图形上的分层聚类是数据挖掘和机器学习中的一项基本任务，并在系统发育学，社交网络分析和信息检索等领域中进行了应用。具体而言，我们考虑了由于Dasgupta引起的层次聚类的最近普及的目标函数。以前（大约）最小化此目标函数的算法需要线性时间/空间复杂性。在许多应用程序中，底层图的大小可能很大，即使使用线性时间/空间算法，也可以在计算上具有挑战性。结果，人们对设计只能使用sublinear资源执行全局计算的算法有浓厚的兴趣。这项工作的重点是在三个经过良好的sublinear计算模型下研究大量图的层次聚类，分别侧重于时空，时间和通信，作为要优化的主要资源：（1）（动态）流模型。边缘作为流，（2）查询模型表示，其中使用邻居和度查询查询图形，（3）MPC模型，其中图边缘通过通信通道连接的几台机器进行了分区。我们在上面的所有三个模型中设计用于层次聚类的sublinear算法。我们算法结果的核心是图表中的剪切方面的视图，这使我们能够使用宽松的剪刀示意图进行分层聚类，同时仅引入目标函数中的较小失真。然后，我们的主要算法贡献是如何在查询模型和MPC模型中有效地构建所需形式的切割稀疏器。我们通过建立几乎匹配的下限来补充我们的算法结果，该界限排除了在每个模型中设计更好的算法的可能性。

我们提出了改进的算法，并为身份测试$ n $维分布的问题提供了统计和计算下限。在身份测试问题中，我们将作为输入作为显式分发$ \ mu $，$ \ varepsilon> 0 $，并访问对隐藏分布$ \ pi $的采样甲骨文。目标是区分两个分布$ \ mu $和$ \ pi $是相同的还是至少$ \ varepsilon $ -far分开。当仅从隐藏分布$ \ pi $中访问完整样本时，众所周知，可能需要许多样本，因此以前的作品已经研究了身份测试，并额外访问了各种有条件采样牙齿。我们在这里考虑一个明显弱的条件采样甲骨文，称为坐标Oracle，并在此新模型中提供了身份测试问题的相当完整的计算和统计表征。我们证明，如果一个称为熵的分析属性为可见分布$ \ mu $保留，那么对于任何使用$ \ tilde {o}（n/\ tilde {o}），有一个有效的身份测试算法Varepsilon）$查询坐标Oracle。熵的近似张力是一种经典的工具，用于证明马尔可夫链的最佳混合时间边界用于高维分布，并且最近通过光谱独立性为许多分布族建立了最佳的混合时间。我们将算法结果与匹配的$ \ omega（n/\ varepsilon）$统计下键进行匹配的算法结果补充，以供坐标Oracle下的查询数量。我们还证明了一个计算相变：对于$ \ {+1，-1，-1 \}^n $以上的稀疏抗抗铁磁性模型，在熵失败的近似张力失败的状态下，除非RP = np，否则没有有效的身份测试算法。

Kernel matrices, as well as weighted graphs represented by them, are ubiquitous objects in machine learning, statistics and other related fields. The main drawback of using kernel methods (learning and inference using kernel matrices) is efficiency -- given $n$ input points, most kernel-based algorithms need to materialize the full $n \times n$ kernel matrix before performing any subsequent computation, thus incurring $\Omega(n^2)$ runtime. Breaking this quadratic barrier for various problems has therefore, been a subject of extensive research efforts. We break the quadratic barrier and obtain $\textit{subquadratic}$ time algorithms for several fundamental linear-algebraic and graph processing primitives, including approximating the top eigenvalue and eigenvector, spectral sparsification, solving linear systems, local clustering, low-rank approximation, arboricity estimation and counting weighted triangles. We build on the recent Kernel Density Estimation framework, which (after preprocessing in time subquadratic in $n$) can return estimates of row/column sums of the kernel matrix. In particular, we develop efficient reductions from $\textit{weighted vertex}$ and $\textit{weighted edge sampling}$ on kernel graphs, $\textit{simulating random walks}$ on kernel graphs, and $\textit{importance sampling}$ on matrices to Kernel Density Estimation and show that we can generate samples from these distributions in $\textit{sublinear}$ (in the support of the distribution) time. Our reductions are the central ingredient in each of our applications and we believe they may be of independent interest. We empirically demonstrate the efficacy of our algorithms on low-rank approximation (LRA) and spectral sparsification, where we observe a $\textbf{9x}$ decrease in the number of kernel evaluations over baselines for LRA and a $\textbf{41x}$ reduction in the graph size for spectral sparsification.

