我们提出了两个关于量子计算机精确学习的新结果。首先，我们展示了如何从$ o（k ^ {1.5}（\ log k）^ 2）$统一量子示例的$ o（k ^ {1.5}（\ log k）^ 2）的$ k $ -fourier-sparse $ n $ -fourier-sparse $ n $ k $ -fourier-sparse $ n $ couber boolean函数。这改善了$ \ widetilde {\ theta}（kn）$统一的randuly \ emph {classical}示例（haviv和regev，ccc'15）。此外，我们提供了提高我们的$ \ widetilde {o}（k ^ {1.5}）美元的可能方向，通过证明k $-$ -fourier-稀疏的布尔函数的改进，通过提高Chang的Lemma。其次，如果可以使用$ q $量子会员查询可以完全学习概念类$ \ mathcal {c} $，则也可以使用$ o o \ left（\ frac {q ^ 2} {\ logq} \ log | \ mathcal {c} | \右）$ \ emph {classical}会员查询。这通过$ \ log q $ -factor来改善最佳的仿真结果（Servedio和Gortler，Sicomp'04）。

我们建立了量子算法设计与电路下限之间的第一一般连接。具体来说，让$ \ mathfrak {c} $是一类多项式大小概念，假设$ \ mathfrak {c} $可以在统一分布下的成员查询，错误$ 1/2 - \ gamma $通过时间$ t $量子算法。我们证明如果$ \ gamma ^ 2 \ cdot t \ ll 2 ^ n / n $，则$ \ mathsf {bqe} \ nsubseteq \ mathfrak {c} $，其中$ \ mathsf {bqe} = \ mathsf {bque} [2 ^ {o（n）}] $是$ \ mathsf {bqp} $的指数时间模拟。在$ \ gamma $和$ t $中，此结果是最佳的，因为它不难学习（经典）时间$ t = 2 ^ n $（没有错误） ，或在Quantum Time $ t = \ mathsf {poly}（n）$以傅立叶采样为单位为1/2美元（2 ^ { - n / 2}）$。换句话说，即使对这些通用学习算法的边际改善也会导致复杂性理论的主要后果。我们的证明在学习理论，伪随机性和计算复杂性的几个作品上构建，并且至关重要地，在非凡的经典学习算法与由Oliveira和Santhanam建立的电路下限之间的联系（CCC 2017）。扩展他们对量子学习算法的方法，结果产生了重大挑战。为此，我们展示了伪随机发电机如何以通用方式意味着学习到较低的连接，构建针对均匀量子计算的第一个条件伪随机发生器，并扩展了Impagliazzo，JaiSwal的本地列表解码算法。 ，Kabanets和Wigderson（Sicomp 2010）通过微妙的分析到量子电路。我们认为，这些贡献是独立的兴趣，可能会发现其他申请。

我们使用对单个的，相同的$ d $维状态的相同副本进行的测量来研究量子断层扫描和阴影断层扫描的问题。我们首先因Haah等人而重新审视已知的下限。 （2017年）在痕量距离上具有准确性$ \ epsilon $的量子断层扫描，当测量选择与先前观察到的结果无关（即它们是非适应性的）时。我们简要地证明了这一结果。当学习者使用具有恒定结果数量的测量值时，这会导致更强的下限。特别是，这严格确定了民间传说的最佳性``Pauli phymography''算法的样本复杂性。我们还得出了$ \ omega（r^2 d/\ epsilon^2）$和$ \ omega（r^2 d/\ epsilon^2）的新颖界限（ R^2 d^2/\ epsilon^2）$用于学习排名$ r $状态，分别使用任意和恒定的结果测量，在非适应性情况下。除了样本复杂性，对于学习量子的实际意义，是一种实际意义的资源状态是算法使用的不同测量值的数量。我们将下限扩展到学习者从固定的$ \ exp（o（d））$测量的情况下进行自适应测量的情况。这特别意味着适应性。没有使用可有效实现的单拷贝测量结果给我们任何优势。在目标是预测给定的可观察到给定序列的期望值的情况下，我们还获得了类似的界限，该任务被称为阴影层析成像。在适应性的情况下单拷贝测量可通过多项式大小的电路实现，我们证明了基于计算给定可观察物的样本平均值的直接策略是最佳的。

