即使在数十年的量子计算开发之后，通常在经典同行中具有指数加速的通常有用量子算法的示例是稀缺的。线性代数定位量子机学习（QML）的量子算法中的最新进展作为这种有用的指数改进的潜在来源。然而，在一个意想不到的发展中，最近一系列的“追逐化”结果同样迅速消除了几个QML算法的指数加速度的承诺。这提出了关键问题是否是其他线性代数QML算法的指数加速度持续存在。在本文中，我们通过该镜头研究了Lloyd，Garnerone和Zanardi的拓扑数据分析算法后面的量子算法方法。我们提供了证据表明，该算法解决的问题通过表明其自然概括与模拟一个清洁量子位模型很难地难以进行棘手的 - 这被广泛认为需要在经典计算机上需要超时时间 - 并且非常可能免疫追逐。基于此结果，我们为等级估计和复杂网络分析等问题提供了许多新的量子算法，以及其经典侵害性的复杂性 - 理论上。此外，我们分析了近期实现的所提出的量子算法的适用性。我们的结果为全面吹嘘和限制的量子计算机提供了许多有用的应用程序，具有古典方法的保证指数加速，恢复了线性代数QML的一些潜力，以成为量子计算的杀手应用之一。

量子计算为某些问题提供了指数加速的潜力。但是，许多具有可证明加速的现有算法都需要当前不可用的耐故障量子计算机。我们提出了NISQ-TDA，这是第一个完全实现的量子机学习算法，其在任意经典（非手动）数据上具有可证明的指数加速，并且仅需要线性电路深度。我们报告了我们的NISQ-TDA算法的成功执行，该算法应用于在量子计算设备以及嘈杂的量子模拟器上运行的小数据集。我们从经验上证实，该算法对噪声是可靠的，并提供了目标深度和噪声水平，以实现现实世界中问题的近期，无耐受耐受性的量子优势。我们独特的数据加载投影方法是噪声鲁棒性的主要来源，引入了一种新的自我校正数据加载方法。

量子计算有可能彻底改变和改变我们的生活和理解世界的方式。该审查旨在提供对量子计算的可访问介绍，重点是统计和数据分析中的应用。我们从介绍了了解量子计算所需的基本概念以及量子和经典计算之间的差异。我们描述了用作量子算法的构建块的核心量子子程序。然后，我们审查了一系列预期的量子算法，以便在统计和机器学习中提供计算优势。我们突出了将量子计算应用于统计问题的挑战和机遇，并讨论潜在的未来研究方向。

我们提出了一个算法框架，用于近距离矩阵上的量子启发的经典算法，概括了Tang的突破性量子启发算法开始的一系列结果，用于推荐系统[STOC'19]。由量子线性代数算法和gily \'en，su，low和wiebe [stoc'19]的量子奇异值转换（SVT）框架[SVT）的动机[STOC'19]，我们开发了SVT的经典算法合适的量子启发的采样假设。我们的结果提供了令人信服的证据，表明在相应的QRAM数据结构输入模型中，量子SVT不会产生指数量子加速。由于量子SVT框架基本上概括了量子线性代数的所有已知技术，因此我们的结果与先前工作的采样引理相结合，足以概括所有有关取消量子机器学习算法的最新结果。特别是，我们的经典SVT框架恢复并经常改善推荐系统，主成分分析，监督聚类，支持向量机器，低秩回归和半决赛程序解决方案的取消结果。我们还为汉密尔顿低级模拟和判别分析提供了其他取消化结果。我们的改进来自识别量子启发的输入模型的关键功能，该模型是所有先前量子启发的结果的核心：$ \ ell^2 $ -Norm采样可以及时近似于其尺寸近似矩阵产品。我们将所有主要结果减少到这一事实，使我们的简洁，独立和直观。

