Inverse kinematics of many common types of robot manipulators may be decomposed into canonical subproblems. This paper presents new solution methods to six subproblems using a linear algebra approach. The first three subproblems, called the Paden-Kahan subproblems, are Subproblem 1: angle between a vector on the edge of a cone and a point, Subproblem 2: intersections between two cones, and Subproblem 3: intersections between a cone and a sphere. The other three subproblems, which have not been extensively covered in the literature, are Subproblem 4: intersections between a cone and a plane, Subproblem 5: intersections among three cones, and Subproblem 6: intersections in a system of four cones. We present algebraic solutions and geometric interpretations for each subproblem and provide computational performance comparisons. Our approach also finds the least-squares solutions for Subproblems 1-4 when the exact solution does not exist. We show that almost all 6-dof all revolute (6R) robots with known closed-form solutions may be solved using the subproblem decomposition method. For a general 6R robot, subproblem decomposition reduces finding all solutions to a search on a circle or a 2D torus. The software code is available on a publicly accessible repository.

解决逆运动学问题是针对清晰机器人的运动计划，控制和校准的基本挑战。这些机器人的运动学模型通常通过关节角度进行参数化，从而在机器人构型和最终效果姿势之间产生复杂的映射。或者，可以使用机器人附加点之间的不变距离来表示运动学模型和任务约束。在本文中，我们将基于距离的逆运动学的等效性和大量铰接式机器人和任务约束的距离几何问题进行形式化。与以前的方法不同，我们使用距离几何形状和低级别矩阵完成之间的连接来通过局部优化完成部分欧几里得距离矩阵来找到逆运动学解决方案。此外，我们用固定级革兰氏矩阵的Riemannian歧管来参数欧几里得距离矩阵的空间，从而使我们能够利用各种成熟的Riemannian优化方法。最后，我们表明，绑定的平滑性可用于生成知情的初始化，而无需大量的计算开销，从而改善收敛性。我们证明，我们的逆运动求解器比传统技术获得更高的成功率，并且在涉及许多工作区约束的问题上大大优于它们。

反向运动学（IK）是找到满足一个或多个末端效应器的位置或姿势的限制的机器人联合配置的问题。对于具有冗余自由度的机器人，通常存在无限，不透露的解决方案。当通过工作空间中的障碍施加碰撞限制时，IK问题进一步复杂。通常，不存在产生可行配置的闭合表达，促使使用数值解决方案方法。然而，这些方法依赖于局部优化非凸起问题，通常需要准确的初始化或许多重新初始化来收敛到有效的解决方案。在这项工作中，我们首先将复杂的工作空间约束制定逆运动学，作为凸的可行性问题，其低级可行点提供精确的IK解决方案。然后，我们呈现\ texttt {cidgik}（距离 - 几何反向运动学的凸迭代），这是一种解决这种可行性问题的算法，其具有旨在鼓励低秩最小化的半导体级程序的序列。我们的问题制定优雅地统一机器人的配置空间和工作空间约束：内在机器人几何形状和避免避免都表示为简单的线性矩阵方程和不等式。我们对各种流行的操纵器模型的实验结果比传统的非线性优化的方法更快，更准确的会聚，特别是在具有许多障碍的环境中。

动态极化控制（DPC）对许多光学应用都是有益的。它使用可调节的波形来执行自动极化跟踪和操作。有效的算法对于在高速下实现无尽的极化控制过程至关重要。但是，基于标准梯度的算法尚未很好地分析。在这里，我们用基于雅各布的控制理论框架对DPC进行建模，该框架与机器人运动学有很多共同点。然后，我们将Stokes矢量梯度的状况作为Jacobian矩阵进行详细分析。我们将多阶段DPC识别为冗余系统，启用具有空空间操作的控制算法。可以找到一种有效的，无复位的算法。我们预计更多定制的DPC算法将在各种光学系统中遵循相同的框架。

