我们研究了稀疏张量主成分分析的问题：给定张量$ \ pmb y = \ pmb w + \ lambda x ^ {\ otimes p} $ with $ \ pmb w \ in \ otimes ^ p \ mathbb {r} ^ n $拥有iid高斯条目，目标是恢复$ k $ -parse单位矢量$ x \ in \ mathbb {r} ^ n $。该模型捕获稀疏PCA（其Wigner形式）和张量PCA。对于$ k \ leq \ sqrt {n} $的高稀疏制度，我们介绍了一系列平滑地插值在简单的多项式算法和指数时穷举搜索算法之间的算法。对于任何$ 1 \ leq t \ leq k $，我们的算法恢复了信噪比$ \ lambda \ geq \ tilde {\ mathcal {o}}（\ sqrt {t} \ cdot（k / t ）^ {p / 2}）$时间$ \ tilde {\ mathcal {o}}（n ^ {p + t}）$，捕获矩阵设置的最先进的保证（在两者中多项式时间和子指数时间制度）。我们的结果自然地延伸到$ r $ distinct $ k $ -parse信号的案例与不相交的支持，保证与尖峰的数量无关。即使在稀疏PCA的局限性情况下，已知的算法也仅恢复$ \ lambda \ geq \ tilde {\ mathcal {o}}（k \ cdot r）$的稀疏向量，而我们的算法需要$ \ lambda \ geq \ tilde { \ mathcal {o}}（k）$。最后，通过分析低度似然比，我们将这些算法结果补充，具体证据说明信噪比和运行时间之间的权衡。该下限捕获稀疏PCA和张量PCA的已知下限。在这一普通模型中，我们在标准数量$ N $，稀疏$ k $的样本数量之间观察更复杂的三方权衡，以及张力电源$ p $。

我们考虑强大的线性回归模型$ \ boldsymbol {y} = x \ beta^* + \ boldsymbol {\ eta} $，其中一个对手忽略了design $ x \ in \ mathbb {r}^r}^n \ times D } $可以选择$ \ boldsymbol {\ eta} $以损坏所有观测值的（可能消失的）$ \ boldsymbol {y} $以任意方式。最近的工作[DLN+21，DNS21]引入了有效的算法，以持续恢复参数矢量。这些算法至关重要地依赖于设计矩阵非常广泛（如果其列跨度远非任何稀疏矢量，矩阵就可以很好地扩展）。在本文中，我们表明存在一个缺乏良好性的设计矩阵家族，因此从理论上讲，在上述稳健线性回归模型中，参数向量的持续恢复是不可能的。我们进一步研究了随机矩阵的良好表现的平均案例时间复杂性。我们表明，如果观察值的数量在环境维度上是二次的，则可以有效地证明给定的$ n $ by-by-by-by-by-by-d $ d $ d $高斯矩阵是否会很好地扩展。当观察数为$ O（d^2）$时，我们通过显示出相同认证问题的计算硬度的严格证据来补充这一结果。

我们研究了恢复单位 - 总稀疏主组件$ x \ in \ mathbb {r}^n $在随机矩阵中种植的计算成本，以wigner或wishart尖峰模型（观察$ w + \ lambda xx xx^xx^ \ top $带有从高斯正交集合中绘制的$ w $，或分别来自$ \ Mathcal {n}（0，i_n + \ beta xx^\ top）$的$ n $独立样本，分别为$）。先前的工作表明，当信噪比（分别$ \ lambda $或$ \ beta \ sqrt {n/n} $）是一个小常数，而种植向量中的非零入口的分数为$ \ \ \ | x \ | _0 / n = \ rho $，如果$ \ rho \ sillsim 1 / \ sqrt {n} $，可以在多项式时间内恢复$ x $。虽然可以在较弱的条件下以$ \ rho \ ll 1 $恢复指数时间的$ x $，但据信，除非$ \ rho \ rho \ simsim 1/\ sqrt {n} $，否则不可能多项式时间恢复。我们研究了“可能但难”制度中恢复所需的精确时间，$ 1/\ sqrt {n} \ ll \ ll \ rho \ ll 1 $通过探索次指定时间算法的功能，即，在时间$中运行的算法$ \ exp（n^\ delta）$对于某些常数$ \ delta \ in（0,1）$。对于任何$ 1/\ sqrt {n} \ ll \ rho \ ll 1 $，我们给出了一个恢复算法的运行时大约$ \ exp（\ rho^2 n）$，表明了稀疏和runtime之间的平稳折衷。我们的算法家族在两种现有算法之间平稳地插入：多项式时间对角线阈值算法和$ \ exp（\ rho n）$ - 时间详尽的搜索算法。此外，通过分析低度的似然比，我们提供了严格的证据，表明我们算法实现的权衡是最佳的。

