使用深度神经网络的所以（3）歧管上的回归旋转是一个重要的尚未解决的问题。欧几里德网络输出空间与非欧几里德的间隙如（3）歧管对向前和后侧通行证的神经网络学习施加了严重的挑战。虽然有几个作品提出了不同的回归型旋转表示，但很少有效地致力于改善后向通过的梯度背交。在本文中，我们提出了一种歧管感知梯度，即直接逆产到深网络权重。利用黎曼梯度和新型投影梯度，我们提出的正规投影歧管梯度（RPMG）有助于网络在各种旋转估计任务中实现新的最先进性能。所提出的梯度层也可以应用于诸如单元球的其他平滑歧管。

In neural networks, it is often desirable to work with various representations of the same space. For example, 3D rotations can be represented with quaternions or Euler angles. In this paper, we advance a definition of a continuous representation, which can be helpful for training deep neural networks. We relate this to topological concepts such as homeomorphism and embedding. We then investigate what are continuous and discontinuous representations for 2D, 3D, and n-dimensional rotations. We demonstrate that for 3D rotations, all representations are discontinuous in the real Euclidean spaces of four or fewer dimensions. Thus, widely used representations such as quaternions and Euler angles are discontinuous and difficult for neural networks to learn. We show that the 3D rotations have continuous representations in 5D and 6D, which are more suitable for learning. We also present continuous representations for the general case of the n dimensional rotation group SO(n). While our main focus is on rotations, we also show that our constructions apply to other groups such as the orthogonal group and similarity transforms. We finally present empirical results, which show that our continuous rotation representations outperform discontinuous ones for several practical problems in graphics and vision, including a simple autoencoder sanity test, a rotation estimator for 3D point clouds, and an inverse kinematics solver for 3D human poses.

我们为正规化优化问题$ g（\ boldsymbol {x}） + h（\ boldsymbol {x}）$提供了有效的解决方案，其中$ \ boldsymbol {x} $在单位sphere $ \ vert \ vert \ boldsymbol { x} \ vert_2 = 1 $。在这里$ g（\ cdot）$是lipschitz连续梯度的平稳成本）$通常是非平滑的，但凸出并且绝对同质，\ textit {ef。，}〜规范正则化及其组合。我们的解决方案基于Riemannian近端梯度，使用我们称为\ textIt {代理步骤}}的想法 - 一个标量变量，我们证明，与间隔内的实际步骤大小相对于实际的步骤。对于凸面和绝对均匀的$ h（\ cdot）$，替代步骤尺寸存在，并确定封闭形式中的实际步骤大小和切线更新，因此是完整的近端梯度迭代。基于这些见解，我们使用代理步骤设计了Riemannian近端梯度方法。我们证明，我们的方法仅基于$ g（\ cdot）$成本的线条搜索技术而收敛到关键点。提出的方法可以用几行代码实现。我们通过应用核规范，$ \ ell_1 $规范和核谱规则正规化来显示其有用性。这些改进是一致的，并得到数值实验的支持。

Dexterous and autonomous robots should be capable of executing elaborated dynamical motions skillfully. Learning techniques may be leveraged to build models of such dynamic skills. To accomplish this, the learning model needs to encode a stable vector field that resembles the desired motion dynamics. This is challenging as the robot state does not evolve on a Euclidean space, and therefore the stability guarantees and vector field encoding need to account for the geometry arising from, for example, the orientation representation. To tackle this problem, we propose learning Riemannian stable dynamical systems (RSDS) from demonstrations, allowing us to account for different geometric constraints resulting from the dynamical system state representation. Our approach provides Lyapunov-stability guarantees on Riemannian manifolds that are enforced on the desired motion dynamics via diffeomorphisms built on neural manifold ODEs. We show that our Riemannian approach makes it possible to learn stable dynamical systems displaying complicated vector fields on both illustrative examples and real-world manipulation tasks, where Euclidean approximations fail.

Estimating 6D poses of objects from images is an important problem in various applications such as robot manipulation and virtual reality. While direct regression of images to object poses has limited accuracy, matching rendered images of an object against the input image can produce accurate results. In this work, we propose a novel deep neural network for 6D pose matching named DeepIM. Given an initial pose estimation, our network is able to iteratively refine the pose by matching the rendered image against the observed image. The network is trained to predict a relative pose transformation using a disentangled representation of 3D location and 3D orientation and an iterative training process. Experiments on two commonly used benchmarks for 6D pose estimation demonstrate that DeepIM achieves large improvements over stateof-the-art methods. We furthermore show that DeepIM is able to match previously unseen objects.

