我们倡导使用双重四季度代表姿势，曲折和扳手。

我们在代表姿势和曲折的双重四季度的背景下介绍了谎言衍生物的概念。首先，我们根据双重四个四分法来定义扳手。然后，我们展示了谎言衍生物如何帮助理解执行器如何在平行机器人中影响最终效应器，并在机器人驱动的并行机器人的情况下显式。我们还展示了如何使用牛顿 - 拉夫森方法使用谎言衍生物来解决过度约束的平行执行器的正向运动问题。最后，我们以双重四基因形式得出了末端效应器的运动方程，其中包括执行器中惯性的效果。我们的很大一部分方法是身份纯对双四分裂扰动的归一化，这表明它等于第二阶，而不是纯双重四季度的指数。

旋转和姿势在许多科学和工程领域中无处不在，例如机器人技术，航空航天，计算机视觉和图形。在本文中，我们根据其矩阵谎言组表示的特征结构提供了旋转和姿势的完整表征，SO（3），SE（3）和AD（SE（SE（3）））。姿势表示的特征成分表明，它们可以被施放成与旋转非常相似的形式，尽管前者的结构可能会根据所涉及的翻译和旋转的相对性质而变化。理解这些重要数量的特征结构本身就是值得的，但是要欣赏诸如旋转和姿势以及雅各布人的计算之类的实际结果也至关重要。此外，我们可以说，主轴的姿势与主轴轮换的方式几乎相同。

一个谎言小组是一个旧的数学抽象对象，追溯到xix世纪，当数学家大道谎言奠定了连续转型组理论的基础。正如经常发生的那样，许多年后，它的使用已经遍布各种科学和技术领域。在机器人学中，我们最近在估计领域中经历了一种重要的趋势，特别是在导航的运动估计中。然而，对于绝大多数机器人来说，谎言群体是高度抽象的结构，因此难以理解和使用。这可能是由于谎言理论上的大多数文献是由数学家和物理学家编写的，这些主义者可能比我们更多地用于这种理论涉及的深层抽象。在机器人学的估计中，通常没有必要利用理论的全部能力，因此需要选择材料的努力。在这篇论文中，我们将通过最基本的谎言理论原则，目的是传达明确和有用的想法，并留下了谎言理论的重要语料库。即使是这种肢解，这里所包含的材料也已被证明在机器人的现代估计算法中非常有用，特别是在SLAM，视觉内径等领域。除了这种微谎言之外，我们提供了一些应用示例的一章，以及机器人中使用的主要谎言团体的广泛公式参考，包括大多数雅各比矩阵以及轻松操纵它们的方式。我们还提供了一个新的C ++模板库，实现此处描述的所有功能。

This is a follow-up tutorial article of our previous article entitled "Robot Basics: Representation, Rotation and Velocity". For better understanding of the topics covered in this articles, we recommend the readers to first read our previous tutorial article on robot basics. Specifically, in this article, we will cover some more advanced topics on robot kinematics, including robot motion, forward kinematics, inverse kinematics, and robot dynamics. For the topics, terminologies and notations introduced in the previous article, we will use them directly without re-introducing them again in this article. Also similar to the previous article, math and formulas will also be heavily used in this article as well (hope the readers are well prepared for the upcoming math bomb). After reading this article, readers should be able to have a deeper understanding about how robot motion, kinematics and dynamics. As to some more advanced topics about robot control, we will introduce them in the following tutorial articles for readers instead.

Many problems in robotics are fundamentally problems of geometry, which lead to an increased research effort in geometric methods for robotics in recent years. The results were algorithms using the various frameworks of screw theory, Lie algebra and dual quaternions. A unification and generalization of these popular formalisms can be found in geometric algebra. The aim of this paper is to showcase the capabilities of geometric algebra when applied to robot manipulation tasks. In particular the modelling of cost functions for optimal control can be done uniformly across different geometric primitives leading to a low symbolic complexity of the resulting expressions and a geometric intuitiveness. We demonstrate the usefulness, simplicity and computational efficiency of geometric algebra in several experiments using a Franka Emika robot. The presented algorithms were implemented in c++20 and resulted in the publicly available library \textit{gafro}. The benchmark shows faster computation of the kinematics than state-of-the-art robotics libraries.

目前，国家估计对于机器人技术非常重要，基于不确定性表示的谎言组对于国家估计问题很自然。有必要充分利用基质谎言组的几何形状和运动学。因此，该注释首次对最近提出的矩阵lie组$ se_k（3）$提供了详细的推导，我们的结果扩展了Barfoot \ cite {Barfoot2017State}的结果。然后，我们描述了该组适合状态表示的情况。我们还基于MATLAB框架开发了代码，以快速实施和测试。

