分子机器人有挑战性，所以最好保持简单。我们考虑基于异步执行的简单折叠指令的抽象分子机器人模型。车削机器是一个简单的1D到2D折叠模型，也可以轻松地展开2D到3D折叠。车削机在离散平面中的一条连接的单体线开始，每个连接单体具有相关的转弯数。单体相对于其邻居转动，执行单位距离转换，其沿其拖动其它单体，并且通过集体运动，初始单体组最终折叠成编程形状。我们充分地表征了转动机器执行线路旋转的能力，并为此如此有效：计算5 \ PI / 3 $弧度的几乎全线旋转，但不可能为2 \ PI $旋转。我们表明，这种线旋转在模型中代表了一个基本原语，通过使用它们来有效地和异步地折叠任意大的Zig-Zag-reasted方块和$ Y $ -Onotone形状。

两种尺寸的模块化机器人的良好理论模型是边缘连接的方形模块配置，可以通过所谓的滑动移动重新配置。 Dumitrescu和Pach [图形和Combinatorics，2006]证明，始终可以将N $ Squares的一个边缘连接配置重新配置为任何其他使用$ O（n ^ 2）$滑动移动，同时保持配置连接每时每刻。对于某些配置，重新配置可能需要$ \ omega（n ^ 2）$滑动移动。然而，可能就足够较少。我们证明它是难以最小化给定对边缘连接配置的滑动移动的数量。在正面，我们呈现收集和紧凑，一个输入敏感的就地算法只需要$ O（\ bar {p} n）$ slide移动，将一个配置转换为另一个配置，其中$ \ bar {p} $两个边界框的最大周边。正方形仅在边界盒内移动，除了可以通过与边界框相邻的位置移动的时间最多的一个正方形。 $ O（\ bar {p} n）$绑定永远不会超过$ o（n ^ 2）$，并且在只需$ n $和$ \ bar {p} $ 。我们的算法建立在基本原理上，可以有效地转换模块化机器人的良好连接的组件。因此，我们迭代地提高配置内的连接，最终到达一个固体$ xy $-monotone组件。我们实施了聚集＆紧凑，并通过实验进行了比较了Moreno和Searist的原始修改，Dumitrescu和PACH算法（MSDP）的[Eurocg 2020]。我们的实验表明，在所有类型的方形配置上，聚集和紧凑始终如一地优于MSDP。

我们研究了一个可编程物质系统的模型，该模型由位于二维正方形网格上的$ n $设备组成，该设备能够执行相互旋转的最小机械操作。目的是将初始形状A变成目标形状B。我们有兴趣表征形状类别，这些形状可以在这种情况下在始终保持全局连接性的附加约束下相互转化。这是$ [$ MICHAIL等人，JCSS'19 $] $打开的主要问题之一。请注意，被考虑的问题是关于转型的结构可行性，我们仅通过集中的建设性证明来处理。分布式解决方案留给将来的工作，并形成一个有趣的研究方向。过去的工作取得了一些特殊形状类别的进步。我们在这里考虑了正交凸形的类别，其中任何两个节点$ u，v $在网格上的水平或垂直线中，$ u $和$ v $之间没有空单元。我们开发了一个通用的集中转换，并证明，对于任何一对$ a $ a $ b $ colour colour consisterstent的正交凸形形状，它可以将$ a $ a $变成$ b $。鉴于在考虑类中存在阻塞的形状，我们使用最小的3节点种子来触发转化。我们转换的运行时间是最佳$ O（n^2）$顺序移动，其中$ n = | a | = | b | $。我们留下的是一个空旷的问题，存在着一个小种子的普遍保留连接转换。我们的信念是，本文开发的技术可能对回答这一点很有用。