Kernel matrices, as well as weighted graphs represented by them, are ubiquitous objects in machine learning, statistics and other related fields. The main drawback of using kernel methods (learning and inference using kernel matrices) is efficiency -- given $n$ input points, most kernel-based algorithms need to materialize the full $n \times n$ kernel matrix before performing any subsequent computation, thus incurring $\Omega(n^2)$ runtime. Breaking this quadratic barrier for various problems has therefore, been a subject of extensive research efforts. We break the quadratic barrier and obtain $\textit{subquadratic}$ time algorithms for several fundamental linear-algebraic and graph processing primitives, including approximating the top eigenvalue and eigenvector, spectral sparsification, solving linear systems, local clustering, low-rank approximation, arboricity estimation and counting weighted triangles. We build on the recent Kernel Density Estimation framework, which (after preprocessing in time subquadratic in $n$) can return estimates of row/column sums of the kernel matrix. In particular, we develop efficient reductions from $\textit{weighted vertex}$ and $\textit{weighted edge sampling}$ on kernel graphs, $\textit{simulating random walks}$ on kernel graphs, and $\textit{importance sampling}$ on matrices to Kernel Density Estimation and show that we can generate samples from these distributions in $\textit{sublinear}$ (in the support of the distribution) time. Our reductions are the central ingredient in each of our applications and we believe they may be of independent interest. We empirically demonstrate the efficacy of our algorithms on low-rank approximation (LRA) and spectral sparsification, where we observe a $\textbf{9x}$ decrease in the number of kernel evaluations over baselines for LRA and a $\textbf{41x}$ reduction in the graph size for spectral sparsification.

尽管经过多年的努力，但在经典数据的情况下，量子机学习社区只能显示出某些人为加密启发的数据集的量子学习优势。在本说明中，我们讨论了发现学习问题的挑战，即量子学习算法可以比任何经典学习算法更快学习，并研究如何识别此类学习问题。具体而言，我们反思了与此问题有关的计算学习理论中的主要概念，并讨论定义的细微变化在概念上意味着显着不同的任务，这可能会导致分离或根本没有分离。此外，我们研究了现有的学习问题，并具有可证明的量子加速，以提炼一组更一般和充分的条件（即``清单''），以表现出在经典学习者和量子学习者之间的分离的学习问题。这些清单旨在简化一个人的方法来证明学习问题或阐明瓶颈的量子加速。最后，为了说明其应用，我们分析了潜在分离的示例（即，当学习问题是从计算分离中或数据来自量子实验时）通过我们的方法的镜头进行分析。

我们建立了量子算法设计与电路下限之间的第一一般连接。具体来说，让$ \ mathfrak {c} $是一类多项式大小概念，假设$ \ mathfrak {c} $可以在统一分布下的成员查询，错误$ 1/2 - \ gamma $通过时间$ t $量子算法。我们证明如果$ \ gamma ^ 2 \ cdot t \ ll 2 ^ n / n $，则$ \ mathsf {bqe} \ nsubseteq \ mathfrak {c} $，其中$ \ mathsf {bqe} = \ mathsf {bque} [2 ^ {o（n）}] $是$ \ mathsf {bqp} $的指数时间模拟。在$ \ gamma $和$ t $中，此结果是最佳的，因为它不难学习（经典）时间$ t = 2 ^ n $（没有错误） ，或在Quantum Time $ t = \ mathsf {poly}（n）$以傅立叶采样为单位为1/2美元（2 ^ { - n / 2}）$。换句话说，即使对这些通用学习算法的边际改善也会导致复杂性理论的主要后果。我们的证明在学习理论，伪随机性和计算复杂性的几个作品上构建，并且至关重要地，在非凡的经典学习算法与由Oliveira和Santhanam建立的电路下限之间的联系（CCC 2017）。扩展他们对量子学习算法的方法，结果产生了重大挑战。为此，我们展示了伪随机发电机如何以通用方式意味着学习到较低的连接，构建针对均匀量子计算的第一个条件伪随机发生器，并扩展了Impagliazzo，JaiSwal的本地列表解码算法。 ，Kabanets和Wigderson（Sicomp 2010）通过微妙的分析到量子电路。我们认为，这些贡献是独立的兴趣，可能会发现其他申请。

FIG. 1. Schematic diagram of a Variational Quantum Algorithm (VQA). The inputs to a VQA are: a cost function C(θ), with θ a set of parameters that encodes the solution to the problem, an ansatz whose parameters are trained to minimize the cost, and (possibly) a set of training data {ρ k } used during the optimization. Here, the cost can often be expressed in the form in Eq. ( 3), for some set of functions {f k }. Also, the ansatz is shown as a parameterized quantum circuit (on the left), which is analogous to a neural network (also shown schematically on the right). At each iteration of the loop one uses a quantum computer to efficiently estimate the cost (or its gradients). This information is fed into a classical computer that leverages the power of optimizers to navigate the cost landscape C(θ) and solve the optimization problem in Eq. ( 1). Once a termination condition is met, the VQA outputs an estimate of the solution to the problem. The form of the output depends on the precise task at hand. The red box indicates some of the most common types of outputs.