高维统计数据的一个基本目标是检测或恢复嘈杂数据中隐藏的种植结构（例如低级别矩阵）。越来越多的工作研究低级多项式作为此类问题的计算模型的限制模型：在各种情况下，数据的低级多项式可以与最知名的多项式时间算法的统计性能相匹配。先前的工作已经研究了低度多项式的力量，以检测隐藏结构的存在。在这项工作中，我们将这些方法扩展到解决估计和恢复问题（而不是检测）。对于大量的“信号加噪声”问题，我们给出了一个用户友好的下限，以获得最佳的均衡误差。据我们所知，这些是建立相关检测问题的恢复问题低度硬度的第一个结果。作为应用，我们对种植的子静脉和种植的密集子图问题的低度最小平方误差进行了严格的特征，在两种情况下都解决了有关恢复的计算复杂性的开放问题（在低度框架中）。

我们研究了在存在$ \ epsilon $ - 对抗异常值的高维稀疏平均值估计的问题。先前的工作为此任务获得了该任务的样本和计算有效算法，用于辅助性Subgaussian分布。在这项工作中，我们开发了第一个有效的算法，用于强大的稀疏平均值估计，而没有对协方差的先验知识。对于$ \ Mathbb r^d $上的分布，带有“认证有限”的$ t $ tum-矩和足够轻的尾巴，我们的算法达到了$ o（\ epsilon^{1-1/t}）$带有样品复杂性$的错误（\ epsilon^{1-1/t}） m =（k \ log（d））^{o（t）}/\ epsilon^{2-2/t} $。对于高斯分布的特殊情况，我们的算法达到了$ \ tilde o（\ epsilon）$的接近最佳错误，带有样品复杂性$ m = o（k^4 \ mathrm {polylog}（d）（d））/\ epsilon^^ 2 $。我们的算法遵循基于方形的总和，对算法方法的证明。我们通过统计查询和低度多项式测试的下限来补充上限，提供了证据，表明我们算法实现的样本时间 - 错误权衡在质量上是最好的。

我们研究了小组测试问题，其目标是根据合并测试的结果，确定一组k感染的人，这些k含有稀有疾病，这些人在经过测试中至少有一个受感染的个体时返回阳性的结果。团体。我们考虑将个人分配给测试的两个不同的简单随机过程：恒定柱设计和伯努利设计。我们的第一组结果涉及基本统计限制。对于恒定柱设计，我们给出了一个新的信息理论下限，这意味着正确识别的感染者的比例在测试数量越过特定阈值时会经历急剧的“全或全或无所不包”的相变。对于Bernoulli设计，我们确定解决相关检测问题所需的确切测试数量（目的是区分小组测试实例和纯噪声），改善Truong，Aldridge和Scarlett的上限和下限（2020）。对于两个小组测试模型，我们还研究了计算有效（多项式时间）推理程序的能力。我们确定了解决检测问题的低度多项式算法所需的精确测试数量。这为在少量稀疏度的检测和恢复问题中都存在固有的计算统计差距提供了证据。值得注意的是，我们的证据与Iliopoulos和Zadik（2021）相反，后者预测了Bernoulli设计中没有计算统计差距。

