我们研究了算法收到I.I.D的统计问题中对抗噪声模型的基本问题。从分发$ \ mathcal {d} $绘制。这些对手的定义指定了允许的损坏类型(噪声模型)以及可以进行这些损坏(适应性);后者区别了唯一可以损坏分发$ \ mathcal {d} $和适应性对手的疏忽,这些对手可以损坏他们的腐败依赖于从$ \ mathcal {d} $绘制的特定样本$ s $。在这项工作中,我们调查了在文献中研究的所有噪声模型中是否有效地相当于自适应对手。具体而言,算法$ \ mathcal {a} $的行为可以在不受算法$ \ mathcal {a}'$的情况下始终受到适应性对手的存在的良好近似?我们的第一个结果表明,这确实是在所有合理的噪声模型下广泛的统计查询算法的情况。然后,我们显示在附加噪声的具体情况下,这种等价物适用于所有算法。最后,我们将所有算法和所有合理的噪声模型中的最丰富的一般性映射到最完整的普遍性的方法。
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我们研究了在存在$ \ epsilon $ - 对抗异常值的高维稀疏平均值估计的问题。先前的工作为此任务获得了该任务的样本和计算有效算法,用于辅助性Subgaussian分布。在这项工作中,我们开发了第一个有效的算法,用于强大的稀疏平均值估计,而没有对协方差的先验知识。对于$ \ Mathbb r^d $上的分布,带有“认证有限”的$ t $ tum-矩和足够轻的尾巴,我们的算法达到了$ o(\ epsilon^{1-1/t})$带有样品复杂性$的错误(\ epsilon^{1-1/t}) m =(k \ log(d))^{o(t)}/\ epsilon^{2-2/t} $。对于高斯分布的特殊情况,我们的算法达到了$ \ tilde o(\ epsilon)$的接近最佳错误,带有样品复杂性$ m = o(k^4 \ mathrm {polylog}(d)(d))/\ epsilon^^ 2 $。我们的算法遵循基于方形的总和,对算法方法的证明。我们通过统计查询和低度多项式测试的下限来补充上限,提供了证据,表明我们算法实现的样本时间 - 错误权衡在质量上是最好的。
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我们建立了最佳的统计查询(SQ)下限,以鲁棒地学习某些离散高维分布的家庭。特别是,我们表明,没有访问$ \ epsilon $ -Cruntupted二进制产品分布的有效SQ算法可以在$ \ ell_2 $ -error $ o(\ epsilon \ sqrt {\ log(\ log(1/\ epsilon))内学习其平均值})$。同样,我们表明,没有访问$ \ epsilon $ - 腐败的铁磁高温岛模型的有效SQ算法可以学习到总变量距离$ O(\ Epsilon \ log(1/\ Epsilon))$。我们的SQ下限符合这些问题已知算法的错误保证,提供证据表明这些任务的当前上限是最好的。在技​​术层面上,我们为离散的高维分布开发了一个通用的SQ下限,从低维矩匹配构建体开始,我们认为这将找到其他应用程序。此外,我们介绍了新的想法,以分析这些矩匹配的结构,以进行离散的单变量分布。
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可实现和不可知性的可读性的等价性是学习理论的基本现象。与PAC学习和回归等古典设置范围的变种,近期趋势,如对冲强劲和私人学习,我们仍然缺乏统一理论;等同性的传统证据往往是不同的,并且依赖于强大的模型特异性假设,如统一的收敛和样本压缩。在这项工作中,我们给出了第一个独立的框架,解释了可实现和不可知性的可读性的等价性:三行黑箱减少简化,统一,并在各种各样的环境中扩展了我们的理解。这包括没有已知的学报的模型,例如学习任意分布假设或一般损失,以及许多其他流行的设置,例如强大的学习,部分学习,公平学习和统计查询模型。更一般地,我们认为可实现和不可知的学习的等价性实际上是我们调用属性概括的更广泛现象的特殊情况:可以满足有限的学习算法(例如\噪声公差,隐私,稳定性)的任何理想性质假设类(可能在某些变化中)延伸到任何学习的假设类。
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我们研究了Massart噪声的PAC学习半圆的问题。给定标记的样本$(x,y)$从$ \ mathbb {r} ^ {d} ^ {d} \ times \ times \ {\ pm 1 \} $,这样的例子是任意的和标签$ y $ y $ y $ x $是由按萨塔特对手损坏的目标半空间与翻转概率$ \ eta(x)\ leq \ eta \ leq 1/2 $,目标是用小小的假设计算假设错误分类错误。这个问题的最佳已知$ \ mathrm {poly}(d,1 / \ epsilon)$时间算法实现$ \ eta + \ epsilon $的错误,这可能远离$ \ mathrm {opt} +的最佳界限\ epsilon $,$ \ mathrm {opt} = \ mathbf {e} _ {x \ sim d_x} [\ eta(x)] $。虽然已知实现$ \ mathrm {opt} + O(1)$误差需要超级多项式时间在统计查询模型中,但是在已知的上限和下限之间存在大的间隙。在这项工作中,我们基本上表征了统计查询(SQ)模型中Massart HalfSpaces的有效可读性。具体来说,我们表明,在$ \ mathbb {r} ^ d $中没有高效的sq算法用于学习massart halfpaces ^ d $可以比$ \ omega(\ eta)$更好地实现错误,即使$ \ mathrm {opt} = 2 ^ { - - \ log ^ {c}(d)$,适用于任何通用常量$ c \ in(0,1)$。此外,当噪声上限$ \ eta $接近$ 1/2 $时,我们的错误下限变为$ \ eta - o _ {\ eta}(1)$,其中$ o _ {\ eta}(1)$当$ \ eta $接近$ 1/2 $时,术语达到0美元。我们的结果提供了强有力的证据表明,大规模半空间的已知学习算法几乎是最可能的,从而解决学习理论中的长期开放问题。
