自我监督的学习（SSL）推测，投入和成对的积极关系足以学习有意义的表示。尽管SSL最近达到了一个里程碑：在许多模式下，胜过监督的方法\点，理论基础是有限的，特定于方法的，并且未能向从业者提供原则上的设计指南。在本文中，我们提出了一个统一的框架，这些框架是在光谱歧管学习的掌舵下，以解决这些局限性。通过这项研究的过程，我们将严格证明Vic​​reg，Simclr，Barlowtwins等。对应于诸如Laplacian eigenmaps，多维缩放等方面的同名光谱方法。然后，此统一将使我们能够获得（i）每种方法的闭合形式的最佳表示，（ii）每种方法的线性态度中的封闭形式的最佳网络参数，（iii）在期间使用的成对关系的影响对每个数量和下游任务性能的培训，以及最重要的是，（iv）分别针对全球和局部光谱嵌入方法的对比度和非对抗性方法之间的第一个理论桥梁，暗示了每种方法的益处和限制。例如，（i）如果成对关系与下游任务一致，则可以成功采用任何SSL方法并将恢复监督方法，但是在低数据状态下，Vicreg的不变性超参数应该很高； （ii）如果成对关系与下游任务未对准，则与SIMCLR或BARLOWTWINS相比，具有小型不变性高参数的VICREG。

这项调查旨在提供线性模型及其背后的理论的介绍。我们的目标是对读者进行严格的介绍，并事先接触普通最小二乘。在机器学习中，输出通常是输入的非线性函数。深度学习甚至旨在找到需要大量计算的许多层的非线性依赖性。但是，这些算法中的大多数都基于简单的线性模型。然后，我们从不同视图中描述线性模型，并找到模型背后的属性和理论。线性模型是回归问题中的主要技术，其主要工具是最小平方近似，可最大程度地减少平方误差之和。当我们有兴趣找到回归函数时，这是一个自然的选择，该回归函数可以最大程度地减少相应的预期平方误差。这项调查主要是目的的摘要，即线性模型背后的重要理论的重要性，例如分布理论，最小方差估计器。我们首先从三种不同的角度描述了普通的最小二乘，我们会以随机噪声和高斯噪声干扰模型。通过高斯噪声，该模型产生了可能性，因此我们引入了最大似然估计器。它还通过这种高斯干扰发展了一些分布理论。最小二乘的分布理论将帮助我们回答各种问题并引入相关应用。然后，我们证明最小二乘是均值误差的最佳无偏线性模型，最重要的是，它实际上接近了理论上的极限。我们最终以贝叶斯方法及以后的线性模型结束。

对比学习在各种自我监督的学习任务中取得了最先进的表现，甚至优于其监督的对应物。尽管其经验成功，但对为什么对比学习作品的理论认识仍然有限。在本文中，（i）我们证明，对比学习胜过AutoEncoder，一种经典无监督的学习方法，适用于特征恢复和下游任务;（ii）我们还说明标记数据在监督对比度学习中的作用。这为最近的发现提供了理论支持，即对标签对比学习的结果提高了域名下游任务中学识表的表现，但它可能会损害转移学习的性能。我们通过数值实验验证了我们的理论。

量子哈密顿学习和量子吉布斯采样的双重任务与物理和化学中的许多重要问题有关。在低温方案中，这些任务的算法通常会遭受施状能力，例如因样本或时间复杂性差而遭受。为了解决此类韧性，我们将量子自然梯度下降的概括引入了参数化的混合状态，并提供了稳健的一阶近似算法，即量子 - 固定镜下降。我们使用信息几何学和量子计量学的工具证明了双重任务的数据样本效率，因此首次将经典Fisher效率的开创性结果推广到变异量子算法。我们的方法扩展了以前样品有效的技术，以允许模型选择的灵活性，包括基于量子汉密尔顿的量子模型，包括基于量子的模型，这些模型可能会规避棘手的时间复杂性。我们的一阶算法是使用经典镜下降二元性的新型量子概括得出的。两种结果都需要特殊的度量选择，即Bogoliubov-Kubo-Mori度量。为了从数值上测试我们提出的算法，我们将它们的性能与现有基准进行了关于横向场ISING模型的量子Gibbs采样任务的现有基准。最后，我们提出了一种初始化策略，利用几何局部性来建模状态的序列（例如量子 - 故事过程）的序列。我们从经验上证明了它在实际和想象的时间演化的经验上，同时定义了更广泛的潜在应用。

