我们研究有限混合物中学习非参数分布的问题，并在样品复杂性上建立紧密的界限，以学习此类模型中的组件分布。也就是说，我们得到了I.I.D.来自pdf $ f $ whene $$ f = \ sum_ {i = 1}^k w_i f_i，\ quad \ sum_ {i = 1}^k w_i = 1，\ quad w_i> 0 $$的样品在学习每个组件$ f_i $时。没有关于$ f_i $的任何假设，此问题是错误的。为了识别组件$ f_i $，我们假设每个$ f_i $都可以写为高斯的卷积和紧凑的密度密度$ \ nu_i $，带有$ \ text {supp {supp}（\ nu_i）\ cap \ text \ text {supp}（\ nu_j）= \ emptyset $。我们的主要结果表明，$（\ frac {1} {\ varepsilon}）^{\ omega（\ log \ log \ log \ frac {1} {\ varepsilon}）} $ samples $ samples是估计每个$ f_i $的样本所必需的。与参数混合物不同，难度不是源于$ k $或小重量$ w_i $的订单，并且与非参数密度估计不同，它不是源于维度，不规则性或不均匀性的诅咒。证明依赖于与高斯人的近似值的快速率，这可能是独立的。要证明这很紧，我们还提出了一种算法，该算法使用$（\ frac {1} {\ varepsilon}）^{o（\ log \ log \ log \ frac {1} {\ varepsilon} {\ varepsilon}} $ sample f_i $。与基于力矩匹配和张量方法学习潜在变量模型的现有方法不同，我们的证明涉及通过正交功能对不良条件线性系统进行微妙的分析。结合了这些界限，我们得出结论，该问题的最佳样本复杂性正确在于多项式和指数之间，这在学习理论中并不常见。

我们考虑了在高维度中平均分离的高斯聚类混合物的问题。我们是从$ k $身份协方差高斯的混合物提供的样本，使任何两对手段之间的最小成对距离至少为$ \ delta $，对于某些参数$ \ delta> 0 $，目标是恢复这些样本的地面真相聚类。它是分离$ \ delta = \ theta（\ sqrt {\ log k}）$既有必要且足以理解恢复良好的聚类。但是，实现这种担保的估计值效率低下。我们提供了在多项式时间内运行的第一算法，几乎符合此保证。更确切地说，我们给出了一种算法，它需要多项式许多样本和时间，并且可以成功恢复良好的聚类，只要分离为$ \ delta = \ oomega（\ log ^ {1/2 + c} k）$ ，任何$ c> 0 $。以前，当分离以k $的分离和可以容忍$ \ textsf {poly}（\ log k）$分离所需的quasi arynomial时间时，才知道该问题的多项式时间算法。我们还将我们的结果扩展到分布的分布式的混合物，该分布在额外的温和假设下满足Poincar \ {e}不等式的分布。我们认为我们相信的主要技术工具是一种新颖的方式，可以隐含地代表和估计分配的​​高度时刻，这使我们能够明确地提取关于高度时刻的重要信息而没有明确地缩小全瞬间张量。

我们在高斯分布下使用Massart噪声与Massart噪声进行PAC学习半个空间的问题。在Massart模型中，允许对手将每个点$ \ mathbf {x} $的标签与未知概率$ \ eta（\ mathbf {x}）\ leq \ eta $，用于某些参数$ \ eta \ [0,1 / 2] $。目标是找到一个假设$ \ mathrm {opt} + \ epsilon $的错误分类错误，其中$ \ mathrm {opt} $是目标半空间的错误。此前已经在两个假设下研究了这个问题：（i）目标半空间是同质的（即，分离超平面通过原点），并且（ii）参数$ \ eta $严格小于$ 1/2 $。在此工作之前，当除去这些假设中的任何一个时，不知道非增长的界限。我们研究了一般问题并建立以下内容：对于$ \ eta <1/2 $，我们为一般半个空间提供了一个学习算法，采用样本和计算复杂度$ d ^ {o_ {\ eta}（\ log（1 / \ gamma） ）））}} \ mathrm {poly}（1 / \ epsilon）$，其中$ \ gamma = \ max \ {\ epsilon，\ min \ {\ mathbf {pr} [f（\ mathbf {x}）= 1]， \ mathbf {pr} [f（\ mathbf {x}）= -1] \} \} $是目标半空间$ f $的偏差。现有的高效算法只能处理$ \ gamma = 1/2 $的特殊情况。有趣的是，我们建立了$ d ^ {\ oomega（\ log（\ log（\ log（\ log））}}的质量匹配的下限，而是任何统计查询（SQ）算法的复杂性。对于$ \ eta = 1/2 $，我们为一般半空间提供了一个学习算法，具有样本和计算复杂度$ o_ \ epsilon（1）d ^ {o（\ log（1 / epsilon））} $。即使对于均匀半空间的子类，这个结果也是新的;均匀Massart半个空间的现有算法为$ \ eta = 1/2 $提供可持续的保证。我们与D ^ {\ omega（\ log（\ log（\ log（\ log（\ epsilon））} $的近似匹配的sq下限补充了我们的上限，这甚至可以为同类半空间的特殊情况而保持。

