Discriminative features extracted from the sparse coding model have been shown to perform well for classification. Recent deep learning architectures have further improved reconstruction in inverse problems by considering new dense priors learned from data. We propose a novel dense and sparse coding model that integrates both representation capability and discriminative features. The model studies the problem of recovering a dense vector $\mathbf{x}$ and a sparse vector $\mathbf{u}$ given measurements of the form $\mathbf{y} = \mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}$. Our first analysis proposes a geometric condition based on the minimal angle between spanning subspaces corresponding to the matrices $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ that guarantees unique solution to the model. The second analysis shows that, under mild assumptions, a convex program recovers the dense and sparse components. We validate the effectiveness of the model on simulated data and propose a dense and sparse autoencoder (DenSaE) tailored to learning the dictionaries from the dense and sparse model. We demonstrate that (i) DenSaE denoises natural images better than architectures derived from the sparse coding model ($\mathbf{B}\mathbf{u}$), (ii) in the presence of noise, training the biases in the latter amounts to implicitly learning the $\mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\mathbf{u}$ model, (iii) $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$ capture low- and high-frequency contents, respectively, and (iv) compared to the sparse coding model, DenSaE offers a balance between discriminative power and representation.

近年来，在诸如denoing，压缩感应，介入和超分辨率等反问题中使用深度学习方法的使用取得了重大进展。尽管这种作品主要是由实践算法和实验驱动的，但它也引起了各种有趣的理论问题。在本文中，我们调查了这一作品中一些突出的理论发展，尤其是生成先验，未经训练的神经网络先验和展开算法。除了总结这些主题中的现有结果外，我们还强调了一些持续的挑战和开放问题。

将数据作为几个原子的组合表示数据的字典学习问题，长期以来作为一种流行的学习统计信息和信号处理方法。最受欢迎的字典学习算法在稀疏编码和词典上的交替交替，富有的文献研究了其理论融合。神经卓越的展开稀疏编码网络的日益普及导致了经验发现，通过这种网络的反向化执行字典学习。本文通过Pudle提供了这些经验结果的第一个理论证明，可提供展开的展开字典学习方法。我们突出了损失，展开和背交对融合的影响。我们发现隐式加速：作为展开的函数，BackPropagated梯度会收敛得更快，比梯度从交替最小化更准确。我们通过合成和图像去噪实验补充我们的研究结果。调查结果支持使用加速深度学习优化器和展开网络用于字典学习。

在许多工程应用中，例如雷达/声纳/超声成像等许多工程应用中，稀疏多通道盲卷（S-MBD）的问题经常出现。为了降低其计算和实施成本，我们提出了一种压缩方法，该方法可以及时从更少的测量值中进行盲目恢复。提出的压缩通过过滤器随后进行亚采样来测量信号，从而大大降低了实施成本。我们得出理论保证，可从压缩测量中识别和回收稀疏过滤器。我们的结果允许设计广泛的压缩过滤器。然后，我们提出了一个由数据驱动的展开的学习框架，以学习压缩过滤器并解决S-MBD问题。编码器是一个经常性的推理网络，该网络将压缩测量结果映射到稀疏过滤器的估计值中。我们证明，与基于优化的方法相比，我们展开的学习方法对源形状的选择更为强大，并且具有更好的恢复性能。最后，在具有有限数据的应用程序（少数图）的应用中，我们强调了与传统深度学习相比，展开学习的卓越概括能力。

The affine rank minimization problem consists of finding a matrix of minimum rank that satisfies a given system of linear equality constraints. Such problems have appeared in the literature of a diverse set of fields including system identification and control, Euclidean embedding, and collaborative filtering. Although specific instances can often be solved with specialized algorithms, the general affine rank minimization problem is NP-hard, because it contains vector cardinality minimization as a special case.In this paper, we show that if a certain restricted isometry property holds for the linear transformation defining the constraints, the minimum rank solution can be recovered by solving a convex optimization problem, namely the minimization of the nuclear norm over the given affine space. We present several random ensembles of equations where the restricted isometry property holds with overwhelming probability, provided the codimension of the subspace is Ω(r(m + n) log mn), where m, n are the dimensions of the matrix, and r is its rank.The techniques used in our analysis have strong parallels in the compressed sensing framework. We discuss how affine rank minimization generalizes this pre-existing concept and outline a dictionary relating concepts from cardinality minimization to those of rank minimization. We also discuss several algorithmic approaches to solving the norm minimization relaxations, and illustrate our results with numerical examples.