Learning about physical systems from quantum-enhanced experiments, relying on a quantum memory and quantum processing, can outperform learning from experiments in which only classical memory and processing are available. Whereas quantum advantages have been established for a variety of state learning tasks, quantum process learning allows for comparable advantages only with a careful problem formulation and is less understood. We establish an exponential quantum advantage for learning an unknown $n$-qubit quantum process $\mathcal{N}$. We show that a quantum memory allows to efficiently solve the following tasks: (a) learning the Pauli transfer matrix of an arbitrary $\mathcal{N}$, (b) predicting expectation values of bounded Pauli-sparse observables measured on the output of an arbitrary $\mathcal{N}$ upon input of a Pauli-sparse state, and (c) predicting expectation values of arbitrary bounded observables measured on the output of an unknown $\mathcal{N}$ with sparse Pauli transfer matrix upon input of an arbitrary state. With quantum memory, these tasks can be solved using linearly-in-$n$ many copies of the Choi state of $\mathcal{N}$, and even time-efficiently in the case of (b). In contrast, any learner without quantum memory requires exponentially-in-$n$ many queries, even when querying $\mathcal{N}$ on subsystems of adaptively chosen states and performing adaptively chosen measurements. In proving this separation, we extend existing shadow tomography upper and lower bounds from states to channels via the Choi-Jamiolkowski isomorphism. Moreover, we combine Pauli transfer matrix learning with polynomial interpolation techniques to develop a procedure for learning arbitrary Hamiltonians, which may have non-local all-to-all interactions, from short-time dynamics. Our results highlight the power of quantum-enhanced experiments for learning highly complex quantum dynamics.

我们表明，具有“低稳定器复杂性”的量子状态可以有效地与HAAR随机区分开。具体而言，给定$ n $ qubit的纯状态$ | \ psi \ rangle $，我们给出了一种有效的算法，以区分$ | \ psi \ rangle $是（i）haar-random或（ii）具有稳定器保真度的状态至少$ \ frac {1} {k} $（即，具有一些稳定器状态的保真度至少$ \ frac {1} {k} $），保证就是其中之一。使用Black-box访问$ | \ psi \ rangle $，我们的算法使用$ o \！\ left（k^{12} \ log（1/\ delta）\ right）$ copies $ | \ psi \ rangle $和$ o \！\ left（n k^{12} \ log（1/\ delta）\ right）$ $时间以概率至少$ 1- \ delta $成功，并且随着访问状态准备统一，以$ | | \ psi \ rangle $（及其倒数），$ o \！\ left（k^{3} \ log（1/\ delta）\ right）$ queries和$ o \！\！ log（1/\ delta）\ right）$时间就足够了。作为推论，我们证明$ \ omega（\ log（n））$ $ t $ - 盖特对于任何Clifford+$ t $ circile都是必不可少的，以准备计算上的pseudorandom Quantum Quantum state，这是一种首要的下限。

我们研究无名概率分布的无分发物业测试和学习问题是超过$ \ mathbb {r} ^ d $的产品分布。对于许多重要的功能，例如半空间，多项式阈值函数，凸集和$ k $ -alternation函数的交叉点，所知的算法具有复杂性，这取决于分配的支持大小，或者仅被证明仅工作对于产品分布的具体例子。我们介绍了一般方法，我们调用DownS采样，解决了这些问题。 Downs采样使用对产品分布的“直线等异仪”的概念，这进一步加强了等偏移，测试和学习之间的连接。使用这种技术，我们在$ \ mathbb {r} ^ d $的产品分布下获得了新的高效分布算法：1。用于函数$ [n] ^ d \的非自适应，单调单调测试的更简单证明\ {0,1 \} $，并改进了对未知产品分布的单调性的样本复杂性，从$ O（d ^ 7）$ [黑色，chakrabarty，＆seshadhri，soda 2020]到$ \ widetilde o（d ^ 3）$。 2.多项式禁止学习算法，用于恒定数量的半空间和恒定程度多项式阈值函数。 3. $ \ exp（o（d \ log（dk）））$ - 时间不可知学习算法，以及$ \ exp（o（d \ log（dk）））$ - 样本容差测试仪，用于$的函数K $凸套;和2 ^ {\ widetilde o（d）} $ satmas的单面测试仪，用于凸套。 4. $ \ exp（\ widetilde o（k \ sqrt d））$ - 时间可靠学习算法，以$ k $ -alternation函数，以及具有相同复杂性的基于样本的容忍测试仪。

