Quantum-enhanced data science, also known as quantum machine learning (QML), is of growing interest as an application of near-term quantum computers. Variational QML algorithms have the potential to solve practical problems on real hardware, particularly when involving quantum data. However, training these algorithms can be challenging and calls for tailored optimization procedures. Specifically, QML applications can require a large shot-count overhead due to the large datasets involved. In this work, we advocate for simultaneous random sampling over both the dataset as well as the measurement operators that define the loss function. We consider a highly general loss function that encompasses many QML applications, and we show how to construct an unbiased estimator of its gradient. This allows us to propose a shot-frugal gradient descent optimizer called Refoqus (REsource Frugal Optimizer for QUantum Stochastic gradient descent). Our numerics indicate that Refoqus can save several orders of magnitude in shot cost, even relative to optimizers that sample over measurement operators alone.
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FIG. 1. Schematic diagram of a Variational Quantum Algorithm (VQA). The inputs to a VQA are: a cost function C(θ), with θ a set of parameters that encodes the solution to the problem, an ansatz whose parameters are trained to minimize the cost, and (possibly) a set of training data {ρ k } used during the optimization. Here, the cost can often be expressed in the form in Eq. ( 3), for some set of functions {f k }. Also, the ansatz is shown as a parameterized quantum circuit (on the left), which is analogous to a neural network (also shown schematically on the right). At each iteration of the loop one uses a quantum computer to efficiently estimate the cost (or its gradients). This information is fed into a classical computer that leverages the power of optimizers to navigate the cost landscape C(θ) and solve the optimization problem in Eq. ( 1). Once a termination condition is met, the VQA outputs an estimate of the solution to the problem. The form of the output depends on the precise task at hand. The red box indicates some of the most common types of outputs.
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量子机学习（QML）中的内核方法最近引起了人们的重大关注，作为在数据分析中获得量子优势的潜在候选者。在其他有吸引力的属性中，当训练基于内核的模型时，可以保证由于训练格局的凸度而找到最佳模型的参数。但是，这是基于以下假设：量子内核可以从量子硬件有效获得。在这项工作中，我们从准确估计内核值所需的资源的角度研究了量子内核的训练性。我们表明，在某些条件下，可以将量子内核在不同输入数据上的值呈指数浓缩（在量子数中）指向一些固定值，从而导致成功训练所需的测量数量的指数缩放。我们确定了可以导致集中度的四个来源，包括：数据嵌入，全球测量，纠缠和噪声的表达性。对于每个来源，分析得出量子内核的相关浓度结合。最后，我们表明，在处理经典数据时，训练用内核比对方法嵌入的参数化数据也容易受到指数浓度的影响。我们的结果通过数值仿真来验证几个QML任务。总体而言，我们提供指南，表明应避免某些功能，以确保量子内核方法的有效评估和训练性。
