The analysis of network structure is essential to many scientific areas, ranging from biology to sociology. As the computational task of clustering these networks into partitions, i.e., solving the community detection problem, is generally NP-hard, heuristic solutions are indispensable. The exploration of expedient heuristics has led to the development of particularly promising approaches in the emerging technology of quantum computing. Motivated by the substantial hardware demands for all established quantum community detection approaches, we introduce a novel QUBO based approach that only needs number-of-nodes many qubits and is represented by a QUBO-matrix as sparse as the input graph's adjacency matrix. The substantial improvement on the sparsity of the QUBO-matrix, which is typically very dense in related work, is achieved through the novel concept of separation-nodes. Instead of assigning every node to a community directly, this approach relies on the identification of a separation-node set, which -- upon its removal from the graph -- yields a set of connected components, representing the core components of the communities. Employing a greedy heuristic to assign the nodes from the separation-node sets to the identified community cores, subsequent experimental results yield a proof of concept. This work hence displays a promising approach to NISQ ready quantum community detection, catalyzing the application of quantum computers for the network structure analysis of large scale, real world problem instances.

图聚类是将顶点分组为称为簇的密集连接的集合的过程。我们量身定制了从文献到这个问题的两个数学编程公式。在此过程中，我们获得了群体内密度最大化问题的启发式近似。我们使用两种变体的玻尔兹曼机器启发式方法来获得数值解决方案。为了进行基准测试，我们将解决方案质量和计算性能与使用商业求解器Gurobi获得的溶液质量和计算性能进行比较。我们还将聚类质量与使用流行的Louvain模块化最大化方法获得的聚类质量进行了比较。我们的最初结果清楚地表明了我们的问题配方的优势。他们还建立了Boltzmann机器比传统精确求解器的优越性。在较小的图形较小的情况下，Boltzmann机器提供与Gurobi相同的解决方案，但解决方案时间较低。在较大且更复杂的图表的情况下，Gurobi无法在合理的时间范围内返回有意义的结果。最后，我们还注意到，我们的聚类配方，距离最小化和$ k $ - 麦德体的产量簇的质量均优于使用Louvain算法获得的簇。

由于昂贵的挖掘程序，光纤到-UTH（FTTH）网络的扩展会产生高成本。因此，优化规划过程，最大限度地减少地球挖掘工作的成本导致大量节省。在数学上，FTTH网络问题可以被描述为最小的Steiner树问题。尽管在过去的几十年中已经在集中进行了密集地进行了强烈调查了施泰纳的问题，但可以在新的计算范例和新兴方法的帮助下进一步优化。这项工作研究即将到来的技术，例如Quantum退火，模拟退火和自然启发方法，如进化算法或基于粘液模具的优化。此外，我们还调查分区和简化方法。在几个现实生活中评估，我们可以在大多数域上表达传统的广泛使用的基线（NetworkX近似求解器）。先前分区初始图和所呈现的基于粘液模具的方法对于成本有效的近似特别有价值。 Quantum退火似乎很有希望，但受到可用Qubits的数量的限制。

The stochastic block model (SBM) is a random graph model with planted clusters. It is widely employed as a canonical model to study clustering and community detection, and provides generally a fertile ground to study the statistical and computational tradeoffs that arise in network and data sciences.This note surveys the recent developments that establish the fundamental limits for community detection in the SBM, both with respect to information-theoretic and computational thresholds, and for various recovery requirements such as exact, partial and weak recovery (a.k.a., detection). The main results discussed are the phase transitions for exact recovery at the Chernoff-Hellinger threshold, the phase transition for weak recovery at the Kesten-Stigum threshold, the optimal distortion-SNR tradeoff for partial recovery, the learning of the SBM parameters and the gap between information-theoretic and computational thresholds.The note also covers some of the algorithms developed in the quest of achieving the limits, in particular two-round algorithms via graph-splitting, semi-definite programming, linearized belief propagation, classical and nonbacktracking spectral methods. A few open problems are also discussed.

