本文在内在参数的数量（即，根据目标函数$ F $）的数量来研究Relu网络的近似误差。首先，我们证明了建设，对于任何Lipschitz连续功能$ f $ w $ thy $ [0,1] ^ d $与lipschitz常数$ \ lambda> 0 $，带有$ n + 2 $ 2 $ 2 $ contrincic参数的Relu网络可以近似$ f $与$ l ^ p $ -norm以$ p \ in [1，\ idty）$中，$ f $ 5 \ lambda \ sqrt {d} \，2 ^ { - n} $。更一般于任意连续函数$ [0,1] ^ d $与连续性$ \ omega_f（\ cdot）$的模数，近似误差是$ \ omega_f（\ sqrt {d} \，2 ^ { - n}）+ 2 ^ { - n + 2} \ omega_f（\ sqrt {d}）$。接下来，我们以$ l ^ p $ -norm延长这两个结果，以$ 3 ^ d n + 2美元的价格为$ l ^ \ infty $ -norm。最后，通过使用高精度二进制表示和比特提取技术，通过固定的Relu网络独立于目标函数，我们设计，只有三个内在参数的Relu网络，以近似H +“较旧的连续功能小错误。

本文开发了简单的前馈神经网络，实现了所有连续功能的通用近似性，具有固定的有限数量的神经元。这些神经网络很简单，因为它们的设计具有简单且可增加的连续激活功能$ \ Sigma $利用三角波函数和软片功能。我们证明了$ \ Sigma $ -Activated网络，宽度为36d $ 36d（2d + 1）$和11 $ 11 $可以在任意小错误中估计$ d $ -dimensioanl超级函数上的任何连续功能。因此，对于监督学习及其相关的回归问题，这些网络产生的假设空间，尺寸不小于36d（2d + 1）\ times 11 $的持续功能的空间。此外，由图像和信号分类引起的分类函数在$ \ sigma $ -activated网络生成的假设空间中，宽度为36d（2d + 1）$和12 $ 12 $，当存在$ \的成对不相交的界限子集时mathbb {r} ^ d $，使得同一类的样本位于同一子集中。

我们研究了深层神经网络的表达能力，以在扩张的转移不变空间中近似功能，这些空间被广泛用于信号处理，图像处理，通信等。相对于神经网络的宽度和深度估算了近似误差界限。网络构建基于深神经网络的位提取和数据拟合能力。作为我们主要结果的应用，获得了经典函数空间（例如Sobolev空间和BESOV空间）的近似速率。我们还给出了$ l^p（1 \ le p \ le \ infty）$近似误差的下限，这表明我们的神经网络的构建是渐近的最佳选择，即最大程度地达到对数因素。

This paper investigates the stability of deep ReLU neural networks for nonparametric regression under the assumption that the noise has only a finite p-th moment. We unveil how the optimal rate of convergence depends on p, the degree of smoothness and the intrinsic dimension in a class of nonparametric regression functions with hierarchical composition structure when both the adaptive Huber loss and deep ReLU neural networks are used. This optimal rate of convergence cannot be obtained by the ordinary least squares but can be achieved by the Huber loss with a properly chosen parameter that adapts to the sample size, smoothness, and moment parameters. A concentration inequality for the adaptive Huber ReLU neural network estimators with allowable optimization errors is also derived. To establish a matching lower bound within the class of neural network estimators using the Huber loss, we employ a different strategy from the traditional route: constructing a deep ReLU network estimator that has a better empirical loss than the true function and the difference between these two functions furnishes a low bound. This step is related to the Huberization bias, yet more critically to the approximability of deep ReLU networks. As a result, we also contribute some new results on the approximation theory of deep ReLU neural networks.

众所周知，$ O（n）$参数足以让神经网络记住任意$ N $ INPUT-LABE标签对。通过利用深度，我们显示$ O（n ^ {2/3}）$参数足以在输入点的分离的温和条件下记住$ n $对。特别是，更深的网络（即使是宽度为3美元），也会显示比浅网络更有成对，这也同意最近的作品对函数近似的深度的好处。我们还提供支持我们理论发现的经验结果。

