我们研究了重整化组（RG）和深神经网络之间的类比，其中随后的神经元层类似于沿RG的连续步骤。特别地，我们通过在抽取RG下明确计算在DIMIMATION RG下的一个和二维insing模型中的相对熵或kullback-leibler发散，以及作为深度的函数的前馈神经网络中的相对熵或kullback-leibler发散。我们观察到单调增加到参数依赖性渐近值的定性相同的行为。在量子场理论方面，单调增加证实了相对熵和C定理之间的连接。对于神经网络，渐近行为可能对机器学习中的各种信息最大化方法以及解开紧凑性和概括性具有影响。此外，虽然我们考虑的二维误操作模型和随机神经网络都表现出非差异临界点，但是对任何系统的相位结构的相对熵看起来不敏感。从这个意义上讲，需要更精细的探针以充分阐明这些模型中的信息流。

我们开发了一种多尺度方法，以从实验或模拟中观察到的物理字段或配置的数据集估算高维概率分布。通过这种方式，我们可以估计能量功能（或哈密顿量），并有效地在从统计物理学到宇宙学的各个领域中生成多体系统的新样本。我们的方法 - 小波条件重新归一化组（WC-RG） - 按比例进行估算，以估算由粗粒磁场来调节的“快速自由度”的条件概率的模型。这些概率分布是由与比例相互作用相关的能量函数建模的，并以正交小波为基础表示。 WC-RG将微观能量函数分解为各个尺度上的相互作用能量之和，并可以通过从粗尺度到细度来有效地生成新样品。近相变，它避免了直接估计和采样算法的“临界减速”。理论上通过结合RG和小波理论的结果来解释这一点，并为高斯和$ \ varphi^4 $字段理论进行数值验证。我们表明，多尺度WC-RG基于能量的模型比局部电位模型更通用，并且可以在所有长度尺度上捕获复杂的多体相互作用系统的物理。这是针对反映宇宙学中暗物质分布的弱透镜镜头的，其中包括与长尾概率分布的长距离相互作用。 WC-RG在非平衡系统中具有大量的潜在应用，其中未知基础分布{\ it先验}。最后，我们讨论了WC-RG和深层网络体系结构之间的联系。

经常性神经网络（RNNS）是强大的动态模型，广泛用于机器学习（ML）和神经科学。之前的理论作品集中在具有添加剂相互作用的RNN上。然而，门控 - 即乘法 - 相互作用在真神经元中普遍存在，并且也是ML中最佳性能RNN的中心特征。在这里，我们表明Gating提供灵活地控制集体动态的两个突出特征：i）时间尺寸和ii）维度。栅极控制时间尺度导致新颖的稳定状态，网络用作灵活积分器。与以前的方法不同，Gating允许这种重要功能而没有参数微调或特殊对称。门还提供一种灵活的上下文相关机制来重置存储器跟踪，从而补充存储器功能。调制维度的栅极可以诱导新颖的不连续的混沌转变，其中输入将稳定的系统推向强的混沌活动，与通常稳定的输入效果相比。在这种转变之上，与添加剂RNN不同，关键点（拓扑复杂性）的增殖与混沌动力学的外观解耦（动态复杂性）。丰富的动态总结在相图中，从而为ML从业者提供了一个原理参数初始化选择的地图。

标准化流量是一类深生成模型，比传统的蒙特卡洛模拟更有效地为晶格场理论提供了有希望的途径。在这项工作中，我们表明，随机归一化流的理论框架，其中神经网络层与蒙特卡洛更新结合在一起，与基于jarzynski平等的不平衡模拟的基础相同，这些模拟最近已被部署以计算计算晶格计理论的自由能差异。我们制定了一种策略，以优化这种扩展类别的生成模型的效率和应用程序的示例。

这项正在进行的工作旨在为统计学习提供统一的介绍，从诸如GMM和HMM等经典模型到现代神经网络（如VAE和扩散模型）缓慢地构建。如今，有许多互联网资源可以孤立地解释这一点或新的机器学习算法，但是它们并没有（也不能在如此简短的空间中）将这些算法彼此连接起来，或者与统计模型的经典文献相连现代算法出现了。同样明显缺乏的是一个单一的符号系统，尽管对那些已经熟悉材料的人（如这些帖子的作者）不满意，但对新手的入境造成了重大障碍。同样，我的目的是将各种模型（尽可能）吸收到一个用于推理和学习的框架上，表明（以及为什么）如何以最小的变化将一个模型更改为另一个模型（其中一些是新颖的，另一些是文献中的）。某些背景当然是必要的。我以为读者熟悉基本的多变量计算，概率和统计以及线性代数。这本书的目标当然不是​​完整性，而是从基本知识到过去十年中极强大的新模型的直线路径或多或少。然后，目标是补充而不是替换，诸如Bishop的\ emph {模式识别和机器学习}之类的综合文本，该文本现在已经15岁了。