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使用增强的框架,我们证明所有基于杂质的决策树学习算法(包括经典的ID3,C4.5和CART)都具有很高的噪音耐受性。我们的保证在讨厌的噪声的最强噪声模型下保持,我们在允许的噪声速率上提供了近乎匹配的上和下限。我们进一步表明,这些算法简单,长期以来一直是日常机器学习的核心,在嘈杂的环境中享受可证明的保证,这些环境是由关于决策树学习的理论文献中现有算法无与伦比的。综上所述,我们的结果增加了一项持续的研究线,该研究旨在将这些实际决策树算法的经验成功放在牢固的理论基础上。
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Learning problems form an important category of computational tasks that generalizes many of the computations researchers apply to large real-life data sets. We ask: what concept classes can be learned privately, namely, by an algorithm whose output does not depend too heavily on any one input or specific training example? More precisely, we investigate learning algorithms that satisfy differential privacy, a notion that provides strong confidentiality guarantees in contexts where aggregate information is released about a database containing sensitive information about individuals.Our goal is a broad understanding of the resources required for private learning in terms of samples, computation time, and interaction. We demonstrate that, ignoring computational constraints, it is possible to privately agnostically learn any concept class using a sample size approximately logarithmic in the cardinality of the concept class. Therefore, almost anything learnable is learnable privately: specifically, if a concept class is learnable by a (non-private) algorithm with polynomial sample complexity and output size, then it can be learned privately using a polynomial number of samples. We also present a computationally efficient private PAC learner for the class of parity functions. This result dispels the similarity between learning with noise and private learning (both must be robust to small changes in inputs), since parity is thought to be very hard to learn given random classification noise.Local (or randomized response) algorithms are a practical class of private algorithms that have received extensive investigation. We provide a precise characterization of local private learning algorithms. We show that a concept class is learnable by a local algorithm if and only if it is learnable in the statistical query (SQ) model. Therefore, for local private learning algorithms, the similarity to learning with noise is stronger: local learning is equivalent to SQ learning, and SQ algorithms include most known noise-tolerant learning algorithms. Finally, we present a separation between the power of interactive and noninteractive local learning algorithms. Because of the equivalence to SQ learning, this result also separates adaptive and nonadaptive SQ learning.