过度参数化的神经网络在复杂数据上具有很大的代表能力，更重要的是产生足够平滑的输出，这对于它们的概括和稳健性至关重要。大多数现有函数近似理论表明，使用足够多的参数，神经网络可以很好地近似于功能值的某些类别的函数。然而，神经网络本身可能是高度平滑的。为了弥合这一差距，我们以卷积残留网络（Rescresnets）为例，并证明大型响应不仅可以在功能值方面近似目标函数，而且还可以表现出足够的一阶平滑度。此外，我们将理论扩展到在低维歧管上支持的近似功能。我们的理论部分证明了在实践中使用深层网络的好处。提供了关于对抗性鲁棒图像分类的数值实验，以支持我们的理论。

这项调查的目的是介绍对深神经网络的近似特性的解释性回顾。具体而言，我们旨在了解深神经网络如何以及为什么要优于其他经典线性和非线性近似方法。这项调查包括三章。在第1章中，我们回顾了深层网络及其组成非线性结构的关键思想和概念。我们通过在解决回归和分类问题时将其作为优化问题来形式化神经网络问题。我们简要讨论用于解决优化问题的随机梯度下降算法以及用于解决优化问题的后传播公式，并解决了与神经网络性能相关的一些问题，包括选择激活功能，成本功能，过度适应问题和正则化。在第2章中，我们将重点转移到神经网络的近似理论上。我们首先介绍多项式近似中的密度概念，尤其是研究实现连续函数的Stone-WeierStrass定理。然后，在线性近似的框架内，我们回顾了馈电网络的密度和收敛速率的一些经典结果，然后在近似Sobolev函数中进行有关深网络复杂性的最新发展。在第3章中，利用非线性近似理论，我们进一步详细介绍了深度和近似网络与其他经典非线性近似方法相比的近似优势。

众所周知，现代神经网络容易受到对抗例子的影响。为了减轻这个问题，已经提出了一系列强大的学习算法。但是，尽管通过某些方法可以通过某些方法接近稳定的训练误差，但所有现有的算法都会导致较高的鲁棒概括误差。在本文中，我们从深层神经网络的表达能力的角度提供了对这种令人困惑的现象的理论理解。具体而言，对于二进制分类数据，我们表明，对于Relu网络，虽然轻度的过度参数足以满足较高的鲁棒训练精度，但存在持续的稳健概括差距，除非神经网络的大小是指数的，却是指数的。数据维度$ d $。即使数据是线性可分离的，这意味着要实现低清洁概括错误很容易，我们仍然可以证明$ \ exp（{\ omega}（d））$下限可用于鲁棒概括。通常，只要它们的VC维度最多是参数数量，我们的指数下限也适用于各种神经网络家族和其他功能类别。此外，我们为网络大小建立了$ \ exp（{\ mathcal {o}}（k））$的改进的上限，当数据放在具有内在尺寸$ k $的歧管上时，以实现低鲁棒的概括错误（$） k \ ll d $）。尽管如此，我们也有一个下限，相对于$ k $成倍增长 - 维度的诅咒是不可避免的。通过证明网络大小之间的指数分离以实现较低的鲁棒训练和泛化错误，我们的结果表明，鲁棒概括的硬度可能源于实用模型的表现力。

我们因与Relu神经网络的参数双曲标量保护定律的近似值所产生的误差得出了严格的界限。我们表明，通过克服维度诅咒的relu神经网络，可以使近似误差尽可能小。此外，我们在训练误差，训练样本数量和神经网络大小方面提供了明确的上限。理论结果通过数值实验说明。

Consider the multivariate nonparametric regression model. It is shown that estimators based on sparsely connected deep neural networks with ReLU activation function and properly chosen network architecture achieve the minimax rates of convergence (up to log nfactors) under a general composition assumption on the regression function. The framework includes many well-studied structural constraints such as (generalized) additive models. While there is a lot of flexibility in the network architecture, the tuning parameter is the sparsity of the network. Specifically, we consider large networks with number of potential network parameters exceeding the sample size. The analysis gives some insights into why multilayer feedforward neural networks perform well in practice. Interestingly, for ReLU activation function the depth (number of layers) of the neural network architectures plays an important role and our theory suggests that for nonparametric regression, scaling the network depth with the sample size is natural. It is also shown that under the composition assumption wavelet estimators can only achieve suboptimal rates.

