我们提供了$ n ^ {o（\ log \ log n）} $ - 时间成员资格查询算法，用于在统一分布下统一分发的统一分布\ {\ pm 1 \} ^ n $。即使在可实现的设置中，上一个最快的运行时也是$ n ^ {o（\ log n）} $，这是ehrenfeucht和haussler的经典算法的结果。我们的算法与学习决策树的实用启发式分享了相似性，我们增加了额外的想法，以避免已知的这些启发式措施。为了分析我们的算法，我们证明了决策树的新结构结果，增强了O'Donnell，Saks，Schramm和Servedio的定理。虽然OSS定理表明每个决策树都有一个有影响力的变量，但我们展示了每个决策树如何“修剪”，以便产生的树中的每个变量都是有影响力的。

使用增强的框架，我们证明所有基于杂质的决策树学习算法（包括经典的ID3，C4.5和CART）都具有很高的噪音耐受性。我们的保证在讨厌的噪声的最强噪声模型下保持，我们在允许的噪声速率上提供了近乎匹配的上和下限。我们进一步表明，这些算法简单，长期以来一直是日常机器学习的核心，在嘈杂的环境中享受可证明的保证，这些环境是由关于决策树学习的理论文献中现有算法无与伦比的。综上所述，我们的结果增加了一项持续的研究线，该研究旨在将这些实际决策树算法的经验成功放在牢固的理论基础上。

我们设计了一种算法，用于查找具有强大理论保证其性能的反事实算法。对于任何单调模型$ f：x^d \ to \ {0,1 \} $和instance $ x^\ star $，我们的算法make \ [{s（f））} \ cdot \ log d} \]查询到$ f $并返回{哪个$ f（x'）\ ne f（x^\ star）$。这里$ s（f）$是$ f $的灵敏度，lipschitz常数的分散类似物，$ \ delta_f（x^\ star）$是从$ x^\ star $到其最近的反事实的距离。以前最著名的查询复杂性是$ d^{\，o（\ delta_f（x^\ star））} $，可以通过Brute-Force Local Search实现。我们进一步证明了$ s（f）^{\ omega（\ delta_f（x^\ star））} + \ omega（\ log d）$的下限我们的算法本质上是最佳的。

作者最近给出了$ n^{o（\ log \ log n）} $时间成员资格查询算法，用于在统一分布下正确学习决策树（Blanc等，2021）。此问题的先前最快算法以$ n^{o（\ log n）} $ time运行，这是Ehrenfeucht和Haussler（1989）的经典算法，这是无分配设置的经典算法。在本文中，我们强调了获得多项式时间算法的自然开放问题，讨论获得它的可能途径以及我们认为具有独立利益的状态中级里程碑。

我们考虑解释任意黑箱型号的预测的问题$ f $：给定查询访问$ f $和实例$ x $，输出一小组$ x $的功能，其中有基本上确定$ f（ x）$。我们设计了一种高效的算法，可提供证明的简洁和返回的解释的精度。现有算法是有效的，但缺乏这种保证，或实现了这种保证，但效率低下。我们通过连接{\ SL隐式}学习决策树的问题获得算法。这种学习任务的隐式性质即使在$ F $的复杂程度需要一个艰难的大代理决策树时也允许有效的算法。我们通过从学习理论，局部计算算法和复杂性理论中汇集技术来解决隐式学习问题。我们的“通过隐式学习解释”的方法，共享两个先前分散的分歧方法的元素，用于后期的解释，全局和本地解释，我们使它享有两者的优势。

