我们介绍了一种与数据对称性相对的学习表示形式的通用方法。核心思想是将潜在空间分解为不变因素和对称组本身。该组件在语义上分别对应于固有的数据类别，并构成姿势。学习者是自我监督的，并根据相对对称信息来渗透这些语义。该方法是由群体理论的理论结果激励的，并保证了无损，可解释和解开的表示。我们通过涉及具有多种对称性的数据集的实验来实证研究该方法。结果表明，我们的表示形式捕获数据的几何形状，并超过其他模棱两可的表示框架。

我们如何获得世界模型，这些模型在什么以及我们的行动如何影响它方面都在终止代表外界？我们可以通过与世界互动而获得此类模型，并且我们是否可以说明数学逃亡者与他们与脑海中存在的假设现实的关系？随着机器学习不仅朝着包含观察性的代表性，而且介入介入知识的趋势，我们使用代表学习和小组理论的工具研究了这些问题。在假设我们的执行者对世界上作用的假设，我们提出了学习的方法，不仅要学习感官信息的内部表示，而且还以与世界上的行动和过渡相一致的方式来修改我们的感觉表示的行为。我们使用配备有线性作用在其潜在空间上的组表示的自动编码器，该空间对2步重建进行了训练，例如在组表示上执行合适的同构属性。与现有工作相比，我们的方法对组表示的假设更少，并且代理可以从组中采样的转换。我们从理论上激励我们的方法，并从经验上证明它可以学习群体和环境拓扑的正确表示。我们还将其在轨迹预测中的性能与以前的方法进行比较。

合并对称性可以通过定义通过转换相关的数据样本的等效类别来导致高度数据效率和可推广的模型。但是，表征转换如何在输入数据上作用通常很困难，从而限制了模型模型的适用性。我们提出了编码输入空间（例如图像）的学习对称嵌入网络（SENS），我们不知道转换的效果（例如旋转），以在这些操作下以已知方式转换的特征空间。可以通过模棱两可的任务网络端对端训练该网络，以学习明确的对称表示。我们在具有3种不同形式的对称形式的模棱两可的过渡模型的背景下验证了这种方法。我们的实验表明，SENS有助于将模棱两可的网络应用于具有复杂对称表示的数据。此外，相对于全等级和非等价基线的准确性和泛化可以提高准确性和概括。

基于线性对称性的分解（LSBD）的定义正式化了线性分解表示的概念，但目前尚无量化LSBD的指标。这样的度量对于评估LSBD方法至关重要，并与以前的分解理解相比。我们建议$ \ mathcal {d} _ \ mathrm {lsbd} $，一种数学上的声音指标，用于量化LSBD，并为$ \ mathrm {so}（so}（2）$ groups提供了实践实现。此外，从这个指标中，我们得出了LSBD-VAE，这是一种学习LSBD表示的半监督方法。我们通过证明（1）基于VAE的常见分解方法不学习LSBD表示，（2）LSBD-VAE以及其他最近的方法可以学习LSBD表示，仅需要有限的转换监督，我们可以在转换中学习LSBD表示，从而证明了我们指标的实用性。（3）LSBD表示也实现了现有的分离指标表达的各种理想属性。

从早期图像处理到现代计算成像，成功的模型和算法都依赖于自然信号的基本属性：对称性。在这里，对称是指信号集的不变性属性，例如翻译，旋转或缩放等转换。对称性也可以以模棱两可的形式纳入深度神经网络中，从而可以进行更多的数据效率学习。虽然近年来端到端的图像分类网络的设计方面取得了重要进展，但计算成像引入了对等效网络解决方案的独特挑战，因为我们通常只通过一些嘈杂的不良反向操作员观察图像，可能不是均等的。我们回顾了现象成像的新兴领域，并展示它如何提供改进的概括和新成像机会。在此过程中，我们展示了采集物理学与小组动作之间的相互作用，以及与迭代重建，盲目的压缩感应和自我监督学习之间的联系。

通过深度生成建模的学习表示是动态建模的强大方法，以发现数据的最简化和压缩的基础描述，然后将其用于诸如预测的其他任务。大多数学习任务具有内在的对称性，即输入变换将输出保持不变，或输出经过类似的转换。然而，学习过程通常是对这些对称性的不知情。因此，单独转换输入的学习表示可能不会有意义地相关。在本文中，我们提出了一种如此（3）个等级的深层动态模型（EQDDM），用于运动预测，用于在嵌入随对称转换的情况下变化的意义上学习输入空间的结构化表示。 EQDDM配备了等级网络，可参数化状态空间发射和转换模型。我们展示了在各种运动数据上提出了拟议模型的卓越预测性能。

基于2D图像的3D对象的推理由于从不同方向查看对象引起的外观差异很大，因此具有挑战性。理想情况下，我们的模型将是对物体姿势变化的不变或等效的。不幸的是，对于2D图像输入，这通常是不可能的，因为我们没有一个先验模型，即在平面外对象旋转下如何改变图像。唯一的$ \ mathrm {so}（3）$ - 当前存在的模型需要点云输入而不是2D图像。在本文中，我们提出了一种基于Icosahedral群卷积的新型模型体系结构，即通过将输入图像投影到iCosahedron上，以$ \ mathrm {so（3）} $中的理由。由于此投影，该模型大致与$ \ mathrm {so}（3）$中的旋转大致相当。我们将此模型应用于对象构成估计任务，并发现它的表现优于合理的基准。