我们提出了一种惩罚的非参数方法，以使用整流器二次单元（REEND）激活了深层神经网络，以估计不可分割的模型中的分位数回归过程（QRP），并引入了新的惩罚函数，以实施对瓦解回归曲线的非交叉。我们为估计的QRP建立了非反应过量的风险界限，并在轻度平滑度和规律性条件下得出估计的QRP的平均综合平方误差。为了建立这些非反应风险和估计误差范围，我们还使用$ s> 0 $及其衍生物及其衍生物使用所需的激活的神经网络开发了一个新的错误，用于近似$ c^s $平滑功能。这是必需网络的新近似结果，并且具有独立的兴趣，并且可能在其他问题中有用。我们的数值实验表明，所提出的方法具有竞争性或胜过两种现有方法，包括使用再现核和随机森林的方法，用于非参数分位数回归。

This paper investigates the approximation properties of deep neural networks with piecewise-polynomial activation functions. We derive the required depth, width, and sparsity of a deep neural network to approximate any H\"{o}lder smooth function up to a given approximation error in H\"{o}lder norms in such a way that all weights of this neural network are bounded by $1$. The latter feature is essential to control generalization errors in many statistical and machine learning applications.

在本文中，我们用relu，正弦和$ 2^x $构建神经网络作为激活功能。对于$ [0,1]^d $定义的一般连续$ f $，带有连续模量$ \ omega_f（\ cdot）$，我们构造了Relu-sine- $ 2^x $网络，这些网络享受近似值$ \ MATHCAL {o }（\ omega_f（\ sqrt {d}）\ cdot2^{ - m}+\ omega_ {f} \ in \ Mathbb {n}^{+} $表示与网络宽度相关的超参数。结果，我们可以构建Relu-Sine- $ 2^x $网络，其深度为$ 5 $和宽度$ \ max \ left \ weft \ {\ left \ lceil2d^{3/2} \ left（\ frac {3 \ mu}） {\ epsilon} \ right）^{1/{\ alpha}} \ right \ rceil，2 \ left \ lceil \ log_2 \ frac {3 \ mu d^{\ alpha/2}} \ rceil+2 \ right \} $ tht \ Mathcal {h} _ {\ mu}^{\ alpha}（[0,1]^d）$近似$ f \以$ l^p $ norm $ p \在[1，\ infty）$中的测量，其中$ \ mathcal {h} _ {\ mu}^{\ alpha}（\ alpha}（[0,1]^d）$表示H \“ $ [0,1]^d $定义的旧连续函数类，带有订单$ \ alpha \ in（0,1] $和常数$ \ mu> 0 $。因此，relu-sine- $ 2^x $网络克服了$ \ Mathcal {h} _ {\ mu}^{\ alpha}（[0,1]^d）$。除了其晚餐表达能力外，由relu-sine- $ 2实施的功能，也克服了维度的诅咒。 ^x $网络是（广义）可区分的，使我们能够将SGD应用于训练。

We study expressive power of shallow and deep neural networks with piece-wise linear activation functions. We establish new rigorous upper and lower bounds for the network complexity in the setting of approximations in Sobolev spaces. In particular, we prove that deep ReLU networks more efficiently approximate smooth functions than shallow networks. In the case of approximations of 1D Lipschitz functions we describe adaptive depth-6 network architectures more efficient than the standard shallow architecture.

神经网络的经典发展主要集中在有限维欧基德空间或有限组之间的学习映射。我们提出了神经网络的概括，以学习映射无限尺寸函数空间之间的运算符。我们通过一类线性积分运算符和非线性激活函数的组成制定运营商的近似，使得组合的操作员可以近似复杂的非线性运算符。我们证明了我们建筑的普遍近似定理。此外，我们介绍了四类运算符参数化：基于图形的运算符，低秩运算符，基于多极图形的运算符和傅里叶运算符，并描述了每个用于用每个计算的高效算法。所提出的神经运营商是决议不变的：它们在底层函数空间的不同离散化之间共享相同的网络参数，并且可以用于零击超分辨率。在数值上，与现有的基于机器学习的方法，达西流程和Navier-Stokes方程相比，所提出的模型显示出卓越的性能，而与传统的PDE求解器相比，与现有的基于机器学习的方法有关的基于机器学习的方法。

