并且通常遭受高计算成本。我们介绍了Moser Flow（MF），是连续标准化流量（CNF）系列内的一类新的生成型号。 MF还通过解决方案产生CNF，然而，与其他CNF方法不同，其模型（学习）密度被参数化，因为源（先前）密度减去神经网络（NN）的发散。分歧是局部线性差分操作员，易于近似和计算歧管。因此，与其他CNFS不同，MF不需要在训练期间通过颂歌求解器调用或反向。此外，将模型密度明确表示为NN的发散而不是作为颂歌的解决方案有助于学习高保真密度。从理论上讲，我们证明了MF在合适的假设下构成了通用密度近似器。经验上，我们首次证明了流动模型的使用从一般曲面采样，并在挑战地球和气候的挑战性几何形状和现实世界基准中实现了密度估计，样本质量和培训复杂性的显着改善科学。

连续归一化流（CNF）是一类生成模型，可以通过求解普通的微分方程（ODE）将先验分布转换为模型分布。我们建议通过最大程度地减少概率路径差异（PPD）来训练CNF，这是CNF产生的概率密度路径与目标概率密度路径之间的新型差异家族。 PPD是使用对数质量保护公式制定的，该公式是线性的一阶部分微分方程，将对数目标概率和CNF的定义向量场进行配方。 PPD比现有方法具有多个关键好处：它避免了在迭代中解决颂歌的需求，很容易应用于歧管数据，比例到高维度，并与大型目标路径兼容，该目标路径在有限的时间内插值纯噪声和数据。从理论上讲，PPD显示为结合经典概率差异。从经验上讲，我们表明，通过最小化PPD实现最新的CNF在现有的低维歧管基准上获得了最新的可能性和样品质量，并且是生成模型以扩展到中度高维歧管的第一个示例。

Normalizing flows provide a general mechanism for defining expressive probability distributions, only requiring the specification of a (usually simple) base distribution and a series of bijective transformations. There has been much recent work on normalizing flows, ranging from improving their expressive power to expanding their application. We believe the field has now matured and is in need of a unified perspective. In this review, we attempt to provide such a perspective by describing flows through the lens of probabilistic modeling and inference. We place special emphasis on the fundamental principles of flow design, and discuss foundational topics such as expressive power and computational trade-offs. We also broaden the conceptual framing of flows by relating them to more general probability transformations. Lastly, we summarize the use of flows for tasks such as generative modeling, approximate inference, and supervised learning.

我们提出了一种基于langevin扩散的算法，以在球体的产物歧管上进行非凸优化和采样。在对数Sobolev不平等的情况下，我们根据Kullback-Leibler Divergence建立了有限的迭代迭代收敛到Gibbs分布的保证。我们表明，有了适当的温度选择，可以保证，次级最小值的次数差距很小，概率很高。作为一种应用，我们考虑了使用对角线约束解决半决赛程序（SDP）的burer- monteiro方法，并分析提出的langevin算法以优化非凸目标。特别是，我们为Burer建立了对数Sobolev的不平等现象 - 当没有虚假的局部最小值时，但在鞍点下，蒙蒂罗问题。结合结果，我们为SDP和最大切割问题提供了全局最佳保证。更确切地说，我们证明了Langevin算法在$ \ widetilde {\ omega}（\ epsilon^{ - 5}）$ tererations $ tererations $ \ widetilde {\ omega}（\ omega}中，具有很高的概率。

Normalizing Flows are generative models which produce tractable distributions where both sampling and density evaluation can be efficient and exact. The goal of this survey article is to give a coherent and comprehensive review of the literature around the construction and use of Normalizing Flows for distribution learning. We aim to provide context and explanation of the models, review current state-of-the-art literature, and identify open questions and promising future directions.

量子哈密顿学习和量子吉布斯采样的双重任务与物理和化学中的许多重要问题有关。在低温方案中，这些任务的算法通常会遭受施状能力，例如因样本或时间复杂性差而遭受。为了解决此类韧性，我们将量子自然梯度下降的概括引入了参数化的混合状态，并提供了稳健的一阶近似算法，即量子 - 固定镜下降。我们使用信息几何学和量子计量学的工具证明了双重任务的数据样本效率，因此首次将经典Fisher效率的开创性结果推广到变异量子算法。我们的方法扩展了以前样品有效的技术，以允许模型选择的灵活性，包括基于量子汉密尔顿的量子模型，包括基于量子的模型，这些模型可能会规避棘手的时间复杂性。我们的一阶算法是使用经典镜下降二元性的新型量子概括得出的。两种结果都需要特殊的度量选择，即Bogoliubov-Kubo-Mori度量。为了从数值上测试我们提出的算法，我们将它们的性能与现有基准进行了关于横向场ISING模型的量子Gibbs采样任务的现有基准。最后，我们提出了一种初始化策略，利用几何局部性来建模状态的序列（例如量子 - 故事过程）的序列。我们从经验上证明了它在实际和想象的时间演化的经验上，同时定义了更广泛的潜在应用。

Riemannian geometry provides powerful tools to explore the latent space of generative models while preserving the inherent structure of the data manifold. Lengths, energies and volume measures can be derived from a pullback metric, defined through the immersion that maps the latent space to the data space. With this in mind, most generative models are stochastic, and so is the pullback metric. Manipulating stochastic objects is strenuous in practice. In order to perform operations such as interpolations, or measuring the distance between data points, we need a deterministic approximation of the pullback metric. In this work, we are defining a new metric as the expected length derived from the stochastic pullback metric. We show this metric is Finslerian, and we compare it with the expected pullback metric. In high dimensions, we show that the metrics converge to each other at a rate of $\mathcal{O}\left(\frac{1}{D}\right)$.