我们给出了\ emph {list-codobable协方差估计}的第一个多项式时间算法。对于任何$ \ alpha> 0 $，我们的算法获取输入样本$ y \ subseteq \ subseteq \ mathbb {r}^d $ size $ n \ geq d^{\ mathsf {poly}（1/\ alpha）} $获得通过对抗损坏I.I.D的$（1- \ alpha）n $点。从高斯分布中的样本$ x $ size $ n $，其未知平均值$ \ mu _*$和协方差$ \ sigma _*$。在$ n^{\ mathsf {poly}（1/\ alpha）} $ time中，它输出$ k = k（\ alpha）=（1/\ alpha）^{\ mathsf {poly}的常数大小列表（1/\ alpha）} $候选参数，具有高概率，包含$（\ hat {\ mu}，\ hat {\ sigma}）$，使得总变化距离$ tv（\ Mathcal {n}（n}）（n}（n}）（ \ mu _*，\ sigma _*），\ Mathcal {n}（\ hat {\ mu}，\ hat {\ sigma}））<1-o _ {\ alpha}（1）$。这是距离的统计上最强的概念，意味着具有独立尺寸误差的参数的乘法光谱和相对Frobenius距离近似。我们的算法更普遍地适用于$（1- \ alpha）$ - 任何具有低度平方总和证书的分布$ d $的损坏，这是两个自然分析属性的：1）一维边际和抗浓度2）2度多项式的超收缩率。在我们工作之前，估计可定性设置的协方差的唯一已知结果是针对Karmarkar，Klivans和Kothari（2019），Raghavendra和Yau（2019和2019和2019和2019和2019年）的特殊情况。 2020年）和巴克西（Bakshi）和科塔里（Kothari）（2020年）。这些结果需要超级物理时间，以在基础维度中获得任何子构误差。我们的结果意味着第一个多项式\ emph {extcect}算法，用于列表可解码的线性回归和子空间恢复，尤其允许获得$ 2^{ - \ Mathsf { - \ Mathsf {poly}（d）} $多项式时间错误。我们的结果还意味着改进了用于聚类非球体混合物的算法。

我们研究动态算法，以便在$ N $插入和删除流中最大化单调子模块功能的问题。我们显示任何维护$（0.5+ epsilon）$ - 在基数约束下的近似解决方案的算法，对于任何常数$ \ epsilon> 0 $，必须具有$ \ mathit {polynomial} $的摊销查询复杂性$ n $。此外，需要线性摊销查询复杂性，以维持0.584美元 - 批量的解决方案。这与近期[LMNF + 20，MON20]的最近动态算法相比，达到$（0.5- \ epsilon）$ - 近似值，与$ \ mathsf {poly} \ log（n）$摊销查询复杂性。在正面，当流是仅插入的时候，我们在基数约束下的问题和近似的Matroid约束下提供有效的算法，近似保证$ 1-1 / e-\ epsilon $和摊销查询复杂性$ \ smash {o （\ log（k / \ epsilon）/ \ epsilon ^ 2）} $和$ \ smash {k ^ {\ tilde {o}（1 / \ epsilon ^ 2）} \ log n} $，其中$ k $表示基数参数或Matroid的等级。

令$ \ mathscr {f} _ {n，d} $为所有函数的类$ f：\ { - { - 1,1 \}^n \ to [-1,1] $ to $ n $ dipermensional discement to [-1,1] $超级立方体最多$ d $。在本文的第一部分中，我们证明了学习$ \ mathscr {f} _ {n，d} $的任何（确定性或随机）算法带有$ l_2 $ -accuracy $ \ varepsilon $至少需要$ \ omega（ （1- \ sqrt {\ varepsilon}）2^d \ log n）$ queries for tomy $ n $，从而将锋利性确定为$ n \ to \ fty \ fty \ infty $ y iffty $，eSkenazis and Ivanisvili（2021）（2021） 。为此，我们表明$ l_2 $ - 包装数字$ \ Mathsf {m}（\ Mathscr {f} _ {n，d}，\ | \ cdot \ | _ {l_2}，\ varepsilon）$概念类$ \ mathscr {f} _ {n，d} $满足双面估计$$ c（1- \ varepsilon）2^d \ log n \ log n \ leq \ log \ log \ mathsf {m mathsf {m}（\ mathscr） } _ {n，d}，\ | \ cdot \ | _ {l_2}，\ varepsilon）\ leq \ frac {2^{cd} \ log n} {\ varepsilon^4} $ n $ ，其中$ c，c> 0 $是通用常数。在本文的第二部分中，我们提出了一个对数上限，以实现有界近似多项式类别的随机查询复杂性，其傅立叶光谱集中在很少的子集上。作为应用程序，我们证明了学习给定程度的近似作者所需的随机查询数量的新估计值，具有快速衰减的傅立叶尾巴和给定尺寸的恒定深度电路的功能。最后，我们获得了学习多项式类$ \ mathscr {f} _ {n，d} $所需的查询数量的界限，而在查询和随机示例模型中没有错误。

