数据驱动和深度学习方法已证明具有代替复杂材料的经典本构模型，显示路径依赖性并具有多个固有量表。然而，以增量配方构建本构模型的必要性导致了数据驱动的方法，例如物理量，例如变形，与人工，非物理的混合，例如变形和时间的增量。神经网络和随之而来的本构模型依赖于特定的增量公式，无法在及时识别本地材料表示，并且概括不良。在这里，我们提出了一种新方法，该方法首次允许将材料表示与增量配方解矛。受热力学基于人工神经网络（TANN）和内部变量理论的启发，进化坦（Etann）是连续的，因此与上述人工数量无关。所提出的方法的关键特征是以普通微分方程的形式发现内部变量的进化方程，而不是以增量离散时间形式。在这项工作中，我们将注意力集中在并置，并展示如何在Etann中实现固体力学的各种一般概念。热力学定律是在网络结构中刻连接的，并且允许始终保持一致的预测。我们提出了一种方法，该方法可以从数据和第一原理中发现从复杂材料中的微观磁场中可接受的内部变量集。通过几种应用涉及各种复杂的材料行为，从可塑性到损伤和粘度，可以证明所提出方法的功能以及所提出方法的可伸缩性。

经典可塑性模型的历史依赖性行为通常是由现象学定律演变而来的内部变量驱动的。解释这些内部变量如何代表变形的历史，缺乏直接测量这些内部变量进行校准和验证的困难，以及这些现象学定律的弱物理基础一直被批评为创建现实模型的障碍。在这项工作中，将图形数据（例如有限元解决方案）上的几何机器学习用作建立非线性尺寸还原技术和可塑性模型之间的联系的手段。基于几何学习的编码可以将丰富的时间历史数据嵌入到低维的欧几里得空间上，以便可以在嵌入式特征空间中预测塑性变形的演变。然后，相应的解码器可以将这些低维内变量转换回加权图，从而可以观察和分析塑性变形的主导拓扑特征。

物理信息的神经网络（PINN）是神经网络（NNS），它们作为神经网络本身的组成部分编码模型方程，例如部分微分方程（PDE）。如今，PINN是用于求解PDE，分数方程，积分分化方程和随机PDE的。这种新颖的方法已成为一个多任务学习框架，在该框架中，NN必须在减少PDE残差的同时拟合观察到的数据。本文对PINNS的文献进行了全面的综述：虽然该研究的主要目标是表征这些网络及其相关的优势和缺点。该综述还试图将出版物纳入更广泛的基于搭配的物理知识的神经网络，这些神经网络构成了香草·皮恩（Vanilla Pinn）以及许多其他变体，例如物理受限的神经网络（PCNN），各种HP-VPINN，变量HP-VPINN，VPINN，VPINN，变体。和保守的Pinn（CPINN）。该研究表明，大多数研究都集中在通过不同的激活功能，梯度优化技术，神经网络结构和损耗功能结构来定制PINN。尽管使用PINN的应用范围广泛，但通过证明其在某些情况下比有限元方法（FEM）等经典数值技术更可行的能力，但仍有可能的进步，最著名的是尚未解决的理论问题。

从经典上讲，材料的机械响应是通过构成模型来描述的，通常是以受约束的普通微分方程的形式描述。这些模型的参数数量非常有限，但是它们在重现实验中观察到的复杂响应方面非常有效。此外，以离散形式的形式，它们在计算上非常有效，通常会导致简单的代数关系，因此它们已被广泛用于大规模的显式和隐式有限元模型。但是，制定新的本构模型是非常具有挑战性的，特别是对于具有复合材料等复杂微结构的材料。构造建模的最新趋势利用复杂的神经网络体系结构来构建本构模型尚不存在的复杂材料响应。尽管非常准确，但它们遭受了两种缺陷。首先，它们是插值模型，在外推过程中通常做得很差。其次，由于它们的复杂体系结构和许多参数，它们在大规模有限元模型中被用作本构模型的效率低下。在这项研究中，我们提出了一种基于物理知识的学习机的新方法，以表征和发现本构模型。与数据驱动的本构模型不同，我们利用弹性性理论的基础作为总损耗函数中的正则化项，以查找理论上也是如此的参数本构模型。我们证明，我们提出的框架可以有效地识别描述冯·米塞斯家族不同数据集的基本构型模型。