本文展示了如何适应$ k $ -MEANS问题的几种简单和经典的基于采样的算法，以使用离群值设置。最近，Bhaskara等人。 （Neurips 2019）展示了如何将古典$ K $ -MEANS ++算法适应与异常值的设置。但是，他们的算法需要输出$ o（\ log（k）\ cdot z）$ outiers，其中$ z $是true Outliers的数量，以匹配$ o（\ log k）$ - 近似值的$ k的近似保证$ -Means ++。在本文中，我们以他们的想法为基础，并展示了如何适应几个顺序和分布式的$ k $ - 均值算法，但使用离群值来设置，但具有更强的理论保证：我们的算法输出$（1+ \ VAREPSILON）z $ OUTLIERS Z $ OUTLIERS在实现$ o（1 / \ varepsilon）$ - 近似目标函数的同时。在顺序世界中，我们通过改编Lattanzi和Sohler的最新算法来实现这一目标（ICML 2019）。在分布式设置中，我们适应了Guha等人的简单算法。 （IEEE Trans。知道和数据工程2003）以及Bahmani等人的流行$ K $ -Means $ \ | $。 （PVLDB 2012）。我们技术的理论应用是一种具有运行时间$ \ tilde {o}（nk^2/z）$的算法，假设$ k \ ll z \ ll n $。这与Omacle模型中此问题的$ \ Omega（NK^2/z）$的匹配下限相互补。

我们研究动态算法，以便在$ N $插入和删除流中最大化单调子模块功能的问题。我们显示任何维护$（0.5+ epsilon）$ - 在基数约束下的近似解决方案的算法，对于任何常数$ \ epsilon> 0 $，必须具有$ \ mathit {polynomial} $的摊销查询复杂性$ n $。此外，需要线性摊销查询复杂性，以维持0.584美元 - 批量的解决方案。这与近期[LMNF + 20，MON20]的最近动态算法相比，达到$（0.5- \ epsilon）$ - 近似值，与$ \ mathsf {poly} \ log（n）$摊销查询复杂性。在正面，当流是仅插入的时候，我们在基数约束下的问题和近似的Matroid约束下提供有效的算法，近似保证$ 1-1 / e-\ epsilon $和摊销查询复杂性$ \ smash {o （\ log（k / \ epsilon）/ \ epsilon ^ 2）} $和$ \ smash {k ^ {\ tilde {o}（1 / \ epsilon ^ 2）} \ log n} $，其中$ k $表示基数参数或Matroid的等级。

分层聚类研究将数据集的递归分区设置为连续较小尺寸的簇，并且是数据分析中的基本问题。在这项工作中，我们研究了Dasgupta引入的分层聚类的成本函数，并呈现了两个多项式时间近似算法：我们的第一个结果是高度电导率图的$ O（1）$ - 近似算法。我们简单的建筑绕过了在文献中已知的稀疏切割的复杂递归常规。我们的第二个和主要结果是一个US（1）$ - 用于展示群集明确结构的宽族图形的近似算法。该结果推出了以前的最先进的，该现有技术仅适用于从随机模型产生的图表。通过对合成和现实世界数据集的实证分析，我们所呈现的算法的实证分析表明了我们的工作的重要性，以其具有明确定义的集群结构的先前所提出的图表算法。

我们考虑从数据学习树结构ising模型的问题，使得使用模型计算的后续预测是准确的。具体而言，我们的目标是学习一个模型，使得小组变量$ S $的后海报$ p（x_i | x_s）$。自推出超过50年以来，有效计算最大似然树的Chow-Liu算法一直是学习树结构图形模型的基准算法。 [BK19]示出了关于以预测的局部总变化损耗的CHOW-LIU算法的样本复杂性的界限。虽然这些结果表明，即使在恢复真正的基础图中也可以学习有用的模型是不可能的，它们的绑定取决于相互作用的最大强度，因此不会达到信息理论的最佳选择。在本文中，我们介绍了一种新的算法，仔细结合了Chow-Liu算法的元素，以便在预测的损失下有效地和最佳地学习树ising模型。我们的算法对模型拼写和对抗损坏具有鲁棒性。相比之下，我们表明庆祝的Chow-Liu算法可以任意次优。