大多数-AT是确定联合正常形式（CNF）中输入$ N $的最低价公式的问题至少为2 ^ {n-1} $令人满意的作业。在对概率规划和推论复杂性的各种AI社区中，广泛研究了多数饱和问题。虽然大多数饱满为期40多年来，但自然变体的复杂性保持开放：大多数 - $ k $ SAT，其中输入CNF公式仅限于最多$ k $的子句宽度。我们证明，每辆$ k $，大多数 - $ k $ sat是在p的。事实上，对于任何正整数$ k $和ratic $ \ rho \ in（0,1）$ in（0,1）$与有界分比者，我们给出了算法这可以确定给定的$ k $ -cnf是否至少有$ \ rho \ cdot 2 ^ n $令人满意的分配，在确定性线性时间（而先前的最着名的算法在指数时间中运行）。我们的算法对计算复杂性和推理的复杂性具有有趣的积极影响，显着降低了相关问题的已知复杂性，例如E-Maj-$ K $ Sat和Maj-Maj- $ K $ Sat。在我们的方法中，通过提取在$ k $ -cnf的相应设置系统中发现的向日葵，可以通过提取向日葵来解决阈值计数问题的有效方法。我们还表明，大多数 - $ k $ sat的易腐烂性有些脆弱。对于密切相关的gtmajority-sat问题（我们询问给定公式是否超过2 ^ {n-1} $满足分配），这已知是pp-cleanting的，我们表明gtmajority-$ k $ sat在p for $ k \ le 3 $，但为$ k \ geq 4 $完成np-cleante。这些结果是违反直觉的，因为这些问题的“自然”分类将是PP完整性，因为GTMAJority的复杂性存在显着差异 - $ k $ SAT和MOSTION- $ K $ SAT为所有$ k \ ge 4 $。

我们在高斯分布下使用Massart噪声与Massart噪声进行PAC学习半个空间的问题。在Massart模型中，允许对手将每个点$ \ mathbf {x} $的标签与未知概率$ \ eta（\ mathbf {x}）\ leq \ eta $，用于某些参数$ \ eta \ [0,1 / 2] $。目标是找到一个假设$ \ mathrm {opt} + \ epsilon $的错误分类错误，其中$ \ mathrm {opt} $是目标半空间的错误。此前已经在两个假设下研究了这个问题：（i）目标半空间是同质的（即，分离超平面通过原点），并且（ii）参数$ \ eta $严格小于$ 1/2 $。在此工作之前，当除去这些假设中的任何一个时，不知道非增长的界限。我们研究了一般问题并建立以下内容：对于$ \ eta <1/2 $，我们为一般半个空间提供了一个学习算法，采用样本和计算复杂度$ d ^ {o_ {\ eta}（\ log（1 / \ gamma） ）））}} \ mathrm {poly}（1 / \ epsilon）$，其中$ \ gamma = \ max \ {\ epsilon，\ min \ {\ mathbf {pr} [f（\ mathbf {x}）= 1]， \ mathbf {pr} [f（\ mathbf {x}）= -1] \} \} $是目标半空间$ f $的偏差。现有的高效算法只能处理$ \ gamma = 1/2 $的特殊情况。有趣的是，我们建立了$ d ^ {\ oomega（\ log（\ log（\ log（\ log））}}的质量匹配的下限，而是任何统计查询（SQ）算法的复杂性。对于$ \ eta = 1/2 $，我们为一般半空间提供了一个学习算法，具有样本和计算复杂度$ o_ \ epsilon（1）d ^ {o（\ log（1 / epsilon））} $。即使对于均匀半空间的子类，这个结果也是新的;均匀Massart半个空间的现有算法为$ \ eta = 1/2 $提供可持续的保证。我们与D ^ {\ omega（\ log（\ log（\ log（\ log（\ epsilon））} $的近似匹配的sq下限补充了我们的上限，这甚至可以为同类半空间的特殊情况而保持。

我们研究了在存在$ \ epsilon $ - 对抗异常值的高维稀疏平均值估计的问题。先前的工作为此任务获得了该任务的样本和计算有效算法，用于辅助性Subgaussian分布。在这项工作中，我们开发了第一个有效的算法，用于强大的稀疏平均值估计，而没有对协方差的先验知识。对于$ \ Mathbb r^d $上的分布，带有“认证有限”的$ t $ tum-矩和足够轻的尾巴，我们的算法达到了$ o（\ epsilon^{1-1/t}）$带有样品复杂性$的错误（\ epsilon^{1-1/t}） m =（k \ log（d））^{o（t）}/\ epsilon^{2-2/t} $。对于高斯分布的特殊情况，我们的算法达到了$ \ tilde o（\ epsilon）$的接近最佳错误，带有样品复杂性$ m = o（k^4 \ mathrm {polylog}（d）（d））/\ epsilon^^ 2 $。我们的算法遵循基于方形的总和，对算法方法的证明。我们通过统计查询和低度多项式测试的下限来补充上限，提供了证据，表明我们算法实现的样本时间 - 错误权衡在质量上是最好的。

