社区检测是网络科学中的经典问题，在各个领域都有广泛的应用。最常用的方法是设计算法，旨在最大程度地跨越网络分配到社区中的不同方式，以最大化效用函数，模块化。尽管它们的名称和设计理念，但当前的模块化最大化算法通常无法最大化模块化或保证与最佳解决方案的任何接近。我们提出了Bayan算法，该算法与现有方法不同，该算法返回网络分区，以确保最佳或靠近最佳解决方案。 Bayan算法的核心是一种分支和切割方案，该方案解决了模块化最大化问题的稀疏整数编程公式，以最佳或在一个因素内近似它。我们使用合成和真实网络分析了Bayan对22种现有算法的性能。通过广泛的实验，我们不仅在最大化模块化方面展示了Bayan的独特能力，而且更重要的是在准确检索地面真实群落方面。 Bayan的比较性能水平在数据（图）生成过程中噪声量的变化上保持稳定。 Bayan作为确切的模块化最大化算法的性能也揭示了在社区准确检索中最大模块化分区的理论能力限制。总体而言，我们的分析指出，通过精确（近似）最大化的网络中的模块化（近似$ \ sim10^3 $边缘（和较大的网络）），BAYAN是对社区进行方法基础检测的合适选择。图形优化和整数编程的前瞻性进步可以进一步推动这些限制。

最小的平方和群集（MSSC）或K-Means型聚类，传统上被认为是无监督的学习任务。近年来，使用背景知识来提高集群质量，促进聚类过程的可解释性已成为数学优化和机器学习研究的热门研究课题。利用数据群集中的背景信息的问题称为半监督或约束群集。在本文中，我们为半监控MSSC提供了一种新的分支和绑定算法，其中背景知识被包含为成对必须 - 链接和无法链接约束。对于较低的界限，我们解决了MSSC离散优化模型的Semidefinite编程宽松，并使用了用于加强界限的纤维平面程序。相反，通过使用整数编程工具，我们提出了将K-Means算法适应受约束的情况。这是第一次，所提出的全局优化算法有效地管理，以解决现实世界的情况，最高可达800个数据点，具有必要的必须 - 链接和无法链接约束以及通用数量的功能。这个问题大小大约比最先进的精确算法解决的实例大约四倍。

最近已扩展了最小方形聚类（MSSC）或K-均值类型聚类的最小总和，以利用每个群集的基数的先验知识。这种知识用于提高性能以及解决方案质量。在本文中，我们提出了一种基于分支和切割技术的精确方法，以解决基数受限的MSSC。对于下边界的例程，我们使用Rujeerapaiboon等人最近提出的半决赛编程（SDP）放松。 [Siam J. Optim。 29（2），1211-1239，（2019）]。但是，这种放松只能用于小型实例中的分支和切割方法。因此，我们得出了一种新的SDP松弛，该松弛随着实例大小和簇的数量更好。在这两种情况下，我们都通过添加多面体切割来增强结合。从量身定制的分支策略中受益，该策略会实施成对的约束，我们减少了儿童节点中出现的问题的复杂性。相反，对于上限，我们提出了一个本地搜索过程，该过程利用在每个节点上求解的SDP松弛的解。计算结果表明，所提出的算法在全球范围内首次求解了大小的现实实例，比通过最新精确方法求解的算法大10倍。

相关聚类是基于成对相似性和不同分数的数据集的框架，并且已用于生物信息学，社交网络分析和计算机视觉中的不同应用。尽管已经为该问题设计了许多近似算法，但是最好的理论结果依赖于通过昂贵的线性编程松弛获得下限。在本文中，我们证明了与强三合会封闭原理相关的相关聚类问题与边缘标签问题的新关系。我们使用这些连接来开发新的近似算法，用于具有确定性恒因子近似保证并避免规范线性编程放松的相关聚类。我们的方法还扩展到称为集群删除的相关聚类的变体，严格禁止将负边缘放入簇中。我们的结果包括基于简化的线性程序的集群删除和相关聚类的4个近似算法，其限制的限制性远远超过规范放松。更重要的是，我们基于在某些辅助图和超图中的计算最大匹配基于计算最大匹配来发展纯组合的更快技术。这导致组合6 - 近似用于完整的未加权关联聚类，这是任何不依赖线性编程的方法的最佳确定性结果。我们还介绍了集群删除的第一个组合常数因子近似。