我们研究了在存在$ \ epsilon $ - 对抗异常值的高维稀疏平均值估计的问题。先前的工作为此任务获得了该任务的样本和计算有效算法，用于辅助性Subgaussian分布。在这项工作中，我们开发了第一个有效的算法，用于强大的稀疏平均值估计，而没有对协方差的先验知识。对于$ \ Mathbb r^d $上的分布，带有“认证有限”的$ t $ tum-矩和足够轻的尾巴，我们的算法达到了$ o（\ epsilon^{1-1/t}）$带有样品复杂性$的错误（\ epsilon^{1-1/t}） m =（k \ log（d））^{o（t）}/\ epsilon^{2-2/t} $。对于高斯分布的特殊情况，我们的算法达到了$ \ tilde o（\ epsilon）$的接近最佳错误，带有样品复杂性$ m = o（k^4 \ mathrm {polylog}（d）（d））/\ epsilon^^ 2 $。我们的算法遵循基于方形的总和，对算法方法的证明。我们通过统计查询和低度多项式测试的下限来补充上限，提供了证据，表明我们算法实现的样本时间 - 错误权衡在质量上是最好的。

聚类是无监督学习中的基本原始，它引发了丰富的计算挑战性推理任务。在这项工作中，我们专注于将$ D $ -dimential高斯混合的规范任务与未知（和可能的退化）协方差集成。最近的作品（Ghosh等人。恢复在高斯聚类实例中种植的某些隐藏结构。在许多类似的推理任务上的工作开始，这些较低界限强烈建议存在群集的固有统计到计算间隙，即群集任务是\ yringit {statistically}可能但没有\ texit {多项式 - 时间}算法成功。我们考虑的聚类任务的一个特殊情况相当于在否则随机子空间中找到种植的超立体载体的问题。我们表明，也许令人惊讶的是，这种特定的聚类模型\ extent {没有展示}统计到计算间隙，即使在这种情况下继续应用上述的低度和SOS下限。为此，我们提供了一种基于Lenstra - Lenstra - Lovasz晶格基础减少方法的多项式算法，该方法实现了$ D + 1 $样本的统计上最佳的样本复杂性。该结果扩展了猜想统计到计算间隙的问题的类问题可以通过“脆弱”多项式算法“关闭”，突出显示噪声在统计到计算间隙的发作中的关键而微妙作用。

在这项工作中，我们解决了从$ \ epsilon $ -corrupted样本的$ k $组件稳健地学习高斯高斯混合模型的问题，以准确率$ \ widetilde {o}（\ epsilon）在总变化距离中持续$ k $，并在混合物上具有温和的假设。这种稳健性保证是最佳的积极因素因素。主要挑战是，大多数早期的作品依赖于在混合中学习各个组件，但在我们的环境中是不可能的，至少对于我们旨在保证的强大稳健性的类型是不可能的。相反，我们介绍了一个新的框架，我们称之为{\ em强烈的可观察性}，这为我们提供了一条规避这障碍的途径。

我们研究了非参数混合模型中的一致性以及回归的密切相关的混合物（也称为混合回归）模型，其中允许回归函数是非参数的，并且假定误差分布是高斯密度的卷积。我们在一般条件下构建统一的一致估计器，同时突出显示了将现有的点一致性结果扩展到均匀结果的几个疼痛点。最终的分析事实并非如此，并且在此过程中开发了几种新颖的技术工具。在混合回归的情况下，我们证明了回归函数的$ l^1 $收敛性，同时允许组件回归函数任意地相交，这带来了其他技术挑战。我们还考虑对一般（即非跨方向）非参数混合物的概括。