操纵器运动学与操纵器中每个链路的运动有关，而无需考虑质量或力。在本文中，这是两部分教程中的第一个，我们使用基本变换序列（ETS）为建模操纵器运动学提供了介绍。然后，我们制定了一阶差异运动学，该运动学导致操纵器雅各布式，这是速度控制和逆运动学的基础。我们描述了基本的古典技术，这些技术在展示一些当代应用之前依赖于操纵器Jacobian。本教程的第二部分提供了第二和高阶差异运动学的配方，介绍了操纵器Hessian，并说明了先进的技术，其中一些提高了第一部分中所示的技术的性能本教程。这些笔记本是用Python代码编写的，并使用python的机器人工具箱，以及Swift Simulator提供算法的示例和实现。虽然不是绝对必要的，但对于最吸引人和信息丰富的经验，我们建议在阅读本文时使用Jupyter笔记本。笔记本和设置说明可以在https://github.com/jhavl/dkt上访问。

机器人和计算机视觉问题通常需要处理包括翻译和旋转的刚体运动 - 一起被称为姿势。在一些情况下，姿势的矢量参数化可以是有用的，其中向矩阵Lie组进行外钟映射矢量空间的元素。例如，这些向量表示可以用于优化以及对组的不确定性表示。最常见的映射是矩阵指数，其将Lie代数的元素映射到相关Lie组上。但是，这种选择并不唯一。它以前已经显示了如何表征SO（3），旋转组的所有此类矢量参数化。一些结果也是已知的，其中姿势组也是可以构建包括矩阵指数的映射系列以及凯利转化的系列。我们将这些姿势映射所熟知的众所周知的是在机器人中的4×4表示中，并且还演示了所提出的姿势映射的三个不同示例：（i）姿势插值，（ii）姿势伺服控制，（iii）姿势估计在一个Portcloud对齐问题中。在PointCloud对准问题中，我们的结果导致了一种基于Cayley转换的新算法，我们称之为Cayper。

In neural networks, it is often desirable to work with various representations of the same space. For example, 3D rotations can be represented with quaternions or Euler angles. In this paper, we advance a definition of a continuous representation, which can be helpful for training deep neural networks. We relate this to topological concepts such as homeomorphism and embedding. We then investigate what are continuous and discontinuous representations for 2D, 3D, and n-dimensional rotations. We demonstrate that for 3D rotations, all representations are discontinuous in the real Euclidean spaces of four or fewer dimensions. Thus, widely used representations such as quaternions and Euler angles are discontinuous and difficult for neural networks to learn. We show that the 3D rotations have continuous representations in 5D and 6D, which are more suitable for learning. We also present continuous representations for the general case of the n dimensional rotation group SO(n). While our main focus is on rotations, we also show that our constructions apply to other groups such as the orthogonal group and similarity transforms. We finally present empirical results, which show that our continuous rotation representations outperform discontinuous ones for several practical problems in graphics and vision, including a simple autoencoder sanity test, a rotation estimator for 3D point clouds, and an inverse kinematics solver for 3D human poses.

In this article, we plan to provide an introduction about some basics about robots for readers. Several key topics of classic robotics will be introduced, including robot representation, robot rotational motion, coordinates transformation and velocity transformation. By now, classic rigid-body robot analysis is still the main-stream approach in robot controlling and motion planning. In this article, no data-driven or machine learning based methods will be introduced. Most of the materials covered in this article are based on the rigid-body kinematics that the readers probably have learned from the physics course at high-school or college. Meanwhile, these classic robot kinematics analyses will serve as the foundation for the latest intelligent robot control algorithms in modern robotics studies.

在本文中，我们提出了一种新的运动计划，用于通过使用人类演示并利用运动的螺钉几何形状来执行复杂的操纵任务。我们考虑复杂的操纵任务，其中对机器人终端效应器的运动有限制。此类任务的示例包括打开门，打开抽屉，将颗粒材料从一个容器中转移到另一个容器到另一个容器，然后将菜肴加载到洗碗机上。我们的方法由两个步骤组成：首先，使用这样一个事实，即可以通过使用一系列恒定螺钉运动来近似机器人任务空间中的运动，我们将人的演示分为一系列恒定螺钉运动。其次，我们使用分段螺钉通过螺钉线性插值来生成运动计划，以实现相同任务的其他实例。螺钉分割的使用使我们能够以无坐标的方式捕获演示的不变性，从而使我们能够计划从一个示例中为不同的任务实例计划。我们对各种操纵场景提出了广泛的实验结果，表明我们的方法可以在各种操纵任务中使用。

空中操纵器（AM）表现出特别具有挑战性的非线性动力学；无人机和操纵器携带的是一个紧密耦合的动态系统，相互影响。描述这些动力学的数学模型构成了非线性控制和深度强化学习中许多解决方案的核心。传统上，动力学的配方涉及在拉格朗日框架中的欧拉角参数化或牛顿 - 欧拉框架中的四元素参数化。前者的缺点是诞生奇异性，而后者在算法上是复杂的。这项工作提出了一个混合解决方案，结合了两者的好处，即利用拉格朗日框架的四元化方法，将无奇异参数化与拉格朗日方法的算法简单性联系起来。我们通过提供有关运动学建模过程的详细见解以及一般空中操纵器动力学的表述。获得的动力学模型对实时物理引擎进行了实验验证。获得的动力学模型的实际应用显示在计算的扭矩反馈控制器（反馈线性化）的上下文中，我们通过日益复杂的模型分析其实时功能。