随着机器学习变得普遍，减轻培训数据中存在的任何不公平性变得至关重要。在公平的各种概念中，本文的重点是众所周知的个人公平，该公平规定应该对类似的人进行类似的对待。虽然在训练模型（对处理）时可以提高个人公平性，但我们认为在模型培训（预处理）之前修复数据是一个更基本的解决方案。特别是，我们表明标签翻转是改善个人公平性的有效预处理技术。我们的系统IFLIPPER解决了限制了个人公平性违规行为的最小翻转标签的优化问题，当培训数据中的两个类似示例具有不同的标签时，发生违规情况。我们首先证明问题是NP-HARD。然后，我们提出了一种近似的线性编程算法，并提供理论保证其结果与标签翻转数量有关的结果与最佳解决方案有多近。我们还提出了使线性编程解决方案更加最佳的技术，而不会超过违规限制。实际数据集上的实验表明，在看不见的测试集的个人公平和准确性方面，IFLIPPER显着优于其他预处理基线。此外，IFLIPPER可以与处理中的技术结合使用，以获得更好的结果。

图聚类是将顶点分组为称为簇的密集连接的集合的过程。我们量身定制了从文献到这个问题的两个数学编程公式。在此过程中，我们获得了群体内密度最大化问题的启发式近似。我们使用两种变体的玻尔兹曼机器启发式方法来获得数值解决方案。为了进行基准测试，我们将解决方案质量和计算性能与使用商业求解器Gurobi获得的溶液质量和计算性能进行比较。我们还将聚类质量与使用流行的Louvain模块化最大化方法获得的聚类质量进行了比较。我们的最初结果清楚地表明了我们的问题配方的优势。他们还建立了Boltzmann机器比传统精确求解器的优越性。在较小的图形较小的情况下，Boltzmann机器提供与Gurobi相同的解决方案，但解决方案时间较低。在较大且更复杂的图表的情况下，Gurobi无法在合理的时间范围内返回有意义的结果。最后，我们还注意到，我们的聚类配方，距离最小化和$ k $ - 麦德体的产量簇的质量均优于使用Louvain算法获得的簇。

社区检测是网络科学中最重要的方法领域之一，在过去的几十年里引起了大量关注的方法之一。该区域处理网络的自动部门到基础构建块中，目的是提供其大规模结构的概要。尽管它的重要性和广泛的采用普及，所谓的最先进和实际在各种领域实际使用的方法之间存在明显的差距。在这里，我们试图通过根据是否具有“描述性”或“推论”目标来划分现有方法来解决这种差异。虽然描述性方法在基于社区结构的直观概念的网络中找到模式的模式，但是推理方法阐述了精确的生成模型，并尝试将其符合数据。通过这种方式，他们能够为网络形成机制提供见解，并以统计证据支持的方式与随机性的单独结构。我们审查如何使用推论目标采用描述性方法被陷入困境和误导性答案，因此应该一般而言。我们认为推理方法更通常与更清晰的科学问题一致，产生更强大的结果，并且应该是一般的首选。我们试图消除一些神话和半真半假在实践中使用社区检测时，努力改善这些方法的使用以及对结果的解释。

识别变量之间的原因关系是决策过程的关键步骤。虽然因果推断需要随机实验，但研究人员和政策制定者越来越多地利用观测研究由于观察数据的广泛可用性和实验的不可行性而导致的因果假设。匹配方法是对观察数据进行因果推断的最常用技术。然而，由于实验者制造的不同选择，一对一匹配中的对分配过程在推论中产生不确定性。最近，提出了离散优化模型来解决这种不确定性。虽然具有离散优化模型可能的强大推断，但它们产生非线性问题并缺乏可扩展性。在这项工作中，我们提出了贪婪的算法来解决与持续结果的观测数据的强大因果推断测试实例。我们提出了一个独特的框架，可以重新设计非线性二进制优化问题作为可行性问题。通过利用可行性制定的结构，我们开发贪婪方案，以求解稳健的测试问题。在许多情况下，所提出的算法实现全球最佳解决方案。我们在三个现实世界数据集上执行实验，以展示所提出的算法的有效性，并将我们的结果与最先进的求解器进行比较。我们的实验表明，所提出的算法在计算时间方面显着优于精确的方法，同时实现了同样的因果试验结论。两个数值实验和复杂性分析都表明所提出的算法确保在决策过程中利用大数据的力量所需的可扩展性。

The analysis of network structure is essential to many scientific areas, ranging from biology to sociology. As the computational task of clustering these networks into partitions, i.e., solving the community detection problem, is generally NP-hard, heuristic solutions are indispensable. The exploration of expedient heuristics has led to the development of particularly promising approaches in the emerging technology of quantum computing. Motivated by the substantial hardware demands for all established quantum community detection approaches, we introduce a novel QUBO based approach that only needs number-of-nodes many qubits and is represented by a QUBO-matrix as sparse as the input graph's adjacency matrix. The substantial improvement on the sparsity of the QUBO-matrix, which is typically very dense in related work, is achieved through the novel concept of separation-nodes. Instead of assigning every node to a community directly, this approach relies on the identification of a separation-node set, which -- upon its removal from the graph -- yields a set of connected components, representing the core components of the communities. Employing a greedy heuristic to assign the nodes from the separation-node sets to the identified community cores, subsequent experimental results yield a proof of concept. This work hence displays a promising approach to NISQ ready quantum community detection, catalyzing the application of quantum computers for the network structure analysis of large scale, real world problem instances.