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量子哈密顿学习和量子吉布斯采样的双重任务与物理和化学中的许多重要问题有关。在低温方案中，这些任务的算法通常会遭受施状能力，例如因样本或时间复杂性差而遭受。为了解决此类韧性，我们将量子自然梯度下降的概括引入了参数化的混合状态，并提供了稳健的一阶近似算法，即量子 - 固定镜下降。我们使用信息几何学和量子计量学的工具证明了双重任务的数据样本效率，因此首次将经典Fisher效率的开创性结果推广到变异量子算法。我们的方法扩展了以前样品有效的技术，以允许模型选择的灵活性，包括基于量子汉密尔顿的量子模型，包括基于量子的模型，这些模型可能会规避棘手的时间复杂性。我们的一阶算法是使用经典镜下降二元性的新型量子概括得出的。两种结果都需要特殊的度量选择，即Bogoliubov-Kubo-Mori度量。为了从数值上测试我们提出的算法，我们将它们的性能与现有基准进行了关于横向场ISING模型的量子Gibbs采样任务的现有基准。最后，我们提出了一种初始化策略，利用几何局部性来建模状态的序列（例如量子 - 故事过程）的序列。我们从经验上证明了它在实际和想象的时间演化的经验上，同时定义了更广泛的潜在应用。
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在当前的嘈杂中间尺度量子（NISQ）时代，量子机学习正在成为基于程序门的量子计算机的主要范式。在量子机学习中，对量子电路的门进行了参数化，并且参数是根据数据和电路输出的测量来通过经典优化来调整的。参数化的量子电路（PQC）可以有效地解决组合优化问题，实施概率生成模型并进行推理（分类和回归）。该专着为具有概率和线性代数背景的工程师的观众提供了量子机学习的独立介绍。它首先描述了描述量子操作和测量所必需的必要背景，概念和工具。然后，它涵盖了参数化的量子电路，变异量子本质层以及无监督和监督的量子机学习公式。
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变异量子算法（VQAS）为通过嘈杂的中间规模量子（NISQ）处理器获得量子优势提供了最有希望的途径。这样的系统利用经典优化来调整参数化量子电路（PQC）的参数。目标是最大程度地减少取决于从PQC获得的测量输出的成本函数。通常通过随机梯度下降（SGD）实现优化。在NISQ计算机上，由于缺陷和破坏性而引起的栅极噪声通过引入偏差会影响随机梯度的估计。量子误差缓解（QEM）技术可以减少估计偏差而无需量子数量增加，但它们又导致梯度估计的方差增加。这项工作研究了量子门噪声对SGD收敛的影响，而VQA的基本实例是变异的eigensolver（VQE）。主要目标是确定QEM可以增强VQE的SGD性能的条件。结果表明，量子门噪声在SGD的收敛误差（根据参考无噪声PQC评估）诱导非零误差 - 基础，这取决于噪声门的数量，噪声的强度以及可观察到的可观察到的特征性被测量和最小化。相反，使用QEM，可以获得任何任意小的误差。此外，对于有或没有QEM的误差级别，QEM可以减少所需的迭代次数，但是只要量子噪声水平足够小，并且在每种SGD迭代中允许足够大的测量值。最大切割问题的数值示例证实了主要理论发现。
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变形量子算法（VQAS）可以是噪声中间级量子（NISQ）计算机上的量子优势的路径。自然问题是NISQ设备的噪声是否对VQA性能的基本限制。我们严格证明对嘈杂的VQAS进行严重限制，因为噪音导致训练景观具有贫瘠高原（即消失梯度）。具体而言，对于考虑的本地Pauli噪声，我们证明梯度在Qubits $ N $的数量中呈指数呈指数增长，如果Ansatz的深度以$ N $线性增长。这些噪声诱导的贫瘠强韧（NIBPS）在概念上不同于无辐射贫瘠强度，其与随机参数初始化相关联。我们的结果是为通用Ansatz制定的，该通用ansatz包括量子交替运算符ANSATZ和酉耦合簇Ansatz等特殊情况。对于前者来说，我们的数值启发式展示了用于现实硬件噪声模型的NIBP现象。
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现代量子机学习（QML）方法涉及在训练数据集上进行各种优化参数化量子电路，并随后对测试数据集（即，泛化）进行预测。在这项工作中，我们在培训数量为N $培训数据点后，我们在QML中对QML的普遍表现进行了全面的研究。我们表明，Quantum机器学习模型的泛化误差与$ T $培训门的尺寸在$ \ sqrt {t / n} $上缩放。当只有$ k \ ll t $ gates在优化过程中经历了大量变化时，我们证明了泛化误差改善了$ \ sqrt {k / n} $。我们的结果意味着将Unitaries编制到通常使用指数训练数据的量子计算行业的多项式栅极数量，这是一项通常使用指数尺寸训练数据的大量应用程序。我们还表明，使用量子卷积神经网络的相位过渡的量子状态的分类只需要一个非常小的训练数据集。其他潜在应用包括学习量子误差校正代码或量子动态模拟。我们的工作将新的希望注入QML领域，因为较少的培训数据保证了良好的概括。
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已经提出了一些用于量子神经网络（QNN）的体系结构，目的是有效地执行机器学习任务。对于特定的QNN结构，迫切需要进行严格的缩放结果，以了解哪种（如果有的话）可以大规模训练。在这里，我们为最近提出的架构分析了梯度缩放（以及训练性），该体系结构称为耗散QNNS（DQNNS），其中每层的输入量子位在该图层的输出处丢弃。我们发现DQNNS可以表现出贫瘠的高原，即在量子数量中呈指数级消失的梯度。此外，我们在不同条件下（例如不同的成本函数和电路深度）的DQNN梯度的缩放范围提供定量界限，并表明并非总是可以保证可训练性。
