我们提出了一个具有两个自由度的闭环8R机制，其运动表现出了好奇的特性。在其配置品种的二维组成部分的任何点上，都可以在保持一个自由度的同时固定每一个关节。这表明均匀轴和奇数轴总是形成贝内特机制。在这种机制中，相反的距离和角度相等，所有偏移均为零。8R机制具有四种“完全排列”的构型，其中任何一对连续轴的共同正态重合。

运动多项式（与非零实际规范的双重四聚体上的多项式）描述了合理运动。我们提出了减少有界运动多项式的必要条件，以将因素化为线性因子，并给出了一种计算它们的算法。我们可以使用这些线性因子来构建机制，因为分数对应于合理运动分解为简单旋转或翻译。有界的运动多项式始终在乘以合适的实际或四元素多项式后，将分解成线性因子。我们的因素化标准使我们能够改善早期算法，以计算合适的真实或四元素多项式辅助因素。

我们提供了悖论性的闭环$ n $ linkages的完整分类，其中$ n \ geq6 $的移动性$ n-4 $或更高版本包含revolute，Prismatic或Helical关节。我们还明确地写下了$ nr $ links $ n-5 $的$ nr $链接的强大必要条件。我们的主要新工具是链接$ l $与另一个链接$ l'$之间的几何关系，这是由于将方程式添加到$ l $的配置空间而产生的。然后，我们使用此关系提高了$ l'ub $ $ l $的已知分类结果。

我们引入了与针孔摄像机中图像形成相关的代数几何对象的地图集。地图集的节点是代数品种或它们的消失理想，分别通过投影，消除，限制或专业化相互关联。该地图集为研究3D计算机视觉中的问题提供了一个统一的框架。我们通过完全表征来自三角剖分问题的部分地图集来启动地图集的研究。我们以几个空旷的问题和地图集的概括结束。

在此备忘录中，我们开发了一般框架，它允许同时研究$ \ MathBB R ^ D $和惠特尼在$ \ Mathbb r的离散和非离散子集附近的insoctry扩展问题附近的标签和未标记的近对准数据问题。^ d $与某些几何形状。此外，我们调查了与集群，维度减少，流形学习，视觉以及最小的能量分区，差异和最小最大优化的相关工作。给出了谐波分析，计算机视觉，歧管学习和与我们工作的信号处理中的众多开放问题。本发明内容中的一部分工作基于纸张中查尔斯Fefferman的联合研究[48]，[49]，[50]，[51]。

连续约束满意度问题（CCSP）是一个约束满意度问题（CSP），其间隔域$ u \ subset \ mathbb {r} $。我们进行了一项系统的研究，以对CCSP进行分类，这些CCSP已完成现实的存在理论，即ER完整。为了定义该类别，我们首先考虑ETR问题，该问题也代表了真实的存在理论。在此问题的情况下，我们给出了$ \ compant x_1，\ ldots，x_n \ in \ mathbb {r}的某个句子：\ phi（x_1，\ ldots，x_n）$，其中$ \ phi $ is由符号$ \ {0、1， +，\ cdot，\ geq，>，\ wedge，\ vee，\ neg \} $组成的符号符号的公式正确。 。现在，ER是所有问题的家族，这些家族允许多项式时间降低到ETR。众所周知，np $ \ subseteq $ er $ \ subseteq $ pspace。我们将注意力限制在CCSP上，并具有附加限制（$ x + y = z $）和其他一些轻度的技术状况。以前，已经显示出乘法约束（$ x \ cdot y = z $），平方约束（$ x^2 = y $）或反转约束（$ x \ cdot y = 1 $）足以建立ER-完整性。如下所示，我们以最大的平等约束来扩展这一点。我们表明，CCSP（具有附加限制和其他轻度技术状况）具有任何一个表现良好的弯曲平等约束（$ f（x，y）= 0 $）的CCSP是ER的曲线限制（$ F（x，y）= 0 $）。我们将结果进一步扩展到不平等约束。我们表明，任何行为良好的凸出弯曲且行为良好的凹陷弯曲的不平等约束（$ f（x，y）\ geq 0 $ and $ g（x，x，y）\ geq 0 $）暗示着班级的ER完整性这种CCSP。