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我们提出了改进的算法,并为身份测试$ n $维分布的问题提供了统计和计算下限。在身份测试问题中,我们将作为输入作为显式分发$ \ mu $,$ \ varepsilon> 0 $,并访问对隐藏分布$ \ pi $的采样甲骨文。目标是区分两个分布$ \ mu $和$ \ pi $是相同的还是至少$ \ varepsilon $ -far分开。当仅从隐藏分布$ \ pi $中访问完整样本时,众所周知,可能需要许多样本,因此以前的作品已经研究了身份测试,并额外访问了各种有条件采样牙齿。我们在这里考虑一个明显弱的条件采样甲骨文,称为坐标Oracle,并在此新模型中提供了身份测试问题的相当完整的计算和统计表征。我们证明,如果一个称为熵的分析属性为可见分布$ \ mu $保留,那么对于任何使用$ \ tilde {o}(n/\ tilde {o}),有一个有效的身份测试算法Varepsilon)$查询坐标Oracle。熵的近似张力是一种经典的工具,用于证明马尔可夫链的最佳混合时间边界用于高维分布,并且最近通过光谱独立性为许多分布族建立了最佳的混合时间。我们将算法结果与匹配的$ \ omega(n/\ varepsilon)$统计下键进行匹配的算法结果补充,以供坐标Oracle下的查询数量。我们还证明了一个计算相变:对于$ \ {+1,-1,-1 \}^n $以上的稀疏抗抗铁磁性模型,在熵失败的近似张力失败的状态下,除非RP = np,否则没有有效的身份测试算法。
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我们研究了测试有序域上的离散概率分布是否是指定数量的垃圾箱的直方图。$ k $的简洁近似值的最常见工具之一是$ k $ [n] $,是概率分布,在一组$ k $间隔上是分段常数的。直方图测试问题如下:从$ [n] $上的未知分布中给定样品$ \ mathbf {p} $,我们想区分$ \ mathbf {p} $的情况从任何$ k $ - 组织图中,总变化距离的$ \ varepsilon $ -far。我们的主要结果是针对此测试问题的样本接近最佳和计算有效的算法,以及几乎匹配的(在对数因素内)样品复杂性下限。具体而言,我们表明直方图测试问题具有样品复杂性$ \ widetilde \ theta(\ sqrt {nk} / \ varepsilon + k / \ varepsilon^2 + \ sqrt {n} / \ varepsilon^2)$。
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我们在高斯分布下使用Massart噪声与Massart噪声进行PAC学习半个空间的问题。在Massart模型中,允许对手将每个点$ \ mathbf {x} $的标签与未知概率$ \ eta(\ mathbf {x})\ leq \ eta $,用于某些参数$ \ eta \ [0,1 / 2] $。目标是找到一个假设$ \ mathrm {opt} + \ epsilon $的错误分类错误,其中$ \ mathrm {opt} $是目标半空间的错误。此前已经在两个假设下研究了这个问题:(i)目标半空间是同质的(即,分离超平面通过原点),并且(ii)参数$ \ eta $严格小于$ 1/2 $。在此工作之前,当除去这些假设中的任何一个时,不知道非增长的界限。我们研究了一般问题并建立以下内容:对于$ \ eta <1/2 $,我们为一般半个空间提供了一个学习算法,采用样本和计算复杂度$ d ^ {o_ {\ eta}(\ log(1 / \ gamma) )))}} \ mathrm {poly}(1 / \ epsilon)$,其中$ \ gamma = \ max \ {\ epsilon,\ min \ {\ mathbf {pr} [f(\ mathbf {x})= 1], \ mathbf {pr} [f(\ mathbf {x})= -1] \} \} $是目标半空间$ f $的偏差。现有的高效算法只能处理$ \ gamma = 1/2 $的特殊情况。有趣的是,我们建立了$ d ^ {\ oomega(\ log(\ log(\ log(\ log))}}的质量匹配的下限,而是任何统计查询(SQ)算法的复杂性。对于$ \ eta = 1/2 $,我们为一般半空间提供了一个学习算法,具有样本和计算复杂度$ o_ \ epsilon(1)d ^ {o(\ log(1 / epsilon))} $。即使对于均匀半空间的子类,这个结果也是新的;均匀Massart半个空间的现有算法为$ \ eta = 1/2 $提供可持续的保证。我们与D ^ {\ omega(\ log(\ log(\ log(\ log(\ epsilon))} $的近似匹配的sq下限补充了我们的上限,这甚至可以为同类半空间的特殊情况而保持。
