Image segmentation is a largely researched field where neural networks find vast applications in many facets of technology. Some of the most popular approaches to train segmentation networks employ loss functions optimizing pixel-overlap, an objective that is insufficient for many segmentation tasks. In recent years, their limitations fueled a growing interest in topology-aware methods, which aim to recover the correct topology of the segmented structures. However, so far, none of the existing approaches achieve a spatially correct matching between the topological features of ground truth and prediction. In this work, we propose the first topologically and feature-wise accurate metric and loss function for supervised image segmentation, which we term Betti matching. We show how induced matchings guarantee the spatially correct matching between barcodes in a segmentation setting. Furthermore, we propose an efficient algorithm to compute the Betti matching of images. We show that the Betti matching error is an interpretable metric to evaluate the topological correctness of segmentations, which is more sensitive than the well-established Betti number error. Moreover, the differentiability of the Betti matching loss enables its use as a loss function. It improves the topological performance of segmentation networks across six diverse datasets while preserving the volumetric performance. Our code is available in https://github.com/nstucki/Betti-matching.

与许多研究领域相关的管状网络样结构（例如血管，神经元或道路）的准确分割与许多研究领域有关。对于这种结构，拓扑是它们最重要的特征。特别保留连接性：在血管网络的情况下，缺少连接的容器完全改变了血液流动的动力学。我们介绍了一种新颖的相似性度量，称为Centerlinedice（短CLDICE），该度量是根据分割掩模及其（形态）骨骼的相交进行计算的。从理论上讲，我们证明，CLDICE保证拓扑保存至二进制2D和3D分割的同型等效性。扩展这一点，我们提出了一种计算高效，可区分的损失函数（软性的），用于训练任意的神经分割网络。我们在五个公共数据集上基准了软性损失，包括船只，道路和神经元（2D和3D）。对软性播放的培训可通过更准确的连通性信息，更高的图形相似性和更好的体积分数进行分割。

适当地表示数据库中的元素，以便可以准确匹配查询是信息检索的核心任务；最近，通过使用各种指标将数据库的图形结构嵌入层次结构的方式中来实现。持久性同源性是一种在拓扑数据分析中常用的工具，能够严格地以其层次结构和连接结构来表征数据库。计算各种嵌入式数据集上的持续同源性表明，一些常用的嵌入式无法保留连接性。我们表明，那些成功保留数据库拓扑的嵌入通过引入两种扩张不变的比较措施来捕获这种效果，尤其是解决了对流形的度量扭曲问题。我们为它们的计算提供了一种算法，该算法大大降低了现有方法的时间复杂性。我们使用这些措施来执行基于拓扑的信息检索的第一个实例，并证明了其在持久同源性的标准瓶颈距离上的性能提高。我们在不同数据品种的数据库中展示了我们的方法，包括文本，视频和医学图像。

我们提出了一种使用持久性同源性（pH）的新的更有效的方法，一种方法来比较两个数据集的拓扑，用于训练深度网络以在空中图像中描绘道路网络和显微镜扫描中的神经元过程。它的本质是一种新的过滤功能，从两个现有技术的融合导出：基于阈值的过滤，以前用于将深网络培训到分段医学图像，并用高度函数过滤，以便在比较2D和3D形状之前使用。我们通过实验证明，深入的网络培训了我们的持久性同源性的损失，即道路网络和神经元过程的重建，这些过程比现有的拓扑和非拓扑损失功能更好地保持原件的连接性。

我们考虑了$ d $维图像的新拓扑效率化，该图像通过在计算持久性之前与各种过滤器进行卷积。将卷积滤波器视为图像中的图案，结果卷积的持久图描述了图案在整个图像中分布的方式。我们称之为卷积持久性的管道扩展了拓扑结合图像数据中模式的能力。的确，我们证明（通常说）对于任何两个图像，人们都可以找到某些过滤器，它们会为其产生不同的持久图，以便给定图像的所有可能的卷积持久性图的收集是一个不变的不变性。通过表现出卷积的持久性是另一种拓扑不变的持续性副学变换的特殊情况，这证明了这一点。卷积持久性的其他优势是提高噪声的稳定性和鲁棒性，对数据依赖性矢量化的更大灵活性以及对具有较大步幅向量的卷积的计算复杂性降低。此外，我们还有一套实验表明，即使人们使用随机过滤器并通过仅记录其总持久性，卷积大大提高了持久性的预测能力，即使一个人使用随机过滤器并将结果图进行量化。