物理信息神经网络（PINN）能够找到给定边界值问题的解决方案。我们使用有限元方法（FEM）的几个想法来增强工程问题中现有的PINN的性能。当前工作的主要贡献是促进使用主要变量的空间梯度作为分离神经网络的输出。后来，具有较高衍生物的强形式应用于主要变量的空间梯度作为物理约束。此外，该问题的所谓能量形式被应用于主要变量，作为训练的附加约束。所提出的方法仅需要一阶导数来构建物理损失函数。我们讨论了为什么通过不同模型之间的各种比较，这一点是有益的。基于配方混合的PINN和FE方法具有一些相似之处。前者利用神经网络的复杂非线性插值将PDE及其能量形式最小化及其能量形式，而后者则在元素节点借助Shape函数在元素节点上使用相同。我们专注于异质固体，以显示深学习在不同边界条件下在复杂环境中预测解决方案的能力。针对FEM的解决方案对两个原型问题的解决方案进行了检查：弹性和泊松方程（稳态扩散问题）。我们得出的结论是，通过正确设计PINN中的网络体系结构，深度学习模型有可能在没有其他来源的任何可用初始数据中解决异质域中的未知数。最后，关于Pinn和FEM的组合进行了讨论，以在未来的开发中快速准确地设计复合材料。

机器学习技术越来越多地用于预测科学应用中的材料行为，并比常规数值方法具有显着优势。在这项工作中，将人工神经网络（ANN）模型用于有限元公式中，以定义金属材料的流量定律是塑性应变，塑性应变速率和温度的函数。首先，我们介绍了神经网络的一般结构，其运作和关注网络在没有事先学习的情况下推导的能力，即相对于模型输入的流量定律的衍生物。为了验证所提出模型的鲁棒性和准确性，我们就42CRMO4钢的Johnson-Cook行为定律的分析公式进行了比较和分析几个网络体系结构的性能。在第二部分中，在选择了带有$ 2 $隐藏层的人工神经网络体系结构之后，我们以Vuhard Subroutine的形式在Abaqus显式计算代码中介绍了该模型的实现。然后在两个测试用例的数值模拟过程中证明了所提出模型的预测能力：圆形条的颈部和泰勒冲击试验。获得的结果表明，ANN具有很高的能力，可以在有限的元素代码中替换约翰逊 - 库克行为定律的分析公式，同时与经典方法相比，在数值模拟时间方面保持竞争力。

标准的神经网络可以近似一般的非线性操作员，要么通过数学运算符的组合（例如，在对流 - 扩散反应部分微分方程中）的组合，要么仅仅是黑匣子，例如黑匣子，例如一个系统系统。第一个神经操作员是基于严格的近似理论于2019年提出的深层操作员网络（DeepOnet）。从那时起，已经发布了其他一些较少的一般操作员，例如，基于图神经网络或傅立叶变换。对于黑匣子系统，对神经操作员的培训仅是数据驱动的，但是如果知道管理方程式可以在培训期间将其纳入损失功能，以开发物理知识的神经操作员。神经操作员可以用作设计问题，不确定性量化，自主系统以及几乎任何需要实时推断的应用程序中的代替代物。此外，通过将它们与相对轻的训练耦合，可以将独立的预训练deponets用作复杂多物理系统的组成部分。在这里，我们介绍了Deponet，傅立叶神经操作员和图神经操作员的评论，以及适当的扩展功能扩展，并突出显示它们在计算机械师中的各种应用中的实用性，包括多孔媒体，流体力学和固体机制， 。

机器人社区在为软机器人设备建模提供的理论工具的复杂程度中看到了指数增长。已经提出了不同的解决方案以克服与软机器人建模相关的困难，通常利用其他科学学科，例如连续式机械和计算机图形。这些理论基础通常被认为是理所当然的，这导致复杂的文献，因此，从未得到完整审查的主题。Withing这种情况下，提交的文件的目标是双重的。突出显示涉及建模技术的不同系列的常见理论根源，采用统一语言，以简化其主要连接和差异的分析。因此，对上市接近自然如下，并最终提供在该领域的主要作品的完整，解开，审查。