Learning about physical systems from quantum-enhanced experiments, relying on a quantum memory and quantum processing, can outperform learning from experiments in which only classical memory and processing are available. Whereas quantum advantages have been established for a variety of state learning tasks, quantum process learning allows for comparable advantages only with a careful problem formulation and is less understood. We establish an exponential quantum advantage for learning an unknown $n$-qubit quantum process $\mathcal{N}$. We show that a quantum memory allows to efficiently solve the following tasks: (a) learning the Pauli transfer matrix of an arbitrary $\mathcal{N}$, (b) predicting expectation values of bounded Pauli-sparse observables measured on the output of an arbitrary $\mathcal{N}$ upon input of a Pauli-sparse state, and (c) predicting expectation values of arbitrary bounded observables measured on the output of an unknown $\mathcal{N}$ with sparse Pauli transfer matrix upon input of an arbitrary state. With quantum memory, these tasks can be solved using linearly-in-$n$ many copies of the Choi state of $\mathcal{N}$, and even time-efficiently in the case of (b). In contrast, any learner without quantum memory requires exponentially-in-$n$ many queries, even when querying $\mathcal{N}$ on subsystems of adaptively chosen states and performing adaptively chosen measurements. In proving this separation, we extend existing shadow tomography upper and lower bounds from states to channels via the Choi-Jamiolkowski isomorphism. Moreover, we combine Pauli transfer matrix learning with polynomial interpolation techniques to develop a procedure for learning arbitrary Hamiltonians, which may have non-local all-to-all interactions, from short-time dynamics. Our results highlight the power of quantum-enhanced experiments for learning highly complex quantum dynamics.

在当前的嘈杂中间尺度量子（NISQ）时代，量子机学习正在成为基于程序门的量子计算机的主要范式。在量子机学习中，对量子电路的门进行了参数化，并且参数是根据数据和电路输出的测量来通过经典优化来调整的。参数化的量子电路（PQC）可以有效地解决组合优化问题，实施概率生成模型并进行推理（分类和回归）。该专着为具有概率和线性代数背景的工程师的观众提供了量子机学习的独立介绍。它首先描述了描述量子操作和测量所必需的必要背景，概念和工具。然后，它涵盖了参数化的量子电路，变异量子本质层以及无监督和监督的量子机学习公式。

现代量子机学习（QML）方法涉及在训练数据集上进行各种优化参数化量子电路，并随后对测试数据集（即，泛化）进行预测。在这项工作中，我们在培训数量为N $培训数据点后，我们在QML中对QML的普遍表现进行了全面的研究。我们表明，Quantum机器学习模型的泛化误差与$ T $培训门的尺寸在$ \ sqrt {t / n} $上缩放。当只有$ k \ ll t $ gates在优化过程中经历了大量变化时，我们证明了泛化误差改善了$ \ sqrt {k / n} $。我们的结果意味着将Unitaries编制到通常使用指数训练数据的量子计算行业的多项式栅极数量，这是一项通常使用指数尺寸训练数据的大量应用程序。我们还表明，使用量子卷积神经网络的相位过渡的量子状态的分类只需要一个非常小的训练数据集。其他潜在应用包括学习量子误差校正代码或量子动态模拟。我们的工作将新的希望注入QML领域，因为较少的培训数据保证了良好的概括。

随机块模型（SBM）是一个随机图模型，其连接不同的顶点组不同。它被广泛用作研究聚类和社区检测的规范模型，并提供了肥沃的基础来研究组合统计和更普遍的数据科学中出现的信息理论和计算权衡。该专着调查了最近在SBM中建立社区检测的基本限制的最新发展，无论是在信息理论和计算方案方面，以及各种恢复要求，例如精确，部分和弱恢复。讨论的主要结果是在Chernoff-Hellinger阈值中进行精确恢复的相转换，Kesten-Stigum阈值弱恢复的相变，最佳的SNR - 单位信息折衷的部分恢复以及信息理论和信息理论之间的差距计算阈值。该专着给出了在寻求限制时开发的主要算法的原则推导，特别是通过绘制绘制，半定义编程，（线性化）信念传播，经典/非背带频谱和图形供电。还讨论了其他块模型的扩展，例如几何模型和一些开放问题。