随机块模型（SBM）是一个随机图模型，其连接不同的顶点组不同。它被广泛用作研究聚类和社区检测的规范模型，并提供了肥沃的基础来研究组合统计和更普遍的数据科学中出现的信息理论和计算权衡。该专着调查了最近在SBM中建立社区检测的基本限制的最新发展，无论是在信息理论和计算方案方面，以及各种恢复要求，例如精确，部分和弱恢复。讨论的主要结果是在Chernoff-Hellinger阈值中进行精确恢复的相转换，Kesten-Stigum阈值弱恢复的相变，最佳的SNR - 单位信息折衷的部分恢复以及信息理论和信息理论之间的差距计算阈值。该专着给出了在寻求限制时开发的主要算法的原则推导，特别是通过绘制绘制，半定义编程，（线性化）信念传播，经典/非背带频谱和图形供电。还讨论了其他块模型的扩展，例如几何模型和一些开放问题。

社区检测是网络科学中最重要的方法领域之一，在过去的几十年里引起了大量关注的方法之一。该区域处理网络的自动部门到基础构建块中，目的是提供其大规模结构的概要。尽管它的重要性和广泛的采用普及，所谓的最先进和实际在各种领域实际使用的方法之间存在明显的差距。在这里，我们试图通过根据是否具有“描述性”或“推论”目标来划分现有方法来解决这种差异。虽然描述性方法在基于社区结构的直观概念的网络中找到模式的模式，但是推理方法阐述了精确的生成模型，并尝试将其符合数据。通过这种方式，他们能够为网络形成机制提供见解，并以统计证据支持的方式与随机性的单独结构。我们审查如何使用推论目标采用描述性方法被陷入困境和误导性答案，因此应该一般而言。我们认为推理方法更通常与更清晰的科学问题一致，产生更强大的结果，并且应该是一般的首选。我们试图消除一些神话和半真半假在实践中使用社区检测时，努力改善这些方法的使用以及对结果的解释。

我们解决了与行业相关的尺度上的机器人轨迹计划问题。我们的端到端解决方案将高度通用的随机键算法与模型堆叠和集成技术集成在一起，以及用于溶液细化的路径重新链接。核心优化模块由偏置的随机基遗传算法组成。通过与问题依赖性和问题相关模块的独特分离，我们通过约束的天然编码实现了有效的问题表示。我们表明，对替代算法范式（例如模拟退火）的概括是直接的。我们为行业规模的数据集提供数值基准结果。发现我们的方法始终超过贪婪的基线结果。为了评估当今量子硬件的功能，我们使用Amazon Braket上的QBSOLV在量子退火硬件上获得的经典方法进行了补充。最后，我们展示了如何将后者集成到我们的较大管道中，从而为问题提供了量子准备的混合解决方案。

我们展示了如何使用图形神经网络来解决规范的图形着色问题。我们将颜色框架为多类节点分类问题，并基于统计物理Potts模型利用无监督的培训策略。对其他多级问题（例如社区检测，数据聚类和最低集团封面问题）的概括是简单的。我们提供数值基准结果，并通过端到端的应用程序说明了我们的方法，用于在全面的编码程序框架内实现现实世界调度案例。我们的优化方法在PAR或优于现有求解器上执行，并能够扩展到数百万变量的问题。

距离措施为机器学习和模式识别中的许多流行算法提供了基础。根据算法正在处理的数据类型，可以使用不同的距离概念。对于图形数据，重要概念是图表编辑距离（GED），从而在使它们相同所需的操作方面测量两个图之间的两个图之间的相似度。由于计算GED的复杂性与NP难题相同，因此考虑近似解决方案是合理的。在本文中，我们向计算GED的两个量子方法的比较研究：量子退火和变分量子算法，其分别是指当前可用的两种类型的量子硬件，即量子退火器和基于栅极的量子计算机。考虑到当前嘈杂的中间级量子计算机的状态，我们基于这些量子算法性能的原理上的原理测试研究。

组合优化是运营研究和计算机科学领域的一个公认领域。直到最近，它的方法一直集中在孤立地解决问题实例，而忽略了它们通常源于实践中的相关数据分布。但是，近年来，人们对使用机器学习，尤其是图形神经网络（GNN）的兴趣激增，作为组合任务的关键构件，直接作为求解器或通过增强确切的求解器。GNN的电感偏差有效地编码了组合和关系输入，因为它们对排列和对输入稀疏性的意识的不变性。本文介绍了对这个新兴领域的最新主要进步的概念回顾，旨在优化和机器学习研究人员。

