设定覆盖问题是一类重要的组合优化问题，在许多领域都广泛应用和研究了。在本文中，我们提出了一种用神经预测（CG-P）的改进的列生成算法，用于解决基于图的集合涵盖问题。我们利用基于图神经网络的神经预测模型来预测每个边缘最终解决方案中的概率。我们的CG-P算法构建了一个还原的图，该图仅包含具有较高预测概率的边缘，并且该图还原过程显着加快了解决方案过程。我们在铁路乘员计划问题上评估了CG-P算法，它的表现优于基线列的生成算法。我们为我们的CG-P算法提供了两种解决方案模式。在最佳模式下，我们可以获得具有最佳保证的解决方案，同时将时间成本降低到63.12％。在快速模式下，我们可以在仅2.91％的计算时间内获得具有7.62％最佳差距的亚最佳解决方案。

我们考虑了提高柱生成效率（CG）方法的方法，以解决车辆路由问题。我们介绍了CG配方中常用的NG-Route松弛度和降低状态空间松弛（DSSR）的替代/补充，我们引入了局部区域（LA）路线。 LA路线是NG路由的子集和基本路线的超级集合。通常，CG的定价阶段必须产生基本路线，这些路线是没有重复客户的路线，使用可能在计算上昂贵的流程。非元素路线至少访问至少一个客户，创建一个周期。 LA路线以允许有效定价的方式放松成为基本途径的约束。从NG-Route放松方面，最好理解LA路线。 NG路由是允许在空间中具有非定位循环的路线。这意味着周期中至少有一个中间客户（称为断路器）必须考虑到周期中的起始客户在空间上远离。使用一组特殊索引来描述LA路线，该特殊索引与从开始到路线尽头的路线上的客户相对应。 LA路线的松弛进一步限制了一组允许的周期，除了强制执行断路器必须位于特殊索引中，该循环均超出了NG路由，其中​​一组特殊索引被递归地定义为如下。该路线中的第一个特殊索引是索引1，这意味着它与路线中的第一个客户关联。 K'th特殊索引对应于K-1第三个特殊索引之后的第一个客户，该索引并非被认为是（在空间上被认为是远离K-1'TEXPATEX的客户）的邻居。我们证明，与标准DSSR相比，LA路线松弛可以显着提高定价的计算速度。

列生成是一种用于解决各种优化问题的迭代方法。它将问题分解为两部分：主问题，以及一个或多个定价问题（PP）。该方法采取的总计计算时间在这两个部分之间划分。在路由或调度应用程序中，问题主要在网络上定义，并且PP通常是具有资源约束的NP-难以最短的路径问题。在这项工作中，我们提出了一种基于机器学习的新的启发式定价算法。通过利用先前执行期间收集的数据，目标是减小网络的大小并加速PP，仅保持具有高机会的弧形成为线性松弛解决方案的一部分。该方法已应用于两个特定问题：在公共交通中的车辆和船员调度问题以及时间窗口的车辆路由问题。可以获得高达40％的计算时间的减少。

In the last years, there has been a great interest in machine-learning-based heuristics for solving NP-hard combinatorial optimization problems. The developed methods have shown potential on many optimization problems. In this paper, we present a learned heuristic for the reoptimization of a problem after a minor change in its data. We focus on the case of the capacited vehicle routing problem with static clients (i.e., same client locations) and changed demands. Given the edges of an original solution, the goal is to predict and fix the ones that have a high chance of remaining in an optimal solution after a change of client demands. This partial prediction of the solution reduces the complexity of the problem and speeds up its resolution, while yielding a good quality solution. The proposed approach resulted in solutions with an optimality gap ranging from 0\% to 1.7\% on different benchmark instances within a reasonable computing time.