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量子Gibbs状态的制备是量子计算的重要组成部分，在各种区域具有广泛的应用，包括量子仿真，量子优化和量子机器学习。在本文中，我们提出了用于量子吉布斯状态准备的变分杂化量子典型算法。我们首先利用截短的泰勒系列来评估自由能，并选择截短的自由能量作为损耗功能。然后，我们的协议训练参数化量子电路以学习所需的量子吉布斯状态。值得注意的是，该算法可以在配备有参数化量子电路的近期量子计算机上实现。通过执行数值实验，我们显示浅参数化电路，只有一个额外的量子位训练，以便准备诸如高于95％的保真度的insing链和旋转链Gibbs状态。特别地，对于ising链模型，我们发现，只有一个参数和一个额外的qubit的简化电路ansatz可以训练，以在大于2的逆温度下实现吉布斯状态准备中的99％保真度。
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参数化量子电路的优化对于具有变分量子算法（VQAS）的计算任务的应用是必不可少的。然而，VQA的现有优化算法需要过多的量子测量镜头，以估计可观察到的期望值或迭代电路参数的更新，其成本是实际使用的重要障碍。为了解决这个问题，我们开发了一个有效的框架，\ yexit {随机梯度线贝叶斯优化}（SGLBO），用于电路优化，测量镜头较少。通过估计基于随机梯度下降（SGD）更新参数的适当方向，并且进一步利用贝叶斯优化（BO）来估计SGD的每次迭代中的最佳步长，降低测量镜头的成本。我们制定了一个自适应测量射击策略，可在不依赖于精确的期望值估计和许多迭代的情况下可行地实现优化;此外，我们表明，后缀平均技术可以显着降低统计和硬件噪声在VQA的优化中的效果。我们的数值模拟表明，使用这些技术增强的SGLBO可以大大减少所需的测量射击数量，提高优化的准确性，并与VQAS的代表性任务中的其他最先进的优化器相比，增强了噪音的鲁棒性。这些结果建立了一系列量子电路优化器的框架，整合了两种不同的优化方法，SGD和BO，以显着降低测量镜头的成本。
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Hybrid quantum-classical systems make it possible to utilize existing quantum computers to their fullest extent. Within this framework, parameterized quantum circuits can be regarded as machine learning models with remarkable expressive power. This Review presents the components of these models and discusses their application to a variety of data-driven tasks, such as supervised learning and generative modeling. With an increasing number of experimental demonstrations carried out on actual quantum hardware and with software being actively developed, this rapidly growing field is poised to have a broad spectrum of real-world applications.
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量子计算有可能彻底改变和改变我们的生活和理解世界的方式。该审查旨在提供对量子计算的可访问介绍，重点是统计和数据分析中的应用。我们从介绍了了解量子计算所需的基本概念以及量子和经典计算之间的差异。我们描述了用作量子算法的构建块的核心量子子程序。然后，我们审查了一系列预期的量子算法，以便在统计和机器学习中提供计算优势。我们突出了将量子计算应用于统计问题的挑战和机遇，并讨论潜在的未来研究方向。
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Efficient characterization of highly entangled multi-particle systems is an outstanding challenge in quantum science. Recent developments have shown that a modest number of randomized measurements suffices to learn many properties of a quantum many-body system. However, implementing such measurements requires complete control over individual particles, which is unavailable in many experimental platforms. In this work, we present rigorous and efficient algorithms for learning quantum many-body states in systems with any degree of control over individual particles, including when every particle is subject to the same global field and no additional ancilla particles are available. We numerically demonstrate the effectiveness of our algorithms for estimating energy densities in a U(1) lattice gauge theory and classifying topological order using very limited measurement capabilities.