Solving the analytical inverse kinematics (IK) of redundant manipulators in real time is a difficult problem in robotics since its solution for a given target pose is not unique. Moreover, choosing the optimal IK solution with respect to application-specific demands helps to improve the robustness and to increase the success rate when driving the manipulator from its current configuration towards a desired pose. This is necessary, especially in high-dynamic tasks like catching objects in mid-flights. To compute a suitable target configuration in the joint space for a given target pose in the trajectory planning context, various factors such as travel time or manipulability must be considered. However, these factors increase the complexity of the overall problem which impedes real-time implementation. In this paper, a real-time framework to compute the analytical inverse kinematics of a redundant robot is presented. To this end, the analytical IK of the redundant manipulator is parameterized by so-called redundancy parameters, which are combined with a target pose to yield a unique IK solution. Most existing works in the literature either try to approximate the direct mapping from the desired pose of the manipulator to the solution of the IK or cluster the entire workspace to find IK solutions. In contrast, the proposed framework directly learns these redundancy parameters by using a neural network (NN) that provides the optimal IK solution with respect to the manipulability and the closeness to the current robot configuration. Monte Carlo simulations show the effectiveness of the proposed approach which is accurate and real-time capable ($\approx$ \SI{32}{\micro\second}) on the KUKA LBR iiwa 14 R820.

Many problems in robotics are fundamentally problems of geometry, which lead to an increased research effort in geometric methods for robotics in recent years. The results were algorithms using the various frameworks of screw theory, Lie algebra and dual quaternions. A unification and generalization of these popular formalisms can be found in geometric algebra. The aim of this paper is to showcase the capabilities of geometric algebra when applied to robot manipulation tasks. In particular the modelling of cost functions for optimal control can be done uniformly across different geometric primitives leading to a low symbolic complexity of the resulting expressions and a geometric intuitiveness. We demonstrate the usefulness, simplicity and computational efficiency of geometric algebra in several experiments using a Franka Emika robot. The presented algorithms were implemented in c++20 and resulted in the publicly available library \textit{gafro}. The benchmark shows faster computation of the kinematics than state-of-the-art robotics libraries.

图像是航天器导航和观察到的空间对象的三维重建的重要信息来源。当相机具有已知态度时，这两种应用都采用三角剖分问题的形式，并且从图像中提取的测量值是视线（LOS）方向。这项工作对三角剖分的历史和理论基础进行了全面的综述。回顾了多种经典三角算法，包括许多次优线性方法（许多LOS测量值）和Hartley和Sturm的最佳方法（只有两个LOS测量）。结果表明，使用新的线性最佳正弦三角剖分（丢失）方法，可以在没有迭代作为线性系统的情况下解决最佳的多测量情况。在仅进行两次测量的情况下，Hartley和Sturm的丢失和多项式方法都提供了相同的结果。通过一些数值示例评估了各种三角测量算法，包括行星地形相对导航，天王星的仅角度光学导航，巴黎圣母院的3-D重建以及仅角度的相对导航。

诸如操纵器之类的铰接机器人必须在不确定和动态的环境中运行，例如，相互作用（例如与人类同事）是必要的。在这种情况下，必须快速适应操作空间限制的意外变化的能力至关重要。在操纵器的配置空间中的某些点（称为奇异点），机器人失去了一个或多个自由度（DOF），并且无法在特定的操作空间方向上移动。无法在操作空间中朝任意方向移动会损害适应性和安全性。我们引入了一个几何感知奇异性索引，该索引在对称正定定义矩阵上使用Riemannian度量定义，以提供与奇异构型的接近度的度量。我们证明我们的索引避免了其他共同指数固有的某些故障模式和困难。此外，我们表明该索引可以轻松区分，使其与用于操作空间控制的局部优化方法兼容。我们的实验结果表明，对于遵循任务的到达和路径，基于我们的索引优化优于一种常见的可操作性最大化技术，并确保奇异性运动动作。

The increasing interest in autonomous robots with a high number of degrees of freedom for industrial applications and service robotics demands control algorithms to handle multiple tasks as well as hard constraints efficiently. This paper presents a general framework in which both kinematic (velocity- or acceleration-based) and dynamic (torque-based) control of redundant robots are handled in a unified fashion. The framework allows for the specification of redundancy resolution problems featuring a hierarchy of arbitrary (equality and inequality) constraints, arbitrary weighting of the control effort in the cost function and an additional input used to optimize possibly remaining redundancy. To solve such problems, a generalization of the Saturation in the Null Space (SNS) algorithm is introduced, which extends the original method according to the features required by our general control framework. Variants of the developed algorithm are presented, which ensure both efficient computation and optimality of the solution. Experiments on a KUKA LBRiiwa robotic arm, as well as simulations with a highly redundant mobile manipulator are reported.