聚类是无监督学习中的基本原始，它引发了丰富的计算挑战性推理任务。在这项工作中，我们专注于将$ D $ -dimential高斯混合的规范任务与未知（和可能的退化）协方差集成。最近的作品（Ghosh等人。恢复在高斯聚类实例中种植的某些隐藏结构。在许多类似的推理任务上的工作开始，这些较低界限强烈建议存在群集的固有统计到计算间隙，即群集任务是\ yringit {statistically}可能但没有\ texit {多项式 - 时间}算法成功。我们考虑的聚类任务的一个特殊情况相当于在否则随机子空间中找到种植的超立体载体的问题。我们表明，也许令人惊讶的是，这种特定的聚类模型\ extent {没有展示}统计到计算间隙，即使在这种情况下继续应用上述的低度和SOS下限。为此，我们提供了一种基于Lenstra - Lenstra - Lovasz晶格基础减少方法的多项式算法，该方法实现了$ D + 1 $样本的统计上最佳的样本复杂性。该结果扩展了猜想统计到计算间隙的问题的类问题可以通过“脆弱”多项式算法“关闭”，突出显示噪声在统计到计算间隙的发作中的关键而微妙作用。

Suppose we are given an $n$-dimensional order-3 symmetric tensor $T \in (\mathbb{R}^n)^{\otimes 3}$ that is the sum of $r$ random rank-1 terms. The problem of recovering the rank-1 components is possible in principle when $r \lesssim n^2$ but polynomial-time algorithms are only known in the regime $r \ll n^{3/2}$. Similar "statistical-computational gaps" occur in many high-dimensional inference tasks, and in recent years there has been a flurry of work on explaining the apparent computational hardness in these problems by proving lower bounds against restricted (yet powerful) models of computation such as statistical queries (SQ), sum-of-squares (SoS), and low-degree polynomials (LDP). However, no such prior work exists for tensor decomposition, largely because its hardness does not appear to be explained by a "planted versus null" testing problem. We consider a model for random order-3 tensor decomposition where one component is slightly larger in norm than the rest (to break symmetry), and the components are drawn uniformly from the hypercube. We resolve the computational complexity in the LDP model: $O(\log n)$-degree polynomial functions of the tensor entries can accurately estimate the largest component when $r \ll n^{3/2}$ but fail to do so when $r \gg n^{3/2}$. This provides rigorous evidence suggesting that the best known algorithms for tensor decomposition cannot be improved, at least by known approaches. A natural extension of the result holds for tensors of any fixed order $k \ge 3$, in which case the LDP threshold is $r \sim n^{k/2}$.

我们开发机器以设计有效的可计算和一致的估计，随着观察人数而达到零的估计误差，因为观察的次数增长，当面对可能损坏的答复，除了样本的所有品，除了每种量之外的ALL。作为具体示例，我们调查了两个问题：稀疏回归和主成分分析（PCA）。对于稀疏回归，我们实现了最佳样本大小的一致性$ n \ gtrsim（k \ log d）/ \ alpha ^ $和最佳错误率$ o（\ sqrt {（k \ log d）/（n \ cdot \ alpha ^ 2））$ N $是观察人数，$ D $是尺寸的数量，$ k $是参数矢量的稀疏性，允许在数量的数量中为逆多项式进行逆多项式样品。在此工作之前，已知估计是一致的，当Inliers $ \ Alpha $ IS $ O（1 / \ log \ log n）$，即使是（非球面）高斯设计矩阵时也是一致的。结果在弱设计假设下持有，并且在这种一般噪声存在下仅被D'Orsi等人最近以密集的设置（即一般线性回归）显示。 [DNS21]。在PCA的上下文中，我们在参数矩阵上的广泛尖端假设下获得最佳错误保证（通常用于矩阵完成）。以前的作品可以仅在假设下获得非琐碎的保证，即与最基于的测量噪声以$ n $（例如，具有方差1 / n ^ 2 $的高斯高斯）。为了设计我们的估算，我们用非平滑的普通方（如$ \ ell_1 $ norm或核规范）装备Huber丢失，并以一种新的方法来分析损失的新方法[DNS21]的方法[DNS21]。功能。我们的机器似乎很容易适用于各种估计问题。

