K-FAC是一种可成功实施的自然梯度，用于深度学习，尽管如此，它仍然需要计算Kronecker因子倒数的要求（通过特征分类）。当这些因素很大时，这可能非常耗时（甚至是过时的）。在本文中，我们从理论上表明，由于通常使用的Kronecker因子的指数平均构造范式，其本特征谱必须衰减。我们在数值上表明，在实践中，这种衰减非常迅速，从而使我们的想法是，我们可以在反转Kronecker-factor时仅关注前几个特征模式来节省实质性计算。随机数值线性代数为我们提供了这样做的必要工具。数值结果表明，我们获得$ \ 22.5 \ times $缩短每个类别的时间，$ \ of $ \ of 3.3 \ times $减少了目标准确性的时间。我们将我们提出的K-FAC加速版本与更有效的NG实施（Seng）进行比较，并观察我们与之相当。

Low-rank matrix approximations, such as the truncated singular value decomposition and the rank-revealing QR decomposition, play a central role in data analysis and scientific computing. This work surveys and extends recent research which demonstrates that randomization offers a powerful tool for performing low-rank matrix approximation. These techniques exploit modern computational architectures more fully than classical methods and open the possibility of dealing with truly massive data sets.This paper presents a modular framework for constructing randomized algorithms that compute partial matrix decompositions. These methods use random sampling to identify a subspace that captures most of the action of a matrix. The input matrix is then compressed-either explicitly or implicitly-to this subspace, and the reduced matrix is manipulated deterministically to obtain the desired low-rank factorization. In many cases, this approach beats its classical competitors in terms of accuracy, speed, and robustness. These claims are supported by extensive numerical experiments and a detailed error analysis.The specific benefits of randomized techniques depend on the computational environment. Consider the model problem of finding the k dominant components of the singular value decomposition of an m × n matrix. (i) For a dense input matrix, randomized algorithms require O(mn log(k)) floating-point operations (flops) in contrast with O(mnk) for classical algorithms. (ii) For a sparse input matrix, the flop count matches classical Krylov subspace methods, but the randomized approach is more robust and can easily be reorganized to exploit multi-processor architectures. (iii) For a matrix that is too large to fit in fast memory, the randomized techniques require only a constant number of passes over the data, as opposed to O(k) passes for classical algorithms. In fact, it is sometimes possible to perform matrix approximation with a single pass over the data.

在针对机器学习（ML）的优化中，典型的曲率 - 矩阵（CM）估计依赖于局部估计的指数平均值（给出EA-CM算法）。这种方法几乎没有原则上的理由，但是经常在实践中使用。在本文中，我们在EA-CM算法和所谓的“二次正规化模型的唤醒”之间建立了联系。概述的连接使我们能够从优化的角度了解EA-CM算法正在做什么。从已建立的联系中概括，我们提出了一种新的算法系列，即“ KL-Divergence唤醒指定模型”（KLD-WRM）。我们给出了KLD-WRM的三种不同的实例化，并以数值的方式表明，这些实例化在MNIST上的表现优于K-FAC。

有效地近似损失函数的局部曲率信息是用于深神经网络的优化和压缩的关键工具。然而，大多数现有方法近似二阶信息具有高计算或存储成本，这可以限制其实用性。在这项工作中，我们调查矩阵，用于估计逆象征的矢量产品（IHVPS）的矩阵线性时间方法，因为当Hessian可以近似为乘语 - 一个矩阵的总和时，如Hessian的经典近似由经验丰富的Fisher矩阵。我们提出了两个新的算法作为称为M-FAC的框架的一部分：第一个算法朝着网络压缩量身定制，如果Hessian给出了M $等级的总和，则可以计算Dimension $ D $的IHVP。 ，使用$ O（DM ^ 2）$预压制，$ O（DM）$代价计算IHVP，并查询逆Hessian的任何单个元素的费用$ O（m）$。第二算法针对优化设置，我们希望在反向Hessian之间计算产品，估计在优化步骤的滑动窗口和给定梯度方向上，根据预先说明的SGD所需的梯度方向。我们为计算IHVP和OHVP和O（DM + M ^ 3）$ of $ o（dm + m ^ 2）$提供算法，以便从滑动窗口添加或删除任何渐变。这两种算法产生最先进的结果，用于网络修剪和相对于现有二阶方法的计算开销的优化。在[9]和[17]可用实现。