We consider a semi-supervised $k$-clustering problem where information is available on whether pairs of objects are in the same or in different clusters. This information is either available with certainty or with a limited level of confidence. We introduce the PCCC algorithm, which iteratively assigns objects to clusters while accounting for the information provided on the pairs of objects. Our algorithm can include relationships as hard constraints that are guaranteed to be satisfied or as soft constraints that can be violated subject to a penalty. This flexibility distinguishes our algorithm from the state-of-the-art in which all pairwise constraints are either considered hard, or all are considered soft. Unlike existing algorithms, our algorithm scales to large-scale instances with up to 60,000 objects, 100 clusters, and millions of cannot-link constraints (which are the most challenging constraints to incorporate). We compare the PCCC algorithm with state-of-the-art approaches in an extensive computational study. Even though the PCCC algorithm is more general than the state-of-the-art approaches in its applicability, it outperforms the state-of-the-art approaches on instances with all hard constraints or all soft constraints both in terms of running time and various metrics of solution quality. The source code of the PCCC algorithm is publicly available on GitHub.

近年来，在平衡（超级）图分配算法的设计和评估中取得了重大进展。我们调查了过去十年的实用算法的趋势，用于平衡（超级）图形分区以及未来的研究方向。我们的工作是对先前有关该主题的调查的更新。特别是，该调查还通过涵盖了超图形分区和流算法来扩展先前的调查，并额外关注并行算法。

我们研究了通过具有整流线性单元（Relu）激活的前馈神经网络建模目标函数的优化问题。最近的文献已经探讨了单一神经网络的使用来模拟目标函数内的不确定或复杂元素。然而，众所周知，神经网络的集合产生更稳定的预测，并且具有比具有单个神经网络的模型更好的普遍性，这表明在决策管道中应用神经网络的集合。我们研究如何将神经网络集合纳入优化模型的客观函数，并探索随后的问题的计算方法。我们基于现有流行的大量M $配方提供了一种混合整数线性程序，以优化单个神经网络。我们为我们的模型开发了两个加速技术，首先是一种预处理程序，用于拧紧神经网络中的关键神经元的界限，而第二个是基于弯曲分解的一组有效的不等式。我们解决方案方法的实验评估在一个全球优化问题和两个现实世界数据集中进行;结果表明，我们的优化算法在计算时间和最优性间隙方面优于最先进的方法的适应。

组合优化是运营研究和计算机科学领域的一个公认领域。直到最近，它的方法一直集中在孤立地解决问题实例，而忽略了它们通常源于实践中的相关数据分布。但是，近年来，人们对使用机器学习，尤其是图形神经网络（GNN）的兴趣激增，作为组合任务的关键构件，直接作为求解器或通过增强确切的求解器。GNN的电感偏差有效地编码了组合和关系输入，因为它们对排列和对输入稀疏性的意识的不变性。本文介绍了对这个新兴领域的最新主要进步的概念回顾，旨在优化和机器学习研究人员。

柱生成（CG）是解决大规模优化问题的有效方法。CG通过求解列（即变量）的子集并逐渐包括可以改善当前子问题的解决方案的新列。通过反复解决定价问题，根据需要产生新列，这通常是NP - 硬的并且是CG方法的瓶颈。为了解决这个问题，我们提出了一种基于机器学习的定价启发式（MLPH），可以有效地产生许多高质量的柱。在CG的每次迭代中，我们的MLPH利用ML模型来预测定价问题的最佳解决方案，然后用于引导采样方法以有效地产生多个高质量柱。使用图形着色问题，我们经验证明，与六种最先进的方法相比，MLPH显着增强，并且CG的改善可能导致分支和价格精确方法的显着更好的性能。

The design of good heuristics or approximation algorithms for NP-hard combinatorial optimization problems often requires significant specialized knowledge and trial-and-error. Can we automate this challenging, tedious process, and learn the algorithms instead? In many real-world applications, it is typically the case that the same optimization problem is solved again and again on a regular basis, maintaining the same problem structure but differing in the data. This provides an opportunity for learning heuristic algorithms that exploit the structure of such recurring problems. In this paper, we propose a unique combination of reinforcement learning and graph embedding to address this challenge. The learned greedy policy behaves like a meta-algorithm that incrementally constructs a solution, and the action is determined by the output of a graph embedding network capturing the current state of the solution. We show that our framework can be applied to a diverse range of optimization problems over graphs, and learns effective algorithms for the Minimum Vertex Cover, Maximum Cut and Traveling Salesman problems.

