Many problems in robotics are fundamentally problems of geometry, which lead to an increased research effort in geometric methods for robotics in recent years. The results were algorithms using the various frameworks of screw theory, Lie algebra and dual quaternions. A unification and generalization of these popular formalisms can be found in geometric algebra. The aim of this paper is to showcase the capabilities of geometric algebra when applied to robot manipulation tasks. In particular the modelling of cost functions for optimal control can be done uniformly across different geometric primitives leading to a low symbolic complexity of the resulting expressions and a geometric intuitiveness. We demonstrate the usefulness, simplicity and computational efficiency of geometric algebra in several experiments using a Franka Emika robot. The presented algorithms were implemented in c++20 and resulted in the publicly available library \textit{gafro}. The benchmark shows faster computation of the kinematics than state-of-the-art robotics libraries.

机器人社区在为软机器人设备建模提供的理论工具的复杂程度中看到了指数增长。已经提出了不同的解决方案以克服与软机器人建模相关的困难，通常利用其他科学学科，例如连续式机械和计算机图形。这些理论基础通常被认为是理所当然的，这导致复杂的文献，因此，从未得到完整审查的主题。Withing这种情况下，提交的文件的目标是双重的。突出显示涉及建模技术的不同系列的常见理论根源，采用统一语言，以简化其主要连接和差异的分析。因此，对上市接近自然如下，并最终提供在该领域的主要作品的完整，解开，审查。

解决逆运动学问题是针对清晰机器人的运动计划，控制和校准的基本挑战。这些机器人的运动学模型通常通过关节角度进行参数化，从而在机器人构型和最终效果姿势之间产生复杂的映射。或者，可以使用机器人附加点之间的不变距离来表示运动学模型和任务约束。在本文中，我们将基于距离的逆运动学的等效性和大量铰接式机器人和任务约束的距离几何问题进行形式化。与以前的方法不同，我们使用距离几何形状和低级别矩阵完成之间的连接来通过局部优化完成部分欧几里得距离矩阵来找到逆运动学解决方案。此外，我们用固定级革兰氏矩阵的Riemannian歧管来参数欧几里得距离矩阵的空间，从而使我们能够利用各种成熟的Riemannian优化方法。最后，我们表明，绑定的平滑性可用于生成知情的初始化，而无需大量的计算开销，从而改善收敛性。我们证明，我们的逆运动求解器比传统技术获得更高的成功率，并且在涉及许多工作区约束的问题上大大优于它们。

空中操纵器（AM）表现出特别具有挑战性的非线性动力学；无人机和操纵器携带的是一个紧密耦合的动态系统，相互影响。描述这些动力学的数学模型构成了非线性控制和深度强化学习中许多解决方案的核心。传统上，动力学的配方涉及在拉格朗日框架中的欧拉角参数化或牛顿 - 欧拉框架中的四元素参数化。前者的缺点是诞生奇异性，而后者在算法上是复杂的。这项工作提出了一个混合解决方案，结合了两者的好处，即利用拉格朗日框架的四元化方法，将无奇异参数化与拉格朗日方法的算法简单性联系起来。我们通过提供有关运动学建模过程的详细见解以及一般空中操纵器动力学的表述。获得的动力学模型对实时物理引擎进行了实验验证。获得的动力学模型的实际应用显示在计算的扭矩反馈控制器（反馈线性化）的上下文中，我们通过日益复杂的模型分析其实时功能。

近二十年来，软机器人技术一直是机器人社区中的一个热门话题。但是，对于软机器人进行建模和分析的可用工具仍然有限。本文介绍了一个用户友好的MATLAB工具箱Soft Robot Simulator（Sorosim），该工具集合了Cosserat杆的几何变量应变（GVS）模型，以促进对软，刚性或混合机器人系统的静态和动力分析。我们简要概述了工具箱的设计和结构，并通过将其结果与文献中发布的结果进行比较。为了突出该工具箱有效建模，模拟，优化和控制各种机器人系统的潜力，我们演示了四个示例应用程序。所示的应用探索了单，分支，开放式和闭合链机器人系统的不同执行器和外部加载条件。我们认为，软机器人研究社区将从Sorosim工具箱中大大受益，用于多种应用。