神经塌陷是指表征类嵌入和分类器重量的几何形状的显着结构特性，当经过零训练误差以外的训练时，深网被发现。但是，这种表征仅适用于平衡数据。因此，我们在这里询问是否可以使阶级失衡不变。为此，我们采用了不受限制的功能模型（UFM），这是一种用于研究神经塌陷的最新理论模型，并引入了单纯形编码标签的插值（SELI）作为神经崩溃现象的不变特征。具体而言，我们证明了UFM的跨凝结损失和消失的正则化，无论阶级失衡如何，嵌入和分类器总是插入单纯形编码的标签矩阵，并且其单个几何形状都由同一标签矩阵矩阵矩阵的SVD因子确定。然后，我们对合成和真实数据集进行了广泛的实验，这些实验确认了与SELI几何形状的收敛。但是，我们警告说，融合会随着不平衡的增加而恶化。从理论上讲，我们通过表明与平衡的情况不同，当存在少数民族时，山脊规范化在调整几何形状中起着至关重要的作用。这定义了新的问题，并激发了对阶级失衡对一阶方法融合其渐近优先解决方案的速率的影响的进一步研究。

自我监督学习中的最新作品通过依靠对比度学习范式来推动最先进的工作，该范式通过推动正面对或从同一班级中的类似示例来学习表示形式，同时将负面对截然不同。尽管取得了经验的成功，但理论基础是有限的 - 先前的分析假设鉴于同一类标签的正对有条件独立性，但是最近的经验应用使用了密切相关的正对（即同一图像的数据增强）。我们的工作分析了对比度学习，而无需在数据上使用增强图的新概念假设正对的有条件独立性。此图中的边缘连接相同数据的增强，而地面实际类别自然形成了连接的子图。我们提出了在人口增强图上执行光谱分解的损失，并且可以简洁地作为对神经净表示的对比学习目标。最小化此目标会导致在线性探针评估下具有可证明准确性的功能。通过标准的概括范围，在最大程度地减少训练对比度损失时，这些准确性也可以保证。从经验上讲，我们目标所学的功能可以匹配或胜过基准视觉数据集上的几个强基线。总的来说，这项工作为对比度学习提供了首次可证明的分析，在该学习中，线性探针评估的保证可以适用于现实的经验环境。

自我监督的表示学习解决辅助预测任务（称为借口任务），而不需要标记数据以学习有用的语义表示。这些借口任务仅使用输入特征，例如预测缺失的图像修补程序，从上下文中恢复图像的颜色通道，或者预测文本中的缺失单词;然而，预测该\ Texit {已知}信息有助于学习对下游预测任务的学习陈述。我们提供利用某些{\ EM重建}借口任务之间的统计连接的机制，以保证学习良好代表性。正式地，我们量化了借口任务的组件之间的近似独立性（标签和潜在变量的条件）允许我们学习可以通过训练在学习表示的顶部的线性层来解决下游任务的表示。我们证明了线性层即使对于复杂的地面真理函数类，也会产生小的近似误差，并且将急剧减少标记的样本复杂性。接下来，我们展示了我们方法的简单修改，导致非线性CCA，类似于流行的Simsiam算法，并显示了非线性CCA的类似保证。

Autoencoders are a popular model in many branches of machine learning and lossy data compression. However, their fundamental limits, the performance of gradient methods and the features learnt during optimization remain poorly understood, even in the two-layer setting. In fact, earlier work has considered either linear autoencoders or specific training regimes (leading to vanishing or diverging compression rates). Our paper addresses this gap by focusing on non-linear two-layer autoencoders trained in the challenging proportional regime in which the input dimension scales linearly with the size of the representation. Our results characterize the minimizers of the population risk, and show that such minimizers are achieved by gradient methods; their structure is also unveiled, thus leading to a concise description of the features obtained via training. For the special case of a sign activation function, our analysis establishes the fundamental limits for the lossy compression of Gaussian sources via (shallow) autoencoders. Finally, while the results are proved for Gaussian data, numerical simulations on standard datasets display the universality of the theoretical predictions.