The Forster transform is a method of regularizing a dataset by placing it in {\em radial isotropic position} while maintaining some of its essential properties. Forster transforms have played a key role in a diverse range of settings spanning computer science and functional analysis. Prior work had given {\em weakly} polynomial time algorithms for computing Forster transforms, when they exist. Our main result is the first {\em strongly polynomial time} algorithm to compute an approximate Forster transform of a given dataset or certify that no such transformation exists. By leveraging our strongly polynomial Forster algorithm, we obtain the first strongly polynomial time algorithm for {\em distribution-free} PAC learning of halfspaces. This learning result is surprising because {\em proper} PAC learning of halfspaces is {\em equivalent} to linear programming. Our learning approach extends to give a strongly polynomial halfspace learner in the presence of random classification noise and, more generally, Massart noise.

我们提出了第一近最优量子算法，用于估计欧几里德的规范，与有限均值和协方差的矢量值随机变量的平均值。我们的结果旨在将多元子高斯估计的理论延伸到量子设置。与经典上不同，如果任何单变量估计器都可以在维度中最多的对数开销转换为多变量估计器，则不会在量子设置中证明类似的结果。实际上，当样品复杂性小于尺寸时，Heinrich排除了平均估计问题的量子优势。我们的主要结果是表明，在这种低精度的方案之外，有一个量子估计值优于任何经典估算器。我们的方法比单变量设置大致涉及，大多数量子估计人员依赖于相位估计。我们利用各种额外的算法技术，如幅度放大，伯恩斯坦 - Vazirani算法和量子奇异值转换。我们的分析还使用多元截断统计的浓度不等式。我们以前在文献中出现的两个不同输入模型中的Quantum估算器。第一个提供对随机变量的二进制表示的相干访问，并且它包含经典设置。在第二模型中，随机变量直接编码到量子寄存器的相位中。该模型在许多量子算法中自然出现，但常常具有古典样品通常是无与伦比的。我们将我们的技术调整为这两个设置，我们表明第二种模型严格较弱，以解决平均估计问题。最后，我们描述了我们的算法的几个应用，特别是在测量通勤可观察到的期望值和机器学习领域时。

套索和山脊是机器学习和统计数据中重要的最小化问题。它们是线性回归的版本，具有平方损耗，其中$ \ theta \ in \ mathbb {r}^d $ of系数的$ \ ell_1 $ -norm（对于lasso）或$ \ ell_2 $ norm（in $ \ ell_2 $ norm）（对于山脊）。我们研究了针对这些最小化问题的$ \ varepsilon $ - 二聚体的量子算法的复杂性。我们表明，对于拉索，我们可以通过加快弗兰克 - 沃尔夫算法的每题来获得$ d $的二次量子加速，而对于ridge来说，最好的量子算法是$ d $的线性，就像$ d $一样最好的古典算法。作为套索的量子下限的副产品，我们还证明了套索的第一个经典下限，该结构紧密地属于polyg因子。

我们重新审视量子状态认证的基本问题：给定混合状态$ \ rho \中的副本\ mathbb {c} ^ {d \ times d} $和混合状态$ \ sigma $的描述，决定是否$ \ sigma = \ rho $或$ \ | \ sigma - \ rho \ | _ {\ mathsf {tr}} \ ge \ epsilon $。当$ \ sigma $最大化时，这是混合性测试，众所周知，$ \ omega（d ^ {\ theta（1）} / \ epsilon ^ 2）$副本是必要的，所以确切的指数取决于测量类型学习者可以使[OW15，BCL20]，并且在许多这些设置中，有一个匹配的上限[OW15，Bow19，BCL20]。可以避免这种$ d ^ {\ theta（1）} $依赖于某些类型的混合状态$ \ sigma $，例如。大约低等级的人？更常见地，是否存在一个简单的功能$ f：\ mathbb {c} ^ {d \ times d} \ to \ mathbb {r} _ {\ ge 0} $，其中一个人可以显示$ \ theta（f（ \ sigma）/ \ epsilon ^ 2）$副本是必要的，并且足以就任何$ \ sigma $的国家认证？这种实例 - 最佳边界在经典分布测试的背景下是已知的，例如， [VV17]。在这里，我们为量子设置提供了这个性质的第一个界限，显示（达到日志因子），即使用非接受不连贯测量的状态认证的复杂性复杂性基本上是通过复制复杂性进行诸如$ \ sigma $之间的保真度的复杂性。和最大混合的状态。令人惊讶的是，我们的界限与经典问题的实例基本上不同，展示了两个设置之间的定性差异。