我们为特殊神经网络架构，称为运营商复发性神经网络的理论分析，用于近似非线性函数，其输入是线性运算符。这些功能通常在解决方案算法中出现用于逆边值问题的问题。传统的神经网络将输入数据视为向量，因此它们没有有效地捕获与对应于这种逆问题中的数据的线性运算符相关联的乘法结构。因此，我们介绍一个类似标准的神经网络架构的新系列，但是输入数据在向量上乘法作用。由较小的算子出现在边界控制中的紧凑型操作员和波动方程的反边值问题分析，我们在网络中的选择权重矩阵中促进结构和稀疏性。在描述此架构后，我们研究其表示属性以及其近似属性。我们还表明，可以引入明确的正则化，其可以从所述逆问题的数学分析导出，并导致概括属性上的某些保证。我们观察到重量矩阵的稀疏性改善了概括估计。最后，我们讨论如何将运营商复发网络视为深度学习模拟，以确定诸如用于从边界测量的声波方程中重建所未知的WAVESTED的边界控制的算法算法。

彩票假设猜测稀疏子网的存在大型随机初始化的深神经网络，可以在隔离中成功培训。最近的工作已经通过实验观察到这些门票中的一些可以在各种任务中实际重复使用，以某种形式的普遍性暗示。我们正规化这一概念，理论上证明不仅存在此类环球票，而且还不需要进一步培训。我们的证据介绍了一些与强化强烈彩票票据相关的技术创新，包括延长子集合结果的扩展和利用更高量的深度的策略。我们的明确稀疏建设普遍函数家庭可能具有独立的兴趣，因为它们突出了单变量卷积架构引起的代表效益。

在过去的十年中，神经网络在各种各样的反问题中取得了显着的成功，从医学成像到地震分析等学科中的采用促进了他们的收养。但是，这种反问题的高维度同时使当前理论预测，网络应在问题的维度上成倍扩展，无法解释为什么在这些设置中使用的看似很小的网络在实践中也可以正常工作。为了减少理论和实践之间的差距，在本文中提供了一种在具有低复杂性结构的高维置的神经网络近似Lipschitz函数所需的复杂性的一般方法。该方法基于这样的观察，即在\ mathbb {r}^in \ mathbb {r}^{d \ times d} $ in \ mathbb {a} \ in \ mathbb {a} \ in \ mathcal集合$ \ mathcal {S } \ subset \ mathbb {r}^d $中的低维立方体$ [ - m，m]^d $意味着对于任何Lipschitz函数$ f：\ mathcal {s} \ to \ mathbb {r}^p $ ，存在lipschitz函数$ g：[-m，m]^d \ to \ mathbb {r}^p $，使得$ g（\ mathbf {a} \ mathbf {x}）= f（\ mathbf {x }）$用于所有$ \ mathbf {x} \ in \ mathcal {s} $。因此，如果一个人具有一个近似$ g的神经网络：[-m，m]^d \ to \ mathbb {r}^p $，则可以添加一个图层，以实现JL嵌入$ \ mathbf {A a} $要获得一个近似于$ f的神经网络：\ mathcal {s} \ to \ mathbb {r}^p $。通过将JL嵌入结果与神经网络近似Lipschitz函数的近似结果配对，然后获得了一个结果，这些结果绑定了神经网络所需的复杂性，以近似Lipschitz在高尺寸集合上的功能。最终结果是一个一般的理论框架，然后可以用它来更好地解释比当前理论所允许的更广泛的逆问题中较小的网络的经验成功。

本文研究了粗略量化的神经网络的近似能力 - 那些参数选自一小组允许值的那些。我们表明，任何平滑的多变量功能都可以通过适当的粗略量化的神经网络任意地近似地近似，并提供定量近似速率。对于二次激活，可以仅使用一位字母表进行;对于Relu激活，我们使用三位字母。主要定理依赖于伯恩斯坦多项式的重要属性。我们证明了伯尔斯坦多项式，伯恩斯坦对伯恩斯坦的噪声整形量化的近似的新结果，并通过粗略量化的神经网络实现伯恩斯坦多项式。

直到最近，神经网络在机器学习中的应用几乎完全依赖于实际网络。然而，它最近观察到，该复合值的神经网络（CVNNS）在应用中表现出卓越的性能，其中输入自然复合值，例如MRI指纹识别。虽然现实价值网络的数学理论已经达到了一定程度的成熟度，但这远远不适用于复合网络。在本文中，我们通过提供近似美元的Compact Qualets上的Compact Value的神经网络上的Compact-valued神经网络，通过提供明确的定量误差界来分析复合网络的表达性。激活函数，由$ \ sigma（z）= \ mathrm {creu}（| z | - 1）\，\ mathrm {sgn}（z）$，它是实际使用的最受欢迎的复杂激活功能之一。我们表明，衍生的近似值率在Modroleu网络类中的最佳（最多为日志因子），其具有适度增长的重量。