Tools of Topological Data Analysis provide stable summaries encapsulating the shape of the considered data. Persistent homology, the most standard and well studied data summary, suffers a number of limitations; its computations are hard to distribute, it is hard to generalize to multifiltrations and is computationally prohibitive for big data-sets. In this paper we study the concept of Euler Characteristics Curves, for one parameter filtrations and Euler Characteristic Profiles, for multi-parameter filtrations. While being a weaker invariant in one dimension, we show that Euler Characteristic based approaches do not possess some handicaps of persistent homology; we show efficient algorithms to compute them in a distributed way, their generalization to multifiltrations and practical applicability for big data problems. In addition we show that the Euler Curves and Profiles enjoys certain type of stability which makes them robust tool in data analysis. Lastly, to show their practical applicability, multiple use-cases are considered.

从2D图像重建3D对象对于我们的大脑和机器学习算法都有挑战。为了支持此空间推理任务，有关对象整体形状的上下文信息至关重要。但是，此类信息不会通过既定的损失条款（例如骰子损失）捕获。我们建议通过在重建损失中包括多尺度拓扑特征，例如连接的组件，周期和空隙来补充几何形状信息。我们的方法使用立方复合物来计算3D体积数据的拓扑特征，并采用最佳传输距离来指导重建过程。这种拓扑感知的损失是完全可区分的，在计算上有效，并且可以添加到任何神经网络中。我们通过将损失纳入SHAPR来证明我们的损失的实用性，该模型用于根据2D显微镜图像预测单个细胞的3D细胞形状。使用利用单个对象的几何信息和拓扑信息来评估其形状的混合损失，我们发现拓扑信息大大提高了重建质量，从而突出了其从图像数据集中提取更多相关特征的能力。

本文旨在通过一种称为拓扑数据分析的方法来讨论一种量化数据“形状”的方法。拓扑数据分析中的主要工具是持续的同源性。这是从简单复合物的同源物中测量数据形状的一种手段，该方法在一系列值范围内计算出来。此处介绍了所需的背景理论和计算持续同源性的方法，并具有针对结构健康监测的应用。这些结果允许拓扑推断和推断高维数据中的功能的能力，否则可能会被忽略。为给定距离参数的数据构建了一个简单复合物。该复合物编码有关数据点局部接近性的信息。可以从这个简单复合物中计算出奇异的同源性值。扩展此想法，为一系列值提供了距离参数，并且在此范围内计算同源性。持续的同源性是在此间隔中如何持续存在数据的同源特征的一种表示。结果是数据的特征。还讨论了一种允许比较不同数据集的持续同源性的方法。

除了每个像素精度外，拓扑正确性也对具有微尺度结构的图像的分割也至关重要，例如卫星图像和生物医学图像。在本文中，通过利用数字拓扑理论，我们识别对拓扑至关重要的图像中的位置。通过专注于这些关键的位置，我们提出了一种新的同谐扭曲损失来培训深度图像分割网络以获得更好的拓扑精度。为了有效地识别这些拓扑关键的位置，我们提出了一种利用距离变换的新算法。所提出的算法以及损耗函数，自然地推广到2D和3D设置中的不同拓扑结构。拟议的损失函数有助于深度网络在拓扑知识的指标方面实现更好的性能，优于最先进的拓扑保存分段方法。

许多真实网络展出的拓扑模式激励了基于拓扑的方法的发展，以评估网络的相似性。然而，提取拓扑结构是困难的，特别是对于节点度范围超过多个数量级的大型和密集网络。在本文中，我们提出了一种新颖的和计算实用的拓扑集群聚类方法，将复杂网络与复杂的拓扑结构从持续的同源性和最优运输中使用主治理论。这种网络通过基于其拓扑和几何结构的基于质心的聚类策略聚合到集群中，在不同网络中保留了节点之间的对应关系。拓扑接近和质心的概念使用新颖的和有效的方法来计算Wassersein距离和持久性条形码的持久条形码计算，以及与连接的分量和循环相关联的持久性条形码。所提出的方法被证明使用模拟网络和测量的功能性脑网络有效。

Artificial neural networks can learn complex, salient data features to achieve a given task. On the opposite end of the spectrum, mathematically grounded methods such as topological data analysis allow users to design analysis pipelines fully aware of data constraints and symmetries. We introduce a class of persistence-based neural network layers. Persistence-based layers allow the users to easily inject knowledge about symmetries (equivariance) respected by the data, are equipped with learnable weights, and can be composed with state-of-the-art neural architectures.