量子哈密顿学习和量子吉布斯采样的双重任务与物理和化学中的许多重要问题有关。在低温方案中，这些任务的算法通常会遭受施状能力，例如因样本或时间复杂性差而遭受。为了解决此类韧性，我们将量子自然梯度下降的概括引入了参数化的混合状态，并提供了稳健的一阶近似算法，即量子 - 固定镜下降。我们使用信息几何学和量子计量学的工具证明了双重任务的数据样本效率，因此首次将经典Fisher效率的开创性结果推广到变异量子算法。我们的方法扩展了以前样品有效的技术，以允许模型选择的灵活性，包括基于量子汉密尔顿的量子模型，包括基于量子的模型，这些模型可能会规避棘手的时间复杂性。我们的一阶算法是使用经典镜下降二元性的新型量子概括得出的。两种结果都需要特殊的度量选择，即Bogoliubov-Kubo-Mori度量。为了从数值上测试我们提出的算法，我们将它们的性能与现有基准进行了关于横向场ISING模型的量子Gibbs采样任务的现有基准。最后，我们提出了一种初始化策略，利用几何局部性来建模状态的序列（例如量子 - 故事过程）的序列。我们从经验上证明了它在实际和想象的时间演化的经验上，同时定义了更广泛的潜在应用。

在神经网络的文献中，Hebbian学习传统上是指Hopfield模型及其概括存储原型的程序（即仅经历过一次形成突触矩阵的确定模式）。但是，机器学习中的“学习”一词是指机器从提供的数据集中提取功能的能力（例如，由这些原型的模糊示例制成），以制作自己的不可用原型的代表。在这里，给定一个示例示例，我们定义了一个有监督的学习协议，通过该协议可以通过该协议来推断原型，并检测到正确的控制参数（包括数据集的大小和质量）以描绘系统性能的相图。我们还证明，对于无结构数据集，配备了该监督学习规则的Hopfield模型等同于受限的Boltzmann机器，这表明了最佳且可解释的培训例程。最后，这种方法被推广到结构化的数据集：我们在分析的数据集中突出显示了一个准剥离组织（让人联想到复制对称性 - 对称性），因此，我们为其（部分）分开，为其（部分）删除层引入了一个附加的“复制性隐藏层”，该证明可以将MNIST分类从75％提高到95％，并提供有关深度体系结构的新观点。

我们认为越来越复杂的矩阵去噪和贝叶斯最佳设置中的文章学习模型，在挑战性的政权中，在矩阵推断出与系统尺寸线性的排名增加。这与大多数现有的文献相比，与低秩（即常数级别）制度相关的文献相反。我们首先考虑一类旋转不变的矩阵去噪，使用来自随机矩阵理论的标准技术来计算的互动信息和最小均方误差。接下来，我们分析了字典学习的更具挑战性模式。为此，我们将复制方法与随机矩阵理论一起介绍了复制品方法的新组合，共同矩阵理论，Coined光谱副本方法。它允许我们猜测隐藏表示与字典学习问题的嘈杂数据之间的相互信息的变分形式，以及定量最佳重建误差的重叠。所提出的方法从$ \ theta（n ^ 2）$（矩阵条目）到$ \ theta（n）$（特征值或奇异值）减少自由度的数量，并产生的互信息的库仑气体表示让人想起物理学中的矩阵模型。主要成分是使用Harishchandra-Itzykson-Zuber球形积分，结合新的复制对称解耦Ansatz，在特定重叠矩阵的特征值（或奇异值）的概率分布的水平上。

我们考虑受限制的Boltzmann机器（RBMS）在非结构化的数据集上培训，由虚构的数据集进行，该数据集由明确的模糊但不可用的“原型”，我们表明，RBM可以学习原型的临界样本大小，即机器可以成功播放作为一种生成模型或作为分类器，根据操作程序。通常，评估关键的样本大小（可能与数据集的质量相关）仍然是机器学习中的一个开放问题。在这里，限制随机理论，其中浅网络就足够了，大母细胞场景是正确的，我们利用RBM和Hopfield网络之间的正式等价，以获得突出区域中突出区域的神经架构的相图控制参数（即，原型的数量，训练集的训练集的神经元数量，大小和质量的数量），其中可以实现学习。我们的调查是通过基于无序系统的统计学机械的分析方法领导的，结果通过广泛的蒙特卡罗模拟进一步证实。