我们研究了学习哈密顿$ h $ to precision $ \ varepsilon $的问题，假设我们将获得其gibbs state $ \ rho = \ exp（ - \ beta h）/\ operatoratorname {tr}（\ exp（\ exp）（ - \ beta h））$在已知的反温度$ \ beta $处。 Anshu，Arunachalam，Kuwahara和Soleimanifar（Nature Physics，2021，Arxiv：2004.07266）最近研究了此问题的样品复杂性（需要$ \ rho $的副本数量）。在高温（低$ \ beta $）制度中，他们的算法具有样品复杂性poly poly $（n，1/\ beta，1/\ varepsilon）$，并且可以用多项式但次优的时间复杂性实现。在本文中，我们研究了更一般的哈密顿人的同样问题。我们展示了如何学习哈密顿量的系数到错误$ \ varepsilon $带有样本复杂性$ s = o（\ log n/（\ beta \ varepsilon）^{2}）$和样本大小的时间复杂性，$ o（s n）$。此外，我们证明了匹配的下限，表明我们算法的样品复杂性是最佳的，因此我们的时间复杂性也是最佳的。在附录中，我们证明，几乎可以使用相同的算法来从实时进化的统一$ e^{ - it H} $中学习$ h $，其中具有相似的示例和时间复杂性的小$ t $制度。

我们研究了在存在$ \ epsilon $ - 对抗异常值的高维稀疏平均值估计的问题。先前的工作为此任务获得了该任务的样本和计算有效算法，用于辅助性Subgaussian分布。在这项工作中，我们开发了第一个有效的算法，用于强大的稀疏平均值估计，而没有对协方差的先验知识。对于$ \ Mathbb r^d $上的分布，带有“认证有限”的$ t $ tum-矩和足够轻的尾巴，我们的算法达到了$ o（\ epsilon^{1-1/t}）$带有样品复杂性$的错误（\ epsilon^{1-1/t}） m =（k \ log（d））^{o（t）}/\ epsilon^{2-2/t} $。对于高斯分布的特殊情况，我们的算法达到了$ \ tilde o（\ epsilon）$的接近最佳错误，带有样品复杂性$ m = o（k^4 \ mathrm {polylog}（d）（d））/\ epsilon^^ 2 $。我们的算法遵循基于方形的总和，对算法方法的证明。我们通过统计查询和低度多项式测试的下限来补充上限，提供了证据，表明我们算法实现的样本时间 - 错误权衡在质量上是最好的。

尽管经过多年的努力，但在经典数据的情况下，量子机学习社区只能显示出某些人为加密启发的数据集的量子学习优势。在本说明中，我们讨论了发现学习问题的挑战，即量子学习算法可以比任何经典学习算法更快学习，并研究如何识别此类学习问题。具体而言，我们反思了与此问题有关的计算学习理论中的主要概念，并讨论定义的细微变化在概念上意味着显着不同的任务，这可能会导致分离或根本没有分离。此外，我们研究了现有的学习问题，并具有可证明的量子加速，以提炼一组更一般和充分的条件（即``清单''），以表现出在经典学习者和量子学习者之间的分离的学习问题。这些清单旨在简化一个人的方法来证明学习问题或阐明瓶颈的量子加速。最后，为了说明其应用，我们分析了潜在分离的示例（即，当学习问题是从计算分离中或数据来自量子实验时）通过我们的方法的镜头进行分析。

聚类是无监督学习中的基本原始，它引发了丰富的计算挑战性推理任务。在这项工作中，我们专注于将$ D $ -dimential高斯混合的规范任务与未知（和可能的退化）协方差集成。最近的作品（Ghosh等人。恢复在高斯聚类实例中种植的某些隐藏结构。在许多类似的推理任务上的工作开始，这些较低界限强烈建议存在群集的固有统计到计算间隙，即群集任务是\ yringit {statistically}可能但没有\ texit {多项式 - 时间}算法成功。我们考虑的聚类任务的一个特殊情况相当于在否则随机子空间中找到种植的超立体载体的问题。我们表明，也许令人惊讶的是，这种特定的聚类模型\ extent {没有展示}统计到计算间隙，即使在这种情况下继续应用上述的低度和SOS下限。为此，我们提供了一种基于Lenstra - Lenstra - Lovasz晶格基础减少方法的多项式算法，该方法实现了$ D + 1 $样本的统计上最佳的样本复杂性。该结果扩展了猜想统计到计算间隙的问题的类问题可以通过“脆弱”多项式算法“关闭”，突出显示噪声在统计到计算间隙的发作中的关键而微妙作用。