我们研究了Massart噪声的PAC学习半圆的问题。给定标记的样本$（x，y）$从$ \ mathbb {r} ^ {d} ^ {d} \ times \ times \ {\ pm 1 \} $，这样的例子是任意的和标签$ y $ y $ y $ x $是由按萨塔特对手损坏的目标半空间与翻转概率$ \ eta（x）\ leq \ eta \ leq 1/2 $，目标是用小小的假设计算假设错误分类错误。这个问题的最佳已知$ \ mathrm {poly}（d，1 / \ epsilon）$时间算法实现$ \ eta + \ epsilon $的错误，这可能远离$ \ mathrm {opt} +的最佳界限\ epsilon $，$ \ mathrm {opt} = \ mathbf {e} _ {x \ sim d_x} [\ eta（x）] $。虽然已知实现$ \ mathrm {opt} + O（1）$误差需要超级多项式时间在统计查询模型中，但是在已知的上限和下限之间存在大的间隙。在这项工作中，我们基本上表征了统计查询（SQ）模型中Massart HalfSpaces的有效可读性。具体来说，我们表明，在$ \ mathbb {r} ^ d $中没有高效的sq算法用于学习massart halfpaces ^ d $可以比$ \ omega（\ eta）$更好地实现错误，即使$ \ mathrm {opt} = 2 ^ { - - \ log ^ {c}（d）$，适用于任何通用常量$ c \ in（0,1）$。此外，当噪声上限$ \ eta $接近$ 1/2 $时，我们的错误下限变为$ \ eta - o _ {\ eta}（1）$，其中$ o _ {\ eta}（1）$当$ \ eta $接近$ 1/2 $时，术语达到0美元。我们的结果提供了强有力的证据表明，大规模半空间的已知学习算法几乎是最可能的，从而解决学习理论中的长期开放问题。

给定真实的假设类$ \ mathcal {h} $，我们在什么条件下调查有一个差异的私有算法，它从$ \ mathcal {h} $给出的最佳假设.I.i.d.数据。灵感来自最近的成果的二进制分类的相关环境（Alon等，2019; Bun等，2020），其中显示了二进制类的在线学习是必要的，并且足以追随其私人学习，Jung等人。 （2020）显示，在回归的设置中，$ \ mathcal {h} $的在线学习是私人可读性所必需的。这里的在线学习$ \ mathcal {h} $的特点是其$ \ eta $-sequentient胖胖子的优势，$ {\ rm sfat} _ \ eta（\ mathcal {h}）$，适用于所有$ \ eta> 0 $。就足够的私人学习条件而言，Jung等人。 （2020）显示$ \ mathcal {h} $私下学习，如果$ \ lim _ {\ eta \ downarrow 0} {\ rm sfat} _ \ eta（\ mathcal {h}）$是有限的，这是一个相当限制的健康）状况。我们展示了在轻松的条件下，\ LIM \ INF _ {\ eta \ downarrow 0} \ eta \ cdot {\ rm sfat} _ \ eta（\ mathcal {h}）= 0 $，$ \ mathcal {h} $私人学习，为\ \ rm sfat} _ \ eta（\ mathcal {h}）$ \ eta \ dockarrow 0 $ divering建立第一个非参数私人学习保证。我们的技术涉及一种新颖的过滤过程，以输出非参数函数类的稳定假设。