深神经网络（DNN）是用于压缩和蒸馏信息的强大工具。由于它们的规模和复杂性，通常涉及数十亿间相互作用的内部自由度，精确分析方法通常会缩短。这种情况下的共同策略是识别平均潜在的快速微观变量的不稳定行为的缓慢自由度。在这里，我们在训练结束时识别在过度参数化的深卷积神经网络（CNNS）中发生的尺度的分离。它意味着神经元预激活与几乎高斯的方式与确定性潜在内核一起波动。在对于具有无限许多频道的CNN来说，这些内核是惰性的，对于有限的CNNS，它们以分析的方式通过数据适应和学习数据。由此产生的深度学习的热力学理论产生了几种深度非线性CNN玩具模型的准确预测。此外，它还提供了新的分析和理解CNN的方法。

Understanding the functional principles of information processing in deep neural networks continues to be a challenge, in particular for networks with trained and thus non-random weights. To address this issue, we study the mapping between probability distributions implemented by a deep feed-forward network. We characterize this mapping as an iterated transformation of distributions, where the non-linearity in each layer transfers information between different orders of correlation functions. This allows us to identify essential statistics in the data, as well as different information representations that can be used by neural networks. Applied to an XOR task and to MNIST, we show that correlations up to second order predominantly capture the information processing in the internal layers, while the input layer also extracts higher-order correlations from the data. This analysis provides a quantitative and explainable perspective on classification.

In this thesis, we consider two simple but typical control problems and apply deep reinforcement learning to them, i.e., to cool and control a particle which is subject to continuous position measurement in a one-dimensional quadratic potential or in a quartic potential. We compare the performance of reinforcement learning control and conventional control strategies on the two problems, and show that the reinforcement learning achieves a performance comparable to the optimal control for the quadratic case, and outperforms conventional control strategies for the quartic case for which the optimal control strategy is unknown. To our knowledge, this is the first time deep reinforcement learning is applied to quantum control problems in continuous real space. Our research demonstrates that deep reinforcement learning can be used to control a stochastic quantum system in real space effectively as a measurement-feedback closed-loop controller, and our research also shows the ability of AI to discover new control strategies and properties of the quantum systems that are not well understood, and we can gain insights into these problems by learning from the AI, which opens up a new regime for scientific research.

The study of feature propagation at initialization in neural networks lies at the root of numerous initialization designs. An assumption very commonly made in the field states that the pre-activations are Gaussian. Although this convenient Gaussian hypothesis can be justified when the number of neurons per layer tends to infinity, it is challenged by both theoretical and experimental works for finite-width neural networks. Our major contribution is to construct a family of pairs of activation functions and initialization distributions that ensure that the pre-activations remain Gaussian throughout the network's depth, even in narrow neural networks. In the process, we discover a set of constraints that a neural network should fulfill to ensure Gaussian pre-activations. Additionally, we provide a critical review of the claims of the Edge of Chaos line of works and build an exact Edge of Chaos analysis. We also propose a unified view on pre-activations propagation, encompassing the framework of several well-known initialization procedures. Finally, our work provides a principled framework for answering the much-debated question: is it desirable to initialize the training of a neural network whose pre-activations are ensured to be Gaussian?

我们提供了对神经马尔可夫链蒙特卡罗模拟中的自相关的深度研究，该版本的传统大都会算法采用神经网络来提供独立的建议。我们使用二维ising模型说明了我们的想法。我们提出了几次自相关时间的估算，其中一些灵感来自于为大都市独立采样器导出的分析结果，我们将其与逆温度$ \ Beta $的函数进行比较和研究。基于我们提出替代损失功能，并研究其对自动系列的影响。此外，我们调查对自动相关时间的神经网络培训过程中强加系统对称（$ Z_2 $和/或翻译）的影响。最终，我们提出了一种包含局部热浴更新的方案。讨论了上述增强功能的影响为16美元16美元旋转系统。我们的调查结果摘要可以作为实施更复杂模型的神经马尔可夫链蒙特卡罗模拟的指导。

Normalizing flows provide a general mechanism for defining expressive probability distributions, only requiring the specification of a (usually simple) base distribution and a series of bijective transformations. There has been much recent work on normalizing flows, ranging from improving their expressive power to expanding their application. We believe the field has now matured and is in need of a unified perspective. In this review, we attempt to provide such a perspective by describing flows through the lens of probabilistic modeling and inference. We place special emphasis on the fundamental principles of flow design, and discuss foundational topics such as expressive power and computational trade-offs. We also broaden the conceptual framing of flows by relating them to more general probability transformations. Lastly, we summarize the use of flows for tasks such as generative modeling, approximate inference, and supervised learning.