在这项工作中，我们解决了共同跟踪手对象姿势并从野外深度点云序列重建形状的具有挑战性，HandTrackNet，以估计框架间的手动运动。我们的HandTrackNet提出了一个新型的手姿势构成典型化模块，以简化跟踪任务，从而产生准确且稳健的手工关节跟踪。然后，我们的管道通过将预测的手关节转换为基于模板的参数手模型mano来重建全手。对于对象跟踪，我们设计了一个简单而有效的模块，该模块从第一帧估算对象SDF并执行基于优化的跟踪。最后，采用联合优化步骤执行联合手和物体推理，从而减轻了闭塞引起的歧义并进一步完善了手姿势。在训练过程中，整个管道仅看到纯粹的合成数据，这些数据与足够的变化并通过深度模拟合成，以易于概括。整个管道与概括差距有关，因此可以直接传输到真实的野外数据。我们在两个真实的手对象交互数据集上评估我们的方法，例如HO3D和DEXYCB，没有任何填充。我们的实验表明，所提出的方法显着优于先前基于深度的手和对象姿势估计和跟踪方法，以9 fps的帧速率运行。

深神经网络实施了一系列逐层操作，每个操作都相对容易理解，但是总的总体计算通常很难理解。我们开发了一个简单的想法，可以解释有用表示的逐层结构：每一层的作用是重新格式化信息以减少目标输出的“距离”。我们通过利用最近的指标代表性相似性的工作来形式化“距离”的直观概念，并展示它如何导致几何概念的丰富空间。通过此框架，深度神经网络实施的层计算可以被视为高维表示空间中的路径。我们开发工具以在距离，角度和大地学方面表征这些几何形状。然后，我们提出在CIFAR-10训练的残留网络的三组问题：（1）路径的直线程度如何，以及每层对目标有何贡献？ （2）这些特性如何在培训上出现？ （3）更广泛的网络与更深的网络采取的路径有多相似？我们通过勾勒出其他方式来结论，这种代表性几何形状可用于理解和解释网络培训，或者规定改善网络体系结构以适合任务。

由编码器和解码器组成的自动编码器被广泛用于机器学习，以缩小高维数据的尺寸。编码器将输入数据歧管嵌入到较低的潜在空间中，而解码器表示反向映射，从而提供了潜在空间中的歧管的数据歧管的参数化。嵌入式歧管的良好规律性和结构可以实质性地简化进一步的数据处理任务，例如群集分析或数据插值。我们提出并分析了一种新的正则化，以学习自动编码器的编码器组件：一种损失功能，可倾向于等距，外层平坦的嵌入，并允许自行训练编码器。为了进行训练，假定对于输入歧管上的附近点，他们的本地riemannian距离及其本地riemannian平均水平可以评估。损失函数是通过蒙特卡洛集成计算的，具有不同的采样策略，用于输入歧管上的一对点。我们的主要定理将嵌入图的几何损失函数识别为$ \ gamma $ - 依赖于采样损失功能的限制。使用编码不同明确给定的数据歧管的图像数据的数值测试表明，将获得平滑的歧管嵌入到潜在空间中。由于促进了外部平坦度，这些嵌入足够规律，因此在潜在空间中线性插值可以作为一种可能的后处理。

线性神经网络层的模棱两可。在这项工作中，我们放宽了肩variance条件，只有在投影范围内才是真实的。特别是，我们研究了投射性和普通的肩那样的关系，并表明对于重要的例子，这些问题实际上是等效的。3D中的旋转组在投影平面上投影起作用。在设计用于过滤2D-2D对应的网络时，我们在实验上研究了旋转肩位的实际重要性。完全模型的模型表现不佳，虽然简单地增加了不变的特征，从而在强大的基线产量中得到了改善，但这似乎并不是由于改善的均衡性。

本文解决了对象识别的问题，给出了一组图像作为输入（例如，多个相机源和视频帧）。基于卷积神经网络（CNN）的框架不会有效地利用这些集合，处理如观察到的模式，而不是捕获基础特征分布，因为它不考虑集合中的图像的方差。为了解决这个问题，我们提出了基于基于CNNS的CNNS作为分类器的NN层，作为分类器的NN层，可以更有效地处理图像，并且可以以端到端的方式训练。图像集由低维输入子空间表示;并且此输入子空间与参考子空间匹配，通过其规范角度的相似性，可解释和易于计算度量。 G-LMSM的关键思想是参考子空间被学习为基层歧管的点，用黎曼随机梯度下降而优化。这种学习是稳定，高效，理论上的接地。我们展示了我们提出的方法在手工形状识别，面部识别和面部情感识别方面的有效性。