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在这项工作中,我们研究了鲁布利地学习Mallows模型的问题。我们给出了一种算法,即使其样本的常数分数是任意损坏的恒定分数,也可以准确估计中央排名。此外,我们的稳健性保证是无关的,因为我们的整体准确性不依赖于排名的替代品的数量。我们的工作可以被认为是从算法稳健统计到投票和信息聚集中的中央推理问题之一的视角的自然输注。具体而言,我们的投票规则是有效的可计算的,并且通过一大群勾结的选民无法改变其结果。
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我们研究了用于线性回归的主动采样算法,该算法仅旨在查询目标向量$ b \ in \ mathbb {r} ^ n $的少量条目,并将近最低限度输出到$ \ min_ {x \ In \ mathbb {r} ^ d} \ | ax-b \ | $,其中$ a \ in \ mathbb {r} ^ {n \ times d} $是一个设计矩阵和$ \ | \ cdot \ | $是一些损失函数。对于$ \ ell_p $ norm回归的任何$ 0 <p <\ idty $,我们提供了一种基于Lewis权重采样的算法,其使用只需$ \ tilde {o}输出$(1+ \ epsilon)$近似解决方案(d ^ {\ max(1,{p / 2})} / \ mathrm {poly}(\ epsilon))$查询到$ b $。我们表明,这一依赖于$ D $是最佳的,直到对数因素。我们的结果解决了陈和Derezi的最近开放问题,陈和Derezi \'{n} Ski,他们为$ \ ell_1 $ norm提供了附近的最佳界限,以及$ p \中的$ \ ell_p $回归的次优界限(1,2) $。我们还提供了$ O的第一个总灵敏度上限(D ^ {\ max \ {1,p / 2 \} \ log ^ 2 n)$以满足最多的$ p $多项式增长。这改善了Tukan,Maalouf和Feldman的最新结果。通过将此与我们的技术组合起来的$ \ ell_p $回归结果,我们获得了一个使$ \ tilde o的活动回归算法(d ^ {1+ \ max \ {1,p / 2 \}} / \ mathrm {poly}。 (\ epsilon))$疑问,回答陈和德里兹的另一个打开问题{n}滑雪。对于Huber损失的重要特殊情况,我们进一步改善了我们对$ \ tilde o的主动样本复杂性的绑定(d ^ {(1+ \ sqrt2)/ 2} / \ epsilon ^ c)$和非活跃$ \ tilde o的样本复杂性(d ^ {4-2 \ sqrt 2} / \ epsilon ^ c)$,由于克拉克森和伍德拉夫而改善了Huber回归的以前的D ^ 4 $。我们的敏感性界限具有进一步的影响,使用灵敏度采样改善了各种先前的结果,包括orlicz规范子空间嵌入和鲁棒子空间近似。最后,我们的主动采样结果为每种$ \ ell_p $ norm提供的第一个Sublinear时间算法。
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在共享数据的统计学习和分析中,在联合学习和元学习等平台上越来越广泛地采用,有两个主要问题:隐私和鲁棒性。每个参与的个人都应该能够贡献,而不会担心泄露一个人的敏感信息。与此同时,系统应该在恶意参与者的存在中插入损坏的数据。最近的算法在学习中,学习共享数据专注于这些威胁中的一个,使系统容易受到另一个威胁。我们弥合了这个差距,以获得估计意思的规范问题。样品。我们介绍了素数,这是第一算法,实现了各种分布的隐私和鲁棒性。我们通过新颖的指数时间算法进一步补充了这一结果,提高了素数的样本复杂性,实现了近最优保证并匹配(非鲁棒)私有平均估计的已知下限。这证明没有额外的统计成本同时保证隐私和稳健性。
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我们介绍了一个普遍的框架,用于表征差异隐私保证的统计估算问题的统计效率。我们的框架,我们呼叫高维建议 - 试验释放(HPTR),在三个重要组件上建立:指数机制,强大的统计和提议 - 试验释放机制。将所有这些粘在一起是恢复力的概念,这是强大的统计估计的核心。弹性指导算法的设计,灵敏度分析和试验步骤的成功概率分析。关键识别是,如果我们设计了一种仅通过一维鲁棒统计数据访问数据的指数机制,则可以大大减少所产生的本地灵敏度。使用弹性,我们可以提供紧密的本地敏感界限。这些紧张界限在几个案例中容易转化为近乎最佳的实用程序。我们给出了将HPTR应用于统计估计问题的给定实例的一般配方,并在平均估计,线性回归,协方差估计和主成分分析的规范问题上证明了它。我们介绍了一般的公用事业分析技术,证明了HPTR几乎在文献中研究的若干场景下实现了最佳的样本复杂性。