柱生成（CG）是解决大规模优化问题的有效方法。CG通过求解列（即变量）的子集并逐渐包括可以改善当前子问题的解决方案的新列。通过反复解决定价问题，根据需要产生新列，这通常是NP - 硬的并且是CG方法的瓶颈。为了解决这个问题，我们提出了一种基于机器学习的定价启发式（MLPH），可以有效地产生许多高质量的柱。在CG的每次迭代中，我们的MLPH利用ML模型来预测定价问题的最佳解决方案，然后用于引导采样方法以有效地产生多个高质量柱。使用图形着色问题，我们经验证明，与六种最先进的方法相比，MLPH显着增强，并且CG的改善可能导致分支和价格精确方法的显着更好的性能。

组合优化是运营研究和计算机科学领域的一个公认领域。直到最近，它的方法一直集中在孤立地解决问题实例，而忽略了它们通常源于实践中的相关数据分布。但是，近年来，人们对使用机器学习，尤其是图形神经网络（GNN）的兴趣激增，作为组合任务的关键构件，直接作为求解器或通过增强确切的求解器。GNN的电感偏差有效地编码了组合和关系输入，因为它们对排列和对输入稀疏性的意识的不变性。本文介绍了对这个新兴领域的最新主要进步的概念回顾，旨在优化和机器学习研究人员。

Steiner树问题（STP）在图中旨在在连接给定的顶点集的图表中找到一个最小权重的树。它是一种经典的NP - 硬组合优化问题，具有许多现实世界应用（例如，VLSI芯片设计，运输网络规划和无线传感器网络）。为STP开发了许多精确和近似算法，但它们分别遭受高计算复杂性和弱案例解决方案保证。还开发了启发式算法。但是，它们中的每一个都需要应用域知识来设计，并且仅适用于特定方案。最近报道的观察结果，同一NP-COLLECLIAL问题的情况可能保持相同或相似的组合结构，但主要在其数据中不同，我们调查将机器学习技术应用于STP的可行性和益处。为此，我们基于新型图形神经网络和深增强学习设计了一种新型模型瓦坎。 Vulcan的核心是一种新颖的紧凑型图形嵌入，将高瞻度图形结构数据（即路径改变信息）转换为低维矢量表示。鉴于STP实例，Vulcan使用此嵌入来对其路径相关的信息进行编码，并基于双层Q网络（DDQN）将编码的图形发送到深度加强学习组件，以找到解决方案。除了STP之外，Vulcan还可以通过将解决方案（例如，SAT，MVC和X3C）来减少到STP来找到解决方案。我们使用现实世界和合成数据集进行广泛的实验，展示了vulcan的原型，并展示了它的功效和效率。

我们展示了如何使用图形神经网络来解决规范的图形着色问题。我们将颜色框架为多类节点分类问题，并基于统计物理Potts模型利用无监督的培训策略。对其他多级问题（例如社区检测，数据聚类和最低集团封面问题）的概括是简单的。我们提供数值基准结果，并通过端到端的应用程序说明了我们的方法，用于在全面的编码程序框架内实现现实世界调度案例。我们的优化方法在PAR或优于现有求解器上执行，并能够扩展到数百万变量的问题。

越来越多的机器学习方法用于解决旅行推销员问题。但是，这些方法通常需要解决训练或使用需要大量调整的复杂强化学习方法的实例。为了避免这些问题，我们引入了一种新颖的无监督学习方法。我们使用针对TSP的整数线性程序的放松来构建不需要正确实例标签的损耗函数。随着离散化的可变，其最小值与最佳或近乎最佳的解决方案一致。此外，此损耗函数是可区分的，因此可以直接用于训练神经网络。我们将损失函数与图形神经网络和欧几里得和非对称TSP的设计受控实验一起使用。我们的方法优于监督学习不需要大型标记数据集的优势。此外，我们的方法的性能超过了不对称TSP的强化学习，并且与欧几里得实例的强化学习相当。与增强学习相比，我们的方法也更稳定，更容易训练。

我们介绍了多模式的汽车和乘车共享问题（MMCRP），其中使用一台汽车来涵盖一组乘车请求，同时将发现的请求分配给其他运输方式（MOT）。汽车的路线由一次或多个旅行组成。每次旅行都必须具有特定但不明的驱动程序，以仓库开始，然后以（可能不同的）仓库结束。即使两个骑行没有相同的起源和/或目的地，也允许在用户之间共享骑行。用户始终可以根据各个首选项列表使用其他运输方式。该问题可以作为车辆调度问题提出。为了解决该问题，构建了一个辅助图，在该图中，每次旅行在仓库中的启动和结尾，并覆盖可能的乘车共享，以时空图中的形式建模为弧。我们提出了一种基于列生成的两层分解算法，其中主问题可确保最多只能涵盖每个请求，并且定价问题通过在时间 - 时间中解决一种最短路径问题来生成新的有希望的路线空间网络。报告了基于现实实例的计算实验。基准实例基于奥地利维也纳的人口，空间和经济数据。我们通过在合理时间内基于列生成的方法来解决大型实例，并进一步研究了各种精确和启发式定价方案。