我们考虑通过变质机器人系统（MRS）在有限3D立方网格中搜索，该系统由匿名模块组成。在整个模块保持连接的同时，模块可以执行滑动和旋转。随着模块的数量增加，MRS可以执行的各种动作增加。搜索问题要求MRS在给定的有限字段中找到目标。 Doi等人。 （SSS 2018）演示了用于搜索有限2D平方网格的必要和足够数量的模块。我们考虑在有限3D立方网格中搜索并调查共同知识的效果。我们考虑三种不同的设置。首先，我们表明，当所有模块配备公共指南针时，我们就需要三个模块，即，他们就标准的方向和方向达到$ x $，$ y $和$ z $ x。其次，当所有模块都达成垂直轴的方向和方向时，我们表明需要四个模块并且充分。最后，我们表明，当所有模块都没有配备普通的指南针时，需要五个模块。我们的结果表明，3D立方网格中的MRS的形状比2D方形网格中的结构更丰富。

可以部署一组合作的空中机器人，以有效地巡逻地形，每个机器人都会在指定区域飞行，并定期与邻居共享信息，以保护或监督它。为了确保鲁棒性，以前对这些同步系统的作品提出了将机器人发送到相邻区域的情况，以防它检测到故障。为了处理不可预测性并提高确定性巡逻计划的效率，本文提出了随机策略，以涵盖在代理之间分配的领域。首先，在本文中针对两个指标进行了对随机过程的理论研究：\ emph {闲置时间}，这是两个连续观察到地形的任何点和\ emph {隔离时间}之间的预期时间，预期的时间}，预期的时间机器人没有与任何其他机器人通信的时间。之后，将随机策略与添加另一个指标的确定性策略进行了比较：\ emph {广播时间}，从机器人发出消息的那一刻，直到团队的所有其他机器人收到消息。模拟表明，理论结果与模拟和随机策略的表现非常吻合，其行为与文献中提出的确定性协议获得的行为相比。

我们根据描述逻辑ALC和ALCI介绍并研究了本体论介导的查询的几个近似概念。我们的近似值有两种：我们可以（1）用一种以易访问的本体语言为例，例如ELI或某些TGD，以及（2）用可拖动类的一个替换数据库，例如其treewidth的数据库，由常数界定。我们确定所得近似值的计算复杂性和相对完整性。（几乎）所有这些都将数据复杂性从Conp-Complete降低到Ptime，在某些情况下甚至是固定参数可拖动和线性时间。虽然种类（1）的近似也降低了综合复杂性，但这种近似（2）往往并非如此。在某些情况下，联合复杂性甚至会增加。

我们研究了如何在大脑中占有结构的概念的问题。具体而言，我们介绍了分层结构化概念的模型，我们展示了一种生物合理的神经网络如何识别这些概念，以及如何首先学习它们。我们的主要目标是为这些任务介绍一般框架，并正式证明了如何实现（认可和学习）。我们表明，即使在存在噪音，也可以完成两个任务。为了学习，我们正式分析了OJA的规则，是一个众所周知的生物合理的规则，用于调整突触的重量。我们将学习结果与下限相关联，以便识别某个分层深度的概念，神经网络必须具有相应数量的层。

Graph clustering is a fundamental problem in unsupervised learning, with numerous applications in computer science and in analysing real-world data. In many real-world applications, we find that the clusters have a significant high-level structure. This is often overlooked in the design and analysis of graph clustering algorithms which make strong simplifying assumptions about the structure of the graph. This thesis addresses the natural question of whether the structure of clusters can be learned efficiently and describes four new algorithmic results for learning such structure in graphs and hypergraphs. All of the presented theoretical results are extensively evaluated on both synthetic and real-word datasets of different domains, including image classification and segmentation, migration networks, co-authorship networks, and natural language processing. These experimental results demonstrate that the newly developed algorithms are practical, effective, and immediately applicable for learning the structure of clusters in real-world data.