量子技术有可能彻底改变我们如何获取和处理实验数据以了解物理世界。一种实验设置，将来自物理系统的数据转换为稳定的量子存储器，以及使用量子计算机的数据的处理可以具有显着的优点，这些实验可以具有测量物理系统的传统实验，并且使用经典计算机处理结果。我们证明，在各种任务中，量子机器可以从指数较少的实验中学习而不是传统实验所需的实验。指数优势在预测物理系统的预测属性中，对噪声状态进行量子主成分分析，以及学习物理动态的近似模型。在一些任务中，实现指数优势所需的量子处理可能是适度的;例如，可以通过仅处理系统的两个副本来同时了解许多非信息可观察。我们表明，可以使用当今相对嘈杂的量子处理器实现大量超导QUBITS和1300个量子门的实验。我们的结果突出了量子技术如何能够实现强大的新策略来了解自然。

基于参数化量子电路的量子机器学习（QML）模型通常被突出显示为量子计算的近期“杀手应用”的候选者。然而，对这些模型的实证和泛化表现的理解仍处于起步阶段。在本文中，我们研究了如何为HAVL \'I \ V {C} EK等人介绍的两个突出的QML模型之间的培训准确性和泛化性能（也称为结构风险最小化）之间的平衡。 （自然，2019年）和Schuld和Killoran（PRL，2019）。首先，利用与良好的古典模型的关系，我们证明了两个模型参数 - 即图像使用的图像和弗罗布尼乌斯的规范 - 模型使用的可观察的规范 - 密切控制模型的复杂性，因此其泛化表现。其次，使用受工艺断层扫描的启发的想法，我们证明这些模型参数还密切控制模型捕获培训示例中相关性的能力。总之，我们的结果引起了对QML模型的结构风险最小化的新选择。

我们研究了学习哈密顿$ h $ to precision $ \ varepsilon $的问题，假设我们将获得其gibbs state $ \ rho = \ exp（ - \ beta h）/\ operatoratorname {tr}（\ exp（\ exp）（ - \ beta h））$在已知的反温度$ \ beta $处。 Anshu，Arunachalam，Kuwahara和Soleimanifar（Nature Physics，2021，Arxiv：2004.07266）最近研究了此问题的样品复杂性（需要$ \ rho $的副本数量）。在高温（低$ \ beta $）制度中，他们的算法具有样品复杂性poly poly $（n，1/\ beta，1/\ varepsilon）$，并且可以用多项式但次优的时间复杂性实现。在本文中，我们研究了更一般的哈密顿人的同样问题。我们展示了如何学习哈密顿量的系数到错误$ \ varepsilon $带有样本复杂性$ s = o（\ log n/（\ beta \ varepsilon）^{2}）$和样本大小的时间复杂性，$ o（s n）$。此外，我们证明了匹配的下限，表明我们算法的样品复杂性是最佳的，因此我们的时间复杂性也是最佳的。在附录中，我们证明，几乎可以使用相同的算法来从实时进化的统一$ e^{ - it H} $中学习$ h $，其中具有相似的示例和时间复杂性的小$ t $制度。

The stochastic block model (SBM) is a random graph model with planted clusters. It is widely employed as a canonical model to study clustering and community detection, and provides generally a fertile ground to study the statistical and computational tradeoffs that arise in network and data sciences.This note surveys the recent developments that establish the fundamental limits for community detection in the SBM, both with respect to information-theoretic and computational thresholds, and for various recovery requirements such as exact, partial and weak recovery (a.k.a., detection). The main results discussed are the phase transitions for exact recovery at the Chernoff-Hellinger threshold, the phase transition for weak recovery at the Kesten-Stigum threshold, the optimal distortion-SNR tradeoff for partial recovery, the learning of the SBM parameters and the gap between information-theoretic and computational thresholds.The note also covers some of the algorithms developed in the quest of achieving the limits, in particular two-round algorithms via graph-splitting, semi-definite programming, linearized belief propagation, classical and nonbacktracking spectral methods. A few open problems are also discussed.