我们开发了一种高效的随机块模型中的弱恢复算法。该算法与随机块模型的Vanilla版本的最佳已知算法的统计保证匹配。从这个意义上讲，我们的结果表明，随机块模型没有稳健性。我们的工作受到最近的银行，Mohanty和Raghavendra（SODA 2021）的工作，为相应的区别问题提供了高效的算法。我们的算法及其分析显着脱离了以前的恢复。关键挑战是我们算法的特殊优化景观：种植的分区可能远非最佳意义，即完全不相关的解决方案可以实现相同的客观值。这种现象与PCA的BBP相转变的推出效应有关。据我们所知，我们的算法是第一个在非渐近设置中存在这种推出效果的鲁棒恢复。我们的算法是基于凸优化的框架的实例化（与平方和不同的不同），这对于其他鲁棒矩阵估计问题可能是有用的。我们的分析的副产物是一种通用技术，其提高了任意强大的弱恢复算法的成功（输入的随机性）从恒定（或缓慢消失）概率以指数高概率。

我们根据计算一个扎根于每个顶点的某个加权树的家族而构成的相似性得分提出了一种有效的图形匹配算法。对于两个erd \ h {o} s-r \'enyi图$ \ mathcal {g}（n，q）$，其边缘通过潜在顶点通信相关联，我们表明该算法正确地匹配了所有范围的范围，除了所有的vertices分数外，有了很高的概率，前提是$ nq \ to \ infty $，而边缘相关系数$ \ rho $满足$ \ rho^2> \ alpha \ ailpha \大约0.338 $，其中$ \ alpha $是Otter的树木计数常数。此外，在理论上是必需的额外条件下，可以精确地匹配。这是第一个以显式常数相关性成功的多项式图匹配算法，并适用于稀疏和密集图。相比之下，以前的方法要么需要$ \ rho = 1-o（1）$，要么仅限于稀疏图。该算法的症结是一个经过精心策划的植根树的家族，称为吊灯，它可以有效地从同一树的计数中提取图形相关性，同时抑制不同树木之间的不良相关性。

本文讨论了ERD \ H {O} S-R \'enyi图的图形匹配或网络对齐问题，可以将其视为图同构问题的嘈杂平均案例版本。令$ g $和$ g'$ be $ g（n，p）$ erd \ h {o} s--r \'enyi略微图形，并用其邻接矩阵识别。假设$ g $和$ g'$是相关的，因此$ \ mathbb {e} [g_ {ij} g'_ {ij}] = p（1- \ alpha）$。对于置换$ \ pi $，代表$ g $和$ g'$之间的潜在匹配，用$ g^\ pi $表示从$ \ pi $的$ g $的顶点获得的图表。观察$ g^\ pi $和$ g'$，我们的目标是恢复匹配的$ \ pi $。在这项工作中，我们证明，在（0,1] $中，每$ \ varepsilon \ in（0,1] $，都有$ n_0> 0 $，具体取决于$ \ varepsilon $和绝对常数$ \ alpha_0，r> 0 $，带有以下属性。令$ n \ ge n_0 $，$（1+ \ varepsilon）\ log n \ le np \ le n^{\ frac {1} {r \ log \ log \ log n}} $ （\ alpha_0，\ varepsilon/4）$。有一个多项式时算法$ f $，因此$ \ m athbb {p} \ {f（g^\ pi，g'）= \ pi \} = 1-o （1）$。这是第一种多项式时算法，它恢复了相关的ERD \ H {O} S-r \'enyi图与具有恒定相关性的相关性图与高概率相关性的确切匹配。该算法是基于比较的比较与图形顶点关联的分区树。