We propose an efficient method for approximating natural gradient descent in neural networks which we call Kronecker-factored Approximate Curvature (K-FAC). K-FAC is based on an efficiently invertible approximation of a neural network's Fisher information matrix which is neither diagonal nor low-rank, and in some cases is completely non-sparse. It is derived by approximating various large blocks of the Fisher (corresponding to entire layers) as being the Kronecker product of two much smaller matrices. While only several times more expensive to compute than the plain stochastic gradient, the updates produced by K-FAC make much more progress optimizing the objective, which results in an algorithm that can be much faster than stochastic gradient descent with momentum in practice. And unlike some previously proposed approximate natural-gradient/Newton methods which use high-quality non-diagonal curvature matrices (such as Hessian-free optimization), K-FAC works very well in highly stochastic optimization regimes. This is because the cost of storing and inverting K-FAC's approximation to the curvature matrix does not depend on the amount of data used to estimate it, which is a feature typically associated only with diagonal or low-rank approximations to the curvature matrix.

基于草图的随机算法已成为低级矩阵近似中的主力工具。要在应用中安全地使用这些算法，应将它们与诊断相结合以评估近似质量。为了满足这种需求，本文提出了一种折刀重采样方法，以估计随机矩阵计算的输出的可变性。可变性估计可以识别计算需要其他数据，或者该计算本质上不稳定。作为示例，论文研究对两种随机低级矩阵近似算法的小刀估计。在每种情况下，折刀估计的操作计数与目标矩阵的尺寸无关。在数值实验中，估计器可以准确评估可变性，并提供均方误差的量化顺序估计。

我们提出了一个算法框架，用于近距离矩阵上的量子启发的经典算法，概括了Tang的突破性量子启发算法开始的一系列结果，用于推荐系统[STOC'19]。由量子线性代数算法和gily \'en，su，low和wiebe [stoc'19]的量子奇异值转换（SVT）框架[SVT）的动机[STOC'19]，我们开发了SVT的经典算法合适的量子启发的采样假设。我们的结果提供了令人信服的证据，表明在相应的QRAM数据结构输入模型中，量子SVT不会产生指数量子加速。由于量子SVT框架基本上概括了量子线性代数的所有已知技术，因此我们的结果与先前工作的采样引理相结合，足以概括所有有关取消量子机器学习算法的最新结果。特别是，我们的经典SVT框架恢复并经常改善推荐系统，主成分分析，监督聚类，支持向量机器，低秩回归和半决赛程序解决方案的取消结果。我们还为汉密尔顿低级模拟和判别分析提供了其他取消化结果。我们的改进来自识别量子启发的输入模型的关键功能，该模型是所有先前量子启发的结果的核心：$ \ ell^2 $ -Norm采样可以及时近似于其尺寸近似矩阵产品。我们将所有主要结果减少到这一事实，使我们的简洁，独立和直观。

二阶优化器被认为具有加快神经网络训练的潜力，但是由于曲率矩阵的尺寸巨大，它们通常需要近似值才能计算。最成功的近似家庭是Kronecker因块状曲率估计值（KFAC）。在这里，我们结合了先前工作的工具，以评估确切的二阶更新和仔细消融以建立令人惊讶的结果：由于其近似值，KFAC与二阶更新无关，尤其是，它极大地胜过真实的第二阶段更新。订单更新。这一挑战广泛地相信，并立即提出了为什么KFAC表现如此出色的问题。为了回答这个问题，我们提出了强烈的证据，表明KFAC近似于一阶算法，该算法在神经元上执行梯度下降而不是权重。最后，我们表明，这种优化器通常会在计算成本和数据效率方面改善KFAC。

