Recently proposed Gated Linear Networks present a tractable nonlinear network architecture, and exhibit interesting capabilities such as learning with local error signals and reduced forgetting in sequential learning. In this work, we introduce a novel gating architecture, named Globally Gated Deep Linear Networks (GGDLNs) where gating units are shared among all processing units in each layer, thereby decoupling the architectures of the nonlinear but unlearned gatings and the learned linear processing motifs. We derive exact equations for the generalization properties in these networks in the finite-width thermodynamic limit, defined by $P,N\rightarrow\infty, P/N\sim O(1)$, where P and N are the training sample size and the network width respectively. We find that the statistics of the network predictor can be expressed in terms of kernels that undergo shape renormalization through a data-dependent matrix compared to the GP kernels. Our theory accurately captures the behavior of finite width GGDLNs trained with gradient descent dynamics. We show that kernel shape renormalization gives rise to rich generalization properties w.r.t. network width, depth and L2 regularization amplitude. Interestingly, networks with sufficient gating units behave similarly to standard ReLU networks. Although gatings in the model do not participate in supervised learning, we show the utility of unsupervised learning of the gating parameters. Additionally, our theory allows the evaluation of the network's ability for learning multiple tasks by incorporating task-relevant information into the gating units. In summary, our work is the first exact theoretical solution of learning in a family of nonlinear networks with finite width. The rich and diverse behavior of the GGDLNs suggests that they are helpful analytically tractable models of learning single and multiple tasks, in finite-width nonlinear deep networks.

深神经网络（DNN）是用于压缩和蒸馏信息的强大工具。由于它们的规模和复杂性，通常涉及数十亿间相互作用的内部自由度，精确分析方法通常会缩短。这种情况下的共同策略是识别平均潜在的快速微观变量的不稳定行为的缓慢自由度。在这里，我们在训练结束时识别在过度参数化的深卷积神经网络（CNNS）中发生的尺度的分离。它意味着神经元预激活与几乎高斯的方式与确定性潜在内核一起波动。在对于具有无限许多频道的CNN来说，这些内核是惰性的，对于有限的CNNS，它们以分析的方式通过数据适应和学习数据。由此产生的深度学习的热力学理论产生了几种深度非线性CNN玩具模型的准确预测。此外，它还提供了新的分析和理解CNN的方法。

最近的作品表明，有限的贝叶斯神经网络有时可能会越优于其无限堂兄弟，因为有限网络可以灵活地调整其内部表示。然而，我们对有限网络的学习隐藏层表示如何与无限网络的固定表示不同的理论理解仍然不完整。研究了对网络的扰动有限宽度校正，但已经研究过的网络，但学习特征的渐近学尚未完全表征。在这里，我们认为具有线性读数和高斯可能性的任何贝叶斯网络的平均特征内核的领先有限宽度校正具有很大程度上的普遍形式。我们明确地说明了三个易行网络架构：深线性完全连接和卷积网络，以及具有单个非线性隐藏层的网络。我们的结果开始阐明任务相关的学习信号如何塑造宽阔的贝叶斯神经网络的隐藏层表示。

我们分析了通过梯度流通过自洽动力场理论训练的无限宽度神经网络中的特征学习。我们构建了确定性动力学阶参数的集合，该参数是内部产物内核，用于在成对的时间点中，每一层中隐藏的单位激活和梯度，从而减少了通过训练对网络活动的描述。这些内核顺序参数共同定义了隐藏层激活分布，神经切线核的演变以及因此输出预测。我们表明，现场理论推导恢复了从Yang和Hu（2021）获得张量程序的无限宽度特征学习网络的递归随机过程。对于深线性网络，这些内核满足一组代数矩阵方程。对于非线性网络，我们提供了一个交替的采样过程，以求助于内核顺序参数。我们提供了与各种近似方案的自洽解决方案的比较描述。最后，我们提供了更现实的设置中的实验，这些实验表明，在CIFAR分类任务上，在不同宽度上保留了CNN的CNN的损耗和内核动力学。