我们研究了Massart噪声存在下PAC学习半空间的复杂性。在这个问题中，我们得到了I.I.D.标记的示例$（\ mathbf {x}，y）\ in \ mathbb {r}^n \ times \ {\ pm 1 \} $，其中$ \ mathbf {x} $的分布是任意的，标签$ y y y y y y。 $是$ f（\ mathbf {x}）$的MassArt损坏，对于未知的半空间$ f：\ mathbb {r}^n \ to \ to \ {\ pm 1 \} $，带有翻转概率$ \ eta（\ eta）（\ eta） Mathbf {x}）\ leq \ eta <1/2 $。学习者的目的是计算一个小于0-1误差的假设。我们的主要结果是该学习问题的第一个计算硬度结果。具体而言，假设学习错误（LWE）问题（LWE）问题的（被认为是广泛的）超指定时间硬度，我们表明，即使最佳，也没有多项式时间MassArt Halfspace学习者可以更好地达到错误的错误，即使是最佳0-1错误很小，即$ \ mathrm {opt} = 2^{ - \ log^{c}（n）} $对于任何通用常数$ c \ in（0，1）$。先前的工作在统计查询模型中提供了定性上类似的硬度证据。我们的计算硬度结果基本上可以解决Massart Halfspaces的多项式PAC可学习性，这表明对该问题的已知有效学习算法几乎是最好的。

在这项工作中，我们将轨道恢复问题超过$ SO（3）$，其中目标是从嘈杂的测量到它的随机旋转副本中的球体上恢复带有限制功能。这是通过冷冻电子断层扫描恢复分子的三维结构的问题的自然抽象。对称发挥重要作用：恢复旋转函数相当于求解来自与组动作相关的不变环的多项式方程系统。先前的工作通过计算代数工具调查了该系统，该工具高达一定尺寸。然而，许多统计和算法问题仍然存在：恢复有多少次，或者等效在何种程度下，不变多项式会产生全不变环？是否有可能算法解决该多项式方程系统？从平滑分析的角度来看，我们重新审视这些问题，从而基于球面谐波扰乱了该功能的系数。我们的主要结果是轨道恢复的准多项式时间算法超过$ SO（3）$在此模型中。我们通过建立一个{\ EM线性}方程来利用多项式方程系统的分层结构来分析一个被称为频率行进的频率谱系，以便为已经找到了较低阶频率来解决高阶频率的{\ EM线性}方程的系统。主要问题是：这些系统有一个独特的解决方案吗？错误的错误有多快？我们的主要技术贡献是在限制这些代数结构线性系统的条件数。因此，平滑分析提供了一个引人注目的模型，我们可以扩展我们可以在轨道恢复中处理的组动作类型，超出有限和/或雅典的情况。

我们调查与高斯的混合的数据分享共同但未知，潜在虐待协方差矩阵的数据。我们首先考虑具有两个等级大小的组件的高斯混合，并根据最大似然估计导出最大切割整数程序。当样品的数量在维度下线性增长时，我们证明其解决方案实现了最佳的错误分类率，直到对数因子。但是，解决最大切割问题似乎是在计算上棘手的。为了克服这一点，我们开发了一种高效的频谱算法，该算法达到最佳速率，但需要一种二次样本量。虽然这种样本复杂性比最大切割问题更差，但我们猜测没有多项式方法可以更好地执行。此外，我们收集了支持统计计算差距存在的数值和理论证据。最后，我们将MAX-CUT程序概括为$ k $ -means程序，该程序处理多组分混合物的可能性不平等。它享有相似的最优性保证，用于满足运输成本不平等的分布式的混合物，包括高斯和强烈的对数的分布。