变形量子算法（VQAS）可以是噪声中间级量子（NISQ）计算机上的量子优势的路径。自然问题是NISQ设备的噪声是否对VQA性能的基本限制。我们严格证明对嘈杂的VQAS进行严重限制，因为噪音导致训练景观具有贫瘠高原（即消失梯度）。具体而言，对于考虑的本地Pauli噪声，我们证明梯度在Qubits $ N $的数量中呈指数呈指数增长，如果Ansatz的深度以$ N $线性增长。这些噪声诱导的贫瘠强韧（NIBPS）在概念上不同于无辐射贫瘠强度，其与随机参数初始化相关联。我们的结果是为通用Ansatz制定的，该通用ansatz包括量子交替运算符ANSATZ和酉耦合簇Ansatz等特殊情况。对于前者来说，我们的数值启发式展示了用于现实硬件噪声模型的NIBP现象。

量子哈密顿学习和量子吉布斯采样的双重任务与物理和化学中的许多重要问题有关。在低温方案中，这些任务的算法通常会遭受施状能力，例如因样本或时间复杂性差而遭受。为了解决此类韧性，我们将量子自然梯度下降的概括引入了参数化的混合状态，并提供了稳健的一阶近似算法，即量子 - 固定镜下降。我们使用信息几何学和量子计量学的工具证明了双重任务的数据样本效率，因此首次将经典Fisher效率的开创性结果推广到变异量子算法。我们的方法扩展了以前样品有效的技术，以允许模型选择的灵活性，包括基于量子汉密尔顿的量子模型，包括基于量子的模型，这些模型可能会规避棘手的时间复杂性。我们的一阶算法是使用经典镜下降二元性的新型量子概括得出的。两种结果都需要特殊的度量选择，即Bogoliubov-Kubo-Mori度量。为了从数值上测试我们提出的算法，我们将它们的性能与现有基准进行了关于横向场ISING模型的量子Gibbs采样任务的现有基准。最后，我们提出了一种初始化策略，利用几何局部性来建模状态的序列（例如量子 - 故事过程）的序列。我们从经验上证明了它在实际和想象的时间演化的经验上，同时定义了更广泛的潜在应用。

我们提出了第一近最优量子算法，用于估计欧几里德的规范，与有限均值和协方差的矢量值随机变量的平均值。我们的结果旨在将多元子高斯估计的理论延伸到量子设置。与经典上不同，如果任何单变量估计器都可以在维度中最多的对数开销转换为多变量估计器，则不会在量子设置中证明类似的结果。实际上，当样品复杂性小于尺寸时，Heinrich排除了平均估计问题的量子优势。我们的主要结果是表明，在这种低精度的方案之外，有一个量子估计值优于任何经典估算器。我们的方法比单变量设置大致涉及，大多数量子估计人员依赖于相位估计。我们利用各种额外的算法技术，如幅度放大，伯恩斯坦 - Vazirani算法和量子奇异值转换。我们的分析还使用多元截断统计的浓度不等式。我们以前在文献中出现的两个不同输入模型中的Quantum估算器。第一个提供对随机变量的二进制表示的相干访问，并且它包含经典设置。在第二模型中，随机变量直接编码到量子寄存器的相位中。该模型在许多量子算法中自然出现，但常常具有古典样品通常是无与伦比的。我们将我们的技术调整为这两个设置，我们表明第二种模型严格较弱，以解决平均估计问题。最后，我们描述了我们的算法的几个应用，特别是在测量通勤可观察到的期望值和机器学习领域时。

Low-rank matrix approximations, such as the truncated singular value decomposition and the rank-revealing QR decomposition, play a central role in data analysis and scientific computing. This work surveys and extends recent research which demonstrates that randomization offers a powerful tool for performing low-rank matrix approximation. These techniques exploit modern computational architectures more fully than classical methods and open the possibility of dealing with truly massive data sets.This paper presents a modular framework for constructing randomized algorithms that compute partial matrix decompositions. These methods use random sampling to identify a subspace that captures most of the action of a matrix. The input matrix is then compressed-either explicitly or implicitly-to this subspace, and the reduced matrix is manipulated deterministically to obtain the desired low-rank factorization. In many cases, this approach beats its classical competitors in terms of accuracy, speed, and robustness. These claims are supported by extensive numerical experiments and a detailed error analysis.The specific benefits of randomized techniques depend on the computational environment. Consider the model problem of finding the k dominant components of the singular value decomposition of an m × n matrix. (i) For a dense input matrix, randomized algorithms require O(mn log(k)) floating-point operations (flops) in contrast with O(mnk) for classical algorithms. (ii) For a sparse input matrix, the flop count matches classical Krylov subspace methods, but the randomized approach is more robust and can easily be reorganized to exploit multi-processor architectures. (iii) For a matrix that is too large to fit in fast memory, the randomized techniques require only a constant number of passes over the data, as opposed to O(k) passes for classical algorithms. In fact, it is sometimes possible to perform matrix approximation with a single pass over the data.