了解不同网络架构的能力和局限性对机器学习的根本重要性。高斯工艺的贝叶斯推断已被证明是一种可行的方法，用于研究无限层宽度的反复和深网络，$ n \ infty $。在这里，我们通过采用来自无序系统的统计物理学的建立方法，从第一个原则开始的架构的统一和系统的衍生均衡和系统的推导。该理论阐明了，虽然平均场方程关于其时间结构不同，但是当读出分别在单个时间点或层拍摄时，它们却产生相同的高斯核。贝叶斯推理应用于分类，然后预测两种架构的相同性能和能力。在数值上，我们发现朝向平均场理论的收敛通常对复发网络的速度较慢，而不是对于深网络，并且收敛速度仅取决于前面的重量的参数以及时间步骤的参数。我们的方法公开了高斯进程，但系统扩展的最低阶数为1 / N $。因此，形式主义铺平了调查有限宽度$ N $的经常性和深层架构之间的根本差异。

A longstanding goal in deep learning research has been to precisely characterize training and generalization. However, the often complex loss landscapes of neural networks have made a theory of learning dynamics elusive. In this work, we show that for wide neural networks the learning dynamics simplify considerably and that, in the infinite width limit, they are governed by a linear model obtained from the first-order Taylor expansion of the network around its initial parameters. Furthermore, mirroring the correspondence between wide Bayesian neural networks and Gaussian processes, gradient-based training of wide neural networks with a squared loss produces test set predictions drawn from a Gaussian process with a particular compositional kernel. While these theoretical results are only exact in the infinite width limit, we nevertheless find excellent empirical agreement between the predictions of the original network and those of the linearized version even for finite practically-sized networks. This agreement is robust across different architectures, optimization methods, and loss functions.

Understanding the functional principles of information processing in deep neural networks continues to be a challenge, in particular for networks with trained and thus non-random weights. To address this issue, we study the mapping between probability distributions implemented by a deep feed-forward network. We characterize this mapping as an iterated transformation of distributions, where the non-linearity in each layer transfers information between different orders of correlation functions. This allows us to identify essential statistics in the data, as well as different information representations that can be used by neural networks. Applied to an XOR task and to MNIST, we show that correlations up to second order predominantly capture the information processing in the internal layers, while the input layer also extracts higher-order correlations from the data. This analysis provides a quantitative and explainable perspective on classification.

懒惰培训制度中的神经网络收敛到内核机器。在丰富的特征学习制度中可以在丰富的特征学习制度中可以使用数据依赖性内核来学习内核机器吗？我们证明，这可以是由于我们术语静音对准的现象，这可能需要网络的切线内核在特征内演变，而在小并且在损失明显降低，并且之后仅在整体尺度上生长。我们表明这种效果在具有小初始化和白化数据的同质神经网络中进行。我们在线性网络壳体提供了对这种效果的分析处理。一般来说，我们发现内核在训练的早期阶段开发了低级贡献，然后在总体上发展，产生了与最终网络的切线内核的内核回归解决方案等同的函数。内核的早期光谱学习取决于深度。我们还证明了非白化数据可以削弱无声的对准效果。

我们引入了重新定性，这是一种数据依赖性的重新聚集化，将贝叶斯神经网络（BNN）转化为后部的分布，其KL对BNN对BNN的差异随着层宽度的增长而消失。重新定义图直接作用于参数，其分析简单性补充了宽BNN在功能空间中宽BNN的已知神经网络过程（NNGP）行为。利用重新定性，我们开发了马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）后采样算法，该算法将BNN更快地混合在一起。这与MCMC在高维度上的表现差异很差。对于完全连接和残留网络，我们观察到有效样本量高达50倍。在各个宽度上都取得了改进，并在层宽度的重新培训和标准BNN之间的边缘。

了解特征学习如何影响概括是现代深度学习理论的最重要目标之一。在这里，我们研究了学习表示的能力如何影响一类简单模型的概括性能：深贝叶斯线性神经网络接受了非结构化高斯数据的训练。通过将深层随机特征模型与所有训练所有层的深网进行比较，我们将提供详细的表征宽度，深度，数据密度和先验不匹配之间的相互作用。我们表明，在存在标签噪声的情况下，这两种模型都显示出样本的双重变化行为。如果有狭窄的瓶颈层，那么随机特征模型还可以显示模型的双重变化，而深网不显示这些分歧。随机特征模型可以具有特定的宽度，这些宽度对于在给定的数据密度下是最佳的概括，同时使神经网络尽可能宽或狭窄始终是最佳的。此外，我们表明，对内核限制学习曲线的前阶校正无法区分所有培训所有层的随机特征模型和深层网络。综上所述，我们的发现开始阐明建筑细节如何影响这种简单的深层回归模型类别的概括性能。