本文提出了一种可对应的点云旋转登记的方法。我们学习为每个点云嵌入保留所以（3）-equivariance属性的特征空间中的嵌入，通过最近的Quifariant神经网络的开发启用。所提出的形状登记方法通过用隐含形状模型结合等分性的特征学习来实现三个主要优点。首先，由于网络架构中类似于PointNet的网络体系结构中的置换不变性，因此删除了数据关联的必要性。其次，由于SO（3）的性能，可以使用喇叭的方法以闭合形式来解决特征空间中的注册。第三，由于注册和隐含形状重建的联合培训，注册对点云中的噪声强大。实验结果显示出优异的性能与现有的无对应的深层登记方法相比。

单图像姿势估计是许多视觉和机器人任务中的一个基本问题，并且现有的深度学习方法不会完全建模和处理来遭受：i）关于预测的不确定性，ii）具有多个（有时是无限）正确姿势的对称对象。为此，我们引入了一种在SO（3）上估算任意非参数分布的方法。我们的关键思想是通过神经网络隐含地表示分布，该神经网络估计给定输入图像和候选姿势的概率。网格采样或梯度上升可用于找到最有可能的姿势，但也可以评估任何姿势的概率，从而实现关于对称性和不确定性的推理。这是代表流形分布的最通用方法，为了展示丰富的表现力，我们介绍了一个具有挑战性的对称和几乎对称对象的数据集。我们不需要对姿势不确定性的监督 - 模型仅以一个示例训练单个姿势。但是，我们的隐式模型具有高度表达能力在3D姿势上处理复杂的分布，同时仍然在标准的非歧义环境上获得准确的姿势估计，从而在Pascal3d+和ModelNet10-SO-SO（3）基准方面实现了最先进的性能。

We investigate the problem of recovering a partially observed high-rank matrix whose columns obey a nonlinear structure such as a union of subspaces, an algebraic variety or grouped in clusters. The recovery problem is formulated as the rank minimization of a nonlinear feature map applied to the original matrix, which is then further approximated by a constrained non-convex optimization problem involving the Grassmann manifold. We propose two sets of algorithms, one arising from Riemannian optimization and the other as an alternating minimization scheme, both of which include first- and second-order variants. Both sets of algorithms have theoretical guarantees. In particular, for the alternating minimization, we establish global convergence and worst-case complexity bounds. Additionally, using the Kurdyka-Lojasiewicz property, we show that the alternating minimization converges to a unique limit point. We provide extensive numerical results for the recovery of union of subspaces and clustering under entry sampling and dense Gaussian sampling. Our methods are competitive with existing approaches and, in particular, high accuracy is achieved in the recovery using Riemannian second-order methods.

我们研究无限制的黎曼优化的免投影方法。特别是，我们提出了黎曼弗兰克 - 沃尔夫（RFW）方法。我们将RFW的非渐近收敛率分析为最佳（高音）凸起问题，以及非凸起目标的临界点。我们还提出了一种实用的设置，其中RFW可以获得线性收敛速度。作为一个具体的例子，我们将RFW专用于正定矩阵的歧管，并将其应用于两个任务：（i）计算矩阵几何平均值（riemannian质心）; （ii）计算Bures-Wasserstein重心。这两个任务都涉及大量凸间间隔约束，为此，我们表明RFW要求的Riemannian“线性”Oracle承认了闭合形式的解决方案;该结果可能是独立的兴趣。我们进一步专门从事RFW到特殊正交组，并表明这里也可以以封闭形式解决riemannian“线性”甲骨文。在这里，我们描述了数据矩阵同步的应用程序（促使问题）。我们补充了我们的理论结果，并对RFW对最先进的riemananian优化方法进行了实证比较，并观察到RFW竞争性地对计算黎曼心质的任务进行竞争性。

与最小化点对点距离的传统算法设置的注册最小化通常可以更好地估计刚性转换。然而，最近的基于深度学习的方法最大程度地减少了点对点距离。与这些方法相反，本文提出了第一种基于深度学习的方法来点对上注册的方法。该问题的一个具有挑战性的部分是，用于点对点注册的典型解决方案需要迭代的过程来累积通过最小化线性的能量函数获得的小型转换。迭代显着增加了反向传播所需的计算图的大小，并且可以放慢前进和后退网络评估。为了解决此问题，我们将估计的刚体转换视为输入点云的函数，并使用隐式函数定理得出其分析梯度。我们引入的分析梯度独立于如何获得误差最小化函数（即刚性变换），从而使我们能够有效地计算刚性变换及其梯度。我们在几种先前的方法上实现了所提出的点对平面注册模块，这些模块可以最大程度地减少点对点距离，并证明扩展名的表现超过了基本方法，即使具有噪声和低质量的点云的点云，也通过局部点分布估算了差异。