我们研究了用于线性回归的主动采样算法，该算法仅旨在查询目标向量$ b \ in \ mathbb {r} ^ n $的少量条目，并将近最低限度输出到$ \ min_ {x \ In \ mathbb {r} ^ d} \ | ax-b \ | $，其中$ a \ in \ mathbb {r} ^ {n \ times d} $是一个设计矩阵和$ \ | \ cdot \ | $是一些损失函数。对于$ \ ell_p $ norm回归的任何$ 0 <p <\ idty $，我们提供了一种基于Lewis权重采样的算法，其使用只需$ \ tilde {o}输出$（1+ \ epsilon）$近似解决方案（d ^ {\ max（1，{p / 2}）} / \ mathrm {poly}（\ epsilon））$查询到$ b $。我们表明，这一依赖于$ D $是最佳的，直到对数因素。我们的结果解决了陈和Derezi的最近开放问题，陈和Derezi \'{n} Ski，他们为$ \ ell_1 $ norm提供了附近的最佳界限，以及$ p \中的$ \ ell_p $回归的次优界限（1,2） $。我们还提供了$ O的第一个总灵敏度上限（D ^ {\ max \ {1，p / 2 \} \ log ^ 2 n）$以满足最多的$ p $多项式增长。这改善了Tukan，Maalouf和Feldman的最新结果。通过将此与我们的技术组合起来的$ \ ell_p $回归结果，我们获得了一个使$ \ tilde o的活动回归算法（d ^ {1+ \ max \ {1，p / 2 \}} / \ mathrm {poly}。 （\ epsilon））$疑问，回答陈和德里兹的另一个打开问题{n}滑雪。对于Huber损失的重要特殊情况，我们进一步改善了我们对$ \ tilde o的主动样本复杂性的绑定（d ^ {（1+ \ sqrt2）/ 2} / \ epsilon ^ c）$和非活跃$ \ tilde o的样本复杂性（d ^ {4-2 \ sqrt 2} / \ epsilon ^ c）$，由于克拉克森和伍德拉夫而改善了Huber回归的以前的D ^ 4 $。我们的敏感性界限具有进一步的影响，使用灵敏度采样改善了各种先前的结果，包括orlicz规范子空间嵌入和鲁棒子空间近似。最后，我们的主动采样结果为每种$ \ ell_p $ norm提供的第一个Sublinear时间算法。

近似消息传递（AMP）是解决高维统计问题的有效迭代范式。但是，当迭代次数超过$ o \ big（\ frac {\ log n} {\ log log \ log \ log n} \时big）$（带有$ n $问题维度）。为了解决这一不足，本文开发了一个非吸附框架，用于理解峰值矩阵估计中的AMP。基于AMP更新的新分解和可控的残差项，我们布置了一个分析配方，以表征在存在独立初始化的情况下AMP的有限样本行为，该过程被进一步概括以进行光谱初始化。作为提出的分析配方的两个具体后果：（i）求解$ \ mathbb {z} _2 $同步时，我们预测了频谱初始化AMP的行为，最高为$ o \ big（\ frac {n} {\ mathrm {\ mathrm { poly} \ log n} \ big）$迭代，表明该算法成功而无需随后的细化阶段（如最近由\ citet {celentano2021local}推测）; （ii）我们表征了稀疏PCA中AMP的非反应性行为（在尖刺的Wigner模型中），以广泛的信噪比。

我们给出了\ emph {list-codobable协方差估计}的第一个多项式时间算法。对于任何$ \ alpha> 0 $，我们的算法获取输入样本$ y \ subseteq \ subseteq \ mathbb {r}^d $ size $ n \ geq d^{\ mathsf {poly}（1/\ alpha）} $获得通过对抗损坏I.I.D的$（1- \ alpha）n $点。从高斯分布中的样本$ x $ size $ n $，其未知平均值$ \ mu _*$和协方差$ \ sigma _*$。在$ n^{\ mathsf {poly}（1/\ alpha）} $ time中，它输出$ k = k（\ alpha）=（1/\ alpha）^{\ mathsf {poly}的常数大小列表（1/\ alpha）} $候选参数，具有高概率，包含$（\ hat {\ mu}，\ hat {\ sigma}）$，使得总变化距离$ tv（\ Mathcal {n}（n}）（n}（n}）（ \ mu _*，\ sigma _*），\ Mathcal {n}（\ hat {\ mu}，\ hat {\ sigma}））<1-o _ {\ alpha}（1）$。这是距离的统计上最强的概念，意味着具有独立尺寸误差的参数的乘法光谱和相对Frobenius距离近似。我们的算法更普遍地适用于$（1- \ alpha）$ - 任何具有低度平方总和证书的分布$ d $的损坏，这是两个自然分析属性的：1）一维边际和抗浓度2）2度多项式的超收缩率。在我们工作之前，估计可定性设置的协方差的唯一已知结果是针对Karmarkar，Klivans和Kothari（2019），Raghavendra和Yau（2019和2019和2019和2019和2019年）的特殊情况。 2020年）和巴克西（Bakshi）和科塔里（Kothari）（2020年）。这些结果需要超级物理时间，以在基础维度中获得任何子构误差。我们的结果意味着第一个多项式\ emph {extcect}算法，用于列表可解码的线性回归和子空间恢复，尤其允许获得$ 2^{ - \ Mathsf { - \ Mathsf {poly}（d）} $多项式时间错误。我们的结果还意味着改进了用于聚类非球体混合物的算法。