我们开发了一种高效的随机块模型中的弱恢复算法。该算法与随机块模型的Vanilla版本的最佳已知算法的统计保证匹配。从这个意义上讲，我们的结果表明，随机块模型没有稳健性。我们的工作受到最近的银行，Mohanty和Raghavendra（SODA 2021）的工作，为相应的区别问题提供了高效的算法。我们的算法及其分析显着脱离了以前的恢复。关键挑战是我们算法的特殊优化景观：种植的分区可能远非最佳意义，即完全不相关的解决方案可以实现相同的客观值。这种现象与PCA的BBP相转变的推出效应有关。据我们所知，我们的算法是第一个在非渐近设置中存在这种推出效果的鲁棒恢复。我们的算法是基于凸优化的框架的实例化（与平方和不同的不同），这对于其他鲁棒矩阵估计问题可能是有用的。我们的分析的副产物是一种通用技术，其提高了任意强大的弱恢复算法的成功（输入的随机性）从恒定（或缓慢消失）概率以指数高概率。

我们研究了用于线性回归的主动采样算法，该算法仅旨在查询目标向量$ b \ in \ mathbb {r} ^ n $的少量条目，并将近最低限度输出到$ \ min_ {x \ In \ mathbb {r} ^ d} \ | ax-b \ | $，其中$ a \ in \ mathbb {r} ^ {n \ times d} $是一个设计矩阵和$ \ | \ cdot \ | $是一些损失函数。对于$ \ ell_p $ norm回归的任何$ 0 <p <\ idty $，我们提供了一种基于Lewis权重采样的算法，其使用只需$ \ tilde {o}输出$（1+ \ epsilon）$近似解决方案（d ^ {\ max（1，{p / 2}）} / \ mathrm {poly}（\ epsilon））$查询到$ b $。我们表明，这一依赖于$ D $是最佳的，直到对数因素。我们的结果解决了陈和Derezi的最近开放问题，陈和Derezi \'{n} Ski，他们为$ \ ell_1 $ norm提供了附近的最佳界限，以及$ p \中的$ \ ell_p $回归的次优界限（1,2） $。我们还提供了$ O的第一个总灵敏度上限（D ^ {\ max \ {1，p / 2 \} \ log ^ 2 n）$以满足最多的$ p $多项式增长。这改善了Tukan，Maalouf和Feldman的最新结果。通过将此与我们的技术组合起来的$ \ ell_p $回归结果，我们获得了一个使$ \ tilde o的活动回归算法（d ^ {1+ \ max \ {1，p / 2 \}} / \ mathrm {poly}。 （\ epsilon））$疑问，回答陈和德里兹的另一个打开问题{n}滑雪。对于Huber损失的重要特殊情况，我们进一步改善了我们对$ \ tilde o的主动样本复杂性的绑定（d ^ {（1+ \ sqrt2）/ 2} / \ epsilon ^ c）$和非活跃$ \ tilde o的样本复杂性（d ^ {4-2 \ sqrt 2} / \ epsilon ^ c）$，由于克拉克森和伍德拉夫而改善了Huber回归的以前的D ^ 4 $。我们的敏感性界限具有进一步的影响，使用灵敏度采样改善了各种先前的结果，包括orlicz规范子空间嵌入和鲁棒子空间近似。最后，我们的主动采样结果为每种$ \ ell_p $ norm提供的第一个Sublinear时间算法。

我们调查与高斯的混合的数据分享共同但未知，潜在虐待协方差矩阵的数据。我们首先考虑具有两个等级大小的组件的高斯混合，并根据最大似然估计导出最大切割整数程序。当样品的数量在维度下线性增长时，我们证明其解决方案实现了最佳的错误分类率，直到对数因子。但是，解决最大切割问题似乎是在计算上棘手的。为了克服这一点，我们开发了一种高效的频谱算法，该算法达到最佳速率，但需要一种二次样本量。虽然这种样本复杂性比最大切割问题更差，但我们猜测没有多项式方法可以更好地执行。此外，我们收集了支持统计计算差距存在的数值和理论证据。最后，我们将MAX-CUT程序概括为$ k $ -means程序，该程序处理多组分混合物的可能性不平等。它享有相似的最优性保证，用于满足运输成本不平等的分布式的混合物，包括高斯和强烈的对数的分布。