This paper proposes a novel Adaptive Clustering-based Reduced-Order Modeling (ACROM) framework to significantly improve and extend the recent family of clustering-based reduced-order models (CROMs). This adaptive framework enables the clustering-based domain decomposition to evolve dynamically throughout the problem solution, ensuring optimum refinement in regions where the relevant fields present steeper gradients. It offers a new route to fast and accurate material modeling of history-dependent nonlinear problems involving highly localized plasticity and damage phenomena. The overall approach is composed of three main building blocks: target clusters selection criterion, adaptive cluster analysis, and computation of cluster interaction tensors. In addition, an adaptive clustering solution rewinding procedure and a dynamic adaptivity split factor strategy are suggested to further enhance the adaptive process. The coined Adaptive Self-Consistent Clustering Analysis (ASCA) is shown to perform better than its static counterpart when capturing the multi-scale elasto-plastic behavior of a particle-matrix composite and predicting the associated fracture and toughness. Given the encouraging results shown in this paper, the ACROM framework sets the stage and opens new avenues to explore adaptivity in the context of CROMs.

The identification of material parameters occurring in constitutive models has a wide range of applications in practice. One of these applications is the monitoring and assessment of the actual condition of infrastructure buildings, as the material parameters directly reflect the resistance of the structures to external impacts. Physics-informed neural networks (PINNs) have recently emerged as a suitable method for solving inverse problems. The advantages of this method are a straightforward inclusion of observation data. Unlike grid-based methods, such as the finite element method updating (FEMU) approach, no computational grid and no interpolation of the data is required. In the current work, we aim to further develop PINNs towards the calibration of the linear-elastic constitutive model from full-field displacement and global force data in a realistic regime. We show that normalization and conditioning of the optimization problem play a crucial role in this process. Therefore, among others, we identify the material parameters for initial estimates and balance the individual terms in the loss function. In order to reduce the dependence of the identified material parameters on local errors in the displacement approximation, we base the identification not on the stress boundary conditions but instead on the global balance of internal and external work. In addition, we found that we get a better posed inverse problem if we reformulate it in terms of bulk and shear modulus instead of Young's modulus and Poisson's ratio. We demonstrate that the enhanced PINNs are capable of identifying material parameters from both experimental one-dimensional data and synthetic full-field displacement data in a realistic regime. Since displacement data measured by, e.g., a digital image correlation (DIC) system is noisy, we additionally investigate the robustness of the method to different levels of noise.

我们提出了一个数据驱动的框架，以提高软组织结构分析中显式有限元方法的计算效率。编码器解码器长短期内存深神经网络是根据由显式，分布式有限元求解器产生的数据训练的。我们利用该网络预测共享节点处的同步位移，从而最大程度地减少处理器之间的通信量。我们执行广泛的数值实验，以量化提出的避免同步算法的准确性和稳定性。

Recent years have witnessed a growth in mathematics for deep learning--which seeks a deeper understanding of the concepts of deep learning with mathematics, and explores how to make it more robust--and deep learning for mathematics, where deep learning algorithms are used to solve problems in mathematics. The latter has popularised the field of scientific machine learning where deep learning is applied to problems in scientific computing. Specifically, more and more neural network architectures have been developed to solve specific classes of partial differential equations (PDEs). Such methods exploit properties that are inherent to PDEs and thus solve the PDEs better than classical feed-forward neural networks, recurrent neural networks, and convolutional neural networks. This has had a great impact in the area of mathematical modeling where parametric PDEs are widely used to model most natural and physical processes arising in science and engineering, In this work, we review such methods and extend them for parametric studies as well as for solving the related inverse problems. We equally proceed to show their relevance in some industrial applications.