我们对解决几个自然学习问题的一通流算法所需的记忆量给出了下限。在$ \ {0,1 \}^d $中的示例的环境中，可以使用$ \ kappa $ bits对最佳分类器进行编码，我们表明，使用近距离数量的示例学习的算法，$ \ tilde o（\ kappa）$，必须使用$ \ tilde \ omega（d \ kappa）$空间。我们的空间界限与问题自然参数化的环境空间的维度相匹配，即使在示例和最终分类器的大小上是二次的。例如，在$ d $ -sparse线性分类器的设置中，$ \ kappa = \ theta（d \ log d）$，我们的空间下限是$ \ tilde \ omega（d^^^ 2）$。我们的边界与流长$ n $优雅地降级，通常具有$ \ tilde \ omega \ left（d \ kappa \ cdot \ frac \ frac {\ kappa} {n} {n} \ right）$。 $ \ omega（d \ kappa）$的形式的界限以学习奇偶校验和有限字段定义的其他问题而闻名。在狭窄的样本量范围内适用的边界也以线性回归而闻名。对于最近学习应用程序中常见的类型的问题，我们的第一个范围是适用于各种输入尺寸的问题。

Learning problems form an important category of computational tasks that generalizes many of the computations researchers apply to large real-life data sets. We ask: what concept classes can be learned privately, namely, by an algorithm whose output does not depend too heavily on any one input or specific training example? More precisely, we investigate learning algorithms that satisfy differential privacy, a notion that provides strong confidentiality guarantees in contexts where aggregate information is released about a database containing sensitive information about individuals.Our goal is a broad understanding of the resources required for private learning in terms of samples, computation time, and interaction. We demonstrate that, ignoring computational constraints, it is possible to privately agnostically learn any concept class using a sample size approximately logarithmic in the cardinality of the concept class. Therefore, almost anything learnable is learnable privately: specifically, if a concept class is learnable by a (non-private) algorithm with polynomial sample complexity and output size, then it can be learned privately using a polynomial number of samples. We also present a computationally efficient private PAC learner for the class of parity functions. This result dispels the similarity between learning with noise and private learning (both must be robust to small changes in inputs), since parity is thought to be very hard to learn given random classification noise.Local (or randomized response) algorithms are a practical class of private algorithms that have received extensive investigation. We provide a precise characterization of local private learning algorithms. We show that a concept class is learnable by a local algorithm if and only if it is learnable in the statistical query (SQ) model. Therefore, for local private learning algorithms, the similarity to learning with noise is stronger: local learning is equivalent to SQ learning, and SQ algorithms include most known noise-tolerant learning algorithms. Finally, we present a separation between the power of interactive and noninteractive local learning algorithms. Because of the equivalence to SQ learning, this result also separates adaptive and nonadaptive SQ learning.

数据驱动的算法可以通过从输入的训练样本中学习，可以使其内部结构或参数适应来自未知应用程序特定分布的输入。最近的一些作品将这种方法应用于数值线性代数中的问题，获得了绩效的显着经验增长。然而，尚无理论上的成功解释。在这项工作中，我们证明了这些算法的概括范围，在Gupta和Roughgarden提出的数据驱动算法选择的PAC学习框架内（Sicomp 2017）。我们的主要结果与Indyk等人的基于学习的低级近似算法的脂肪破碎维度紧密匹配（Neurips 2019）。我们的技术是一般的，并为数值线性代数中的许多其他最近提出的数据驱动算法提供了概括，涵盖了基于草图的基于草图的方法和基于多机的方法。这大大扩展了可用的PAC学习分析的数据驱动算法类别。