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关于参数化量子电路（PQC）的成本景观知之甚少。然而，PQC被用于量子神经网络和变异量子算法中，这可能允许近期量子优势。此类应用需要良好的优化器来培训PQC。最近的作品集中在专门针对PQC量身定制的量子意识优化器上。但是，对成本景观的无知可能会阻碍这种优化者的进步。在这项工作中，我们在分析上证明了PQC的两个结果：（1）我们在PQC中发现了指数较大的对称性，在成本景观中产生了最小值的呈指数较大的变性。或者，这可以作为相关超参数空间体积的指数减少。 （2）我们研究了噪声下对称性的弹性，并表明，尽管它在Unital噪声下是保守的，但非阴道通道可以打破这些对称性并提高最小值的变性，从而导致多个新的局部最小值。基于这些结果，我们引入了一种称为基于对称的最小跳跃（SYMH）的优化方法，该方法利用了PQC中的基础对称性。我们的数值模拟表明，在存在与当前硬件相当的水平上，SYMH在存在非阴性噪声的情况下提高了整体优化器性能。总体而言，这项工作从局部门转换中得出了大规模电路对称性，并使用它们来构建一种噪声吸引的优化方法。
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量子机学习（QML）模型旨在从量子状态中编码的数据中学习。最近，已经表明，几乎没有归纳偏差的模型（即，对模型中嵌入的问题没有假设）可能存在训练性和概括性问题，尤其是对于大问题。因此，开发编码与当前问题有关的信息的方案是至关重要的。在这项工作中，我们提出了一个简单但功能强大的框架，其中数据中的基本不向导用于构建QML模型，该模型通过构造尊重这些对称性。这些所谓的组不变模型产生的输出在对称组$ \ mathfrak {g} $的任何元素的动作下保持不变。我们提出了理论结果，基于$ \ mathfrak {g} $ - 不变型模型的设计，并通过几个范式QML分类任务来体现其应用程序，包括$ \ mathfrak {g} $是一个连续的谎言组，也是一个lie group，也是一个。离散对称组。值得注意的是，我们的框架使我们能够以一种优雅的方式恢复文献的几种知名算法，并发现了新的算法。综上所述，我们期望我们的结果将有助于为QML模型设计采用更多几何和群体理论方法铺平道路。
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作为量子优势的应用，对动态模拟和量子机学习（QML）的关注很大，而使用QML来增强动态模拟的可能性尚未得到彻底研究。在这里，我们开发了一个框架，用于使用QML方法模拟近期量子硬件上的量子动力学。我们使用概括范围，即机器学习模型在看不见的数据上遇到的错误，以严格分析此框架内算法的训练数据要求。这提供了一种保证，就量子和数据要求而言，我们的算法是资源有效的。我们的数字具有问题大小的有效缩放，我们模拟了IBMQ-Bogota上的Trotterization的20倍。
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优化参数化量子电路（PQC）是使用近期量子计算机的领先方法。但是，对于PQC的成本函数景观知之甚少，这阻碍了量子意识到的优化器的进展。在这项工作中，我们研究了PQCS已观察到的三种不同景观特征之间的联系：（1）指数呈指数消失的梯度（称为贫瘠的高原），（2）关于平均值的成本成本集中，以及（3）（3）指数的狭窄小小的（称为狭窄的峡谷）。我们在分析上证明，这三个现象一起出现，即当发生一个现象时，其他两个现象也是如此。该结果的一个关键含义是，可以通过成本差而不是通过计算更昂贵的梯度来数字诊断贫瘠的高原。更广泛地说，我们的工作表明，量子力学排除了某些成本景观（否则在数学上可能是可能的），因此从量子基础的角度来看，我们的结果很有趣。
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量子技术有可能彻底改变我们如何获取和处理实验数据以了解物理世界。一种实验设置，将来自物理系统的数据转换为稳定的量子存储器，以及使用量子计算机的数据的处理可以具有显着的优点，这些实验可以具有测量物理系统的传统实验，并且使用经典计算机处理结果。我们证明，在各种任务中，量子机器可以从指数较少的实验中学习而不是传统实验所需的实验。指数优势在预测物理系统的预测属性中，对噪声状态进行量子主成分分析，以及学习物理动态的近似模型。在一些任务中，实现指数优势所需的量子处理可能是适度的;例如，可以通过仅处理系统的两个副本来同时了解许多非信息可观察。我们表明，可以使用当今相对嘈杂的量子处理器实现大量超导QUBITS和1300个量子门的实验。我们的结果突出了量子技术如何能够实现强大的新策略来了解自然。
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我们使用对单个的，相同的$ d $维状态的相同副本进行的测量来研究量子断层扫描和阴影断层扫描的问题。我们首先因Haah等人而重新审视已知的下限。 （2017年）在痕量距离上具有准确性$ \ epsilon $的量子断层扫描，当测量选择与先前观察到的结果无关（即它们是非适应性的）时。我们简要地证明了这一结果。当学习者使用具有恒定结果数量的测量值时，这会导致更强的下限。特别是，这严格确定了民间传说的最佳性``Pauli phymography''算法的样本复杂性。我们还得出了$ \ omega（r^2 d/\ epsilon^2）$和$ \ omega（r^2 d/\ epsilon^2）的新颖界限（ R^2 d^2/\ epsilon^2）$用于学习排名$ r $状态，分别使用任意和恒定的结果测量，在非适应性情况下。除了样本复杂性，对于学习量子的实际意义，是一种实际意义的资源状态是算法使用的不同测量值的数量。我们将下限扩展到学习者从固定的$ \ exp（o（d））$测量的情况下进行自适应测量的情况。这特别意味着适应性。没有使用可有效实现的单拷贝测量结果给我们任何优势。在目标是预测给定的可观察到给定序列的期望值的情况下，我们还获得了类似的界限，该任务被称为阴影层析成像。在适应性的情况下单拷贝测量可通过多项式大小的电路实现，我们证明了基于计算给定可观察物的样本平均值的直接策略是最佳的。
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