混合模型被广泛用于拟合复杂和多模式数据集。在本文中，我们研究了具有高维稀疏潜在参数矢量的混合物，并考虑了支持这些向量的恢复的问题。尽管对混合模型中的参数学习进行了充分研究，但稀疏性约束仍然相对尚未探索。参数向量的稀疏性是各种设置的自然约束，支持恢复是参数估计的主要步骤。我们为支持恢复提供有效的算法，该算法具有对数样品的复杂性依赖于潜在空间的维度。我们的算法非常笼统，即它们适用于1）许多不同规范分布的混合物，包括统一，泊松，拉普拉斯，高斯人等。2）在统一参数的不同假设下，线性回归和线性分类器与高斯协变量的混合物与高斯协变量的混合物。在大多数这些设置中，我们的结果是对问题的首先保证，而在其余部分中，我们的结果为现有作品提供了改进。

In the classical setting of self-selection, the goal is to learn $k$ models, simultaneously from observations $(x^{(i)}, y^{(i)})$ where $y^{(i)}$ is the output of one of $k$ underlying models on input $x^{(i)}$. In contrast to mixture models, where we observe the output of a randomly selected model, here the observed model depends on the outputs themselves, and is determined by some known selection criterion. For example, we might observe the highest output, the smallest output, or the median output of the $k$ models. In known-index self-selection, the identity of the observed model output is observable; in unknown-index self-selection, it is not. Self-selection has a long history in Econometrics and applications in various theoretical and applied fields, including treatment effect estimation, imitation learning, learning from strategically reported data, and learning from markets at disequilibrium. In this work, we present the first computationally and statistically efficient estimation algorithms for the most standard setting of this problem where the models are linear. In the known-index case, we require poly$(1/\varepsilon, k, d)$ sample and time complexity to estimate all model parameters to accuracy $\varepsilon$ in $d$ dimensions, and can accommodate quite general selection criteria. In the more challenging unknown-index case, even the identifiability of the linear models (from infinitely many samples) was not known. We show three results in this case for the commonly studied $\max$ self-selection criterion: (1) we show that the linear models are indeed identifiable, (2) for general $k$ we provide an algorithm with poly$(d) \exp(\text{poly}(k))$ sample and time complexity to estimate the regression parameters up to error $1/\text{poly}(k)$, and (3) for $k = 2$ we provide an algorithm for any error $\varepsilon$ and poly$(d, 1/\varepsilon)$ sample and time complexity.

我们显示出与错误（LWE）问题的经典学习之间的直接和概念上的简单减少，其连续类似物（Bruna，Regev，Song and Tang，STOC 2021）。这使我们能够将基于LWE的密码学的强大机械带到Clwe的应用中。例如，我们在GAP最短矢量问题的经典最坏情况下获得了Clwe的硬度。以前，这仅在晶格问题的量子最坏情况下才知道。更广泛地说，随着我们在两个问题之间的减少，LWE的未来发展也将适用于CLWE及其下游应用程序。作为一种具体的应用，我们显示了高斯混合物密度估计的硬度结果改善。在此计算问题中，给定样品访问高斯人的混合物，目标是输出估计混合物密度函数的函数。在经典LWE问题的（合理且被广泛相信的）指数硬度下，我们表明高斯混合物密度估计$ \ Mathbb {r}^n $，大约$ \ log n $ gaussian组件给定$ \ mathsf {poly}（poly}（poly}（poly}）） n）$样品需要$ n $的时间准分线性。在LWE的（保守）多项式硬度下，我们显示出$ n^{\ epsilon} $高斯的密度估计，对于任何常数$ \ epsilon> 0 $，它可以改善Bruna，Regev，Song和Tang（Stoc 2021） ，在多项式（量子）硬度假设下，他们至少以$ \ sqrt {n} $高斯的表现表现出硬度。我们的关键技术工具是从古典LWE到LWE的缩短，并使用$ k $ -sparse Secrets，其中噪声的乘法增加仅为$ o（\ sqrt {k}）$，与环境尺寸$ n $无关。