虽然可怕的转化扰动稳健，但是已知卷积神经网络（CNNS）在用更普通的输入的测试时间呈现时呈现极端性能劣化。最近，这种限制具有从CNNS到胶囊网络（Capsnets）的焦点转变。但是，Capsnets遭受了相对较少的理论保障的不变性。我们介绍了一个严格的数学框架，以允许不在任何谎言群体群体，专门使用卷曲（通过谎言群体），而无需胶囊。以前关于集团举报的职责受到本集团的强烈假设的阻碍，这阻止了这些技术在计算机视觉中的共同扭曲中的应用，如仿佛和同类。我们的框架可以实现over \ emph {任何}有限维谎组的组卷积。我们在基准仿射不变分类任务中凭经验验证了我们的方法，在那里我们在越野上达到了常规CNN的准确性，同时优于最先进的帽子，我们在达到$ \ SIMP 30 \％的提高。作为我们框架的普遍性的进一步说明，我们训练了一个众所周知的模型，实现了在众所周知的数据集上的卓越稳健性，其中帽子结果降低。

生成建模旨在揭示产生观察到的数据的潜在因素，这些数据通常可以被建模为自然对称性，这些对称性是通过不变和对某些转型定律等效的表现出来的。但是，当前代表这些对称性的方法是在需要构建模棱两可矢量场的连续正式化流中所掩盖的 - 抑制了它们在常规的高维生成建模域（如自然图像）中的简单应用。在本文中，我们专注于使用离散层建立归一化流量。首先，我们从理论上证明了对紧凑空间的紧凑型组的模棱两可的图。我们进一步介绍了三个新的品牌流：$ g $ - 剩余的流量，$ g $ - 耦合流量和$ g $ - inverse自动回旋的回旋流量，可以提升经典的残留剩余，耦合和反向自动性流量，并带有等效的地图， $。从某种意义上说，我们证明$ g $ equivariant的差异性可以通过$ g $ - $ residual流量映射，我们的$ g $ - 剩余流量也很普遍。最后，我们首次在诸如CIFAR-10之类的图像数据集中对我们的理论见解进行了补充，并显示出$ G $ equivariant有限的有限流量，从而提高了数据效率，更快的收敛性和提高的可能性估计。

模棱两可的神经网络，其隐藏的特征根据G组作用于数据的表示，表现出训练效率和提高的概括性能。在这项工作中，我们将群体不变和模棱两可的表示学习扩展到无监督的深度学习领域。我们根据编码器框架提出了一种通用学习策略，其中潜在表示以不变的术语和模棱两可的组动作组件分开。关键的想法是，网络学会通过学习预测适当的小组操作来对齐输入和输出姿势以解决重建任务的适当组动作来编码和从组不变表示形式进行编码和解码数据。我们在Equivariant编码器上得出必要的条件，并提出了对任何G（离散且连续的）有效的构造。我们明确描述了我们的旋转，翻译和排列的构造。我们在采用不同网络体系结构的各种数据类型的各种实验中测试了方法的有效性和鲁棒性。

组成概括是学习和决策的关键能力。我们专注于在面向对象的环境中进行强化学习的设置，以研究世界建模中的组成概括。我们（1）通过代数方法正式化组成概括问题，（2）研究世界模型如何实现这一目标。我们介绍了一个概念环境，对象库和两个实例，并部署了一条原则的管道来衡量概括能力。通过公式的启发，我们使用我们的框架分析了几种具有精确或没有组成概括能力的方法，并设计了一种可区分的方法，同构对象的世界模型（HOWM），可以实现柔软但更有效的组成概括。

Recent work has constructed neural networks that are equivariant to continuous symmetry groups such as 2D and 3D rotations. This is accomplished using explicit Lie group representations to derive the equivariant kernels and nonlinearities. We present three contributions motivated by frontier applications of equivariance beyond rotations and translations. First, we relax the requirement for explicit Lie group representations with a novel algorithm that finds representations of arbitrary Lie groups given only the structure constants of the associated Lie algebra. Second, we provide a self-contained method and software for building Lie group-equivariant neural networks using these representations. Third, we contribute a novel benchmark dataset for classifying objects from relativistic point clouds, and apply our methods to construct the first object-tracking model equivariant to the Poincar\'e group.

We introduce Group equivariant Convolutional Neural Networks (G-CNNs), a natural generalization of convolutional neural networks that reduces sample complexity by exploiting symmetries. G-CNNs use G-convolutions, a new type of layer that enjoys a substantially higher degree of weight sharing than regular convolution layers. G-convolutions increase the expressive capacity of the network without increasing the number of parameters. Group convolution layers are easy to use and can be implemented with negligible computational overhead for discrete groups generated by translations, reflections and rotations. G-CNNs achieve state of the art results on CI-FAR10 and rotated MNIST.