Deep neural networks can approximate functions on different types of data, from images to graphs, with varied underlying structure. This underlying structure can be viewed as the geometry of the data manifold. By extending recent advances in the theoretical understanding of neural networks, we study how a randomly initialized neural network with piece-wise linear activation splits the data manifold into regions where the neural network behaves as a linear function. We derive bounds on the density of boundary of linear regions and the distance to these boundaries on the data manifold. This leads to insights into the expressivity of randomly initialized deep neural networks on non-Euclidean data sets. We empirically corroborate our theoretical results using a toy supervised learning problem. Our experiments demonstrate that number of linear regions varies across manifolds and the results hold with changing neural network architectures. We further demonstrate how the complexity of linear regions is different on the low dimensional manifold of images as compared to the Euclidean space, using the MetFaces dataset.

Riemannian优化是解决优化问题的原则框架，其中所需的最佳被限制为光滑的歧管$ \ Mathcal {M} $。在此框架中设计的算法通常需要对歧管的几何描述，该描述通常包括切线空间，缩回和成本函数的梯度。但是，在许多情况下，由于缺乏信息或棘手的性能，只能访问这些元素的子集（或根本没有）。在本文中，我们提出了一种新颖的方法，可以在这种情况下执行近似Riemannian优化，其中约束歧管是$ \ r^{d} $的子手机。至少，我们的方法仅需要一组无噪用的成本函数$（\ x_ {i}，y_ {i}）\ in {\ mathcal {m}} \ times \ times \ times \ times \ times \ mathbb {r} $和内在的歧管$ \ MATHCAL {M} $的维度。使用样品，并利用歧管-MLS框架（Sober和Levin 2020），我们构建了缺少的组件的近似值，这些组件娱乐可证明的保证并分析其计算成本。如果某些组件通过分析给出（例如，如果成本函数及其梯度明确给出，或者可以计算切线空间），则可以轻松地适应该算法以使用准确的表达式而不是近似值。我们使用我们的方法分析了基于Riemannian梯度的方法的全球收敛性，并从经验上证明了该方法的强度，以及基于类似原理的共轭梯度类型方法。

低维歧管假设认为，在许多应用中发现的数据，例如涉及自然图像的数据（大约）位于嵌入高维欧几里得空间中的低维歧管上。在这种情况下，典型的神经网络定义了一个函数，该函数在嵌入空间中以有限数量的向量作为输入。但是，通常需要考虑在训练分布以外的点上评估优化网络。本文考虑了培训数据以$ \ mathbb r^d $的线性子空间分配的情况。我们得出对由神经网络定义的学习函数变化的估计值，沿横向子空间的方向。我们研究了数据歧管的编纂中与网络的深度和噪声相关的潜在正则化效应。由于存在噪声，我们还提出了训练中的其他副作用。

量子哈密顿学习和量子吉布斯采样的双重任务与物理和化学中的许多重要问题有关。在低温方案中，这些任务的算法通常会遭受施状能力，例如因样本或时间复杂性差而遭受。为了解决此类韧性，我们将量子自然梯度下降的概括引入了参数化的混合状态，并提供了稳健的一阶近似算法，即量子 - 固定镜下降。我们使用信息几何学和量子计量学的工具证明了双重任务的数据样本效率，因此首次将经典Fisher效率的开创性结果推广到变异量子算法。我们的方法扩展了以前样品有效的技术，以允许模型选择的灵活性，包括基于量子汉密尔顿的量子模型，包括基于量子的模型，这些模型可能会规避棘手的时间复杂性。我们的一阶算法是使用经典镜下降二元性的新型量子概括得出的。两种结果都需要特殊的度量选择，即Bogoliubov-Kubo-Mori度量。为了从数值上测试我们提出的算法，我们将它们的性能与现有基准进行了关于横向场ISING模型的量子Gibbs采样任务的现有基准。最后，我们提出了一种初始化策略，利用几何局部性来建模状态的序列（例如量子 - 故事过程）的序列。我们从经验上证明了它在实际和想象的时间演化的经验上，同时定义了更广泛的潜在应用。

我们介绍了一种确定全局特征解耦的方法，并显示其适用于提高数据分析性能的适用性，并开放了新的场所以进行功能传输。我们提出了一种新的形式主义，该形式主义是基于沿特征梯度遵循轨迹来定义对子曼群的转换的。通过这些转换，我们定义了一个归一化，我们证明，它允许解耦可区分的特征。通过将其应用于采样矩，我们获得了用于正骨的准分析溶液，正尾肌肉是峰度的归一化版本，不仅与平均值和方差相关，而且还与偏度相关。我们将此方法应用于原始数据域和过滤器库的输出中，以基于全局描述符的回归和分类问题，与使用经典（未删除）描述符相比，性能得到一致且显着的改进。