动态系统参见在物理，生物学，化学等自然科学中广泛使用，以及电路分析，计算流体动力学和控制等工程学科。对于简单的系统，可以通过应用基本物理法来导出管理动态的微分方程。然而，对于更复杂的系统，这种方法变得非常困难。数据驱动建模是一种替代范式，可以使用真实系统的观察来了解系统的动态的近似值。近年来，对数据驱动的建模技术的兴趣增加，特别是神经网络已被证明提供了解决广泛任务的有效框架。本文提供了使用神经网络构建动态系统模型的不同方式的调查。除了基础概述外，我们还审查了相关的文献，概述了这些建模范式必须克服的数值模拟中最重要的挑战。根据审查的文献和确定的挑战，我们提供了关于有前途的研究领域的讨论。

我们提出了一种基于具有子域（CENN）的神经网络的保守能量方法，其中允许通过径向基函数（RBF），特定解决方案神经网络和通用神经网络构成满足没有边界惩罚的基本边界条件的可允许功能。与具有子域的强形式Pinn相比，接口处的损耗术语具有较低的阶数。所提出的方法的优点是效率更高，更准确，更小的近双达，而不是具有子域的强形式Pinn。所提出的方法的另一个优点是它可以基于可允许功能的特殊结构适用于复杂的几何形状。为了分析其性能，所提出的方法宫殿用于模拟代表性PDE，这些实施例包括强不连续性，奇异性，复杂边界，非线性和异质问题。此外，在处理异质问题时，它优于其他方法。

本文介绍了一种新的数据驱动方法，利用由可逆神经网络产生的歧管嵌入，以提高具有有限数据的无组则无法模拟的鲁棒性，效率和准确性。我们通过培训深度神经网络来实现这一点，以将来自本组成歧管的全局映射到下一维欧几里德矢量空间。因此，我们建立了映射欧几里德矢量空间的规范与歧管的度量之间的关系，并导致更具物理上一致的材料数据距离概念。这种处理允许我们绕过昂贵的组合优化，当数据丰富并且高维时，这可能会显着加速无模型模拟。同时，当数据稀疏或在参数空间中不均匀地分布时，嵌入的学习还提高了算法的稳健性。提供了数值实验以证明和测量不同情况下歧管嵌入技术的性能。比较了从所提出的方法获得的结果和通过经典能量规范获得的结果。

Deep operator networks (DeepONets) are powerful architectures for fast and accurate emulation of complex dynamics. As their remarkable generalization capabilities are primarily enabled by their projection-based attribute, we investigate connections with low-rank techniques derived from the singular value decomposition (SVD). We demonstrate that some of the concepts behind proper orthogonal decomposition (POD)-neural networks can improve DeepONet's design and training phases. These ideas lead us to a methodology extension that we name SVD-DeepONet. Moreover, through multiple SVD analyses, we find that DeepONet inherits from its projection-based attribute strong inefficiencies in representing dynamics characterized by symmetries. Inspired by the work on shifted-POD, we develop flexDeepONet, an architecture enhancement that relies on a pre-transformation network for generating a moving reference frame and isolating the rigid components of the dynamics. In this way, the physics can be represented on a latent space free from rotations, translations, and stretches, and an accurate projection can be performed to a low-dimensional basis. In addition to flexibility and interpretability, the proposed perspectives increase DeepONet's generalization capabilities and computational efficiencies. For instance, we show flexDeepONet can accurately surrogate the dynamics of 19 variables in a combustion chemistry application by relying on 95% less trainable parameters than the ones of the vanilla architecture. We argue that DeepONet and SVD-based methods can reciprocally benefit from each other. In particular, the flexibility of the former in leveraging multiple data sources and multifidelity knowledge in the form of both unstructured data and physics-informed constraints has the potential to greatly extend the applicability of methodologies such as POD and PCA.

在许多学科中，动态系统的数据信息预测模型的开发引起了广泛的兴趣。我们提出了一个统一的框架，用于混合机械和机器学习方法，以从嘈杂和部分观察到的数据中识别动态系统。我们将纯数据驱动的学习与混合模型进行比较，这些学习结合了不完善的域知识。我们的公式与所选的机器学习模型不可知，在连续和离散的时间设置中都呈现，并且与表现出很大的内存和错误的模型误差兼容。首先，我们从学习理论的角度研究无内存线性（W.R.T.参数依赖性）模型误差，从而定义了过多的风险和概括误差。对于沿阵行的连续时间系统，我们证明，多余的风险和泛化误差都通过与T的正方形介于T的术语（指定训练数据的时间间隔）的术语界定。其次，我们研究了通过记忆建模而受益的方案，证明了两类连续时间复发性神经网络（RNN）的通用近似定理：两者都可以学习与内存有关的模型误差。此外，我们将一类RNN连接到储层计算，从而将学习依赖性错误的学习与使用随机特征在Banach空间之间进行监督学习的最新工作联系起来。给出了数值结果（Lorenz '63，Lorenz '96多尺度系统），以比较纯粹的数据驱动和混合方法，发现混合方法较少，渴望数据较少，并且更有效。最后，我们从数值上证明了如何利用数据同化来从嘈杂，部分观察到的数据中学习隐藏的动态，并说明了通过这种方法和培训此类模型来表示记忆的挑战。