This is a follow-up tutorial article of our previous article entitled "Robot Basics: Representation, Rotation and Velocity". For better understanding of the topics covered in this articles, we recommend the readers to first read our previous tutorial article on robot basics. Specifically, in this article, we will cover some more advanced topics on robot kinematics, including robot motion, forward kinematics, inverse kinematics, and robot dynamics. For the topics, terminologies and notations introduced in the previous article, we will use them directly without re-introducing them again in this article. Also similar to the previous article, math and formulas will also be heavily used in this article as well (hope the readers are well prepared for the upcoming math bomb). After reading this article, readers should be able to have a deeper understanding about how robot motion, kinematics and dynamics. As to some more advanced topics about robot control, we will introduce them in the following tutorial articles for readers instead.

该论文提出了一个计划者，以使用质心动力学和人形机器人的完整运动学来产生步行轨迹。机器人与行走表面之间的相互作用是通过新条件明确建模的，即\ emph {动态互补性约束}。该方法不需要预定义的接触序列，并自动生成脚步。我们通过一组任务来表征机器人控制目标，并通过解决最佳控制问题来解决它。我们表明，可以通过指定最小的参考集，例如恒定所需的质量速度中心和地面上的参考点来自动实现行走运动。此外，我们分析了接触模型选择如何影响计算时间。我们通过为人形机器人ICUB生成和测试步行轨迹来验证该方法。

Force modulation of robotic manipulators has been extensively studied for several decades. However, it is not yet commonly used in safety-critical applications due to a lack of accurate interaction contact modeling and weak performance guarantees - a large proportion of them concerning the modulation of interaction forces. This study presents a high-level framework for simultaneous trajectory optimization and force control of the interaction between a manipulator and soft environments, which is prone to external disturbances. Sliding friction and normal contact force are taken into account. The dynamics of the soft contact model and the manipulator are simultaneously incorporated in a trajectory optimizer to generate desired motion and force profiles. A constrained optimization framework based on Alternative Direction Method of Multipliers (ADMM) has been employed to efficiently generate real-time optimal control inputs and high-dimensional state trajectories in a Model Predictive Control fashion. Experimental validation of the model performance is conducted on a soft substrate with known material properties using a Cartesian space force control mode. Results show a comparison of ground truth and real-time model-based contact force and motion tracking for multiple Cartesian motions in the valid range of the friction model. It is shown that a contact model-based motion planner can compensate for frictional forces and motion disturbances and improve the overall motion and force tracking accuracy. The proposed high-level planner has the potential to facilitate the automation of medical tasks involving the manipulation of compliant, delicate, and deformable tissues.

在粗糙的地形上的动态运动需要准确的脚部放置，避免碰撞以及系统的动态不足的计划。在存在不完美且常常不完整的感知信息的情况下，可靠地优化此类动作和互动是具有挑战性的。我们提出了一个完整的感知，计划和控制管道，可以实时优化机器人所有自由度的动作。为了减轻地形所带来的数值挑战，凸出不平等约束的顺序被提取为立足性可行性的局部近似值，并嵌入到在线模型预测控制器中。每个高程映射预先计算了步骤性分类，平面分割和签名的距离场，以最大程度地减少优化过程中的计算工作。多次射击，实时迭代和基于滤波器的线路搜索的组合用于可靠地以高速率解决该法式问题。我们在模拟中的间隙，斜率和踏上石头的情况下验证了所提出的方法，并在Anymal四倍的平台上进行实验，从而实现了最新的动态攀登。