随机块模型（SBM）是一个随机图模型，其连接不同的顶点组不同。它被广泛用作研究聚类和社区检测的规范模型，并提供了肥沃的基础来研究组合统计和更普遍的数据科学中出现的信息理论和计算权衡。该专着调查了最近在SBM中建立社区检测的基本限制的最新发展，无论是在信息理论和计算方案方面，以及各种恢复要求，例如精确，部分和弱恢复。讨论的主要结果是在Chernoff-Hellinger阈值中进行精确恢复的相转换，Kesten-Stigum阈值弱恢复的相变，最佳的SNR - 单位信息折衷的部分恢复以及信息理论和信息理论之间的差距计算阈值。该专着给出了在寻求限制时开发的主要算法的原则推导，特别是通过绘制绘制，半定义编程，（线性化）信念传播，经典/非背带频谱和图形供电。还讨论了其他块模型的扩展，例如几何模型和一些开放问题。

我们研究了通过边缘检测查询学习超图的问题。在此问题中，学习者查询隐藏超图的顶点的子集，并观察这些子集是否包含边缘。通常，学习具有最大尺寸$ d $的$ m $边缘的超图需要$ \ omega（（2m/d）^{d/2}）$ queries。在本文中，我们旨在确定可以学习的超图族的家庭，而不会遭受查询复杂性，该查询复杂性在边缘的大小上呈指数增长。我们表明，使用Poly $（n）$ Queries可以学习高度匹配和低度近均匀的超图。对于学习超匹配（最大程度的超图$ 1 $），我们给出$ O（\ log^3 n）$ - 圆形算法，使用$ o（n \ log^5 n）$查询。我们通过表明没有算法的poly $（n）$查询来补充这种上限，这些算法在$ o（\ log \ log n）$自适应回合中学习超匹配。对于具有最大度$ \ delta $和边缘大小比率$ \ rho $的超级图形，我们给出了一种非自适应算法，并使用$ o（（2n）^{\ rho \ delta+1} \ log^2 n）$ queries。据我们所知，这些是使用Poly $（n，m）$查询复杂性的第一批算法，用于学习具有超恒定尺寸的超稳定数量边缘的非平凡家族。

我们研究了用于线性回归的主动采样算法，该算法仅旨在查询目标向量$ b \ in \ mathbb {r} ^ n $的少量条目，并将近最低限度输出到$ \ min_ {x \ In \ mathbb {r} ^ d} \ | ax-b \ | $，其中$ a \ in \ mathbb {r} ^ {n \ times d} $是一个设计矩阵和$ \ | \ cdot \ | $是一些损失函数。对于$ \ ell_p $ norm回归的任何$ 0 <p <\ idty $，我们提供了一种基于Lewis权重采样的算法，其使用只需$ \ tilde {o}输出$（1+ \ epsilon）$近似解决方案（d ^ {\ max（1，{p / 2}）} / \ mathrm {poly}（\ epsilon））$查询到$ b $。我们表明，这一依赖于$ D $是最佳的，直到对数因素。我们的结果解决了陈和Derezi的最近开放问题，陈和Derezi \'{n} Ski，他们为$ \ ell_1 $ norm提供了附近的最佳界限，以及$ p \中的$ \ ell_p $回归的次优界限（1,2） $。我们还提供了$ O的第一个总灵敏度上限（D ^ {\ max \ {1，p / 2 \} \ log ^ 2 n）$以满足最多的$ p $多项式增长。这改善了Tukan，Maalouf和Feldman的最新结果。通过将此与我们的技术组合起来的$ \ ell_p $回归结果，我们获得了一个使$ \ tilde o的活动回归算法（d ^ {1+ \ max \ {1，p / 2 \}} / \ mathrm {poly}。 （\ epsilon））$疑问，回答陈和德里兹的另一个打开问题{n}滑雪。对于Huber损失的重要特殊情况，我们进一步改善了我们对$ \ tilde o的主动样本复杂性的绑定（d ^ {（1+ \ sqrt2）/ 2} / \ epsilon ^ c）$和非活跃$ \ tilde o的样本复杂性（d ^ {4-2 \ sqrt 2} / \ epsilon ^ c）$，由于克拉克森和伍德拉夫而改善了Huber回归的以前的D ^ 4 $。我们的敏感性界限具有进一步的影响，使用灵敏度采样改善了各种先前的结果，包括orlicz规范子空间嵌入和鲁棒子空间近似。最后，我们的主动采样结果为每种$ \ ell_p $ norm提供的第一个Sublinear时间算法。