我们建立了量子算法设计与电路下限之间的第一一般连接。具体来说，让$ \ mathfrak {c} $是一类多项式大小概念，假设$ \ mathfrak {c} $可以在统一分布下的成员查询，错误$ 1/2 - \ gamma $通过时间$ t $量子算法。我们证明如果$ \ gamma ^ 2 \ cdot t \ ll 2 ^ n / n $，则$ \ mathsf {bqe} \ nsubseteq \ mathfrak {c} $，其中$ \ mathsf {bqe} = \ mathsf {bque} [2 ^ {o（n）}] $是$ \ mathsf {bqp} $的指数时间模拟。在$ \ gamma $和$ t $中，此结果是最佳的，因为它不难学习（经典）时间$ t = 2 ^ n $（没有错误） ，或在Quantum Time $ t = \ mathsf {poly}（n）$以傅立叶采样为单位为1/2美元（2 ^ { - n / 2}）$。换句话说，即使对这些通用学习算法的边际改善也会导致复杂性理论的主要后果。我们的证明在学习理论，伪随机性和计算复杂性的几个作品上构建，并且至关重要地，在非凡的经典学习算法与由Oliveira和Santhanam建立的电路下限之间的联系（CCC 2017）。扩展他们对量子学习算法的方法，结果产生了重大挑战。为此，我们展示了伪随机发电机如何以通用方式意味着学习到较低的连接，构建针对均匀量子计算的第一个条件伪随机发生器，并扩展了Impagliazzo，JaiSwal的本地列表解码算法。 ，Kabanets和Wigderson（Sicomp 2010）通过微妙的分析到量子电路。我们认为，这些贡献是独立的兴趣，可能会发现其他申请。

我们研究了用于线性回归的主动采样算法，该算法仅旨在查询目标向量$ b \ in \ mathbb {r} ^ n $的少量条目，并将近最低限度输出到$ \ min_ {x \ In \ mathbb {r} ^ d} \ | ax-b \ | $，其中$ a \ in \ mathbb {r} ^ {n \ times d} $是一个设计矩阵和$ \ | \ cdot \ | $是一些损失函数。对于$ \ ell_p $ norm回归的任何$ 0 <p <\ idty $，我们提供了一种基于Lewis权重采样的算法，其使用只需$ \ tilde {o}输出$（1+ \ epsilon）$近似解决方案（d ^ {\ max（1，{p / 2}）} / \ mathrm {poly}（\ epsilon））$查询到$ b $。我们表明，这一依赖于$ D $是最佳的，直到对数因素。我们的结果解决了陈和Derezi的最近开放问题，陈和Derezi \'{n} Ski，他们为$ \ ell_1 $ norm提供了附近的最佳界限，以及$ p \中的$ \ ell_p $回归的次优界限（1,2） $。我们还提供了$ O的第一个总灵敏度上限（D ^ {\ max \ {1，p / 2 \} \ log ^ 2 n）$以满足最多的$ p $多项式增长。这改善了Tukan，Maalouf和Feldman的最新结果。通过将此与我们的技术组合起来的$ \ ell_p $回归结果，我们获得了一个使$ \ tilde o的活动回归算法（d ^ {1+ \ max \ {1，p / 2 \}} / \ mathrm {poly}。 （\ epsilon））$疑问，回答陈和德里兹的另一个打开问题{n}滑雪。对于Huber损失的重要特殊情况，我们进一步改善了我们对$ \ tilde o的主动样本复杂性的绑定（d ^ {（1+ \ sqrt2）/ 2} / \ epsilon ^ c）$和非活跃$ \ tilde o的样本复杂性（d ^ {4-2 \ sqrt 2} / \ epsilon ^ c）$，由于克拉克森和伍德拉夫而改善了Huber回归的以前的D ^ 4 $。我们的敏感性界限具有进一步的影响，使用灵敏度采样改善了各种先前的结果，包括orlicz规范子空间嵌入和鲁棒子空间近似。最后，我们的主动采样结果为每种$ \ ell_p $ norm提供的第一个Sublinear时间算法。

我们研究无名概率分布的无分发物业测试和学习问题是超过$ \ mathbb {r} ^ d $的产品分布。对于许多重要的功能，例如半空间，多项式阈值函数，凸集和$ k $ -alternation函数的交叉点，所知的算法具有复杂性，这取决于分配的支持大小，或者仅被证明仅工作对于产品分布的具体例子。我们介绍了一般方法，我们调用DownS采样，解决了这些问题。 Downs采样使用对产品分布的“直线等异仪”的概念，这进一步加强了等偏移，测试和学习之间的连接。使用这种技术，我们在$ \ mathbb {r} ^ d $的产品分布下获得了新的高效分布算法：1。用于函数$ [n] ^ d \的非自适应，单调单调测试的更简单证明\ {0,1 \} $，并改进了对未知产品分布的单调性的样本复杂性，从$ O（d ^ 7）$ [黑色，chakrabarty，＆seshadhri，soda 2020]到$ \ widetilde o（d ^ 3）$。 2.多项式禁止学习算法，用于恒定数量的半空间和恒定程度多项式阈值函数。 3. $ \ exp（o（d \ log（dk）））$ - 时间不可知学习算法，以及$ \ exp（o（d \ log（dk）））$ - 样本容差测试仪，用于$的函数K $凸套;和2 ^ {\ widetilde o（d）} $ satmas的单面测试仪，用于凸套。 4. $ \ exp（\ widetilde o（k \ sqrt d））$ - 时间可靠学习算法，以$ k $ -alternation函数，以及具有相同复杂性的基于样本的容忍测试仪。