We study the problem of finding elements in the intersection of an arbitrary conic variety in $\mathbb{F}^n$ with a given linear subspace (where $\mathbb{F}$ can be the real or complex field). This problem captures a rich family of algorithmic problems under different choices of the variety. The special case of the variety consisting of rank-1 matrices already has strong connections to central problems in different areas like quantum information theory and tensor decompositions. This problem is known to be NP-hard in the worst-case, even for the variety of rank-1 matrices. Surprisingly, despite these hardness results we give efficient algorithms that solve this problem for "typical" subspaces. Here, the subspace $U \subseteq \mathbb{F}^n$ is chosen generically of a certain dimension, potentially with some generic elements of the variety contained in it. Our main algorithmic result is a polynomial time algorithm that recovers all the elements of $U$ that lie in the variety, under some mild non-degeneracy assumptions on the variety. As corollaries, we obtain the following results: $\bullet$ Uniqueness results and polynomial time algorithms for generic instances of a broad class of low-rank decomposition problems that go beyond tensor decompositions. Here, we recover a decomposition of the form $\sum_{i=1}^R v_i \otimes w_i$, where the $v_i$ are elements of the given variety $X$. This implies new algorithmic results even in the special case of tensor decompositions. $\bullet$ Polynomial time algorithms for several entangled subspaces problems in quantum entanglement, including determining $r$-entanglement, complete entanglement, and genuine entanglement of a subspace. While all of these problems are NP-hard in the worst case, our algorithm solves them in polynomial time for generic subspaces of dimension up to a constant multiple of the maximum possible.

每个已知的人工深神经网络（DNN）都对应于规范Grothendieck的拓扑中的一个物体。它的学习动态对应于此拓扑中的形态流动。层中的不变结构（例如CNNS或LSTMS）对应于Giraud的堆栈。这种不变性应该是对概括属性的原因，即从约束下的学习数据中推断出来。纤维代表语义前类别（Culioli，Thom），在该类别上定义了人工语言，内部逻辑，直觉主义者，古典或线性（Girard）。网络的语义功能是其能够用这种语言表达理论的能力，以回答输出数据中有关输出的问题。语义信息的数量和空间是通过类比与2015年香农和D.Bennequin的Shannon熵的同源解释来定义的。他们概括了Carnap和Bar-Hillel（1952）发现的措施。令人惊讶的是，上述语义结构通过封闭模型类别的几何纤维对象进行了分类，然后它们产生了DNNS及其语义功能的同位不变。故意类型的理论（Martin-Loef）组织了这些物体和它们之间的纤维。 Grothendieck的导数分析了信息内容和交流。

我们研究由线性卷积神经网络（LCN）代表的功能家族。这些函数形成了从输入空间到输出空间的线性地图集的半代数子集。相比之下，由完全连接的线性网络表示的函数家族形成代数集。我们观察到，LCN代表的功能可以通过接受某些因素化的多项式来识别，我们使用此视角来描述网络体系结构对所得功能空间几何形状的影响。我们进一步研究了在LCN上的目标函数的优化，分析了功能空间和参数空间中的临界点，并描述了梯度下降的动态不变性。总体而言，我们的理论预测，LCN的优化参数通常对应于跨层的重复过滤器，或可以分解为重复过滤器的过滤器。我们还进行了数值和符号实验，以说明我们的结果，并对小体系结构的景​​观进行深入分析。

我们使用深神经网络来机器学习各种尺寸的结不变之间的相关性。感兴趣的三维不变性是琼斯多项式$ j（q）$，四维不变性是khovanov多项式$ \ text {kh}（q，t）$，平滑的切片属$ g $，以及拉斯穆森的$ s $-invariant。我们发现双层前馈神经网络可以从$ \ text {kh}（q，-q ^ {-4}）$大于99美元的$准确性。通过现在的DISPROVER骑士移动猜想，在结理论中存在对这种性能的理论解释，这些表现在我们的数据集中的所有结遵守。更令人惊讶的是，我们发现类似于$ \ text {kh}（q，-q ^ {-2}）$的类似表现，这表明Khovanov与李同源理论之间的新关系。网络从$ \ text {kh}（q，t）$以同样高的准确度预测到$ g $，我们讨论了机器学习$ s $的程度，而不是$ g $，因为有一般不平等$ | S | \ Leq 2G $。 Jones多项式作为三维不变性，并不明显与$ S $或$ G $相关，但网络从$ j（q）$之前预测，网络达到大于95美元的$准确性。此外，通过在统一的根部评估$ j（q）$来实现类似的准确度。这表明与SU（2）$ CHERN-SIMONS理论的关系，我们审查了Khovanov同源性的仪表理论建设，这可能与解释网络的性能相关。