基于持续的同源性的拓扑损失在各种应用中都表现出了希望。拓扑损失强制执行该模型以实现某些所需的拓扑特性。尽管取得了经验成功，但对损失的优化行为的了解却很少。实际上，拓扑损失涉及在优化过程中可能振荡的组合构型。在本文中，我们引入了通用正规拓扑感知损失。我们提出了一个新颖的正则化项，并修改了现有的拓扑损失。这些贡献导致了新的损失函数，不仅强制实施模型具有所需的拓扑行为，而且还可以达到满足收敛行为。我们的主要理论结果确保在轻度假设下可以有效地优化损失。

持续的同源性（PH）是拓扑数据分析中最流行的方法之一。尽管PH已用于许多不同类型的应用程序中，但其成功背后的原因仍然难以捉摸。特别是，尚不知道哪种类别的问题最有效，或者在多大程度上可以检测几何或拓扑特征。这项工作的目的是确定pH在数据分析中比其他方法更好甚至更好的问题。我们考虑三个基本形状分析任务：从形状采样的2D和3D点云中检测孔数，曲率和凸度。实验表明，pH在这些任务中取得了成功，超过了几个基线，包括PointNet，这是一个精确地受到点云的属性启发的体系结构。此外，我们观察到，pH对于有限的计算资源和有限的培训数据以及分布外测试数据，包括各种数据转换和噪声，仍然有效。

捕获图像的全局拓扑对于提出对其域的准确分割至关重要。但是，大多数现有的分割方法都不能保留给定输入的初始拓扑，这对许多下游基于对象的任务有害。对于大多数在本地尺度上工作的深度学习模型来说，这是更真实的。在本文中，我们提出了一种新的拓扑深度图像分割方法，该方法依赖于新的泄漏损失：Pathloss。我们的方法是Baloss [1]的扩展，其中我们希望改进泄漏检测，以更好地恢复图像分割的接近度。这种损失使我们能够正确定位并修复预测中可能发生的关键点（边界中的泄漏），并基于最短路径搜索算法。这样，损失最小化仅在必要时才能强制连接，并最终提供了图像中对象边界的良好定位。此外，根据我们的研究，与无需使用拓扑损失的方法相比，我们的Pathloss学会了保持更强的细长结构。通过我们的拓扑损失函数培训，我们的方法在两个代表性数据集上优于最先进的拓扑感知方法：电子显微镜和历史图。

本文介绍了用于持久图计算的有效算法，给定一个输入分段线性标量字段f在D上定义的d二维简单复杂k，并带有$ d \ leq 3 $。我们的方法通过引入三个主要加速度来扩展开创性的“ Paircells”算法。首先，我们在离散摩尔斯理论的设置中表达了该算法，该算法大大减少了要考虑的输入简单数量。其次，我们介绍了问题的分层方法，我们称之为“夹心”。具体而言，minima-saddle持久性对（$ d_0（f）$）和鞍 - 最大持久对（$ d_ {d-1}（f）$）是通过与Union-Find-Find-Find-Find-Find-Find-Find-Find-find-find-find-find-find-find-find-find-find-find-find-find-find of nourstable组的1个有效计算的。 - addles和（D-1）addles的稳定集。尺寸为0和（D-1）的快速处理进一步减少，并且大幅度降低了$ d_1（f）$，即三明治的中间层的计算$ d_1（f）$的关键简单数量。第三，我们通过共享记忆并行性记录了几个绩效改进。我们为可重复性目的提供了算法的开源实施。我们还贡献了一个可重复的基准软件包，该基准软件包利用了公共存储库中的三维数据，并将我们的算法与各种公开可用的实现进行了比较。广泛的实验表明，我们的算法提高了两个数量级，即它扩展的开创性“ Paircells”算法的时间性能。此外，它还改善了14种竞争方法的选择，改善了记忆足迹和时间性能，比最快的可用方法具有可观的增长，同时产生了严格的输出。我们通过应用于表面，音量数据和高维点云的持续性一维发电机的快速和稳健提取的应用来说明我们的贡献实用性。