在自动机器人群的现有文献中，采用的可见性模型具有一些与实际传感设备实现不符的理想主义假设。本文在更现实的可见性模型中调查了这个问题，称为不透明的脂肪机器人，具有纤细的全向相机。机器人被建模为单位磁盘，每个磁盘都具有全向摄像头，表示为尺寸较小的磁盘。我们假设机器人具有指南针，可以在其局部坐标系统的两个轴方向和方向上达成共识。机器人配备了可见的灯光，这些灯光是通信的媒介，也可以用作记忆的形式。我们为相互可见性问题提供了分布式算法，该算法在半同步设置中被证明是正确的。我们的算法还为领导者选举提供了解决方案，我们将其用作主要算法中的子例程。尽管在完整的可见性模型中，领导者选举在两个轴心协议中是微不足道的，但在我们的案例中，这是具有挑战性的，并且具有独立的利益。

当考虑$ N $标记的机器人的运动计划时，我们需要通过一系列平行，连续的，无碰撞的机器人运动来重新布置给定的启动配置为所需的目标配置。目的是在最短的时间内达到新配置；一个重要的约束是始终保持群体连接。以前已经考虑过这种类型的问题，最近值得注意的结果可实现不一定连接的重新配置：如果将起始配置映射到目标配置，则需要最大的曼哈顿距离$ D $，则总体时间表的总持续时间可以是限制为$ \ Mathcal {O}（d）$，这是最佳选择的恒定因素。但是，只有在允许断开连接的重新配置或用于缩放的配置（通过将给定对象的所有维度通过相同的乘法因子增加到相同的乘法因子增加）时，才能实现恒定拉伸。我们通过（1）建立$ \ omega（\ sqrt {n}）$的下限来解决这些主要的开放问题可以实现重新配置。此外，我们表明（3）决定是否可以实现2个制造物，而可以检查多项式时间是否可以实现1个制造pan。

在这项工作中，我们研究了新的算法生长过程。特别是，我们提出了三个增长操作，全倍加倍，加倍和加倍，并探索其在几何环境下所得过程的算法和结构特性。在建模方面，我们的系统在二维网格上运行，并以离散的时间段运行。该过程以初始形状$ s_i = s_0 $开头，并且在每个时间段$ t \ geq 1 $中，通过（并行）或多个特定类型的一个或多个增长操作应用于当前的形状 - 固定$ s_ { t-1} $，生成下一个实例$ s_t $，总是满足$ | s_t | > | s_ {t-1} | $。我们的目标是表征可以在$ o（\ log n）$或polygog $ n $ time steps中构建的形状类别，并确定最终形状$ s_f $是否可以从初始形状$ s_i $使用给定类型的增长操作的有限顺序，称为$ s_f $的构造函数。对于完整的加倍，在每个时间阶段，每个节点都会在给定方向上生成一个新节点，我们完全表征可以从给定初始形状构造的形状类别的结构。对于RC加倍，在其中完整的列或行加倍，我们的主要贡献是线性时间集中算法，对于任何一对形状$ s_i $，$ s_f $决定是否可以从$ s_i $构建$ s_f $，以及，如果答案是肯定的，从$ s_i $返回$ o（\ log n）$ - $ s_f $的时间步构造函数。对于最一般的加倍操作，在单个节点可以翻倍的情况下，我们表明某些形状不能以次线性时间步长构建，并从单s_i $ s_i $中提供两个$ s_f $的通用构造函数，这是有效的（即，到各种形状的阶段时间阶段）。两个构造函数都可以通过多项式时间集中算法计算出任何形状$ s_f $。