潜在变量模型（LVM）的无监督学习被广泛用于表示机器学习中的数据。当这样的模型反映了地面真理因素和将它们映射到观察的机制时，有理由期望它们允许在下游任务中进行概括。但是，众所周知，如果不在模型类上施加限制，通常无法实现此类可识别性保证。非线性独立组件分析是如此，其中LVM通过确定性的非线性函数将统计上独立的变量映射到观察。几个伪造解决方案的家庭完全适合数据，但是可以在通用环境中构建与地面真相因素相对应的。但是，最近的工作表明，限制此类模型的功能类别可能会促进可识别性。具体而言，已经提出了在Jacobian矩阵中收集的部分衍生物的函数类，例如正交坐标转换（OCT），它们强加了Jacobian柱的正交性。在目前的工作中，我们证明了这些转换的子类，共形图，是可识别的，并提供了新颖的理论结果，这表明OCT具有防止虚假解决方案家族在通用环境中破坏可识别性的特性。

众所周知，具有重新激活函数的完全连接的前馈神经网络可以表示的参数化函数家族恰好是一类有限的分段线性函数。鲜为人知的是，对于Relu神经网络的每个固定架构，参数空间都允许对称的正维空间，因此，在任何给定参数附近的局部功能维度都低于参数维度。在这项工作中，我们仔细地定义了功能维度的概念，表明它在Relu神经网络函数的参数空间中是不均匀的，并继续进行[14]和[5]中的调查 - 何时在功能维度实现其理论时最大。我们还研究了从参数空间到功能空间的实现图的商空间和纤维，提供了断开连接的纤维的示例，功能尺寸为非恒定剂的纤维以及对称组在其上进行非转换的纤维。

Cuspidal机器人是具有至少两种逆运动溶液的机器人，可以通过无奇异路径连接。过去已经研究了普通3R机器人的尖锐性，但是将研究扩展到六度自由的机器人可能是一个具有挑战性的问题。许多机器人可以与真实代数集一起建模为多项式图，以便将尖的概念扩展到这些数据。在本文中，我们设计了一种算法，该算法在输入$ n $不确定的多项式地图上，而$ s $多项式在相同的不确定的情况下描述了一个真实的代数$ d $，请确定地图限制的限制性正在考虑的实际代数设定。此外，如果$ d $和$ \ \ tau $分别是输入多项式系数的最高学位和界限，则该算法在$ \ tau $中以$ \ tau $和$（$（ （s+d）d）^{o（n^2）} $。它依赖于计算机代数中的许多高级算法，这些算法在真实代数集和多项式图的关键基因座上使用高级方法。据我们所知，这是第一种从一般角度解决尖锐性问题的算法。

同态传感是一个最近的代数几何框架，它在给定的线性图集合中研究了线性子空间中点的独特恢复。在坐标投影组成的情况下，它已经成功地解释了这种恢复，这是被称为未标记感应的应用程序中的重要实例，其中模拟了不秩序不正确且缺少值的数据。在本文中，我们提供更严格，更简单的条件，以保证单个空格情况的唯一恢复，将结果扩展到子空间布置的情况，并证明单个子空间中的唯一恢复在噪声下是本地稳定的。我们将结果专注于几个同态感测的示例，例如真实的相位检索和未标记的传感。在这样做的情况下，我们以统一的方式获得了保证这些示例的独特恢复的条件，这些示例通常是通过文献中的各种技术来知道的，以及用于稀疏和未签名版本的未标记感应的新颖条件。同样，我们的噪声结果也意味着未标记的传感中的独特恢复在局部稳定。

机器人社区在为软机器人设备建模提供的理论工具的复杂程度中看到了指数增长。已经提出了不同的解决方案以克服与软机器人建模相关的困难，通常利用其他科学学科，例如连续式机械和计算机图形。这些理论基础通常被认为是理所当然的，这导致复杂的文献，因此，从未得到完整审查的主题。Withing这种情况下，提交的文件的目标是双重的。突出显示涉及建模技术的不同系列的常见理论根源，采用统一语言，以简化其主要连接和差异的分析。因此，对上市接近自然如下，并最终提供在该领域的主要作品的完整，解开，审查。

从运动的结构问题涉及从一组二维图像中恢复对象的三维结构。通常，如果提供了足够的图像和图像点，则所有信息都可以唯一恢复，但是存在唯一恢复的某些情况是不可能的;这些称为关键配置。在本文中，我们使用代数方法来研究三个投影相机的关键配置。我们表明，所有关键配置都位于二次曲面的交叉点上，并究竟分类了哪个交叉点构成关键配置。