We study the relationship between adversarial robustness and differential privacy in high-dimensional algorithmic statistics. We give the first black-box reduction from privacy to robustness which can produce private estimators with optimal tradeoffs among sample complexity, accuracy, and privacy for a wide range of fundamental high-dimensional parameter estimation problems, including mean and covariance estimation. We show that this reduction can be implemented in polynomial time in some important special cases. In particular, using nearly-optimal polynomial-time robust estimators for the mean and covariance of high-dimensional Gaussians which are based on the Sum-of-Squares method, we design the first polynomial-time private estimators for these problems with nearly-optimal samples-accuracy-privacy tradeoffs. Our algorithms are also robust to a constant fraction of adversarially-corrupted samples.

我们提出了改进的算法，并为身份测试$ n $维分布的问题提供了统计和计算下限。在身份测试问题中，我们将作为输入作为显式分发$ \ mu $，$ \ varepsilon> 0 $，并访问对隐藏分布$ \ pi $的采样甲骨文。目标是区分两个分布$ \ mu $和$ \ pi $是相同的还是至少$ \ varepsilon $ -far分开。当仅从隐藏分布$ \ pi $中访问完整样本时，众所周知，可能需要许多样本，因此以前的作品已经研究了身份测试，并额外访问了各种有条件采样牙齿。我们在这里考虑一个明显弱的条件采样甲骨文，称为坐标Oracle，并在此新模型中提供了身份测试问题的相当完整的计算和统计表征。我们证明，如果一个称为熵的分析属性为可见分布$ \ mu $保留，那么对于任何使用$ \ tilde {o}（n/\ tilde {o}），有一个有效的身份测试算法Varepsilon）$查询坐标Oracle。熵的近似张力是一种经典的工具，用于证明马尔可夫链的最佳混合时间边界用于高维分布，并且最近通过光谱独立性为许多分布族建立了最佳的混合时间。我们将算法结果与匹配的$ \ omega（n/\ varepsilon）$统计下键进行匹配的算法结果补充，以供坐标Oracle下的查询数量。我们还证明了一个计算相变：对于$ \ {+1，-1，-1 \}^n $以上的稀疏抗抗铁磁性模型，在熵失败的近似张力失败的状态下，除非RP = np，否则没有有效的身份测试算法。

我们研究了趋势过滤的多元版本，称为Kronecker趋势过滤或KTF，因为设计点以$ D $维度形成格子。 KTF是单变量趋势过滤的自然延伸（Steidl等，2006; Kim等人，2009; Tibshirani，2014），并通过最大限度地减少惩罚最小二乘问题，其罚款术语总和绝对（高阶）沿每个坐标方向估计参数的差异。相应的惩罚运算符可以编写单次趋势过滤惩罚运营商的Kronecker产品，因此名称Kronecker趋势过滤。等效，可以在$ \ ell_1 $ -penalized基础回归问题上查看KTF，其中基本功能是下降阶段函数的张量产品，是一个分段多项式（离散样条）基础，基于单变量趋势过滤。本文是Sadhanala等人的统一和延伸结果。 （2016,2017）。我们开发了一套完整的理论结果，描述了$ k \ grone 0 $和$ d \ geq 1 $的$ k ^ {\ mathrm {th}} $ over kronecker趋势过滤的行为。这揭示了许多有趣的现象，包括KTF在估计异构平滑的功能时KTF的优势，并且在$ d = 2（k + 1）$的相位过渡，一个边界过去（在高维对 - 光滑侧）线性泡沫不能完全保持一致。我们还利用Tibshirani（2020）的离散花键来利用最近的结果，特别是离散的花键插值结果，使我们能够将KTF估计扩展到恒定时间内的任何偏离晶格位置（与晶格数量的大小无关）。