在本文中，我们介绍了一种基于距离场的新方法，以确保物理知识的深神经网络中的边界条件。众所周知，满足网状紫外线和颗粒方法中的Dirichlet边界条件的挑战是众所周知的。该问题在物理信息的开发中也是相关的，用于解决部分微分方程的解。我们在人工神经网络中介绍几何意识的试验功能，以改善偏微分方程的深度学习培训。为此，我们使用来自建设性的实体几何（R函数）和广义的等级坐标（平均值潜在字段）的概念来构建$ \ phi $，对域边界的近似距离函数。要恰好施加均匀的Dirichlet边界条件，试验函数乘以\ PHI $乘以PINN近似，并且通过Transfinite插值的泛化用于先验满足的不均匀Dirichlet（必要），Neumann（自然）和Robin边界复杂几何形状的条件。在这样做时，我们消除了与搭配方法中的边界条件满意相关的建模误差，并确保以ritz方法点点到运动可视性。我们在具有仿射和弯曲边界的域上的线性和非线性边值问题的数值解。 1D中的基准问题，用于线性弹性，平面扩散和光束弯曲;考虑了泊松方程的2D，考虑了双音态方程和非线性欧克隆方程。该方法延伸到更高的尺寸，并通过在4D超立方套上解决彼此与均匀的Dirichlet边界条件求泊松问题来展示其使用。该研究提供了用于网眼分析的途径，以在没有域离散化的情况下在确切的几何图形上进行。

神经网络的经典发展主要集中在有限维欧基德空间或有限组之间的学习映射。我们提出了神经网络的概括，以学习映射无限尺寸函数空间之间的运算符。我们通过一类线性积分运算符和非线性激活函数的组成制定运营商的近似，使得组合的操作员可以近似复杂的非线性运算符。我们证明了我们建筑的普遍近似定理。此外，我们介绍了四类运算符参数化：基于图形的运算符，低秩运算符，基于多极图形的运算符和傅里叶运算符，并描述了每个用于用每个计算的高效算法。所提出的神经运营商是决议不变的：它们在底层函数空间的不同离散化之间共享相同的网络参数，并且可以用于零击超分辨率。在数值上，与现有的基于机器学习的方法，达西流程和Navier-Stokes方程相比，所提出的模型显示出卓越的性能，而与传统的PDE求解器相比，与现有的基于机器学习的方法有关的基于机器学习的方法。

传统上，基于标度律维模型已被用于参数对流换热岩类地行星像地球，火星，水星和金星的内部，以解决二维或三维高保真前插的计算瓶颈。然而，这些在物理它们可以建模（例如深度取决于材料特性），并预测只平均量的量的限制，例如平均温度地幔。我们最近发现，前馈神经网络（FNN），使用了大量的二维模拟可以克服这个限制和可靠地预测整个1D横向平均温度分布的演变，及时为复杂的模型训练。我们现在扩展该方法以预测的完整2D温度字段，它包含在对流结构如热羽状和冷downwellings的形式的信息。使用的地幔热演化的10,525二维模拟数据集火星般的星球，我们表明，深度学习技术能够产生可靠的参数代理人（即代理人即预测仅基于参数状态变量，如温度）底层偏微分方程。我们首先使用卷积自动编码由142倍以压缩温度场，然后使用FNN和长短期存储器网络（LSTM）来预测所述压缩字段。平均起来，FNN预测是99.30％，并且LSTM预测是准确相对于看不见模拟99.22％。在LSTM和FNN预测显示，尽管较低的绝对平均相对精度，LSTMs捕捉血流动力学优于FNNS适当的正交分解（POD）。当求和，从FNN预测和从LSTM预测量至96.51％，相对97.66％到原始模拟的系数，分别与POD系数。