将对称性作为归纳偏置纳入神经网络体系结构已导致动态建模的概括，数据效率和身体一致性的提高。诸如CNN或e夫神经网络之类的方法使用重量绑定来强制执行对称性，例如偏移不变性或旋转率。但是，尽管物理定律遵守了许多对称性，但实际动力学数据很少符合严格的数学对称性，这是由于嘈杂或不完整的数据或基础动力学系统中的对称性破坏特征。我们探索近似模棱两可的网络，这些网络偏向于保存对称性，但并非严格限制这样做。通过放松的均衡约束，我们发现我们的模型可以胜过两个基线，而在模拟的湍流域和现实世界中的多流射流流中都没有对称性偏差和基线，并且具有过度严格的对称性。

线性神经网络层的模棱两可。在这项工作中，我们放宽了肩variance条件，只有在投影范围内才是真实的。特别是，我们研究了投射性和普通的肩那样的关系，并表明对于重要的例子，这些问题实际上是等效的。3D中的旋转组在投影平面上投影起作用。在设计用于过滤2D-2D对应的网络时，我们在实验上研究了旋转肩位的实际重要性。完全模型的模型表现不佳，虽然简单地增加了不变的特征，从而在强大的基线产量中得到了改善，但这似乎并不是由于改善的均衡性。

我们提出了一种新颖的机器学习体系结构，双光谱神经网络（BNNS），用于学习数据的数据表示，这些数据是对定义信号的空间中组的行为不变的。该模型结合了双光谱的ANSATZ，这是一个完整的分析定义的组不变的，也就是说，它保留了所有信号结构，同时仅删除了由于组动作而造成的变化。在这里，我们证明了BNN能够在数据中发现任意的交换群体结构，并且训练有素的模型学习了组的不可减至表示，从而可以恢复组Cayley表。值得注意的是，受过训练的网络学会了对这些组的双偏见，因此具有分析对象的稳健性，完整性和通用性。

我们研究小组对称性如何帮助提高端到端可区分计划算法的数据效率和概括，特别是在2D机器人路径计划问题上：导航和操纵。我们首先从价值迭代网络（VIN）正式使用卷积网络进行路径计划，因为它避免了明确构建等价类别并启用端到端计划。然后，我们证明价值迭代可以始终表示为（2D）路径计划的某种卷积形式，并将结果范式命名为对称范围（SYMPLAN）。在实施中，我们使用可进入的卷积网络来合并对称性。我们在导航和操纵方面的算法，具有给定或学习的地图，提高了与非等级同行VIN和GPPN相比，大幅度利润的训练效率和概括性能。

由于其在翻译下的增强/不变性，卷积网络成功。然而，在坐标系的旋转取向不会影响数据的含义（例如对象分类）的情况下，诸如图像，卷，形状或点云的可旋转数据需要在旋转下的增强/不变性处理。另一方面，在旋转很重要的情况下是必要的估计/处理旋转（例如运动估计）。最近在所有这些方面的方法和理论方面取得了进展。在这里，我们提供了2D和3D旋转（以及翻译）的现有方法的概述，以及识别它们之间的共性和链接。

我们介绍了CheBlieset，一种对（各向异性）歧管的组成的方法。对基于GRAP和基于组的神经网络的成功进行冲浪，我们利用了几何深度学习领域的最新发展，以推导出一种新的方法来利用数据中的任何各向异性。通过离散映射的谎言组，我们开发由各向异性卷积层（Chebyshev卷积），空间汇集和解凝层制成的图形神经网络，以及全球汇集层。集团的标准因素是通过具有各向异性左不变性的黎曼距离的图形上的等级和不变的运算符来实现的。由于其简单的形式，Riemannian公制可以在空间和方向域中模拟任何各向异性。这种对Riemannian度量的各向异性的控制允许平衡图形卷积层的不变性（各向异性度量）的平衡（各向异性指标）。因此，我们打开大门以更好地了解各向异性特性。此外，我们经验证明了在CIFAR10上的各向异性参数的存在（数据依赖性）甜点。这一关键的结果是通过利用数据中的各向异性属性来获得福利的证据。我们还评估了在STL10（图像数据）和ClimateNet（球面数据）上的这种方法的可扩展性，显示了对不同任务的显着适应性。

标准情况被出现为对构成组的身份保留转换的物体表示的理想性质，例如翻译和旋转。然而，由组标准规定的表示的表示的表现仍然不完全理解。我们通过提供封面函数计数定理的概括来解决这个差距，这些定理量化了可以分配给物体的等异点的线性可分离和组不变二进制二分层的数量。我们发现可分离二分法的分数由由组动作固定的空间的尺寸决定。我们展示了该关系如何扩展到卷积，元素 - 明智的非线性和全局和本地汇集等操作。虽然其他操作不会改变可分离二分法的分数，但尽管是高度非线性操作，但是局部汇集减少了分数。最后，我们在随机初始化和全培训的卷积神经网络的中间代表中测试了我们的理论，并找到了完美的协议。