This article explores and analyzes the unsupervised clustering of large partially observed graphs. We propose a scalable and provable randomized framework for clustering graphs generated from the stochastic block model. The clustering is first applied to a sub-matrix of the graph's adjacency matrix associated with a reduced graph sketch constructed using random sampling. Then, the clusters of the full graph are inferred based on the clusters extracted from the sketch using a correlation-based retrieval step. Uniform random node sampling is shown to improve the computational complexity over clustering of the full graph when the cluster sizes are balanced. A new random degree-based node sampling algorithm is presented which significantly improves upon the performance of the clustering algorithm even when clusters are unbalanced. This framework improves the phase transitions for matrix-decomposition-based clustering with regard to computational complexity and minimum cluster size, which are shown to be nearly dimension-free in the low inter-cluster connectivity regime. A third sampling technique is shown to improve balance by randomly sampling nodes based on spatial distribution. We provide analysis and numerical results using a convex clustering algorithm based on matrix completion.

近年来，在平衡（超级）图分配算法的设计和评估中取得了重大进展。我们调查了过去十年的实用算法的趋势，用于平衡（超级）图形分区以及未来的研究方向。我们的工作是对先前有关该主题的调查的更新。特别是，该调查还通过涵盖了超图形分区和流算法来扩展先前的调查，并额外关注并行算法。

近年来，基于Weisfeiler-Leman算法的算法和神经架构，是一个众所周知的Graph同构问题的启发式问题，它成为具有图形和关系数据的机器学习的强大工具。在这里，我们全面概述了机器学习设置中的算法的使用，专注于监督的制度。我们讨论了理论背景，展示了如何将其用于监督的图形和节点表示学习，讨论最近的扩展，并概述算法的连接（置换 - ）方面的神经结构。此外，我们概述了当前的应用和未来方向，以刺激进一步的研究。

许多复杂网络的结构包括其拓扑顶部的边缘方向性和权重。可以无缝考虑这些属性组合的网络分析是可取的。在本文中，我们研究了两个重要的这样的网络分析技术，即中心和聚类。采用信息流基于集群的模型，该模型本身就是在计算中心的信息定理措施时构建。我们的主要捐款包括马尔可夫熵中心的广义模型，灵活地调整节点度，边缘权重和方向的重要性，具有闭合形式的渐近分析。它导致一种新颖的两级图形聚类算法。中心分析有助于推理我们对给定图形的方法的适用性，并确定探索当地社区结构的“查询”节点，从而导致群集聚类机制。熵中心计算由我们的聚类算法摊销，使其计算得高效：与使用马尔可夫熵中心为聚类的先前方法相比，我们的实验表明了多个速度的速度。我们的聚类算法自然地继承了适应边缘方向性的灵活性，以及​​边缘权重和节点度之间的不同解释和相互作用。总的来说，本文不仅具有显着的理论和概念贡献，还转化为实际相关性的文物，产生新的，有效和可扩展的中心计算和图形聚类算法，其有效通过广泛的基准测试进行了验证。

即使在数十年的量子计算开发之后，通常在经典同行中具有指数加速的通常有用量子算法的示例是稀缺的。线性代数定位量子机学习（QML）的量子算法中的最新进展作为这种有用的指数改进的潜在来源。然而，在一个意想不到的发展中，最近一系列的“追逐化”结果同样迅速消除了几个QML算法的指数加速度的承诺。这提出了关键问题是否是其他线性代数QML算法的指数加速度持续存在。在本文中，我们通过该镜头研究了Lloyd，Garnerone和Zanardi的拓扑数据分析算法后面的量子算法方法。我们提供了证据表明，该算法解决的问题通过表明其自然概括与模拟一个清洁量子位模型很难地难以进行棘手的 - 这被广泛认为需要在经典计算机上需要超时时间 - 并且非常可能免疫追逐。基于此结果，我们为等级估计和复杂网络分析等问题提供了许多新的量子算法，以及其经典侵害性的复杂性 - 理论上。此外，我们分析了近期实现的所提出的量子算法的适用性。我们的结果为全面吹嘘和限制的量子计算机提供了许多有用的应用程序，具有古典方法的保证指数加速，恢复了线性代数QML的一些潜力，以成为量子计算的杀手应用之一。