随机奇异值分解（RSVD）是用于计算大型数据矩阵截断的SVD的一类计算算法。给定A $ n \ times n $对称矩阵$ \ mathbf {m} $，原型RSVD算法输出通过计算$ \ mathbf {m mathbf {m} $的$ k $引导singular vectors的近似m}^{g} \ mathbf {g} $;这里$ g \ geq 1 $是一个整数，$ \ mathbf {g} \ in \ mathbb {r}^{n \ times k} $是一个随机的高斯素描矩阵。在本文中，我们研究了一般的“信号加上噪声”框架下的RSVD的统计特性，即，观察到的矩阵$ \ hat {\ mathbf {m}} $被认为是某种真实但未知的加法扰动信号矩阵$ \ mathbf {m} $。我们首先得出$ \ ell_2 $（频谱规范）和$ \ ell_ {2 \ to \ infty} $（最大行行列$ \ ell_2 $ norm）$ \ hat {\ hat {\ Mathbf {M}} $和信号矩阵$ \ Mathbf {M} $的真实单数向量。这些上限取决于信噪比（SNR）和功率迭代$ g $的数量。观察到一个相变现象，其中较小的SNR需要较大的$ g $值以保证$ \ ell_2 $和$ \ ell_ {2 \ to \ fo \ infty} $ distances的收敛。我们还表明，每当噪声矩阵满足一定的痕量生长条件时，这些相变发生的$ g $的阈值都会很清晰。最后，我们得出了近似奇异向量的行波和近似矩阵的进入波动的正常近似。我们通过将RSVD的几乎最佳性能保证在应用于三个统计推断问题的情况下，即社区检测，矩阵完成和主要的组件分析，并使用缺失的数据来说明我们的理论结果。

我们给出了\ emph {list-codobable协方差估计}的第一个多项式时间算法。对于任何$ \ alpha> 0 $，我们的算法获取输入样本$ y \ subseteq \ subseteq \ mathbb {r}^d $ size $ n \ geq d^{\ mathsf {poly}（1/\ alpha）} $获得通过对抗损坏I.I.D的$（1- \ alpha）n $点。从高斯分布中的样本$ x $ size $ n $，其未知平均值$ \ mu _*$和协方差$ \ sigma _*$。在$ n^{\ mathsf {poly}（1/\ alpha）} $ time中，它输出$ k = k（\ alpha）=（1/\ alpha）^{\ mathsf {poly}的常数大小列表（1/\ alpha）} $候选参数，具有高概率，包含$（\ hat {\ mu}，\ hat {\ sigma}）$，使得总变化距离$ tv（\ Mathcal {n}（n}）（n}（n}）（ \ mu _*，\ sigma _*），\ Mathcal {n}（\ hat {\ mu}，\ hat {\ sigma}））<1-o _ {\ alpha}（1）$。这是距离的统计上最强的概念，意味着具有独立尺寸误差的参数的乘法光谱和相对Frobenius距离近似。我们的算法更普遍地适用于$（1- \ alpha）$ - 任何具有低度平方总和证书的分布$ d $的损坏，这是两个自然分析属性的：1）一维边际和抗浓度2）2度多项式的超收缩率。在我们工作之前，估计可定性设置的协方差的唯一已知结果是针对Karmarkar，Klivans和Kothari（2019），Raghavendra和Yau（2019和2019和2019和2019和2019年）的特殊情况。 2020年）和巴克西（Bakshi）和科塔里（Kothari）（2020年）。这些结果需要超级物理时间，以在基础维度中获得任何子构误差。我们的结果意味着第一个多项式\ emph {extcect}算法，用于列表可解码的线性回归和子空间恢复，尤其允许获得$ 2^{ - \ Mathsf { - \ Mathsf {poly}（d）} $多项式时间错误。我们的结果还意味着改进了用于聚类非球体混合物的算法。

We establish a simple connection between robust and differentially-private algorithms: private mechanisms which perform well with very high probability are automatically robust in the sense that they retain accuracy even if a constant fraction of the samples they receive are adversarially corrupted. Since optimal mechanisms typically achieve these high success probabilities, our results imply that optimal private mechanisms for many basic statistics problems are robust. We investigate the consequences of this observation for both algorithms and computational complexity across different statistical problems. Assuming the Brennan-Bresler secret-leakage planted clique conjecture, we demonstrate a fundamental tradeoff between computational efficiency, privacy leakage, and success probability for sparse mean estimation. Private algorithms which match this tradeoff are not yet known -- we achieve that (up to polylogarithmic factors) in a polynomially-large range of parameters via the Sum-of-Squares method. To establish an information-computation gap for private sparse mean estimation, we also design new (exponential-time) mechanisms using fewer samples than efficient algorithms must use. Finally, we give evidence for privacy-induced information-computation gaps for several other statistics and learning problems, including PAC learning parity functions and estimation of the mean of a multivariate Gaussian.