借助大量可用数据，许多企业寻求实施以数据为驱动的规范分析，以帮助他们做出明智的决定。这些规定的政策需要满足操作约束，并主动消除规则冲突，这两者在实践中无处不在。他们也需要简单且可解释，因此可以轻松地验证和实施它们。文献中的现有方法围绕构建规定决策树的变体以生成可解释的政策。但是，现有方法都无法处理约束。在本文中，我们提出了一种可扩展的方法，该方法解决了受限的规定政策生成问题。我们介绍了一种新型的基于路径的混合智能程序（MIP）公式，该计划通过列生成有效地标识了（接近）最佳策略。生成的策略可以表示为多道路拆分树，由于其较短的规则，它比二进制树更容易解释和信息。我们通过对合成数据集和真实数据集进行了广泛的实验来证明我们方法的功效。

近年来，线性分配问题（LAP）的可分解求解器（LAP）引起了很多研究的关注，通常嵌入到学习框架中作为组件。然而，以前的算法，有或没有学习策略，通常随着问题大小的增量而遭受最优性的降低。在本文中，我们提出了一种基于深图网络的学习线性分配求解器。具体地，我们首先将成本矩阵转换为二分图，并将分配任务转换为从构造的图表中选择可靠的边缘的问题。随后，开发了深图网络以聚合和更新节点和边的特征。最后，网络预测指示指示赋值关系的每个边缘的标签。合成数据集的实验结果表明，我们的方法优于最先进的基线，并以问题尺寸的增量达到始终如一的高精度。此外，我们还与最先进的基线求解器相比，嵌入了所提出的求解器，进入流行的多目标跟踪（MOT）框架，以以端到端的方式训练跟踪器。 MOT基准的实验结果表明，所提出的LAP解算器通过最大的边缘改善跟踪器。

The design of good heuristics or approximation algorithms for NP-hard combinatorial optimization problems often requires significant specialized knowledge and trial-and-error. Can we automate this challenging, tedious process, and learn the algorithms instead? In many real-world applications, it is typically the case that the same optimization problem is solved again and again on a regular basis, maintaining the same problem structure but differing in the data. This provides an opportunity for learning heuristic algorithms that exploit the structure of such recurring problems. In this paper, we propose a unique combination of reinforcement learning and graph embedding to address this challenge. The learned greedy policy behaves like a meta-algorithm that incrementally constructs a solution, and the action is determined by the output of a graph embedding network capturing the current state of the solution. We show that our framework can be applied to a diverse range of optimization problems over graphs, and learns effective algorithms for the Minimum Vertex Cover, Maximum Cut and Traveling Salesman problems.

本文考虑了在分解正常形式（DNF，ANDS的DNF，ANDS，相当于判定规则集）或联合正常形式（CNF，ORS）作为分类模型的联合正常形式的学习。为规则简化，将整数程序配制成最佳贸易分类准确性。我们还考虑公平设定，并扩大制定，以包括对两种不同分类措施的明确限制：机会平等和均等的赔率。列生成（CG）用于有效地搜索候选条款（连词或剖钉）的指数数量，而不需要启发式规则挖掘。此方法还会绑定所选规则集之间的间隙和培训数据上的最佳规则集。要处理大型数据集，我们建议使用随机化的近似CG算法。与三个最近提出的替代方案相比，CG算法主导了16个数据集中的8个中的精度简单折衷。当最大限度地提高精度时，CG与为此目的设计的规则学习者具有竞争力，有时发现明显更简单的解决方案，这些解决方案不太准确。与其他公平和可解释的分类器相比，我们的方法能够找到符合较严格的公平概念的规则集，以适度的折衷准确性。

In recent years, methods based on deep neural networks, and especially Neural Improvement (NI) models, have led to a revolution in the field of combinatorial optimization. Given an instance of a graph-based problem and a candidate solution, they are able to propose a modification rule that improves its quality. However, existing NI approaches only consider node features and node-wise positional encodings to extract the instance and solution information, respectively. Thus, they are not suitable for problems where the essential information is encoded in the edges. In this paper, we present a NI model to solve graph-based problems where the information is stored either in the nodes, in the edges, or in both of them. We incorporate the NI model as a building block of hill-climbing-based algorithms to efficiently guide the election of neighborhood operations considering the solution at that iteration. Conducted experiments show that the model is able to recommend neighborhood operations that are in the $99^{th}$ percentile for the Preference Ranking Problem. Moreover, when incorporated to hill-climbing algorithms, such as Iterated or Multi-start Local Search, the NI model systematically outperforms the conventional versions. Finally, we demonstrate the flexibility of the model by extending the application to two well-known problems: the Traveling Salesman Problem and the Graph Partitioning Problem.