我们研究了趋势过滤的多元版本，称为Kronecker趋势过滤或KTF，因为设计点以$ D $维度形成格子。 KTF是单变量趋势过滤的自然延伸（Steidl等，2006; Kim等人，2009; Tibshirani，2014），并通过最大限度地减少惩罚最小二乘问题，其罚款术语总和绝对（高阶）沿每个坐标方向估计参数的差异。相应的惩罚运算符可以编写单次趋势过滤惩罚运营商的Kronecker产品，因此名称Kronecker趋势过滤。等效，可以在$ \ ell_1 $ -penalized基础回归问题上查看KTF，其中基本功能是下降阶段函数的张量产品，是一个分段多项式（离散样条）基础，基于单变量趋势过滤。本文是Sadhanala等人的统一和延伸结果。 （2016,2017）。我们开发了一套完整的理论结果，描述了$ k \ grone 0 $和$ d \ geq 1 $的$ k ^ {\ mathrm {th}} $ over kronecker趋势过滤的行为。这揭示了许多有趣的现象，包括KTF在估计异构平滑的功能时KTF的优势，并且在$ d = 2（k + 1）$的相位过渡，一个边界过去（在高维对 - 光滑侧）线性泡沫不能完全保持一致。我们还利用Tibshirani（2020）的离散花键来利用最近的结果，特别是离散的花键插值结果，使我们能够将KTF估计扩展到恒定时间内的任何偏离晶格位置（与晶格数量的大小无关）。

Low-rank matrix approximations, such as the truncated singular value decomposition and the rank-revealing QR decomposition, play a central role in data analysis and scientific computing. This work surveys and extends recent research which demonstrates that randomization offers a powerful tool for performing low-rank matrix approximation. These techniques exploit modern computational architectures more fully than classical methods and open the possibility of dealing with truly massive data sets.This paper presents a modular framework for constructing randomized algorithms that compute partial matrix decompositions. These methods use random sampling to identify a subspace that captures most of the action of a matrix. The input matrix is then compressed-either explicitly or implicitly-to this subspace, and the reduced matrix is manipulated deterministically to obtain the desired low-rank factorization. In many cases, this approach beats its classical competitors in terms of accuracy, speed, and robustness. These claims are supported by extensive numerical experiments and a detailed error analysis.The specific benefits of randomized techniques depend on the computational environment. Consider the model problem of finding the k dominant components of the singular value decomposition of an m × n matrix. (i) For a dense input matrix, randomized algorithms require O(mn log(k)) floating-point operations (flops) in contrast with O(mnk) for classical algorithms. (ii) For a sparse input matrix, the flop count matches classical Krylov subspace methods, but the randomized approach is more robust and can easily be reorganized to exploit multi-processor architectures. (iii) For a matrix that is too large to fit in fast memory, the randomized techniques require only a constant number of passes over the data, as opposed to O(k) passes for classical algorithms. In fact, it is sometimes possible to perform matrix approximation with a single pass over the data.

尽管自我监督学习（SSL）方法取得了经验成功，但尚不清楚其表示的哪些特征导致了高下游精度。在这项工作中，我们表征了SSL表示应该满足的属性。具体而言，我们证明了必要和充分的条件，因此，对于给出的数据增强的任何任务，在该表示形式上训练的所需探针（例如，线性或MLP）具有完美的准确性。这些要求导致一个统一的概念框架，用于改善现有的SSL方法并得出新方法。对于对比度学习，我们的框架规定了对以前的方法（例如使用不对称投影头）的简单但重大改进。对于非对比度学习，我们使用框架来得出一个简单新颖的目标。我们所得的SSL算法在标准基准测试上的表现优于基线，包括Imagenet线性探测的SHAV+多螺旋桨。

这项正在进行的工作旨在为统计学习提供统一的介绍，从诸如GMM和HMM等经典模型到现代神经网络（如VAE和扩散模型）缓慢地构建。如今，有许多互联网资源可以孤立地解释这一点或新的机器学习算法，但是它们并没有（也不能在如此简短的空间中）将这些算法彼此连接起来，或者与统计模型的经典文献相连现代算法出现了。同样明显缺乏的是一个单一的符号系统，尽管对那些已经熟悉材料的人（如这些帖子的作者）不满意，但对新手的入境造成了重大障碍。同样，我的目的是将各种模型（尽可能）吸收到一个用于推理和学习的框架上，表明（以及为什么）如何以最小的变化将一个模型更改为另一个模型（其中一些是新颖的，另一些是文献中的）。某些背景当然是必要的。我以为读者熟悉基本的多变量计算，概率和统计以及线性代数。这本书的目标当然不是​​完整性，而是从基本知识到过去十年中极强大的新模型的直线路径或多或少。然后，目标是补充而不是替换，诸如Bishop的\ emph {模式识别和机器学习}之类的综合文本，该文本现在已经15岁了。