我们显示出与错误（LWE）问题的经典学习之间的直接和概念上的简单减少，其连续类似物（Bruna，Regev，Song and Tang，STOC 2021）。这使我们能够将基于LWE的密码学的强大机械带到Clwe的应用中。例如，我们在GAP最短矢量问题的经典最坏情况下获得了Clwe的硬度。以前，这仅在晶格问题的量子最坏情况下才知道。更广泛地说，随着我们在两个问题之间的减少，LWE的未来发展也将适用于CLWE及其下游应用程序。作为一种具体的应用，我们显示了高斯混合物密度估计的硬度结果改善。在此计算问题中，给定样品访问高斯人的混合物，目标是输出估计混合物密度函数的函数。在经典LWE问题的（合理且被广泛相信的）指数硬度下，我们表明高斯混合物密度估计$ \ Mathbb {r}^n $，大约$ \ log n $ gaussian组件给定$ \ mathsf {poly}（poly}（poly}（poly}）） n）$样品需要$ n $的时间准分线性。在LWE的（保守）多项式硬度下，我们显示出$ n^{\ epsilon} $高斯的密度估计，对于任何常数$ \ epsilon> 0 $，它可以改善Bruna，Regev，Song和Tang（Stoc 2021） ，在多项式（量子）硬度假设下，他们至少以$ \ sqrt {n} $高斯的表现表现出硬度。我们的关键技术工具是从古典LWE到LWE的缩短，并使用$ k $ -sparse Secrets，其中噪声的乘法增加仅为$ o（\ sqrt {k}）$，与环境尺寸$ n $无关。

我们研究了Massart噪声的PAC学习半圆的问题。给定标记的样本$（x，y）$从$ \ mathbb {r} ^ {d} ^ {d} \ times \ times \ {\ pm 1 \} $，这样的例子是任意的和标签$ y $ y $ y $ x $是由按萨塔特对手损坏的目标半空间与翻转概率$ \ eta（x）\ leq \ eta \ leq 1/2 $，目标是用小小的假设计算假设错误分类错误。这个问题的最佳已知$ \ mathrm {poly}（d，1 / \ epsilon）$时间算法实现$ \ eta + \ epsilon $的错误，这可能远离$ \ mathrm {opt} +的最佳界限\ epsilon $，$ \ mathrm {opt} = \ mathbf {e} _ {x \ sim d_x} [\ eta（x）] $。虽然已知实现$ \ mathrm {opt} + O（1）$误差需要超级多项式时间在统计查询模型中，但是在已知的上限和下限之间存在大的间隙。在这项工作中，我们基本上表征了统计查询（SQ）模型中Massart HalfSpaces的有效可读性。具体来说，我们表明，在$ \ mathbb {r} ^ d $中没有高效的sq算法用于学习massart halfpaces ^ d $可以比$ \ omega（\ eta）$更好地实现错误，即使$ \ mathrm {opt} = 2 ^ { - - \ log ^ {c}（d）$，适用于任何通用常量$ c \ in（0,1）$。此外，当噪声上限$ \ eta $接近$ 1/2 $时，我们的错误下限变为$ \ eta - o _ {\ eta}（1）$，其中$ o _ {\ eta}（1）$当$ \ eta $接近$ 1/2 $时，术语达到0美元。我们的结果提供了强有力的证据表明，大规模半空间的已知学习算法几乎是最可能的，从而解决学习理论中的长期开放问题。

我们提出了一个算法框架，用于近距离矩阵上的量子启发的经典算法，概括了Tang的突破性量子启发算法开始的一系列结果，用于推荐系统[STOC'19]。由量子线性代数算法和gily \'en，su，low和wiebe [stoc'19]的量子奇异值转换（SVT）框架[SVT）的动机[STOC'19]，我们开发了SVT的经典算法合适的量子启发的采样假设。我们的结果提供了令人信服的证据，表明在相应的QRAM数据结构输入模型中，量子SVT不会产生指数量子加速。由于量子SVT框架基本上概括了量子线性代数的所有已知技术，因此我们的结果与先前工作的采样引理相结合，足以概括所有有关取消量子机器学习算法的最新结果。特别是，我们的经典SVT框架恢复并经常改善推荐系统，主成分分析，监督聚类，支持向量机器，低秩回归和半决赛程序解决方案的取消结果。我们还为汉密尔顿低级模拟和判别分析提供了其他取消化结果。我们的改进来自识别量子启发的输入模型的关键功能，该模型是所有先前量子启发的结果的核心：$ \ ell^2 $ -Norm采样可以及时近似于其尺寸近似矩阵产品。我们将所有主要结果减少到这一事实，使我们的简洁，独立和直观。