我们考虑了从节点观测值估算多个网络拓扑的问题，其中假定这些网络是从相同（未知）随机图模型中绘制的。我们采用图形作为我们的随机图模型，这是一个非参数模型，可以从中绘制出潜在不同大小的图形。图形子的多功能性使我们能够解决关节推理问题，即使对于要恢复的图形包含不同数量的节点并且缺乏整个图形的精确比对的情况。我们的解决方案是基于将最大似然惩罚与Graphon估计方案结合在一起，可用于增强现有网络推理方法。通过引入嘈杂图抽样信息的强大方法，进一步增强了所提出的联合网络和图形估计。我们通过将其性能与合成和实际数据集中的竞争方法进行比较来验证我们提出的方法。

空间优化问题（SOP）的特征是管理决策变量，目标和/或约束功能的空间关系。在本文中，我们关注一种称为空间分区的特定类型的SOP，这是一个组合问题，这是由于存在离散空间单元。精确的优化方法不会随着问题的大小而扩展，尤其是在可行的时间限制内。这促使我们开发基于人群的元启发式学来解决此类SOP。但是，这些基于人群的方法采用的搜索操作员主要是为实参与者连续优化问题而设计的。为了使这些方法适应SOP，我们将域知识应用于设计空间感知的搜索操作员，以在保留空间约束的同时有效地通过离散搜索空间进行有效搜索。为此，我们提出了一种简单而有效的算法，称为基于群的空间模因算法（空间），并在学校（RE）区域问题上进行测试。对现实世界数据集进行了详细的实验研究，以评估空间的性能。此外，进行消融研究以了解空间各个组成部分的作用。此外，我们讨论空间〜如何在现实生活计划过程及其对不同方案的适用性并激发未来的研究方向有帮助。

We review clustering as an analysis tool and the underlying concepts from an introductory perspective. What is clustering and how can clusterings be realised programmatically? How can data be represented and prepared for a clustering task? And how can clustering results be validated? Connectivity-based versus prototype-based approaches are reflected in the context of several popular methods: single-linkage, spectral embedding, k-means, and Gaussian mixtures are discussed as well as the density-based protocols (H)DBSCAN, Jarvis-Patrick, CommonNN, and density-peaks.

我们呈现Quantumsync，第一个量子算法，用于在计算机视觉上下文中解决同步问题。特别是，我们专注于置换同步，涉及在离散变量中解决非凸优化问题。首先，首先将同步分为二次无约会二进制优化问题（QUBO）。虽然这种制定尊重问题的二进制本质，但确保结果是一系列排列需要额外的护理。因此，我们：（i）展示如何将置换约束插入QUBO问题，并且（ii）解决了在绝热量子计算机D波的当前产生的受限Qubo问题。由于Quantum退火，我们保证了全球最优能力，同时采样能量景观以产生信心估计。我们的概念验证在绝热D波计算机上实现展示量子机器提供了解决普遍又困难的同步问题的有希望的方法。

比较图形等结构的对象是许多学习任务中涉及的基本操作。为此，基于最优传输（OT）的Gromov-Wasserstein（GW）距离已被证明可以成功处理相关对象的特定性质。更具体地说，通过节点连接关系，GW在图表上运行，视为特定空间上的概率测量。在OT的核心处是质量守恒的想法，这在两个被认为的图表中的所有节点之间施加了耦合。我们在本文中争辩说，这种财产可能对图形字典或分区学习等任务有害，我们通过提出新的半轻松的Gromov-Wasserstein发散来放松它。除了立即计算福利之外，我们讨论其属性，并表明它可以导致有效的图表字典学习算法。我们经验展示其对图形上的复杂任务的相关性，例如分区，聚类和完成。