在Bora等。 （2017年），在测量矩阵为高斯，信号结构是生成神经网络（GNN）的范围的设置中开发了一个数学框架，用于压缩传感保证。此后，当测量矩阵和/或网络权重遵循Subgaussian分布时，对GNNS进行压缩感测的问题进行了广泛的分析。我们超越了高斯的假设，以通过在单一基质的随机行中均匀地采样（包括作为特殊情况下的亚采样傅立叶测量值）来得出的测量矩阵。具体而言，我们证明了使用亚次采样的二型限制感测的第一个已知的限制等轴测保证，并提供了几乎有序的样品复杂性的恢复边界，解决了Scarlett等人的开放问题。 （2022，第10页）。恢复功效的特征是连贯性，这是一个新参数，该参数测量了网络范围与测量矩阵之间的相互作用。我们的方法依赖于子空间计数论点和思想的核心概率。此外，我们提出了一种正规化策略，以使GNN与测量运算符具有有利的连贯性。我们提供令人信服的数值模拟来支持这种正规训练策略：我们的策略产生低相干网络，需要更少的信号回收测量。这与我们的理论结果一起支持连贯性作为自然量，用于表征与亚次采样的生成压缩感测。

This paper is about a curious phenomenon. Suppose we have a data matrix, which is the superposition of a low-rank component and a sparse component. Can we recover each component individually? We prove that under some suitable assumptions, it is possible to recover both the low-rank and the sparse components exactly by solving a very convenient convex program called Principal Component Pursuit; among all feasible decompositions, simply minimize a weighted combination of the nuclear norm and of the 1 norm. This suggests the possibility of a principled approach to robust principal component analysis since our methodology and results assert that one can recover the principal components of a data matrix even though a positive fraction of its entries are arbitrarily corrupted. This extends to the situation where a fraction of the entries are missing as well. We discuss an algorithm for solving this optimization problem, and present applications in the area of video surveillance, where our methodology allows for the detection of objects in a cluttered background, and in the area of face recognition, where it offers a principled way of removing shadows and specularities in images of faces.

约束的张量和矩阵分子化模型允许从多道数据中提取可解释模式。因此，对于受约束的低秩近似度的可识别性特性和有效算法是如此重要的研究主题。这项工作涉及低秩近似的因子矩阵的列，以众所周知的和可能的过度顺序稀疏，该模型包括基于字典的低秩近似（DLRA）。虽然早期的贡献集中在候选列字典内的发现因子列，即一稀疏的近似值，这项工作是第一个以大于1的稀疏性解决DLRA。我建议专注于稀疏编码的子问题，在解决DLRA时出现的混合稀疏编码（MSC）以交替的优化策略在解决DLRA时出现。提供了基于稀疏编码启发式的几种算法（贪婪方法，凸起放松）以解决MSC。在模拟数据上评估这些启发式的性能。然后，我展示了如何基于套索来调整一个有效的MSC求解器，以计算高光谱图像处理和化学测量学的背景下的基于词典的基于矩阵分解和规范的多adic分解。这些实验表明，DLRA扩展了低秩近似的建模能力，有助于降低估计方差并提高估计因子的可识别性和可解释性。

由学习的迭代软阈值算法（Lista）的动机，我们介绍了一种适用于稀疏重建的一般性网络，从少数线性测量。通过在层之间允许各种重量共享度，我们为非常不同的神经网络类型提供统一分析，从复发到网络更类似于标准前馈神经网络。基于训练样本，通过经验风险最小化，我们旨在学习最佳网络参数，从而实现从其低维线性测量的最佳网络。我们通过分析由这种深网络组成的假设类的RadeMacher复杂性来衍生泛化界限，这也考虑了阈值参数。我们获得了对样本复杂性的估计，基本上只取决于参数和深度的数量。我们应用主要结果以获得几个实际示例的特定泛化界限，包括（隐式）字典学习和卷积神经网络的不同算法。