人们普遍认为，深网的成功在于他们学习数据功能的有意义表示的能力。然而，了解该功能学习何时以及如何提高性能仍然是一个挑战：例如，它对经过对图像进行分类的现代体系结构有益，而对于在相同数据上针对同一任务培训的完全连接的网络是有害的。在这里，我们提出了有关此难题的解释，表明特征学习可以比懒惰训练（通过随机特征内核或NTK）更糟糕，因为前者可以导致较少的神经表示。尽管已知稀疏性对于学习各向异性数据是必不可少的，但是当目标函数沿输入空间的某些方向恒定或平滑时，这是有害的。我们在两个设置中说明了这种现象：（i）在D维单元球体上的高斯随机函数的回归，以及（ii）图像基准数据集的分类。对于（i），我们通过训练点数来计算概括误差的缩放率，并证明即使输入空间的尺寸很大，不学习特征的方法也可以更好地推广。对于（ii），我们从经验上表明，学习特征确实会导致稀疏，从而减少图像预测因子的平滑表示。这一事实是可能导致性能恶化的，这与沿差异性的平滑度相关。

Despite the widespread practical success of deep learning methods, our theoretical understanding of the dynamics of learning in deep neural networks remains quite sparse. We attempt to bridge the gap between the theory and practice of deep learning by systematically analyzing learning dynamics for the restricted case of deep linear neural networks. Despite the linearity of their input-output map, such networks have nonlinear gradient descent dynamics on weights that change with the addition of each new hidden layer. We

由于Jacot等人的著名结果，神经切线内核（NTK）被广泛用于分析过多散热性神经网络。 （2018）：在无限宽度限制中，NTK在训练过程中是确定性和恒定的。但是，该结果无法解释深网的行为，因为如果深度和宽度同时无穷大，通常不会成立。在本文中，我们研究了与宽度相当的深度连接的Relu网络的NTK。我们证明NTK性质显着取决于初始化时的深度与宽度比和参数的分布。实际上，我们的结果表明，在Poole等人中确定的超参数空间中这三个阶段的重要性。 （2016年）：订购，混乱和混乱的边缘（EOC）。我们在所有三个阶段中都在无限深度和宽度极限中得出NTK分散剂的精确表达式，并得出结论，NTK的可变性在EOC和混乱阶段随着深度而呈指数增长，但在有序阶段中却没有。我们还表明，深网的NTK只能在有序阶段训练期间保持恒定，并讨论NTK矩阵的结构在训练过程中如何变化。

Deep Gaussian工艺（DGP）作为贝叶斯学习的先验模型直观地利用功能组成中的表达能力。 DGP还提供了不同的建模功能，但是推断很具有挑战性，因为潜在功能空间的边缘化是无法处理的。借助Bochner定理，具有平方指数内核的DGP可以看作是由随机特征层，正弦和余弦激活单元以及随机重量层组成的深度三角网络。在具有瓶颈的宽极限中，我们表明重量空间视图产生了相同的有效协方差函数，该函数先前在功能空间中获得。同样，在网络参数上改变先前的分布相当于使用不同的内核。因此，DGP可以转换为深瓶颈触发网络，可以通过该网络获得确切的最大后验估计。有趣的是，网络表示可以研究DGP的神经切线核，这也可能揭示了棘手的预测分布的平均值。从统计上讲，与浅网络不同，有限宽度的深网具有与极限内核的协方差，并且内部和外部宽度可能在功能学习中起不同的作用。存在数值模拟以支持我们的发现。

现代深度神经网络（DNN）的成功基于其在多层转换投入以建立良好高级表示的能力。因此，了解这种表示学习过程至关重要。但是，我们不能使用涉及无限宽度限制的标准理论方法，因为它们消除了代表性学习。因此，我们开发了一个新的无限宽度限制，即表示的学习限制，该限制表现出表示形式的学习反映，但在有限宽度网络中，但同时仍然非常容易处理。例如，表示学习限制在深处的高斯过程中提供了恰好具有多种内核的多元高斯后期，包括所有各向同性（距离依赖）内核。我们得出一个优雅的目标，描述了每个网络层如何学习在输入和输出之间插值的表示形式。最后，我们使用此限制和目标来开发对内核方法的灵活，深刻的概括，我们称之为深内核机器（DKMS）。我们表明，可以使用受高斯过程文献中诱导点方法启发的方法将DKMS缩放到大数据集，并且我们表明DKMS表现出优于其他基于内核方法的性能。