Mazumdar和Saha \ Cite {MS17A}的开创性论文引入了有关聚类的广泛工作，并带有嘈杂的查询。然而，尽管在问题上取得了重大进展，但所提出的方法至关重要地取决于了解基础全随随随之而来的甲骨文错误的确切概率。在这项工作中，我们开发了可靠的学习方法，这些方法可以忍受一般的半随机噪声，从而在定性上获得与全随机模型中最佳方法相同的保证。更具体地说，给定一组$ n $点带有未知的基础分区，我们可以查询点$ u，v $检查它们是否在同一群集中，但是有了概率$ p $，答案可能可以受到对抗的选择。我们在理论上显示信息$ o \ left（\ frac {nk \ log n} {（1-2p）^2} \ right）$查询足以学习任何足够大尺寸的群集。我们的主要结果是一种计算高效算法，可以用$ o \ left（\ frac {nk \ log n} {（1-2p）^2} \ right） + \ text {poly} \ left（\ log（\ log） n，k，\ frac {1} {1-2p} \ right）$查询，与完全随机模型中最知名算法的保证相匹配。作为我们方法的推论，我们为全随机模型开发了第一个无参数算法，并通过\ cite {ms17a}回答一个空的问题。

K-MEDIAN和K-MEACE是聚类算法的两个最受欢迎的目标。尽管有密集的努力，但对这些目标的近似性很好地了解，特别是在$ \ ell_p $ -metrics中，仍然是一个重大的开放问题。在本文中，我们在$ \ ell_p $ -metrics中显着提高了文献中已知的近似因素的硬度。我们介绍了一个名为Johnson覆盖假说（JCH）的新假设，这大致断言设定系统上的良好的Max K-Coverage问题难以近似于1-1 / e，即使是成员图形设置系统是Johnson图的子图。然后，我们展示了Cohen-Addad和Karthik引入的嵌入技术的概括（Focs'19），JCH意味着K-MEDIAN和K-MERION在$ \ ell_p $ -metrics中的近似结果的近似值的硬度为近距离对于一般指标获得的人。特别地，假设JCH我们表明很难近似K-Meator目标：$ \ Bullet $离散情况：$ \ ell_1 $ 3.94 - $ \ ell_2中的1.73因素为1.73倍$$ - 这分别在UGC下获得了1.56和1.17的先前因子。 $ \ bullet $持续案例：$ \ ell_1 $ 2210 - $ \ ell_2 $的$ \ ell_1 $ 210。$ \ ell_2 $-metric;这在UGC下获得的$ \ ell_2 $的$ \ ell_2 $的先前因子提高了1.07。对于K-Median目标，我们还获得了类似的改进。此外，我们使用Dinure等人的工作证明了JCH的弱版本。 （Sicomp'05）在超图顶点封面上，恢复Cohen-Addad和Karthik（Focs'19 Focs'19）上面的所有结果（近）相同的不可识别因素，但现在在标准的NP $ \ NEQ $ P假设下（代替UGC）。

The stochastic block model (SBM) is a random graph model with planted clusters. It is widely employed as a canonical model to study clustering and community detection, and provides generally a fertile ground to study the statistical and computational tradeoffs that arise in network and data sciences.This note surveys the recent developments that establish the fundamental limits for community detection in the SBM, both with respect to information-theoretic and computational thresholds, and for various recovery requirements such as exact, partial and weak recovery (a.k.a., detection). The main results discussed are the phase transitions for exact recovery at the Chernoff-Hellinger threshold, the phase transition for weak recovery at the Kesten-Stigum threshold, the optimal distortion-SNR tradeoff for partial recovery, the learning of the SBM parameters and the gap between information-theoretic and computational thresholds.The note also covers some of the algorithms developed in the quest of achieving the limits, in particular two-round algorithms via graph-splitting, semi-definite programming, linearized belief propagation, classical and nonbacktracking spectral methods. A few open problems are also discussed.

Graph clustering is a fundamental problem in unsupervised learning, with numerous applications in computer science and in analysing real-world data. In many real-world applications, we find that the clusters have a significant high-level structure. This is often overlooked in the design and analysis of graph clustering algorithms which make strong simplifying assumptions about the structure of the graph. This thesis addresses the natural question of whether the structure of clusters can be learned efficiently and describes four new algorithmic results for learning such structure in graphs and hypergraphs. All of the presented theoretical results are extensively evaluated on both synthetic and real-word datasets of different domains, including image classification and segmentation, migration networks, co-authorship networks, and natural language processing. These experimental results demonstrate that the newly developed algorithms are practical, effective, and immediately applicable for learning the structure of clusters in real-world data.