在这项工作中，我们将轨道恢复问题超过$ SO（3）$，其中目标是从嘈杂的测量到它的随机旋转副本中的球体上恢复带有限制功能。这是通过冷冻电子断层扫描恢复分子的三维结构的问题的自然抽象。对称发挥重要作用：恢复旋转函数相当于求解来自与组动作相关的不变环的多项式方程系统。先前的工作通过计算代数工具调查了该系统，该工具高达一定尺寸。然而，许多统计和算法问题仍然存在：恢复有多少次，或者等效在何种程度下，不变多项式会产生全不变环？是否有可能算法解决该多项式方程系统？从平滑分析的角度来看，我们重新审视这些问题，从而基于球面谐波扰乱了该功能的系数。我们的主要结果是轨道恢复的准多项式时间算法超过$ SO（3）$在此模型中。我们通过建立一个{\ EM线性}方程来利用多项式方程系统的分层结构来分析一个被称为频率行进的频率谱系，以便为已经找到了较低阶频率来解决高阶频率的{\ EM线性}方程的系统。主要问题是：这些系统有一个独特的解决方案吗？错误的错误有多快？我们的主要技术贡献是在限制这些代数结构线性系统的条件数。因此，平滑分析提供了一个引人注目的模型，我们可以扩展我们可以在轨道恢复中处理的组动作类型，超出有限和/或雅典的情况。

在本文中，我们研究了多视图几何中基本和基本矩阵估计的5-和7点问题的数值不太稳定性。在这两种情况下，我们表征了末极估计的条件号是无限的呈现不良世界场景。我们还以给定的图像数据表征不良实例。为了达到这些结果，我们提出了一般的框架，用于分析基于Riemannian歧管的多视图几何体中最小问题的调理。综合性和现实世界数据的实验然后揭示了一个引人注目的结论：在结构 - 从 - 动作（SFM）中的随机样本共识（RANSAC）不仅用于过滤输出异常值，而且RANSAC还选择用于良好的良好的图像数据，足够分离我们的理论预测的不良座位。我们的研究结果表明，在未来的工作中，人们可以试图通过仅测试良好的图像数据来加速和增加Ransac的成功。

我们研究了神经网络中平方损耗训练问题的优化景观和稳定性，但通用非线性圆锥近似方案。据证明，如果认为非线性圆锥近似方案是（以适当定义的意义）比经典线性近似方法更具表现力，并且如果存在不完美的标签向量，则在方位损耗的训练问题必须在其中不稳定感知其解决方案集在训练数据中的标签向量上不连续地取决于标签向量。我们进一步证明对这些不稳定属性负责的效果也是马鞍点出现的原因和杂散的局部最小值，这可能是从全球解决方案的任意遥远的，并且既不训练问题也不是训练问题的不稳定性通常，杂散局部最小值的存在可以通过向目标函数添加正则化术语来克服衡量近似方案中参数大小的目标函数。无论可实现的可实现性是否满足，后一种结果都被证明是正确的。我们表明，我们的分析特别适用于具有可变宽度的自由结插值方案和深层和浅层神经网络的培训问题，其涉及各种激活功能的任意混合（例如，二进制，六骨，Tanh，arctan，软标志， ISRU，Soft-Clip，SQNL，Relu，Lifley Relu，Soft-Plus，Bent Identity，Silu，Isrlu和ELU）。总之，本文的发现说明了神经网络和一般非线性圆锥近似仪器的改进近似特性以直接和可量化的方式与必须解决的优化问题的不期望的性质链接，以便训练它们。

如果Bournez，Fraigniaud和Koegler在[0,1]中定义了一个数字，则可以通过其大型人口协议（LPP）模型来计算，如果一组标记状态中的代理的比例随着人口的增长而增长到上述数字，则该数字随着人口的增长而增长到上述数字。无穷。但是，该概念限制了与LPP相关的普通微分方程（ODE），仅具有有限的许多均衡。该限制对模型构成了内在限制。结果，只有在代数是代数时，LPP可以计算一个数字，即，在此概念下不能计算单个先验数字。在本文中，我们提出了对均衡的规定要求。也就是说，我们考虑具有平衡连续的系统。我们表明，根据该新定义，LPP也可以计算[0,1]中的所有数字，这些数字可以通过有限的通用类模拟计算机（GPAC）或化学反应网络（CRN）计算。这意味着一系列丰富的数字（例如，Euler常数的倒数，$ \ pi/4 $，Euler的$ \ gamma $，加泰罗尼亚的常数和Dottie编号）都是LPP的计算。我们的证明是建设性的：我们开发了一种将有限的GPAC/CRN转移到LPP中的算法。我们的算法还可以在Bournez等人的LPP构造中固定差距，旨在计算[0,1]中的任何任意代数数。