生物飞行，滑行和掉落的生物能够具有非凡形式的惯性操纵形式：基于对其多体动力学的精细控制，自由空间操纵，这是猫的自我倾向反射的特征。然而，将惯性的机动能力设计成仿生机器人，例如仿生无人机（UAV）是具有挑战性的。准确地模拟这些无人机在无奇异性环境中的耦合多体动力学需要数值集成符，以确保在强耦合系统中既可以确保无奇异性集成，又可以确保动量和能量保护 - 在现有常规集成商中不可用。在这项工作中，我们开发了一对新的四个季节变化积分器（QVI），显示了这些特性，并证明了它们在仿生无人机中模拟惯性操作的能力，显示了复杂的多体性耦合。这些QVIS被估计，这些QVIS天生没有奇异性。并且是变异的，它们可以表现出出色的能量和动量保护特性。我们探讨了变分集成顺序（左矩形与中点）对集成器的保护特性的影响，并得出结论，在复杂的耦合系统中，规范矩可能会随时间变化，需要中点积分器。所得的中点QVI非常适合分析仿生无人机中的惯性操纵 - 我们在仿真和其他复杂的动力学系统中所证明的功能。

本文提出了在不同运动条件下不同帧中的惯性测量单元（IMU）预融合的统一数学框架。导航状态精确地离散化为三部分：本地增量，全局状态和全局增量。全局增量可以在不同的帧中计算，例如局部大地测量导航帧和地球中心固定帧。称为IMU预融合的本地增量可以根据代理的运动和IMU的等级的不同假设计算。因此，在不同环境下的惯性集成导航系统的在线状态估计更准确和更方便。

机器人社区在为软机器人设备建模提供的理论工具的复杂程度中看到了指数增长。已经提出了不同的解决方案以克服与软机器人建模相关的困难，通常利用其他科学学科，例如连续式机械和计算机图形。这些理论基础通常被认为是理所当然的，这导致复杂的文献，因此，从未得到完整审查的主题。Withing这种情况下，提交的文件的目标是双重的。突出显示涉及建模技术的不同系列的常见理论根源，采用统一语言，以简化其主要连接和差异的分析。因此，对上市接近自然如下，并最终提供在该领域的主要作品的完整，解开，审查。

We propose AstroSLAM, a standalone vision-based solution for autonomous online navigation around an unknown target small celestial body. AstroSLAM is predicated on the formulation of the SLAM problem as an incrementally growing factor graph, facilitated by the use of the GTSAM library and the iSAM2 engine. By combining sensor fusion with orbital motion priors, we achieve improved performance over a baseline SLAM solution. We incorporate orbital motion constraints into the factor graph by devising a novel relative dynamics factor, which links the relative pose of the spacecraft to the problem of predicting trajectories stemming from the motion of the spacecraft in the vicinity of the small body. We demonstrate the excellent performance of AstroSLAM using both real legacy mission imagery and trajectory data courtesy of NASA's Planetary Data System, as well as real in-lab imagery data generated on a 3 degree-of-freedom spacecraft simulator test-bed.

虽然已经提出了用于国家估计的利用现有LIE组结构的许多作品，但特别是不变的扩展卡尔曼滤波器（IEKF），少数论文解决了允许给定系统进入IEKF框架的组结构的构造，即制造动态群体染色和观察不变。在本文中，我们介绍了大量系统，包括涉及在实践中遇到的导航车辆的大多数问题。对于那些系统，我们介绍一种新的方法，系统地为状态空间提供组结构，包括诸如偏差的车身框架的载体。我们使用它来派生与线性观察者或过滤器那些类似的观察者。建议的统一和多功能框架包括IHKF已经成功的所有系统，改善了用于传感器偏差的惯性导航的最新的“不完美”IEKF，并且允许寻址新颖的示例，如GNSS天线杆臂估计。

我们在真实和复杂的环境中介绍了前向和向后模式广告的经典无坐标形式主义。我们展示了如何从基本原理开始的许多矩阵函数正式得出前向和向后公式。

如果机器人曾经实现与动物所展示的机器人相当的自动运动，则它们必须获得在损害，故障或环境条件下快速恢复运动行为的能力，从而损害了其有效移动的能力。我们提出了一种方法，该方法使我们的机器人和模拟机器人能够在几十次尝试中恢复自由运动行为的高度。我们的方法采用行为规范，以等级的差异约束来表达所需的行为。我们展示了如何通过编码模板来考虑这些约束，从而产生了将先前优化的行为推广到新情况下以快速学习的形式概括的秘诀。我们进一步说明，在数据驱动的上下文中，足够的限制通常很容易确定。作为例证，我们证明了我们在物理7 DOF六型六杆元机器人上的恢复方法，以及对6 DOF 2D运动机制的模拟。在这两种情况下，我们恢复了与先前优化的运动在功能上无法区分的行为。