操纵器运动学与操纵器中每个链路的运动有关，而无需考虑质量或力。在本文中，这是两部分教程中的第一个，我们使用基本变换序列（ETS）为建模操纵器运动学提供了介绍。然后，我们制定了一阶差异运动学，该运动学导致操纵器雅各布式，这是速度控制和逆运动学的基础。我们描述了基本的古典技术，这些技术在展示一些当代应用之前依赖于操纵器Jacobian。本教程的第二部分提供了第二和高阶差异运动学的配方，介绍了操纵器Hessian，并说明了先进的技术，其中一些提高了第一部分中所示的技术的性能本教程。这些笔记本是用Python代码编写的，并使用python的机器人工具箱，以及Swift Simulator提供算法的示例和实现。虽然不是绝对必要的，但对于最吸引人和信息丰富的经验，我们建议在阅读本文时使用Jupyter笔记本。笔记本和设置说明可以在https://github.com/jhavl/dkt上访问。

机器人社区在为软机器人设备建模提供的理论工具的复杂程度中看到了指数增长。已经提出了不同的解决方案以克服与软机器人建模相关的困难，通常利用其他科学学科，例如连续式机械和计算机图形。这些理论基础通常被认为是理所当然的，这导致复杂的文献，因此，从未得到完整审查的主题。Withing这种情况下，提交的文件的目标是双重的。突出显示涉及建模技术的不同系列的常见理论根源，采用统一语言，以简化其主要连接和差异的分析。因此，对上市接近自然如下，并最终提供在该领域的主要作品的完整，解开，审查。

通常，地形几何形状是非平滑的，非线性的，非凸的，如果通过以机器人为中心的视觉单元感知，则似乎部分被遮住且嘈杂。这项工作介绍了能够实时处理上述问题的完整控制管道。我们制定了一个轨迹优化问题，该问题可以在基本姿势和立足点上共同优化，但要遵守高度图。为了避免收敛到不良的本地Optima，我们部署了逐步的优化技术。我们嵌入了一个紧凑的接触式自由稳定性标准，该标准与非平板地面公式兼容。直接搭配用作转录方法，导致一个非线性优化问题，可以在少于十毫秒内在线解决。为了在存在外部干扰的情况下增加鲁棒性，我们用动量观察者关闭跟踪环。我们的实验证明了爬楼梯，踏上垫脚石上的楼梯，并利用各种动态步态在缝隙上。

This paper considers a combination of actuation tendons and measurement strings to achieve accurate shape sensing and direct kinematics of continuum robots. Assuming general string routing, a methodical Lie group formulation for the shape sensing of these robots is presented. The shape kinematics is expressed using arc-length-dependent curvature distributions parameterized by modal functions, and the Magnus expansion for Lie group integration is used to express the shape as a product of exponentials. The tendon and string length kinematic constraints are solved for the modal coefficients and the configuration space and body Jacobian are derived. The noise amplification index for the shape reconstruction problem is defined and used for optimizing the string/tendon routing paths, and a planar simulation study shows the minimal number of strings/tendons needed for accurate shape reconstruction. A torsionally stiff continuum segment is used for experimental evaluation, demonstrating mean (maximal) end-effector absolute position error of less than 2% (5%) of total length. Finally, a simulation study of a torsionally compliant segment demonstrates the approach for general deflections and string routings. We believe that the methods of this paper can benefit the design process, sensing and control of continuum and soft robots.

我们提供了悖论性的闭环$ n $ linkages的完整分类，其中$ n \ geq6 $的移动性$ n-4 $或更高版本包含revolute，Prismatic或Helical关节。我们还明确地写下了$ nr $ links $ n-5 $的$ nr $链接的强大必要条件。我们的主要新工具是链接$ l $与另一个链接$ l'$之间的几何关系，这是由于将方程式添加到$ l $的配置空间而产生的。然后，我们使用此关系提高了$ l'ub $ $ l $的已知分类结果。

这是关于操纵器差异运动学教程的第二篇也是最后一篇文章。在第一部分中，我们描述了一种使用基本变换序列（ET）建模运动学的方法，然后在制定前向运动学和操纵器Jacobian之前。然后，我们描述了操纵器Jacobian的一些基本应用，包括分辨率运动控制（RRMC），逆运动学（IK）和一些操纵器性能指标。在本文中，我们制定了二阶差异运动学，从而定义了操纵器Hessian。然后，我们描述了差异运动学的分析形式，这对于动态应用至关重要。随后，我们为高阶导数提供了一般公式。我们考虑的第一个应用程序是高级速度控制。在本节中，我们将解决的速率运动控制扩展到执行子任务，同时仍然实现目标，然后重新定义算法作为二次程序，以实现更大的灵活性和其他约束。然后，我们再次看一下数值逆运动学，重点是增加约束。最后，我们分析了操纵者黑森州如何帮助逃脱奇异性。我们提供了Jupyter笔记本，以陪同本教程中的每个部分。这些笔记本是用Python代码编写的，并使用python的机器人工具箱，以及Swift Simulator提供算法的示例和实现。虽然不是绝对必要的，但对于最吸引人和信息丰富的经验，我们建议在阅读本文时使用Jupyter笔记本。笔记本和设置说明可以在https://github.com/jhavl/dkt上访问。