Arbitrary pattern formation (\textsc{Apf}) is well studied problem in swarm robotics. The problem has been considered in two different settings so far; one is in plane and another is in infinite grid. This work deals the problem in infinite rectangular grid setting. The previous works in literature dealing with \textsc{Apf} problem in infinite grid had a fundamental issue. These deterministic algorithms use a lot space of the grid to solve the problem mainly because of maintaining asymmetry of the configuration or to avoid collision. These solution techniques can not be useful if there is a space constrain in the application field. In this work, we consider luminous robots (with one light that can take two colors) in order to avoid symmetry, but we carefully designed a deterministic algorithm which solves the \textsc{Apf} problem using minimal required space in the grid. The robots are autonomous, identical, anonymous and they operate in Look-Compute-Move cycles under a fully asynchronous scheduler. The \textsc{Apf} algorithm proposed in [WALCOM'2019] by Bose et al. can be modified using luminous robots so that it uses minimal space but that algorithm is not move optimal. The algorithm proposed in this paper not only uses minimal space but also asymptotically move optimal. The algorithm proposed in this work is designed for infinite rectangular grid but it can be easily modified to work in a finite grid as well.

我们开发了一种高效的随机块模型中的弱恢复算法。该算法与随机块模型的Vanilla版本的最佳已知算法的统计保证匹配。从这个意义上讲，我们的结果表明，随机块模型没有稳健性。我们的工作受到最近的银行，Mohanty和Raghavendra（SODA 2021）的工作，为相应的区别问题提供了高效的算法。我们的算法及其分析显着脱离了以前的恢复。关键挑战是我们算法的特殊优化景观：种植的分区可能远非最佳意义，即完全不相关的解决方案可以实现相同的客观值。这种现象与PCA的BBP相转变的推出效应有关。据我们所知，我们的算法是第一个在非渐近设置中存在这种推出效果的鲁棒恢复。我们的算法是基于凸优化的框架的实例化（与平方和不同的不同），这对于其他鲁棒矩阵估计问题可能是有用的。我们的分析的副产物是一种通用技术，其提高了任意强大的弱恢复算法的成功（输入的随机性）从恒定（或缓慢消失）概率以指数高概率。

$ N $ -Quens配置是$ N \ Times N $ Chessboard的$ N $相互非攻击座位的位置。Nauck在1850年介绍的$ N $ -Queens完井问题是决定是否可以将给定的部分配置完成为$ N $ -Queens配置。在本文中，我们研究了这个问题的极端方面，即：部分配置必须小心，以便完成完成？我们表明，可以完成任何最多$ N / 60 $相互非攻击Queens的展示。我们还提供了大约N / 4 $ Queens的部分配置，不能完成，并制定一些有趣的问题。我们的证据将Queens问题与二角形图中的彩虹匹配连接，并使用概率参数以及线性编程二元性。

Amoebot模型将主动的可编程物质抽象为简单的计算元素的集合，称为Amoebot，它们在本地交互以集体完成协调和运动任务。自2014年SPAA推出以来，越来越多的文献已经改编了其对各种问题的假设。但是，如果没有标准化的假设层次结构，则很难对Amoebot模型下的结果进行精确的系统比较。我们提出了规范的Amoebot模型，该模型是一个更新的形式化，可区分核心模型特征和假设变体系列。规范Amoebot模型解决的关键改进是并发。现有的许多文献隐含地假设Amoebot动作是孤立且可靠的，将分析降低到一个顺序设置，其中最多一次是Amoebot活跃的。但是，实际可编程系统是并发的。 Canonical Amoebot模型将所有Amoebot通信形式化为消息传递，利用并发执行的对抗激活模型。在这种颗粒状的时间处理下，我们采用两种互补方法来并发算法设计。我们首先在任何并发执行下建立一组足够的条件，以实现算法正确性，将并发控制直接嵌入算法设计中。然后，我们提出了一个并发控制框架，该框架使用锁来转换在顺序设置中终止的Amoebot算法，并满足某些约定在并发设置中表现出等效行为的算法中的某些约定。作为案例研究，我们使用简单的六边形形成算法证明了这两种方法。共同的Amoebot模型以及这些并发算法设计的互补方法设计开放的新方向，用于分布式计算可编程问题。