Cutting planes are a crucial component of state-of-the-art mixed-integer programming solvers, with the choice of which subset of cuts to add being vital for solver performance. We propose new distance-based measures to qualify the value of a cut by quantifying the extent to which it separates relevant parts of the relaxed feasible set. For this purpose, we use the analytic centers of the relaxation polytope or of its optimal face, as well as alternative optimal solutions of the linear programming relaxation. We assess the impact of the choice of distance measure on root node performance and throughout the whole branch-and-bound tree, comparing our measures against those prevalent in the literature. Finally, by a multi-output regression, we predict the relative performance of each measure, using static features readily available before the separation process. Our results indicate that analytic center-based methods help to significantly reduce the number of branch-and-bound nodes needed to explore the search space and that our multiregression approach can further improve on any individual method.

The stochastic block model (SBM) is a random graph model with planted clusters. It is widely employed as a canonical model to study clustering and community detection, and provides generally a fertile ground to study the statistical and computational tradeoffs that arise in network and data sciences.This note surveys the recent developments that establish the fundamental limits for community detection in the SBM, both with respect to information-theoretic and computational thresholds, and for various recovery requirements such as exact, partial and weak recovery (a.k.a., detection). The main results discussed are the phase transitions for exact recovery at the Chernoff-Hellinger threshold, the phase transition for weak recovery at the Kesten-Stigum threshold, the optimal distortion-SNR tradeoff for partial recovery, the learning of the SBM parameters and the gap between information-theoretic and computational thresholds.The note also covers some of the algorithms developed in the quest of achieving the limits, in particular two-round algorithms via graph-splitting, semi-definite programming, linearized belief propagation, classical and nonbacktracking spectral methods. A few open problems are also discussed.

随机块模型（SBM）是一个随机图模型，其连接不同的顶点组不同。它被广泛用作研究聚类和社区检测的规范模型，并提供了肥沃的基础来研究组合统计和更普遍的数据科学中出现的信息理论和计算权衡。该专着调查了最近在SBM中建立社区检测的基本限制的最新发展，无论是在信息理论和计算方案方面，以及各种恢复要求，例如精确，部分和弱恢复。讨论的主要结果是在Chernoff-Hellinger阈值中进行精确恢复的相转换，Kesten-Stigum阈值弱恢复的相变，最佳的SNR - 单位信息折衷的部分恢复以及信息理论和信息理论之间的差距计算阈值。该专着给出了在寻求限制时开发的主要算法的原则推导，特别是通过绘制绘制，半定义编程，（线性化）信念传播，经典/非背带频谱和图形供电。还讨论了其他块模型的扩展，例如几何模型和一些开放问题。

This paper presents a practical global optimization algorithm for the K-center clustering problem, which aims to select K samples as the cluster centers to minimize the maximum within-cluster distance. This algorithm is based on a reduced-space branch and bound scheme and guarantees convergence to the global optimum in a finite number of steps by only branching on the regions of centers. To improve efficiency, we have designed a two-stage decomposable lower bound, the solution of which can be derived in a closed form. In addition, we also propose several acceleration techniques to narrow down the region of centers, including bounds tightening, sample reduction, and parallelization. Extensive studies on synthetic and real-world datasets have demonstrated that our algorithm can solve the K-center problems to global optimal within 4 hours for ten million samples in the serial mode and one billion samples in the parallel mode. Moreover, compared with the state-of-the-art heuristic methods, the global optimum obtained by our algorithm can averagely reduce the objective function by 25.8% on all the synthetic and real-world datasets.

本文考虑了在分解正常形式（DNF，ANDS的DNF，ANDS，相当于判定规则集）或联合正常形式（CNF，ORS）作为分类模型的联合正常形式的学习。为规则简化，将整数程序配制成最佳贸易分类准确性。我们还考虑公平设定，并扩大制定，以包括对两种不同分类措施的明确限制：机会平等和均等的赔率。列生成（CG）用于有效地搜索候选条款（连词或剖钉）的指数数量，而不需要启发式规则挖掘。此方法还会绑定所选规则集之间的间隙和培训数据上的最佳规则集。要处理大型数据集，我们建议使用随机化的近似CG算法。与三个最近提出的替代方案相比，CG算法主导了16个数据集中的8个中的精度简单折衷。当最大限度地提高精度时，CG与为此目的设计的规则学习者具有竞争力，有时发现明显更简单的解决方案，这些解决方案不太准确。与其他公平和可解释的分类器相比，我们的方法能够找到符合较严格的公平概念的规则集，以适度的折衷准确性。