本文采取了一步，为人形机器人提供自适应形态能力。我们提出了一种系统的方法，可以使机器人盖变形其形状，其整体尺寸适合人体机器人的人体测量值。更确切地说，我们提出了一个封面概念，该概念由两个主要组成部分组成：骨骼，这是一个称为Node的基本元素和一个软膜的重复，该元素将盖子包裹起来并用其运动构成变形。本文重点关注盖子骨骼，并解决了节点设计，系统建模，电动机定位以及变形系统的控制设计的挑战性问题。封面建模侧重于运动学，并提出了定义系统运动限制的系统方法。然后，我们应用遗传算法来找到运动位置，以使变形盖完全致动。最后，我们提出了控制算法，使覆盖物变为随时间变化的形状。通过进行四个不同的方尺寸盖，分别具有3x3、4x8、8x8和20x20节点的运动学模拟来验证整个方法。对于每个封面，我们应用遗传算法来选择运动位置并执行模拟以跟踪所需形状。仿真结果表明，提出的方法可确保封面跟踪具有良好跟踪性能的所需形状。

运动结构在现实世界中非常普遍。它们范围从简单的铰接物对象到复杂的机械系统。但是，尽管它们相关，但大多数基于模型的3D跟踪方法仅考虑刚性对象。为了克服这一限制，我们提出了一个灵活的框架，该框架允许将现有的6DOF算法扩展到运动结构。我们的方法着重于采用类似牛顿的优化技术的方法，这些方法广泛用于对象跟踪中。该框架考虑了树状和封闭的运动学结构，并允许对关节和约束的灵活配置。为了从单个刚体到多体系统的项目方程式，使用了雅各布人。对于封闭的运动链，开发了一种具有Lagrange乘数的新型配方。在详细的数学证明中，我们表明我们的约束配方会导致精确的运动解，并在单个迭代中收敛。基于提出的框架，我们将ICG扩展到了最新的刚性对象跟踪算法，将其扩展到多体跟踪。为了进行评估，我们创建了一个高度现实的合成数据集，该数据集具有大量序列和各种机器人。基于此数据集，我们进行了多种实验，这些实验证明了开发框架和我们的多体跟踪器的出色性能。

Continuous formulations of trajectory planning problems have two main benefits. First, constraints are guaranteed to be satisfied at all times. Secondly, dynamic obstacles can be naturally considered with time. This paper introduces a novel B-spline based trajectory optimization method for multi-jointed robots that provides a continuous trajectory with guaranteed continuous constraints satisfaction. At the core of this method, B-spline basic operations, like addition, multiplication, and derivative, are rigorously defined and applied for problem formulation. B-spline unique characteristics, such as the convex hull and smooth curves properties, are utilized to reformulate the original continuous optimization problem into a finite-dimensional problem. Collision avoidance with static obstacles is achieved using the signed distance field, while that with dynamic obstacles is accomplished via constructing time-varying separating hyperplanes. Simulation results on various robots validate the effectiveness of the algorithm. In addition, this paper provides experimental validations with a 6-link FANUC robot avoiding static and moving obstacles.

在本文中，提议通过优化投影球上的射线对来解决校准全向相机的三角剖分问题。所提出的解决方案归结为找到二次函数的根，因此与以前的方法相比，封闭形式是完全非介绍性和计算便宜的。此外，甚至认为动机显然是解决全向相机的三角剖分问题，也证明了所提出的方法可以应用于非运动，狭窄的视野摄像机。

受约束运动控制的最新进展使其成为在具有挑战性的任务中使用任意几何形状控制机器人的有吸引力的策略。当前大多数作品都假定机器人运动模型足够精确，可以完成手头的任务。但是，随着机器人应用的需求和安全要求的增加，需要在线补偿运动学不准确的控制器。我们提出了基于二次编程的自适应约束运动控制策略，该策略使用部分或完整的任务空间测量来补偿在线校准错误。与最先进的运动学控制策略相比，我们的方法在实验中得到了验证。