一项开创性的工作[Jacot等，2018]表明，在特定参数化下训练神经网络等同于执行特定的内核方法，因为宽度延伸到无穷大。这种等效性为将有关内核方法的丰富文献结果应用于神经网的结果开辟了一个有希望的方向，而神经网络很难解决。本调查涵盖了内核融合的关键结果，因为宽度进入无穷大，有限宽度校正，应用以及对相应方法的局限性的讨论。

深度贝叶斯神经网络中的推断仅在无限宽度的限制中完全理解，其中通过增加深度洗掉的后柔性和后部预测到浅高斯工艺。在这里，我们将有限的深度线性贝叶斯神经网络解释为跨输出通道的高斯过程预测器的数据依赖性比例混合物。我们利用这一观察来研究这些网络中的代表学习，允许我们在统一框架内的先前研究中连接限制结果。总的来说，这些结果推进了对深度影响推论的分析理解，这是一类简单的贝叶斯神经网络的推论。

我们证明了由例如He等人提出的广泛使用的方法。（2015年）并使用梯度下降对最小二乘损失进行训练并不普遍。具体而言，我们描述了一大批一维数据生成分布，较高的概率下降只会发现优化景观的局部最小值不好，因为它无法将其偏离偏差远离其初始化，以零移动。。事实证明，在这些情况下，即使目标函数是非线性的，发现的网络也基本执行线性回归。我们进一步提供了数值证据，表明在实际情况下，对于某些多维分布而发生这种情况，并且随机梯度下降表现出相似的行为。我们还提供了有关初始化和优化器的选择如何影响这种行为的经验结果。

建立深度学习的理论基础的一个关键挑战是神经网络的复杂优化动态，由大量网络参数之间的高维相互作用产生。这种非琐碎的动态导致有趣的行为，例如概括误差的“双重下降”的现象。这种现象的越常见的方面对应于模型 - 明智的双下降，其中测试误差具有增加模型复杂性的第二下降，超出经典的U形误差曲线。在这项工作中，我们研究了研究误差在训练时间增加时进行了测试误差的较低学习的巨头双重下降的起源。通过利用统计物理学的工具，我们研究了展示了与深神经网络中的EPOCH-WISE Double Countcle的线性师生设置。在此设置中，我们导出了封闭式的分析表达式，用于培训泛化误差的演变。我们发现双重血统可以归因于不同尺度的不同特征：作为快速学习功能过度装备，较慢的学习功能开始适合，导致测试错误的第二个下降。我们通过数字实验验证了我们的研究结果，其中我们的理论准确预测了实证发现，并与深神经网络中的观察结果保持一致。

当前的深度神经网络被高度参数化（多达数十亿个连接权重）和非线性。然而，它们几乎可以通过梯度下降算法的变体完美地拟合数据，并达到预测准确性的意外水平，而不会过度拟合。这些是巨大的结果，无视统计学习的预测，并对非凸优化构成概念性挑战。在本文中，我们使用来自无序系统的统计物理学的方法来分析非凸二进制二进制神经网络模型中过度参数化的计算后果，该模型对从结构上更简单但“隐藏”网络产生的数据进行了培训。随着连接权重的增加，我们遵循误差损失函数不同最小值的几何结构的变化，并将其与学习和概括性能相关联。当解决方案开始存在时，第一次过渡发生在所谓的插值点（完美拟合变得可能）。这种过渡反映了典型溶液的特性，但是它是尖锐的最小值，难以采样。差距后，发生了第二个过渡，并具有不同类型的“非典型”结构的不连续外观：重量空间的宽区域，这些区域特别是解决方案密度且具有良好的泛化特性。两种解决方案共存，典型的解决方案的呈指数数量，但是从经验上讲，我们发现有效的算法采样了非典型，稀有的算法。这表明非典型相变是学习的相关阶段。与该理论建议的可观察到的现实网络的数值测试结果与这种情况一致。