在过去的几年中，已经开发了图形绘图技术，目的是生成美学上令人愉悦的节点链接布局。最近，利用可区分损失功能的使用已为大量使用梯度下降和相关优化算法铺平了道路。在本文中，我们提出了一个用于开发图神经抽屉（GND）的新框架，即依靠神经计算来构建有效且复杂的图的机器。 GND是图形神经网络（GNN），其学习过程可以由任何提供的损失函数（例如图形图中通常使用的损失函数）驱动。此外，我们证明，该机制可以由通过前馈神经网络计算的损失函数来指导，并根据表达美容特性的监督提示，例如交叉边缘的最小化。在这种情况下，我们表明GNN可以通过位置功能很好地丰富与未标记的顶点处理。我们通过为边缘交叉构建损失函数来提供概念验证，并在提议的框架下工作的不同GNN模型之间提供定量和定性的比较。

关于组合优化的机器学习的最新作品表明，基于学习的方法可以优于速度和性能方面的启发式方法。在本文中，我们考虑了在定向的无环图上找到最佳拓扑顺序的问题，重点是编译器中出现的记忆最小化问题。我们提出了一种基于端到端的机器学习方法，用于使用编码器框架，用于拓扑排序。我们的编码器是一种基于注意力的新图形神经网络体系结构，称为\ emph {topoformer}，它使用DAG的不同拓扑转换来传递消息。由编码器产生的节点嵌入被转换为节点优先级，解码器使用这些嵌入，以生成概率分布对拓扑顺序。我们在称为分层图的合成生成图的数据集上训练我们的模型。我们表明，我们的模型的表现优于或在PAR上，具有多个拓扑排序基线，同时在最多2K节点的合成图上明显更快。我们还在一组现实世界计算图上训练和测试我们的模型，显示了性能的改进。

我们考虑了给出一组节点的图表上的施泰纳树问题，目标是找到一个包含给定集中所有节点的最小重量的树子图，可能包括其他节点。这是一个经典的NP-HARD组合优化问题。近年来，一个名为“学习到新生”的机器学习框架已成功地用于解决各种组合优化问题。在本文中，我们在Steiner树问题上使用此学习框架，并表明即使在这个问题上，学习到本的框架也会在商业ILP求解器所需的一小部分时间内计算近乎最佳的解决方案。我们的结果强调了学习对培训框架解决各种组合优化问题的潜力。

使用机器学习来求解组合优化（CO）问题是具有挑战性的，尤其是当数据未标记时。这项工作为CO问题提供了无监督的学习框架。我们的框架遵循标准的放松加能方法，并采用神经网络来参数放松的解决方案，以便简单的后传播可以端到端训练模型。我们的关键贡献是，观察到，如果放松的目标满足入门凹度，那么低优化损失就可以保证最终积分解决方案的质量。该观察结果显着扩大了受ERDOS概率方法启发的先前框架的适用性。特别是，该观察结果可以指导目标模型的设计，在这些应用程序中未明确给出目标，同时需要在先验中进行建模。我们通过解决合成图优化问题以及两个现实世界应用程序来评估我们的框架，包括电路设计中的资源分配和近似计算。我们的框架在很大程度上优于基于Na \“ {i}的放松，增强学习和Gumbel-Softmax技巧的基线。

This paper surveys the recent attempts, both from the machine learning and operations research communities, at leveraging machine learning to solve combinatorial optimization problems. Given the hard nature of these problems, state-of-the-art algorithms rely on handcrafted heuristics for making decisions that are otherwise too expensive to compute or mathematically not well defined. Thus, machine learning looks like a natural candidate to make such decisions in a more principled and optimized way. We advocate for pushing further the integration of machine learning and combinatorial optimization and detail a methodology to do so. A main point of the paper is seeing generic optimization problems as data points and inquiring what is the relevant distribution of problems to use for learning on a given task.