Recently, studies on machine learning have focused on methods that use symmetry implicit in a specific manifold as an inductive bias. In particular, approaches using Grassmann manifolds have been found to exhibit effective performance in fields such as point cloud and image set analysis. However, there is a lack of research on the construction of general learning models to learn distributions on the Grassmann manifold. In this paper, we lay the theoretical foundations for learning distributions on the Grassmann manifold via continuous normalizing flows. Experimental results show that the proposed method can generate high-quality samples by capturing the data structure. Further, the proposed method significantly outperformed state-of-the-art methods in terms of log-likelihood or evidence lower bound. The results obtained are expected to usher in further research in this field of study.

在本章中，我们确定了基本的几何结构，这些几何结构是采样，优化，推理和自适应决策问题的基础。基于此识别，我们得出了利用这些几何结构来有效解决这些问题的算法。我们表明，在这些领域中自然出现了广泛的几何理论，范围从测量过程，信息差异，泊松几何和几何整合。具体而言，我们解释了（i）如何利用汉密尔顿系统的符合性几何形状，使我们能够构建（加速）采样和优化方法，（ii）希尔伯特亚空间和Stein操作员的理论提供了一种通用方法来获得可靠的估计器，（iii）（iii）（iii）保留决策的信息几何形状会产生执行主动推理的自适应剂。在整个过程中，我们强调了这些领域之间的丰富联系。例如，推论借鉴了抽样和优化，并且自适应决策通过推断其反事实后果来评估决策。我们的博览会提供了基本思想的概念概述，而不是技术讨论，可以在本文中的参考文献中找到。

扩散（基于得分）生成模型已被广泛用于建模各种类型的复杂数据，包括图像，音频和点云。最近，已经揭示了前向后的随机微分方程（SDE）和基于扩散的模型之间的深厚连接，并提出了几种新的SDE变体（例如，Sub-VP，批判性抑制的Langevin）。尽管手工制作的固定前进SDE取得了经验成功，但仍未探索大量适当的正向SDE。在这项工作中，我们提出了一个通用框架，用于参数化扩散模型，尤其是正向SDE的空间部分。引入了一种抽象的形式主义，并具有理论保证，并且它与以前的扩散模型的联系得到了利用。我们从优化的角度展示了我们方法的理论优势。还提出了关于合成数据集，矿工和CIFAR10的数值实验，以验证我们框架的有效性。

高斯过程可以说是空间统计中最重要的模型类别。他们编码有关建模功能的先前信息，可用于精确或近似贝叶斯推断。在许多应用中，尤其是在物理科学和工程中，以及在诸如地统计和神经科学等领域，对对称性的不变性是人们可以考虑的先前信息的最基本形式之一。高斯工艺与这种对称性的协方差的不变性导致了对此类空间平稳性概念的最自然概括。在这项工作中，我们开发了建设性和实用的技术，用于在在对称的背景下产生的一大批非欧基人空间上构建固定的高斯工艺。我们的技术使（i）以实用的方式计算（i）计算在此类空间上定义的先验和后高斯过程中的协方差内核和（ii）。这项工作分为两部分，每个部分涉及不同的技术考虑：第一部分研究紧凑的空间，而第二部分研究的非紧密空间具有某些结构。我们的贡献使我们研究的非欧亚人高斯流程模型与标准高斯流程软件包中可用的良好计算技术兼容，从而使从业者可以访问它们。

引入后二十年多，退火重要性采样（AIS）仍然是边际可能性估计的最有效方法之一。它依赖于一系列分布序列在可聊天的初始分布和利益的目标分布之间插值，我们从大约使用非均匀的马尔可夫链中模拟了分布。为了获得边际可能性的重要性采样估计，AIS引入了扩展的目标分布，以重新持续马尔可夫链提案。尽管已经大量努力通过更改AIS使用的提案分布，通过更改中间分布和相应的马尔可夫内核，但不被评估的问题是AIS使用方便但次优的扩展目标分布。这可能会阻碍其性能。我们在这里利用基于分数的生成建模（SGM）的最新进展来近似与Langevin和Hamiltonian Dynamics离散化相对应的AIS建议的最佳扩展目标分布。我们在许多合成基准分布和变异自动编码器上展示了这些新颖的，可区分的AIS程序。