在此备忘录中，我们开发了一般框架，它允许同时研究$ \ MathBB R ^ D $和惠特尼在$ \ Mathbb r的离散和非离散子集附近的insoctry扩展问题附近的标签和未标记的近对准数据问题。^ d $与某些几何形状。此外，我们调查了与集群，维度减少，流形学习，视觉以及最小的能量分区，差异和最小最大优化的相关工作。给出了谐波分析，计算机视觉，歧管学习和与我们工作的信号处理中的众多开放问题。本发明内容中的一部分工作基于纸张中查尔斯Fefferman的联合研究[48]，[49]，[50]，[51]。

在这些说明中，我们将解决对我们不完全了解的马尔可夫决策过程（MDP）找到最佳策略的问题。我们的意图是从离线设置慢慢过渡到在线（学习）设置。即，我们正在走向加强学习。

给定尺寸$ d $中的独立标准高斯点$ v_1，\ ldots，v_n $，对于$（n，d）$的值（n，d）$的值很高，概率很高，同时通过所有要点？将椭圆形拟合到随机点的基本问题与低级别矩阵分解，独立的组件分析和主成分分析有连接。基于有力的数值证据，桑德森，帕里洛和威尔斯基[Proc。关于决策和控制会议，第6031-6036页，2013年]猜想，椭圆形拟合问题的问题从可行的到不可行的$ n $增加，并在$ n \ sim d^2/4处急剧阈值$。我们通过为某些$ n = \ omega（\，d^2/\ log^5（d）\，）$构建合适的椭圆形来解决这个猜想，从而改善了Ghosh等人的先前工作。 [Proc。关于计算机科学基础的研讨会，第954-965、2020页]，需要$ n = o（d^{3/2}）$。我们的证明证明了Saunderson等人的最小二乘结构的可行性。使用对特定非标准随机矩阵的特征向量和特征值进行仔细的分析。

Cohen等人的深度学习实验。 [2021]使用确定性梯度下降（GD）显示学习率（LR）和清晰度（即Hessian最大的特征值）的稳定边缘（EOS）阶段不再像传统优化一样行为。清晰度稳定在$ 2/$ LR的左右，并且在迭代中损失不断上下，但仍有整体下降趋势。当前的论文数学分析了EOS阶段中隐式正则化的新机制，因此，由于非平滑损失景观而导致的GD更新沿着最小损失的多种流量进行了一些确定性流程发展。这与许多先前关于隐式偏差依靠无限更新或梯度中的噪声的结果相反。正式地，对于具有某些规律性条件的任何平滑函数$ l $，对于（1）标准化的GD，即具有不同的lr $ \ eta_t = \ frac {\ eta} {||的GD证明了此效果。 \ nabla l（x（t））||} $和损失$ l $; （2）具有常数LR和损失$ \ sqrt {l- \ min_x l（x）} $的GD。两者都可以证明进入稳定性的边缘，在歧管上相关的流量最小化$ \ lambda_ {1}（\ nabla^2 l）$。一项实验研究证实了上述理论结果。

我们介绍了一种改进政策改进的方法，该方法在基于价值的强化学习（RL）的贪婪方法与基于模型的RL的典型计划方法之间进行了插值。新方法建立在几何视野模型（GHM，也称为伽马模型）的概念上，该模型对给定策略的折现状态验证分布进行了建模。我们表明，我们可以通过仔细的基本策略GHM的仔细组成，而无需任何其他学习，可以评估任何非马尔科夫策略，以固定的概率在一组基本马尔可夫策略之间切换。然后，我们可以将广义政策改进（GPI）应用于此类非马尔科夫政策的收集，以获得新的马尔可夫政策，通常将其表现优于其先驱。我们对这种方法提供了彻底的理论分析，开发了转移和标准RL的应用，并在经验上证明了其对标准GPI的有效性，对充满挑战的深度RL连续控制任务。我们还提供了GHM培训方法的分析，证明了关于先前提出的方法的新型收敛结果，并显示了如何在深度RL设置中稳定训练这些模型。