我们建立了量子算法设计与电路下限之间的第一一般连接。具体来说，让$ \ mathfrak {c} $是一类多项式大小概念，假设$ \ mathfrak {c} $可以在统一分布下的成员查询，错误$ 1/2 - \ gamma $通过时间$ t $量子算法。我们证明如果$ \ gamma ^ 2 \ cdot t \ ll 2 ^ n / n $，则$ \ mathsf {bqe} \ nsubseteq \ mathfrak {c} $，其中$ \ mathsf {bqe} = \ mathsf {bque} [2 ^ {o（n）}] $是$ \ mathsf {bqp} $的指数时间模拟。在$ \ gamma $和$ t $中，此结果是最佳的，因为它不难学习（经典）时间$ t = 2 ^ n $（没有错误） ，或在Quantum Time $ t = \ mathsf {poly}（n）$以傅立叶采样为单位为1/2美元（2 ^ { - n / 2}）$。换句话说，即使对这些通用学习算法的边际改善也会导致复杂性理论的主要后果。我们的证明在学习理论，伪随机性和计算复杂性的几个作品上构建，并且至关重要地，在非凡的经典学习算法与由Oliveira和Santhanam建立的电路下限之间的联系（CCC 2017）。扩展他们对量子学习算法的方法，结果产生了重大挑战。为此，我们展示了伪随机发电机如何以通用方式意味着学习到较低的连接，构建针对均匀量子计算的第一个条件伪随机发生器，并扩展了Impagliazzo，JaiSwal的本地列表解码算法。 ，Kabanets和Wigderson（Sicomp 2010）通过微妙的分析到量子电路。我们认为，这些贡献是独立的兴趣，可能会发现其他申请。

高维统计数据的一个基本目标是检测或恢复嘈杂数据中隐藏的种植结构（例如低级别矩阵）。越来越多的工作研究低级多项式作为此类问题的计算模型的限制模型：在各种情况下，数据的低级多项式可以与最知名的多项式时间算法的统计性能相匹配。先前的工作已经研究了低度多项式的力量，以检测隐藏结构的存在。在这项工作中，我们将这些方法扩展到解决估计和恢复问题（而不是检测）。对于大量的“信号加噪声”问题，我们给出了一个用户友好的下限，以获得最佳的均衡误差。据我们所知，这些是建立相关检测问题的恢复问题低度硬度的第一个结果。作为应用，我们对种植的子静脉和种植的密集子图问题的低度最小平方误差进行了严格的特征，在两种情况下都解决了有关恢复的计算复杂性的开放问题（在低度框架中）。

由于机器学习，统计和科学的应用，多边缘最佳运输（MOT）引起了极大的兴趣。但是，在大多数应用中，MOT的成功受到缺乏有效算法的严重限制。实际上，MOT一般需要在边际K及其支撑大小n的数量中指数时间n。本文开发了一个关于“结构”在poly（n，k）时间中可溶解的一般理论。我们开发了一个统一的算法框架，用于通过表征不同算法所需的“结构”来解决poly（n，k）时间中的MOT，这是根据双重可行性甲骨文的简单变体所需的。该框架有几个好处。首先，它使我们能够证明当前是最流行的MOT算法的Sinkhorn算法比其他算法要在poly（n，k）时间中求解MOT所需的结构更严格。其次，我们的框架使得为给定的MOT问题开发poly（n，k）时间算法变得更加简单。特别是（大约）解决双重可行性Oracle是必要和足够的 - 这更适合标准算法技术。我们通过为三个通用类成本结构类别的poly（n，k）时间算法开发poly（n，k）时间算法来说明这种易用性：（1）图形结构； （2）设定优化结构； （3）低阶和稀疏结构。对于结构（1），我们恢复了Sindhorn具有poly（n，k）运行时的已知结果；此外，我们为计算精确且稀疏的解决方案提供了第一个poly（n，k）时间算法。对于结构（2） - （3），我们给出了第一个poly（n，k）时间算法，甚至用于近似计算。这三个结构一起涵盖了许多MOT的当前应用。