期望 - 最大化（EM）算法是一种简单的元叠加，当观察到的数据中缺少测量值或数据由可观察到的数据组成时，它已多年来用作统计推断的方法。它的一般属性进行了充分的研究，而且还有无数方法将其应用于个人问题。在本文中，我们介绍了$ em $ $ and算法，EM算法的信息几何公式及其扩展和应用程序以及各种问题。具体而言，我们将看到，可以制定一个异常稳定推理算法，用于计算通道容量的算法，概率单纯性的参数估计方法，特定的多变量分析方法，例如概率模型中的主要组件分析和模态回归中的主成分分析，基质分解和学习生成模型，这些模型最近从几何学角度引起了深度学习的关注。

Riemannian Gaussian distributions were initially introduced as basic building blocks for learning models which aim to capture the intrinsic structure of statistical populations of positive-definite matrices (here called covariance matrices). While the potential applications of such models have attracted significant attention, a major obstacle still stands in the way of these applications: there seems to exist no practical method of computing the normalising factors associated with Riemannian Gaussian distributions on spaces of high-dimensional covariance matrices. The present paper shows that this missing method comes from an unexpected new connection with random matrix theory. Its main contribution is to prove that Riemannian Gaussian distributions of real, complex, or quaternion covariance matrices are equivalent to orthogonal, unitary, or symplectic log-normal matrix ensembles. This equivalence yields a highly efficient approximation of the normalising factors, in terms of a rather simple analytic expression. The error due to this approximation decreases like the inverse square of dimension. Numerical experiments are conducted which demonstrate how this new approximation can unlock the difficulties which have impeded applications to real-world datasets of high-dimensional covariance matrices. The paper then turns to Riemannian Gaussian distributions of block-Toeplitz covariance matrices. These are equivalent to yet another kind of random matrix ensembles, here called "acosh-normal" ensembles. Orthogonal and unitary "acosh-normal" ensembles correspond to the cases of block-Toeplitz with Toeplitz blocks, and block-Toeplitz (with general blocks) covariance matrices, respectively.

潜在变量模型（LVM）的无监督学习被广泛用于表示机器学习中的数据。当这样的模型反映了地面真理因素和将它们映射到观察的机制时，有理由期望它们允许在下游任务中进行概括。但是，众所周知，如果不在模型类上施加限制，通常无法实现此类可识别性保证。非线性独立组件分析是如此，其中LVM通过确定性的非线性函数将统计上独立的变量映射到观察。几个伪造解决方案的家庭完全适合数据，但是可以在通用环境中构建与地面真相因素相对应的。但是，最近的工作表明，限制此类模型的功能类别可能会促进可识别性。具体而言，已经提出了在Jacobian矩阵中收集的部分衍生物的函数类，例如正交坐标转换（OCT），它们强加了Jacobian柱的正交性。在目前的工作中，我们证明了这些转换的子类，共形图，是可识别的，并提供了新颖的理论结果，这表明OCT具有防止虚假解决方案家族在通用环境中破坏可识别性的特性。

本文通过引入几何深度学习（GDL）框架来构建通用馈电型型模型与可区分的流形几何形状兼容的通用馈电型模型，从而解决了对非欧国人数据进行处理的需求。我们表明，我们的GDL模型可以在受控最大直径的紧凑型组上均匀地近似任何连续目标函数。我们在近似GDL模型的深度上获得了最大直径和上限的曲率依赖性下限。相反，我们发现任何两个非分类紧凑型歧管之间始终都有连续的函数，任何“局部定义”的GDL模型都不能均匀地近似。我们的最后一个主要结果确定了数据依赖性条件，确保实施我们近似的GDL模型破坏了“维度的诅咒”。我们发现，任何“现实世界”（即有限）数据集始终满足我们的状况，相反，如果目标函数平滑，则任何数据集都满足我们的要求。作为应用，我们确认了以下GDL模型的通用近似功能：Ganea等。 （2018）的双波利馈电网络，实施Krishnan等人的体系结构。 （2015年）的深卡尔曼 - 滤波器和深度玛克斯分类器。我们构建了：Meyer等人的SPD-Matrix回归剂的通用扩展/变体。 （2011）和Fletcher（2003）的Procrustean回归剂。在欧几里得的环境中，我们的结果暗示了Kidger和Lyons（2020）的近似定理和Yarotsky和Zhevnerchuk（2019）无估计近似率的数据依赖性版本的定量版本。

Diffusion generative models have recently been applied to domains where the available data can be seen as a discretization of an underlying function, such as audio signals or time series. However, these models operate directly on the discretized data, and there are no semantics in the modeling process that relate the observed data to the underlying functional forms. We generalize diffusion models to operate directly in function space by developing the foundational theory for such models in terms of Gaussian measures on Hilbert spaces. A significant benefit of our function space point of view is that it allows us to explicitly specify the space of functions we are working in, leading us to develop methods for diffusion generative modeling in Sobolev spaces. Our approach allows us to perform both unconditional and conditional generation of function-valued data. We demonstrate our methods on several synthetic and real-world benchmarks.

我们将最初在多维扩展和降低多元数据的降低领域发展为功能设置。我们专注于经典缩放和ISOMAP - 在这些领域中起重要作用的原型方法 - 并在功能数据分析的背景下展示它们的使用。在此过程中，我们强调了环境公制扮演的关键作用。