通过分布式机器学习设置（如联合学习），我们考虑拟合跨越异构数据集的分布式集合的统计模型的问题，其相似性结构由图形拓扑编码。精确地，我们分析每个节点与拟合稀疏线性模型相关联的情况，如果它们的解决方案的差异也稀疏，则边缘连接两个节点。我们提出了一种基于基础追踪的方法，具有总变化罚化，为子高斯设计矩阵提供有限的样本保证。将树根作为参考节点，我们表明，如果节点横跨节点的差异的稀疏性小于根目录处的稀疏性，则恢复成功，采样较少，而不是通过独立解决问题，或者使用方法依赖于信号支持的大重叠，例如组套索。我们考虑无噪声和嘈杂的设置，并在数值上研究了基于乘法器（ADMM）和超光谱的分布式交替方向方法的分布式方法的性能。

监督字典学习（SDL）是一种经典的机器学习方法，同时寻求特征提取和分类任务，不一定是先验的目标。 SDL的目的是学习类歧视性词典，这是一组潜在特征向量，可以很好地解释特征以及观察到的数据的标签。在本文中，我们提供了SDL的系统研究，包括SDL的理论，算法和应用。首先，我们提供了一个新颖的框架，该框架将“提升” SDL作为组合因子空间中的凸问题，并提出了一种低级别的投影梯度下降算法，该算法将指数成倍收敛于目标的全局最小化器。我们还制定了SDL的生成模型，并根据高参数制度提供真实参数的全局估计保证。其次，我们被视为一个非convex约束优化问题，我们为SDL提供了有效的块坐标下降算法，该算法可以保证在$ O（\ varepsilon^{ - 1}（\ log）中找到$ \ varepsilon $ - 定位点（\ varepsilon \ varepsilon^{ - 1}）^{2}）$ iterations。对于相应的生成模型，我们为受约束和正则化的最大似然估计问题建立了一种新型的非反应局部一致性结果，这可能是独立的。第三，我们将SDL应用于监督主题建模和胸部X射线图像中的肺炎检测中，以进行不平衡的文档分类。我们还提供了模拟研究，以证明当最佳的重建性和最佳判别词典之间存在差异时，SDL变得更加有效。

We consider the nonlinear inverse problem of learning a transition operator $\mathbf{A}$ from partial observations at different times, in particular from sparse observations of entries of its powers $\mathbf{A},\mathbf{A}^2,\cdots,\mathbf{A}^{T}$. This Spatio-Temporal Transition Operator Recovery problem is motivated by the recent interest in learning time-varying graph signals that are driven by graph operators depending on the underlying graph topology. We address the nonlinearity of the problem by embedding it into a higher-dimensional space of suitable block-Hankel matrices, where it becomes a low-rank matrix completion problem, even if $\mathbf{A}$ is of full rank. For both a uniform and an adaptive random space-time sampling model, we quantify the recoverability of the transition operator via suitable measures of incoherence of these block-Hankel embedding matrices. For graph transition operators these measures of incoherence depend on the interplay between the dynamics and the graph topology. We develop a suitable non-convex iterative reweighted least squares (IRLS) algorithm, establish its quadratic local convergence, and show that, in optimal scenarios, no more than $\mathcal{O}(rn \log(nT))$ space-time samples are sufficient to ensure accurate recovery of a rank-$r$ operator $\mathbf{A}$ of size $n \times n$. This establishes that spatial samples can be substituted by a comparable number of space-time samples. We provide an efficient implementation of the proposed IRLS algorithm with space complexity of order $O(r n T)$ and per-iteration time complexity linear in $n$. Numerical experiments for transition operators based on several graph models confirm that the theoretical findings accurately track empirical phase transitions, and illustrate the applicability and scalability of the proposed algorithm.