无监督的特征学习通常会发现捕获复杂数据结构的低维嵌入。对于专家的任务可获得专家，将其纳入学习的代表可能会导致更高质量的嵌入品。例如，这可以帮助人们将数据嵌入给定的簇数，或者容纳阻止一个人直接在模型上衍生数据分布的噪声，然后可以更有效地学习。然而，缺乏将不同的先前拓扑知识集成到嵌入中的一般工具。虽然最近已经开发了可微分的拓扑层，但可以（重新）形状嵌入预定的拓扑模型，他们对代表学习有两个重要的局限性，我们在本文中解决了这一点。首先，目前建议的拓扑损失未能以自然的方式代表诸如群集和耀斑的简单模型。其次，这些损失忽略了对学习有用的数据中的所有原始结构（例如邻域）信息。我们通过引入一组新的拓扑损失来克服这些限制，并提出其用法作为拓扑正规规范数据嵌入来自然代表预定模型的一种方法。我们包括彻底的综合和实际数据实验，突出了这种方法的有用性和多功能性，其中应用范围从建模高维单胞胎数据进行建模到绘图嵌入。

图像的持久性拓扑特性是一个附加描述符，提供了传统神经网络可能无法发现的见解。该领域的现有研究主要侧重于有效地将数据的拓扑特性整合到学习过程中，以增强性能。但是，没有现有的研究来证明引入拓扑特性可以提高或损害性能的所有可能场景。本文对拓扑特性在各种培训方案中的图像分类有效性进行了详细分析，定义为：训练样本的数量，训练数据的复杂性和骨干网络的复杂性。我们确定从拓扑功能中受益最大的场景，例如，在小数据集中培训简单的网络。此外，我们讨论了数据集的拓扑一致性问题，该问题是使用拓扑特征进行分类的主要瓶颈之一。我们进一步证明了拓扑不一致如何损害某些情况的性能。

拓扑方法可以提供一种提出新的指标和审查数据的方法的方法，否则可能会忽略这一点。在这项工作中，将引入一种量化数据形状的方法，通过称为拓扑数据分析的主题。拓扑数据分析（TDA）中的主要工具是持续的同源性。持续的同源性是一种在长度范围内量化数据形状的方法。在这项工作中简要讨论了所需的背景和计算持续同源性的方法。然后，来自拓扑数据分析的思想被用于非线性动力学，以通过计算其嵌入维度，然后评估其一般拓扑来分析一些常见的吸引子。还将提出一种方法，该方法使用拓扑数据分析来确定时间延迟嵌入的最佳延迟。 TDA还将应用于结构健康监测中的Z24桥案例研究，在该Z24桥梁案例研究中，它将用于仔细检查不同的数据分区，并根据收集数据的条件进行分类。来自拓扑数据分析的度量标准用于比较分区之间的数据。提出的结果表明，损害的存在比温度所产生的影响更大。

拓扑数据分析（TDA）的主要挑战之一是从机器学习算法直接可用的持久图中提取功能。实际上，持久性图是R2中的本质上（多级）点，并且不能以直接的方式视为向量。在本文中，我们介绍了持平性器，这是一个接受持久图作为输入的第一变压器神经网络架构。坚持不懈的体系结构显着优于古典合成基准数据集上以前的拓扑神经网络架构。此外，它满足了通用近似定理。这使我们能够介绍一种用于拓扑机学习的第一解释方法，我们在两个示例中探讨。

数据表示的比较是一个复杂的多个方面问题，尚未享受完整的解决方案。我们提出了一种用于比较两个数据表示的方法。我们介绍了表示拓扑分歧（RTD），测量在两点云之间的多尺度拓扑中的异常相同，在点之间的一对一的对应关系。数据点云被允许位于不同的环境空间中。RTD是少数基于TDA的实用方法之一，适用于真实机器学习数据集。实验表明，提议的RTD同意对数据表示相似性的直观评估，对其拓扑结构敏感。我们申请RTD在各种问题的计算机视觉和NLP域中获得神经网络表示的见解：培训动力学分析，数据分配转移，转移学习，集合学习，解剖学评估。