每日操纵任务的特征是与动作和对象形状相关的几何基原始人。这样的几何描述符仅通过使用笛卡尔坐标系统而差异很差。在本文中，我们提出了一种学习方法，以从坐标系词典中提取最佳表示，以编码观察到的运动/行为。这是通过在Riemannian歧管上使用高斯分布的扩展来实现的，该分布用于通过将多个几何形状作为任务的候选表示来分析一组用户演示。我们根据迭代线性二次调节器（ILQR）提出了复制问题作为一般最佳控制问题，其中使用提取的坐标系中的高斯分布来定义成本函数。我们将方法应用于模拟和7轴Franka Emika机器人中的对象抓握和箱式打开任务。结果表明，机器人可以利用几个几何形状来执行操纵任务并将其推广到新情况下，通过维护感兴趣的坐标系中任务的不变特征。

用无人驾驶飞行器（无人机）的操纵和抓住目前需要准确定位，并且通常以减小的速度执行，以确保成功的掌握。这是由于典型的无人机只能容纳具有少量自由度的刚性机械手，这限制了它们可以补偿由车辆定位误差引起的扰动的能力。此外，无人机必须最小化外部接触力以保持稳定性。另一方面，生物系统利用柔软度来克服类似的限制，并利用遵守来实现积极的抓握。本文调查了软空气机械手的控制和轨迹优化，由四射线和肌腱驱动的软夹持器组成，其中可以充分利用柔软度的优点。据我们所知，这是软操作和UAV控制之间交叉路口的第一个工作。我们介绍了四轮电机和软夹具的解耦方法，组合（i）几何控制器和四峰值（刚性）基础的最小拍摄轨迹优化，（ii）准静态有限元模型和控制空间软夹具的插值。我们证明了尽管添加了软载荷，但几何控制器渐近稳定了四轮流速度和姿态。最后，我们在逼真的软动力学模拟器中评估所提出的系统，并表明：（i）几何控制器对软有效载荷相对不敏感，（ii）尽管定位和初始条件不准确和初始条件，平台可以可靠地掌握未知对象，以及（iii）解耦控制器可用于实时执行。

使用逆动力学的最佳控制（OC）提供了数值益处，例如粗略优化，更便宜的衍生物计算和高收敛速率。但是，为了利用腿部机器人的模型预测控制（MPC）中的这些好处，有效处理其大量平等约束至关重要。为此，我们首先（i）提出了一种新的方法来处理基于NullSpace参数化的平等约束。我们的方法可以适当地平衡最优性，以及动态和平等构成可行性，从而增加了吸引到良好本地最小值的盆地。为此，我们（ii）（ii）通过合并功能功能来调整以可行性为导向的搜索。此外，我们介绍了（iii）的（iii）对考虑任意执行器模型的反向动力学的凝结公式。我们还基于感知运动框架中基于反向动力学的新型MPC（iv）。最后，我们提出（v）最佳控制与正向动力学和逆动力学的理论比较，并通过数值评估。我们的方法使逆动力学MPC在硬件上首次应用，从而在Anymal机器人上进行了最新的动态攀登。我们在广泛的机器人问题上进行基准测试，并产生敏捷和复杂的动作。我们显示了我们的无空间分辨率和凝结配方的计算降低（高达47.3％）。我们通过以高收敛速率解决粗略优化问题（最多10 Hz离散化）来提供方法的益处。我们的算法在Crocoddyl内公开可用。