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我们研究了Massart噪声存在下PAC学习半空间的复杂性。在这个问题中,我们得到了I.I.D.标记的示例$(\ mathbf {x},y)\ in \ mathbb {r}^n \ times \ {\ pm 1 \} $,其中$ \ mathbf {x} $的分布是任意的,标签$ y y y y y y。 $是$ f(\ mathbf {x})$的MassArt损坏,对于未知的半空间$ f:\ mathbb {r}^n \ to \ to \ {\ pm 1 \} $,带有翻转概率$ \ eta(\ eta)(\ eta) Mathbf {x})\ leq \ eta <1/2 $。学习者的目的是计算一个小于0-1误差的假设。我们的主要结果是该学习问题的第一个计算硬度结果。具体而言,假设学习错误(LWE)问题(LWE)问题的(被认为是广泛的)超指定时间硬度,我们表明,即使最佳,也没有多项式时间MassArt Halfspace学习者可以更好地达到错误的错误,即使是最佳0-1错误很小,即$ \ mathrm {opt} = 2^{ - \ log^{c}(n)} $对于任何通用常数$ c \ in(0,1)$。先前的工作在统计查询模型中提供了定性上类似的硬度证据。我们的计算硬度结果基本上可以解决Massart Halfspaces的多项式PAC可学习性,这表明对该问题的已知有效学习算法几乎是最好的。
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我们研究了$ N $节点上稳健地估计参数$ P $'ENY ACLY图的问题,其中$ \ gamma $小点的节点可能是对抗的。在展示规范估计器的缺陷之后,我们设计了一种计算上有效的频谱算法,估计$ P $高精度$ \ tilde o(\ sqrt {p(1-p)} / n + \ gamma \ sqrt {p(1-p)} / \ sqrt {n} + \ gamma / n)$ for $ \ gamma <1/60 $。此外,我们为所有$ \ Gamma <1/2 $,信息定理限制提供了一种效率低下的算法。最后,我们证明了几乎匹配的统计下限,表明我们的算法的错误是最佳的对数因子。
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我们给出了第一个多项式算法来估计$ d $ -variate概率分布的平均值,从$ \ tilde {o}(d)$独立的样本受到纯粹的差异隐私的界限。此问题的现有算法无论是呈指数运行时间,需要$ \ OMEGA(D ^ {1.5})$样本,或仅满足较弱的集中或近似差分隐私条件。特别地,所有先前的多项式算法都需要$ d ^ {1+ \ omega(1)} $ samples,以保证“加密”高概率,1-2 ^ { - d ^ {\ omega(1) $,虽然我们的算法保留$ \ tilde {o}(d)$ SAMPS复杂性即使在此严格设置中也是如此。我们的主要技术是使用强大的方块方法(SOS)来设计差异私有算法的新方法。算法的证据是在高维算法统计数据中的许多近期作品中的一个关键主题 - 显然需要指数运行时间,但可以通过低度方块证明可以捕获其分析可以自动变成多项式 - 时间算法具有相同的可证明担保。我们展示了私有算法的类似证据现象:工作型指数机制的实例显然需要指数时间,但可以用低度SOS样张分析的指数时间,可以自动转换为多项式差异私有算法。我们证明了捕获这种现象的元定理,我们希望在私人算法设计中广泛使用。我们的技术还在高维度之间绘制了差异私有和强大统计数据之间的新连接。特别是通过我们的校验算法镜头来看,几次研究的SOS证明在近期作品中的算法稳健统计中直接产生了我们差异私有平均估计算法的关键组成部分。