The goal of compressed sensing is to estimate a vector from an underdetermined system of noisy linear measurements, by making use of prior knowledge on the structure of vectors in the relevant domain. For almost all results in this literature, the structure is represented by sparsity in a well-chosen basis. We show how to achieve guarantees similar to standard compressed sensing but without employing sparsity at all. Instead, we suppose that vectors lie near the range of a generative model G : R k → R n . Our main theorem is that, if G is L-Lipschitz, then roughly O(k log L) random Gaussian measurements suffice for an 2/ 2 recovery guarantee. We demonstrate our results using generative models from published variational autoencoder and generative adversarial networks. Our method can use 5-10x fewer measurements than Lasso for the same accuracy.

我们提出了一种监督学习稀疏促进正规化器的方法，以降低信号和图像。促进稀疏性正则化是解决现代信号重建问题的关键要素。但是，这些正规化器的基础操作员通常是通过手动设计的，要么以无监督的方式从数据中学到。监督学习（主要是卷积神经网络）在解决图像重建问题方面的最新成功表明，这可能是设计正规化器的富有成果的方法。为此，我们建议使用带有参数，稀疏的正规器的变异公式来贬低信号，其中学会了正常器的参数，以最大程度地减少在地面真实图像和测量对的训练集中重建的平均平方误差。培训涉及解决一个具有挑战性的双层优化问题；我们使用denoising问题的封闭形式解决方案得出了训练损失梯度的表达，并提供了随附的梯度下降算法以最大程度地减少其。我们使用结构化1D信号和自然图像的实验表明，所提出的方法可以学习一个超过众所周知的正规化器（总变化，DCT-SPARSITY和无监督的字典学习）的操作员和用于DeNoisis的协作过滤。尽管我们提出的方法是特定于denoising的，但我们认为它可以适应线性测量模型的较大类反问题，使其在广泛的信号重建设置中适用。

最近，刘和张研究了从压缩传感的角度研究了时间序列预测的相当具有挑战性的问题。他们提出了一个没有学习的方法，名为卷积核规范最小化（CNNM），并证明了CNNM可以完全从其观察到的部分恢复一系列系列的部分，只要该系列是卷积的低级。虽然令人印象深刻，但是每当系列远离季节性时可能不满足卷积的低秩条件，并且实际上是脆弱的趋势和动态的存在。本文试图通过将学习，正常的转换集成到CNNM中，以便将一系列渐开线结构转换为卷积低等级的常规信号的目的。我们证明，由于系列的变换是卷积低级的转换，所以，所产生的模型是基于学习的基于学习的CNNM（LBCNM），严格成功地识别了一个系列的未来部分。为了学习可能符合所需成功条件的适当转换，我们设计了一种基于主成分追求（PCP）的可解释方法。配备了这种学习方法和一些精心设计的数据论证技巧，LBCNM不仅可以处理时间序列的主要组成部分（包括趋势，季节性和动态），还可以利用其他一些预测方法提供的预测;这意味着LBCNNM可以用作模型组合的一般工具。从时间序列数据库（TSDL）和M4竞争（M4）的100,452个现实世界时间序列的大量实验证明了LBCNNM的卓越性能。

总变化（TV）正则化已经提高了用于图像处理任务的各种变分模型。我们提出了与电视正则化的早期文献中的倒扩散过程与电视正常化相结合，并表明所得到的增强电视最小化模型对于降低对比度的损失特别有效，这通常由使用电视正常化的模型遇到。我们从嘈杂的额相测量中建立了增强电视模型的稳定重建保证;考虑非自适应线性测量和可变密度采样的傅里叶测量。特别地，在一些较弱的受限制的等距特性条件下，增强的电视最小化模型被示出为比各种基于电视的模型具有更严格的重建误差界限，用于噪声水平很大并且测量量有限。增强电视模型的优点也通过初步实验进行了数值验证，通过一些合成，自然和医学图像的重建。