本文研究了基于Laplacian Eigenmaps（Le）的基于Laplacian EIGENMAPS（PCR-LE）的主要成分回归的统计性质，这是基于Laplacian Eigenmaps（Le）的非参数回归的方法。 PCR-LE通过投影观察到的响应的向量$ {\ bf y} =（y_1，\ ldots，y_n）$ to to changbood图表拉普拉斯的某些特征向量跨越的子空间。我们表明PCR-Le通过SoboLev空格实现了随机设计回归的最小收敛速率。在设计密度$ P $的足够平滑条件下，PCR-le达到估计的最佳速率（其中已知平方$ l ^ 2 $ norm的最佳速率为$ n ^ { - 2s /（2s + d） ）} $）和健美的测试（$ n ^ { - 4s /（4s + d）$）。我们还表明PCR-LE是\ EMPH {歧管Adaptive}：即，我们考虑在小型内在维度$ M $的歧管上支持设计的情况，并为PCR-LE提供更快的界限Minimax估计（$ n ^ { - 2s /（2s + m）$）和测试（$ n ^ { - 4s /（4s + m）$）收敛率。有趣的是，这些利率几乎总是比图形拉普拉斯特征向量的已知收敛率更快;换句话说，对于这个问题的回归估计的特征似乎更容易，统计上讲，而不是估计特征本身。我们通过经验证据支持这些理论结果。

网络数据通常在各种应用程序中收集，代表感兴趣的功能之间直接测量或统计上推断的连接。在越来越多的域中，这些网络会随着时间的流逝而收集，例如不同日子或多个主题之间的社交媒体平台用户之间的交互，例如在大脑连接性的多主体研究中。在分析多个大型网络时，降低降低技术通常用于将网络嵌入更易于处理的低维空间中。为此，我们通过专门的张量分解来开发用于网络集合的主组件分析（PCA）的框架，我们将半对称性张量PCA或SS-TPCA术语。我们得出计算有效的算法来计算我们提出的SS-TPCA分解，并在标准的低级别信号加噪声模型下建立方法的统计效率。值得注意的是，我们表明SS-TPCA具有与经典矩阵PCA相同的估计精度，并且与网络中顶点数的平方根成正比，而不是预期的边缘数。我们的框架继承了古典PCA的许多优势，适用于广泛的无监督学习任务，包括识别主要网络，隔离有意义的更改点或外出观察，以及表征最不同边缘的“可变性网络”。最后，我们证明了我们的提案对模拟数据的有效性以及经验法律研究的示例。用于建立我们主要一致性结果的技术令人惊讶地简单明了，可能会在其他各种网络分析问题中找到使用。

自我监督的公制学习是一种成功的方法，用于从未标记的数据集学习距离。即使在度量学习阶段中没有使用来自下游任务的信息，所产生的距离广泛可用于改善各种距离的下游任务。为了进入这种方法，我们在理论上发展统计框架，从理论上研究自我监督的公制学习如何在多视图数据的上下文中利用下游任务。在此框架下，我们表明度量学习的目标距离满足下游任务的几个所需属性。另一方面，我们的研究表明，通过培养每个方向的重量，可以进一步提高目标距离。此外，我们的分析精确地表征了四个常用的下游任务的自我监督度量学习的改进：样本识别，两个样本测试，$ k $ -means群集，以及$ k $ -nearest邻居分类。作为副产品，我们提出了一种简单的自我监督度量学习的频谱方法，这是用于估计目标距离的计算上有效和最低限度。最后，提出了数值实验以支持纸张中的理论结果。

由于数据的注释可以在大规模的实际问题中稀缺，利用未标记的示例是机器学习中最重要的方面之一。这是半监督学习的目的。从访问未标记数据的访问中受益，它很自然地弥漫将标记数据平稳地知识到未标记的数据。这诱导了Laplacian正规化的使用。然而，Laplacian正则化的当前实施遭受了几种缺点，特别是众所周知的维度诅咒。在本文中，我们提供了统计分析以克服这些问题，并揭示了具有所需行为的大型光谱滤波方法。它们通过（再现）内核方法来实现，我们提供了现实的计算指南，以使我们的方法可用于大量数据。