数据和标签的联合分布的KL差异目标允许在随机变异推断的一个保护伞下统一监督的学习和变异自动编码器（VAE）。统一激发了扩展的监督方案，该方案允许计算神经网络模型的合适性P值。通过神经网络摊销的条件归一化流在这种结构中至关重要。我们讨论了它们如何允许在产品空间上共同定义的后代定义的覆盖范围，例如$ \ mathbb {r}^n \ times \ times \ mathcal {s}^m $，它包含在方向上的海报。最后，系统的不确定性自然包含在变化观点中。在经典的可能性方法或其他机器学习模型中，（1）系统，（2）覆盖范围和（3）拟合优度的成分通常并非全部可用，或者至少有一个受到严格限制。相比之下，拟议的扩展监督培训和摊销标准化流量可容纳所有三个，用于在产品空间上定义的任意统计分布的变异推理，例如$ \ mathbb {r}^n \ times \ times \ ldots \ ldots \ times \ times \ mathcal {s}^m {s}^m $，没有基本数据复杂性的基本障碍。因此，它具有当代（Astro-）粒子物理学家的统计工具箱的巨大潜力。

In deep learning, neural networks serve as noisy channels between input data and its representation. This perspective naturally relates deep learning with the pursuit of constructing channels with optimal performance in information transmission and representation. While considerable efforts are concentrated on realizing optimal channel properties during network optimization, we study a frequently overlooked possibility that neural networks can be initialized toward optimal channels. Our theory, consistent with experimental validation, identifies primary mechanics underlying this unknown possibility and suggests intrinsic connections between statistical physics and deep learning. Unlike the conventional theories that characterize neural networks applying the classic mean-filed approximation, we offer analytic proof that this extensively applied simplification scheme is not valid in studying neural networks as information channels. To fill this gap, we develop a corrected mean-field framework applicable for characterizing the limiting behaviors of information propagation in neural networks without strong assumptions on inputs. Based on it, we propose an analytic theory to prove that mutual information maximization is realized between inputs and propagated signals when neural networks are initialized at dynamic isometry, a case where information transmits via norm-preserving mappings. These theoretical predictions are validated by experiments on real neural networks, suggesting the robustness of our theory against finite-size effects. Finally, we analyze our findings with information bottleneck theory to confirm the precise relations among dynamic isometry, mutual information maximization, and optimal channel properties in deep learning.

强大的机器学习模型的开发中的一个重要障碍是协变量的转变，当训练和测试集的输入分布时发生的分配换档形式在条件标签分布保持不变时发生。尽管现实世界应用的协变量转变普遍存在，但在现代机器学习背景下的理论理解仍然缺乏。在这项工作中，我们检查协变量的随机特征回归的精确高尺度渐近性，并在该设置中提出了限制测试误差，偏差和方差的精确表征。我们的结果激发了一种自然部分秩序，通过协变速转移，提供足够的条件来确定何时何时损害（甚至有助于）测试性能。我们发现，过度分辨率模型表现出增强的协会转变的鲁棒性，为这种有趣现象提供了第一个理论解释之一。此外，我们的分析揭示了分销和分发外概率性能之间的精确线性关系，为这一令人惊讶的近期实证观察提供了解释。

我们分析了通过梯度流通过自洽动力场理论训练的无限宽度神经网络中的特征学习。我们构建了确定性动力学阶参数的集合，该参数是内部产物内核，用于在成对的时间点中，每一层中隐藏的单位激活和梯度，从而减少了通过训练对网络活动的描述。这些内核顺序参数共同定义了隐藏层激活分布，神经切线核的演变以及因此输出预测。我们表明，现场理论推导恢复了从Yang和Hu（2021）获得张量程序的无限宽度特征学习网络的递归随机过程。对于深线性网络，这些内核满足一组代数矩阵方程。对于非线性网络，我们提供了一个交替的采样过程，以求助于内核顺序参数。我们提供了与各种近似方案的自洽解决方案的比较描述。最后，我们提供了更现实的设置中的实验，这些实验表明，在CIFAR分类任务上，在不同宽度上保留了CNN的CNN的损耗和内核动力学。

具有复发性不对称耦合的神经网络对于了解如何在大脑中编码情节记忆很重要。在这里，我们将广泛的突触整合窗口的实验性观察整合到连续时间动力学中的序列检索模型中。理论上通过得出神经动力学中的雅可比矩阵的随机基质理论来研究具有非正态神经元相互作用的模型。这些光谱具有几个不同的特征，例如围绕原点的旋转对称性以及光谱边界内嵌套空隙的出现。因此，光谱密度高度不均匀地分布在复杂平面中。随机矩阵理论还可以预测过渡到混乱。特别是，混乱的边缘为记忆的顺序检索提供了计算益处。我们的工作提供了与任意时间延迟的时间隔离相关性的系统研究，因此可以激发对广泛记忆模型的未来研究，甚至可以激发生物学时间序列的大数据分析。