我们研究了算法收到I.I.D的统计问题中对抗噪声模型的基本问题。从分发$ \ mathcal {d} $绘制。这些对手的定义指定了允许的损坏类型（噪声模型）以及可以进行这些损坏（适应性）;后者区别了唯一可以损坏分发$ \ mathcal {d} $和适应性对手的疏忽，这些对手可以损坏他们的腐败依赖于从$ \ mathcal {d} $绘制的特定样本$ s $。在这项工作中，我们调查了在文献中研究的所有噪声模型中是否有效地相当于自适应对手。具体而言，算法$ \ mathcal {a} $的行为可以在不受算法$ \ mathcal {a}'$的情况下始终受到适应性对手的存在的良好近似？我们的第一个结果表明，这确实是在所有合理的噪声模型下广泛的统计查询算法的情况。然后，我们显示在附加噪声的具体情况下，这种等价物适用于所有算法。最后，我们将所有算法和所有合理的噪声模型中的最丰富的一般性映射到最完整的普遍性的方法。

我们提出了两个关于量子计算机精确学习的新结果。首先，我们展示了如何从$ o（k ^ {1.5}（\ log k）^ 2）$统一量子示例的$ o（k ^ {1.5}（\ log k）^ 2）的$ k $ -fourier-sparse $ n $ -fourier-sparse $ n $ k $ -fourier-sparse $ n $ couber boolean函数。这改善了$ \ widetilde {\ theta}（kn）$统一的randuly \ emph {classical}示例（haviv和regev，ccc'15）。此外，我们提供了提高我们的$ \ widetilde {o}（k ^ {1.5}）美元的可能方向，通过证明k $-$ -fourier-稀疏的布尔函数的改进，通过提高Chang的Lemma。其次，如果可以使用$ q $量子会员查询可以完全学习概念类$ \ mathcal {c} $，则也可以使用$ o o \ left（\ frac {q ^ 2} {\ logq} \ log | \ mathcal {c} | \右）$ \ emph {classical}会员查询。这通过$ \ log q $ -factor来改善最佳的仿真结果（Servedio和Gortler，Sicomp'04）。

公司跨行业对机器学习（ML）的快速传播采用了重大的监管挑战。一个这样的挑战就是可伸缩性：监管机构如何有效地审核这些ML模型，以确保它们是公平的？在本文中，我们启动基于查询的审计算法的研究，这些算法可以以查询有效的方式估算ML模型的人口统计学率。我们提出了一种最佳的确定性算法，以及具有可比保证的实用随机，甲骨文效率的算法。此外，我们进一步了解了随机活动公平估计算法的最佳查询复杂性。我们对主动公平估计的首次探索旨在将AI治理置于更坚定的理论基础上。

我们研究了Massart噪声存在下PAC学习半空间的复杂性。在这个问题中，我们得到了I.I.D.标记的示例$（\ mathbf {x}，y）\ in \ mathbb {r}^n \ times \ {\ pm 1 \} $，其中$ \ mathbf {x} $的分布是任意的，标签$ y y y y y y。 $是$ f（\ mathbf {x}）$的MassArt损坏，对于未知的半空间$ f：\ mathbb {r}^n \ to \ to \ {\ pm 1 \} $，带有翻转概率$ \ eta（\ eta）（\ eta） Mathbf {x}）\ leq \ eta <1/2 $。学习者的目的是计算一个小于0-1误差的假设。我们的主要结果是该学习问题的第一个计算硬度结果。具体而言，假设学习错误（LWE）问题（LWE）问题的（被认为是广泛的）超指定时间硬度，我们表明，即使最佳，也没有多项式时间MassArt Halfspace学习者可以更好地达到错误的错误，即使是最佳0-1错误很小，即$ \ mathrm {opt} = 2^{ - \ log^{c}（n）} $对于任何通用常数$ c \ in（0，1）$。先前的工作在统计查询模型中提供了定性上类似的硬度证据。我们的计算硬度结果基本上可以解决Massart Halfspaces的多项式PAC可学习性，这表明对该问题的已知有效学习算法几乎是最好的。