将机器人放置在受控条件外，需要多功能的运动表示，使机器人能够学习新任务并使其适应环境变化。在工作区中引入障碍或额外机器人的位置，由于故障或运动范围限制导致的关节范围的修改是典型的案例，适应能力在安全地执行机器人任务的关键作用。已经提出了代表适应性运动技能的概率动态（PROMP），其被建模为轨迹的高斯分布。这些都是在分析讲道的，可以从少数演示中学习。然而，原始PROMP制定和随后的方法都仅为特定运动适应问题提供解决方案，例如障碍避免，以及普遍的，统一的适应概率方法缺失。在本文中，我们开发了一种用于调整PROMP的通用概率框架。我们统一以前的适应技术，例如，各种类型的避避，通过一个框架，互相避免，在一个框架中，并将它们结合起来解决复杂的机器人问题。另外，我们推导了新颖的适应技术，例如时间上未结合的通量和互相避免。我们制定适应作为约束优化问题，在那里我们最小化适应的分布与原始原始的分布之间的kullback-leibler发散，而我们限制了与不希望的轨迹相关的概率质量为低电平。我们展示了我们在双机器人手臂设置中的模拟平面机器人武器和7-DOF法兰卡 - Emika机器人的若干适应问题的方法。

运动结构在现实世界中非常普遍。它们范围从简单的铰接物对象到复杂的机械系统。但是，尽管它们相关，但大多数基于模型的3D跟踪方法仅考虑刚性对象。为了克服这一限制，我们提出了一个灵活的框架，该框架允许将现有的6DOF算法扩展到运动结构。我们的方法着重于采用类似牛顿的优化技术的方法，这些方法广泛用于对象跟踪中。该框架考虑了树状和封闭的运动学结构，并允许对关节和约束的灵活配置。为了从单个刚体到多体系统的项目方程式，使用了雅各布人。对于封闭的运动链，开发了一种具有Lagrange乘数的新型配方。在详细的数学证明中，我们表明我们的约束配方会导致精确的运动解，并在单个迭代中收敛。基于提出的框架，我们将ICG扩展到了最新的刚性对象跟踪算法，将其扩展到多体跟踪。为了进行评估，我们创建了一个高度现实的合成数据集，该数据集具有大量序列和各种机器人。基于此数据集，我们进行了多种实验，这些实验证明了开发框架和我们的多体跟踪器的出色性能。

如果机器人曾经实现与动物所展示的机器人相当的自动运动，则它们必须获得在损害，故障或环境条件下快速恢复运动行为的能力，从而损害了其有效移动的能力。我们提出了一种方法，该方法使我们的机器人和模拟机器人能够在几十次尝试中恢复自由运动行为的高度。我们的方法采用行为规范，以等级的差异约束来表达所需的行为。我们展示了如何通过编码模板来考虑这些约束，从而产生了将先前优化的行为推广到新情况下以快速学习的形式概括的秘诀。我们进一步说明，在数据驱动的上下文中，足够的限制通常很容易确定。作为例证，我们证明了我们在物理7 DOF六型六杆元机器人上的恢复方法，以及对6 DOF 2D运动机制的模拟。在这两种情况下，我们恢复了与先前优化的运动在功能上无法区分的行为。

飞行操纵器是带有附着的刚性机器人的空中无人机，属于机器人的最新和最积极开发的研究领域。这些臂的刚性性质往往缺乏遵守，灵活性和运动平滑。这项工作建议使用柔软的机器人臂连接到全向微空中飞行器（OMAV），以利用臂的柔顺和灵活的行为，同时留下可操纵和动态的，感谢全向无人机作为浮座。随机臂的统一在这种组合平台的建模和控制中造成挑战;这些挑战是通过这项工作解决的。我们基于三个建模原理提出了飞行机械手的统一模型：分段恒定曲率（PCC）和增强刚体模型（ABBM）假设用于建模软连续式机器人和传统刚体机器人借用的浮动基础方法文学。为了演示该参数化的有效性和有用性，实现了一种基于分层模型的反馈控制器。在各种动态任务的模拟中验证并评估控制器，其中检查并验证了该平台的无缺陷运动，干扰恢复和轨迹跟踪能力。软飞行机械手平台可以在空中建筑，货物交付，人力援助，维护和仓库自动化中打开新的应用领域。