我们重新审视量子状态认证的基本问题：给定混合状态$ \ rho \中的副本\ mathbb {c} ^ {d \ times d} $和混合状态$ \ sigma $的描述，决定是否$ \ sigma = \ rho $或$ \ | \ sigma - \ rho \ | _ {\ mathsf {tr}} \ ge \ epsilon $。当$ \ sigma $最大化时，这是混合性测试，众所周知，$ \ omega（d ^ {\ theta（1）} / \ epsilon ^ 2）$副本是必要的，所以确切的指数取决于测量类型学习者可以使[OW15，BCL20]，并且在许多这些设置中，有一个匹配的上限[OW15，Bow19，BCL20]。可以避免这种$ d ^ {\ theta（1）} $依赖于某些类型的混合状态$ \ sigma $，例如。大约低等级的人？更常见地，是否存在一个简单的功能$ f：\ mathbb {c} ^ {d \ times d} \ to \ mathbb {r} _ {\ ge 0} $，其中一个人可以显示$ \ theta（f（ \ sigma）/ \ epsilon ^ 2）$副本是必要的，并且足以就任何$ \ sigma $的国家认证？这种实例 - 最佳边界在经典分布测试的背景下是已知的，例如， [VV17]。在这里，我们为量子设置提供了这个性质的第一个界限，显示（达到日志因子），即使用非接受不连贯测量的状态认证的复杂性复杂性基本上是通过复制复杂性进行诸如$ \ sigma $之间的保真度的复杂性。和最大混合的状态。令人惊讶的是，我们的界限与经典问题的实例基本上不同，展示了两个设置之间的定性差异。

生成的对抗网络（GAN）在无监督学习方面取得了巨大的成功。尽管具有显着的经验表现，但关于gan的统计特性的理论研究有限。本文提供了gan的近似值和统计保证，以估算具有H \“ {o} lder空间密度的数据分布。我们的主要结果表明，如果正确选择了生成器和鉴别器网络架构，则gan是一致的估计器在较强的差异指标下的数据分布（例如Wasserstein-1距离。 ，这不受环境维度的诅咒。我们对低维数据的分析基于具有Lipschitz连续性保证的神经网络的通用近似理论，这可能具有独立的兴趣。

我们研究了学习哈密顿$ h $ to precision $ \ varepsilon $的问题，假设我们将获得其gibbs state $ \ rho = \ exp（ - \ beta h）/\ operatoratorname {tr}（\ exp（\ exp）（ - \ beta h））$在已知的反温度$ \ beta $处。 Anshu，Arunachalam，Kuwahara和Soleimanifar（Nature Physics，2021，Arxiv：2004.07266）最近研究了此问题的样品复杂性（需要$ \ rho $的副本数量）。在高温（低$ \ beta $）制度中，他们的算法具有样品复杂性poly poly $（n，1/\ beta，1/\ varepsilon）$，并且可以用多项式但次优的时间复杂性实现。在本文中，我们研究了更一般的哈密顿人的同样问题。我们展示了如何学习哈密顿量的系数到错误$ \ varepsilon $带有样本复杂性$ s = o（\ log n/（\ beta \ varepsilon）^{2}）$和样本大小的时间复杂性，$ o（s n）$。此外，我们证明了匹配的下限，表明我们算法的样品复杂性是最佳的，因此我们的时间复杂性也是最佳的。在附录中，我们证明，几乎可以使用相同的算法来从实时进化的统一$ e^{ - it H} $中学习$ h $，其中具有相似的示例和时间复杂性的小$ t $制度。

鉴于$ n $ i.i.d.从未知的分发$ P $绘制的样本，何时可以生成更大的$ n + m $ samples，这些标题不能与$ n + m $ i.i.d区别区别。从$ p $绘制的样品？（AXELROD等人2019）将该问题正式化为样本放大问题，并为离散分布和高斯位置模型提供了最佳放大程序。然而，这些程序和相关的下限定制到特定分布类，对样本扩增的一般统计理解仍然很大程度上。在这项工作中，我们通过推出通常适用的放大程序，下限技术和与现有统计概念的联系来放置对公司统计基础的样本放大问题。我们的技术适用于一大类分布，包括指数家庭，并在样本放大和分配学习之间建立严格的联系。