我们认为$ k \ geq 2 $高斯组件的混合物具有良好分离的未知方式和未知的手段和未知的协方差（相同的协方差，即独特的组件在大多数$ k { - c} $的统计重叠中具有统计重叠足够的常数$ c \ ge 1 $。以前的统计查询下限[DKS17]给出了甚至区分此类混合物的正式证据，这些混合物可能是难以指示的（以美元为单位）。我们表明，如果允许混合重量呈指数小，则只能出现这种硬度，并且对于多项式下界混合权重的非琐碎的算​​法保证，可以在准多项式时间内进行。具体地，我们在最小混合重量中基于具有运行时间准多项式的正方形方法的算法。该算法可以可靠地区分$ K \ GE 2 $良好分离的高斯组件和（纯）高斯分布的混合物。作为证书，该算法计算输入样品的两分，其分离一对混合物组分，即，两侧的两侧含有至少一个组分的大多数样本点。对于Colinear意味着的特殊情况，我们的算法输出了输入样本的$ K $群集，其与混合物的组件大致一致。对我们的结果进行了重大挑战是，与最先前的高斯混合物的最先前结果不同，它们似乎对富集的抗体异常值不同。原因是，即使对于具有多项式下有界混合重量的混合物，这种异常值也可以模拟指数小的混合重量。关键技术成分是在对应于最小混合重量中的两种仔细选择的顺序对数的瞬间的多项式的矩分开的分离性高斯部件的分离方向的表征。

我们在高斯分布下使用Massart噪声与Massart噪声进行PAC学习半个空间的问题。在Massart模型中，允许对手将每个点$ \ mathbf {x} $的标签与未知概率$ \ eta（\ mathbf {x}）\ leq \ eta $，用于某些参数$ \ eta \ [0,1 / 2] $。目标是找到一个假设$ \ mathrm {opt} + \ epsilon $的错误分类错误，其中$ \ mathrm {opt} $是目标半空间的错误。此前已经在两个假设下研究了这个问题：（i）目标半空间是同质的（即，分离超平面通过原点），并且（ii）参数$ \ eta $严格小于$ 1/2 $。在此工作之前，当除去这些假设中的任何一个时，不知道非增长的界限。我们研究了一般问题并建立以下内容：对于$ \ eta <1/2 $，我们为一般半个空间提供了一个学习算法，采用样本和计算复杂度$ d ^ {o_ {\ eta}（\ log（1 / \ gamma） ）））}} \ mathrm {poly}（1 / \ epsilon）$，其中$ \ gamma = \ max \ {\ epsilon，\ min \ {\ mathbf {pr} [f（\ mathbf {x}）= 1]， \ mathbf {pr} [f（\ mathbf {x}）= -1] \} \} $是目标半空间$ f $的偏差。现有的高效算法只能处理$ \ gamma = 1/2 $的特殊情况。有趣的是，我们建立了$ d ^ {\ oomega（\ log（\ log（\ log（\ log））}}的质量匹配的下限，而是任何统计查询（SQ）算法的复杂性。对于$ \ eta = 1/2 $，我们为一般半空间提供了一个学习算法，具有样本和计算复杂度$ o_ \ epsilon（1）d ^ {o（\ log（1 / epsilon））} $。即使对于均匀半空间的子类，这个结果也是新的;均匀Massart半个空间的现有算法为$ \ eta = 1/2 $提供可持续的保证。我们与D ^ {\ omega（\ log（\ log（\ log（\ log（\ epsilon））} $的近似匹配的sq下限补充了我们的上限，这甚至可以为同类半空间的特殊情况而保持。