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我们给出了\ emph {list-codobable协方差估计}的第一个多项式时间算法。对于任何$ \ alpha> 0 $,我们的算法获取输入样本$ y \ subseteq \ subseteq \ mathbb {r}^d $ size $ n \ geq d^{\ mathsf {poly}(1/\ alpha)} $获得通过对抗损坏I.I.D的$(1- \ alpha)n $点。从高斯分布中的样本$ x $ size $ n $,其未知平均值$ \ mu _*$和协方差$ \ sigma _*$。在$ n^{\ mathsf {poly}(1/\ alpha)} $ time中,它输出$ k = k(\ alpha)=(1/\ alpha)^{\ mathsf {poly}的常数大小列表(1/\ alpha)} $候选参数,具有高概率,包含$(\ hat {\ mu},\ hat {\ sigma})$,使得总变化距离$ tv(\ Mathcal {n}(n})(n}(n})( \ mu _*,\ sigma _*),\ Mathcal {n}(\ hat {\ mu},\ hat {\ sigma}))<1-o _ {\ alpha}(1)$。这是距离的统计上最强的概念,意味着具有独立尺寸误差的参数的乘法光谱和相对Frobenius距离近似。我们的算法更普遍地适用于$(1- \ alpha)$ - 任何具有低度平方总和证书的分布$ d $的损坏,这是两个自然分析属性的:1)一维边际和抗浓度2)2度多项式的超收缩率。在我们工作之前,估计可定性设置的协方差的唯一已知结果是针对Karmarkar,Klivans和Kothari(2019),Raghavendra和Yau(2019和2019和2019和2019和2019年)的特殊情况。 2020年)和巴克西(Bakshi)和科塔里(Kothari)(2020年)。这些结果需要超级物理时间,以在基础维度中获得任何子构误差。我们的结果意味着第一个多项式\ emph {extcect}算法,用于列表可解码的线性回归和子空间恢复,尤其允许获得$ 2^{ - \ Mathsf { - \ Mathsf {poly}(d)} $多项式时间错误。我们的结果还意味着改进了用于聚类非球体混合物的算法。
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解决机器学习模型的公平关注是朝着实际采用现实世界自动化系统中的至关重要的一步。尽管已经开发了许多方法来从数据培训公平模型,但对这些方法对数据损坏的鲁棒性知之甚少。在这项工作中,我们考虑在最坏情况下的数据操作下进行公平意识学习。我们表明,在某些情况下,对手可能会迫使任何学习者返回过度偏见的分类器,无论样本量如何,有或没有降解的准确性,并且多余的偏见的强度会增加数据中数据不足的受保护组的学习问题,而数据中有代表性不足的组。我们还证明,我们的硬度结果紧密到不断的因素。为此,我们研究了两种自然学习算法,以优化准确性和公平性,并表明这些算法在损坏比和较大数据限制中受保护的群体频率方面享有订单最佳的保证。
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我们建立了量子算法设计与电路下限之间的第一一般连接。具体来说,让$ \ mathfrak {c} $是一类多项式大小概念,假设$ \ mathfrak {c} $可以在统一分布下的成员查询,错误$ 1/2 - \ gamma $通过时间$ t $量子算法。我们证明如果$ \ gamma ^ 2 \ cdot t \ ll 2 ^ n / n $,则$ \ mathsf {bqe} \ nsubseteq \ mathfrak {c} $,其中$ \ mathsf {bqe} = \ mathsf {bque} [2 ^ {o(n)}] $是$ \ mathsf {bqp} $的指数时间模拟。在$ \ gamma $和$ t $中,此结果是最佳的,因为它不难学习(经典)时间$ t = 2 ^ n $(没有错误) ,或在Quantum Time $ t = \ mathsf {poly}(n)$以傅立叶采样为单位为1/2美元(2 ^ { - n / 2})$。换句话说,即使对这些通用学习算法的边际改善也会导致复杂性理论的主要后果。我们的证明在学习理论,伪随机性和计算复杂性的几个作品上构建,并且至关重要地,在非凡的经典学习算法与由Oliveira和Santhanam建立的电路下限之间的联系(CCC 2017)。扩展他们对量子学习算法的方法,结果产生了重大挑战。为此,我们展示了伪随机发电机如何以通用方式意味着学习到较低的连接,构建针对均匀量子计算的第一个条件伪随机发生器,并扩展了Impagliazzo,JaiSwal的本地列表解码算法。 ,Kabanets和Wigderson(Sicomp 2010)通过微妙的分析到量子电路。我们认为,这些贡献是独立的兴趣,可能会发现其他申请。
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