Tensor完成是矩阵完成的自然高阶泛化，其中目标是从其条目的稀疏观察中恢复低级张量。现有算法在没有可证明的担保的情况下是启发式，基于解决运行不切实际的大型半纤维程序，或者需要强大的假设，例如需要因素几乎正交。在本文中，我们介绍了交替最小化的新变型，其又通过了解如何对矩阵设置中的交替最小化的收敛性的进展措施来调整到张量设置的启发。我们展示了强大的可证明的保证，包括表明我们的算法即使当因素高度相关时，我们的算法也会在真正的张量线上会聚，并且可以在几乎线性的时间内实现。此外，我们的算法也非常实用，我们表明我们可以完成具有千维尺寸的三阶张量，从观察其条目的微小一部分。相比之下，有些令人惊讶的是，我们表明，如果没有我们的新扭曲，则表明交替最小化的标准版本可以在实践中以急剧速度收敛。

在深度学习中，常见的是神经网络，即使用比训练样本更多的参数。非常令人惊讶地训练神经网络（随机）梯度下降导致概括得很好的模型，而古典统计会提出过度装备。为了了解这种隐含偏差现象，我们研究了自己感兴趣的稀疏恢复（压缩感测）的特殊情况。更确切地说，为了重建来自未确定的线性测量的矢量，我们引入了相应的过正常的方形损耗功能，其中要重建的载体深深地分解成几个载体。我们表明，在测量矩阵上的一个非常温和的假设下，用于过次分辨率的损耗功能的香草梯度流量会聚到最小$ \ ell_1 $ -norm的解决方案。后者众所周知，可以促进稀疏解决方案。作为副产品，我们的结果显着提高了先前作品中压缩感应的样本复杂性。该理论准确地预测数值实验中的回收率。对于证明，我们介绍了{\ texit {solution entopy}}的概念，它绕过了非凸起引起的障碍，并且应该是独立的兴趣。

本文提出了弗兰克 - 沃尔夫（FW）的新变种​​，称为$ k $ fw。标准FW遭受缓慢的收敛性：迭代通常是Zig-zag作为更新方向振荡约束集的极端点。新变种，$ k $ fw，通过在每次迭代中使用两个更强的子问题oracelles克服了这个问题。第一个是$ k $线性优化Oracle（$ k $ loo），计算$ k $最新的更新方向（而不是一个）。第二个是$ k $方向搜索（$ k $ ds），最大限度地减少由$ k $最新更新方向和之前迭代表示的约束组的目标。当问题解决方案承认稀疏表示时，奥克斯都易于计算，而且$ k $ FW会迅速收敛，以便平滑凸起目标和几个有趣的约束集：$ k $ fw实现有限$ \ frac {4l_f ^ 3d ^} { \ Gamma \ Delta ^ 2} $融合在多台和集团规范球上，以及光谱和核规范球上的线性收敛。数值实验验证了$ k $ fw的有效性，并展示了现有方法的数量级加速。

It is known that the decomposition in low-rank and sparse matrices (\textbf{L+S} for short) can be achieved by several Robust PCA techniques. Besides the low rankness, the local smoothness (\textbf{LSS}) is a vitally essential prior for many real-world matrix data such as hyperspectral images and surveillance videos, which makes such matrices have low-rankness and local smoothness properties at the same time. This poses an interesting question: Can we make a matrix decomposition in terms of \textbf{L\&LSS +S } form exactly? To address this issue, we propose in this paper a new RPCA model based on three-dimensional correlated total variation regularization (3DCTV-RPCA for short) by fully exploiting and encoding the prior expression underlying such joint low-rank and local smoothness matrices. Specifically, using a modification of Golfing scheme, we prove that under some mild assumptions, the proposed 3DCTV-RPCA model can decompose both components exactly, which should be the first theoretical guarantee among all such related methods combining low rankness and local smoothness. In addition, by utilizing Fast Fourier Transform (FFT), we propose an efficient ADMM algorithm with a solid convergence guarantee for solving the resulting optimization problem. Finally, a series of experiments on both simulations and real applications are carried out to demonstrate the general validity of the proposed 3DCTV-RPCA model.