Solving the analytical inverse kinematics (IK) of redundant manipulators in real time is a difficult problem in robotics since its solution for a given target pose is not unique. Moreover, choosing the optimal IK solution with respect to application-specific demands helps to improve the robustness and to increase the success rate when driving the manipulator from its current configuration towards a desired pose. This is necessary, especially in high-dynamic tasks like catching objects in mid-flights. To compute a suitable target configuration in the joint space for a given target pose in the trajectory planning context, various factors such as travel time or manipulability must be considered. However, these factors increase the complexity of the overall problem which impedes real-time implementation. In this paper, a real-time framework to compute the analytical inverse kinematics of a redundant robot is presented. To this end, the analytical IK of the redundant manipulator is parameterized by so-called redundancy parameters, which are combined with a target pose to yield a unique IK solution. Most existing works in the literature either try to approximate the direct mapping from the desired pose of the manipulator to the solution of the IK or cluster the entire workspace to find IK solutions. In contrast, the proposed framework directly learns these redundancy parameters by using a neural network (NN) that provides the optimal IK solution with respect to the manipulability and the closeness to the current robot configuration. Monte Carlo simulations show the effectiveness of the proposed approach which is accurate and real-time capable ($\approx$ \SI{32}{\micro\second}) on the KUKA LBR iiwa 14 R820.

在本次调查中，我们介绍了执行需要不同于环境的操作任务的机器人的当前状态，使得机器人必须隐含地或明确地控制与环境的接触力来完成任务。机器人可以执行越来越多的人体操作任务，并且在1）主题上具有越来越多的出版物，其执行始终需要联系的任务，并且通过利用完美的任务来减轻环境来缓解不确定性信息，可以在没有联系的情况下进行。最近的趋势已经看到机器人在留下的人类留给人类，例如按摩，以及诸如PEG孔的经典任务中，对其他类似任务的概率更有效，更好的误差容忍以及更快的规划或学习任务。因此，在本调查中，我们涵盖了执行此类任务的机器人的当前阶段，从调查开始所有不同的联系方式机器人可以执行，观察这些任务是如何控制和表示的，并且最终呈现所需技能的学习和规划完成这些任务。

在本文中，我们提出了一种新的运动计划，用于通过使用人类演示并利用运动的螺钉几何形状来执行复杂的操纵任务。我们考虑复杂的操纵任务，其中对机器人终端效应器的运动有限制。此类任务的示例包括打开门，打开抽屉，将颗粒材料从一个容器中转移到另一个容器到另一个容器，然后将菜肴加载到洗碗机上。我们的方法由两个步骤组成：首先，使用这样一个事实，即可以通过使用一系列恒定螺钉运动来近似机器人任务空间中的运动，我们将人的演示分为一系列恒定螺钉运动。其次，我们使用分段螺钉通过螺钉线性插值来生成运动计划，以实现相同任务的其他实例。螺钉分割的使用使我们能够以无坐标的方式捕获演示的不变性，从而使我们能够计划从一个示例中为不同的任务实例计划。我们对各种操纵场景提出了广泛的实验结果，表明我们的方法可以在各种操纵任务中使用。

通常，地形几何形状是非平滑的，非线性的，非凸的，如果通过以机器人为中心的视觉单元感知，则似乎部分被遮住且嘈杂。这项工作介绍了能够实时处理上述问题的完整控制管道。我们制定了一个轨迹优化问题，该问题可以在基本姿势和立足点上共同优化，但要遵守高度图。为了避免收敛到不良的本地Optima，我们部署了逐步的优化技术。我们嵌入了一个紧凑的接触式自由稳定性标准，该标准与非平板地面公式兼容。直接搭配用作转录方法，导致一个非线性优化问题，可以在少于十毫秒内在线解决。为了在存在外部干扰的情况下增加鲁棒性，我们用动量观察者关闭跟踪环。我们的实验证明了爬楼梯，踏上垫脚石上的楼梯，并利用各种动态步态在缝隙上。