强大的机器学习模型的开发中的一个重要障碍是协变量的转变，当训练和测试集的输入分布时发生的分配换档形式在条件标签分布保持不变时发生。尽管现实世界应用的协变量转变普遍存在，但在现代机器学习背景下的理论理解仍然缺乏。在这项工作中，我们检查协变量的随机特征回归的精确高尺度渐近性，并在该设置中提出了限制测试误差，偏差和方差的精确表征。我们的结果激发了一种自然部分秩序，通过协变速转移，提供足够的条件来确定何时何时损害（甚至有助于）测试性能。我们发现，过度分辨率模型表现出增强的协会转变的鲁棒性，为这种有趣现象提供了第一个理论解释之一。此外，我们的分析揭示了分销和分发外概率性能之间的精确线性关系，为这一令人惊讶的近期实证观察提供了解释。

最近有一项激烈的活动在嵌入非常高维和非线性数据结构的嵌入中，其中大部分在数据科学和机器学习文献中。我们分四部分调查这项活动。在第一部分中，我们涵盖了非线性方法，例如主曲线，多维缩放，局部线性方法，ISOMAP，基于图形的方法和扩散映射，基于内核的方法和随机投影。第二部分与拓扑嵌入方法有关，特别是将拓扑特性映射到持久图和映射器算法中。具有巨大增长的另一种类型的数据集是非常高维网络数据。第三部分中考虑的任务是如何将此类数据嵌入中等维度的向量空间中，以使数据适合传统技术，例如群集和分类技术。可以说，这是算法机器学习方法与统计建模（所谓的随机块建模）之间的对比度。在论文中，我们讨论了两种方法的利弊。调查的最后一部分涉及嵌入$ \ mathbb {r}^ 2 $，即可视化中。提出了三种方法：基于第一部分，第二和第三部分中的方法，$ t $ -sne，UMAP和大节。在两个模拟数据集上进行了说明和比较。一个由嘈杂的ranunculoid曲线组成的三胞胎，另一个由随机块模型和两种类型的节点产生的复杂性的网络组成。

Generalized Eigenvalue Problems (GEPs) encompass a range of interesting dimensionality reduction methods. Development of efficient stochastic approaches to these problems would allow them to scale to larger datasets. Canonical Correlation Analysis (CCA) is one example of a GEP for dimensionality reduction which has found extensive use in problems with two or more views of the data. Deep learning extensions of CCA require large mini-batch sizes, and therefore large memory consumption, in the stochastic setting to achieve good performance and this has limited its application in practice. Inspired by the Generalized Hebbian Algorithm, we develop an approach to solving stochastic GEPs in which all constraints are softly enforced by Lagrange multipliers. Then by considering the integral of this Lagrangian function, its pseudo-utility, and inspired by recent formulations of Principal Components Analysis and GEPs as games with differentiable utilities, we develop a game-theory inspired approach to solving GEPs. We show that our approaches share much of the theoretical grounding of the previous Hebbian and game theoretic approaches for the linear case but our method permits extension to general function approximators like neural networks for certain GEPs for dimensionality reduction including CCA which means our method can be used for deep multiview representation learning. We demonstrate the effectiveness of our method for solving GEPs in the stochastic setting using canonical multiview datasets and demonstrate state-of-the-art performance for optimizing Deep CCA.

Network data are ubiquitous in modern machine learning, with tasks of interest including node classification, node clustering and link prediction. A frequent approach begins by learning an Euclidean embedding of the network, to which algorithms developed for vector-valued data are applied. For large networks, embeddings are learned using stochastic gradient methods where the sub-sampling scheme can be freely chosen. Despite the strong empirical performance of such methods, they are not well understood theoretically. Our work encapsulates representation methods using a subsampling approach, such as node2vec, into a single unifying framework. We prove, under the assumption that the graph is exchangeable, that the distribution of the learned embedding vectors asymptotically decouples. Moreover, we characterize the asymptotic distribution and provided rates of convergence, in terms of the latent parameters, which includes the choice of loss function and the embedding dimension. This provides a theoretical foundation to understand what the embedding vectors represent and how well these methods perform on downstream tasks. Notably, we observe that typically used loss functions may lead to shortcomings, such as a lack of Fisher consistency.