尽管主要使用一阶方法来训练深层学习模型，但尤其是自然梯度方法，仍然是利益，因为它们通过使用曲率信息加速训练的可能性。已经提出了几种具有非对角线预处理矩阵，包括KFAC，洗发剂和K-BFG的方法，并显示有效。基于所谓的张量正常（TN）分布，我们提出并分析了一种全新的近似自然梯度方法，张量正常训练（TNT），如洗发水，只需要了解训练参数的形状。通过近似基于概率的Fisher矩阵，与经验丰富的Fisher矩阵相反，我们的方法使用基于采样的梯度的块明智的协方差作为预处理矩阵。此外，假设基于采样的（张量）梯度遵循TN分布，确保其协方差具有Kronecker可分离结构，这导致到Fisher矩阵的易逼近。因此，TNT的内存需求和迭代计算成本仅略高于一阶方法的计算成本。在我们的实验中，TNT对最先进的一阶方法以及最先进的二阶方法KFAC和洗发剂的可比优化性能表现出卓越的优化性能。此外，TNT证明了其概括的能力以及使用较少的时期的一级方法。

We introduce SketchySGD, a stochastic quasi-Newton method that uses sketching to approximate the curvature of the loss function. Quasi-Newton methods are among the most effective algorithms in traditional optimization, where they converge much faster than first-order methods such as SGD. However, for contemporary deep learning, quasi-Newton methods are considered inferior to first-order methods like SGD and Adam owing to higher per-iteration complexity and fragility due to inexact gradients. SketchySGD circumvents these issues by a novel combination of subsampling, randomized low-rank approximation, and dynamic regularization. In the convex case, we show SketchySGD with a fixed stepsize converges to a small ball around the optimum at a faster rate than SGD for ill-conditioned problems. In the non-convex case, SketchySGD converges linearly under two additional assumptions, interpolation and the Polyak-Lojaciewicz condition, the latter of which holds with high probability for wide neural networks. Numerical experiments on image and tabular data demonstrate the improved reliability and speed of SketchySGD for deep learning, compared to standard optimizers such as SGD and Adam and existing quasi-Newton methods.

素描和项目是一个框架，它统一了许多已知的迭代方法来求解线性系统及其变体，并进一步扩展了非线性优化问题。它包括流行的方法，例如随机kaczmarz，坐标下降，凸优化的牛顿方法的变体等。在本文中，我们通过新的紧密频谱边界为预期的草图投影矩阵获得了素描和项目的收敛速率的敏锐保证。我们的估计值揭示了素描和项目的收敛率与另一个众所周知但看似无关的算法家族的近似误差之间的联系，这些算法使用草图加速了流行的矩阵因子化，例如QR和SVD。这种连接使我们更接近准确量化草图和项目求解器的性能如何取决于其草图大小。我们的分析不仅涵盖了高斯和次高斯的素描矩阵，还涵盖了一个有效的稀疏素描方法，称为较少的嵌入方法。我们的实验备份了理论，并证明即使极稀疏的草图在实践中也显示出相同的收敛属性。

目前，深层神经网络（DNN）主要使用一阶方法进行训练。其中一些方法（例如Adam，Adagrad和Rmsprop及其变体）通过使用对角线矩阵来预先处理随机梯度。最近，通过通过按层块 - diagonal矩阵对随机梯度进行预处理，已开发出有效的二阶方法，例如KFAC，K-BFGS，洗发水和TNT。在这里，我们提出了一种自适应的“迷你块Fisher（MBF）”预处理方法，其中在这两类方法之间。具体而言，我们的方法对经验渔民矩阵使用块对基近似值，在DNN中的每一层（无论是卷积还是馈送）和完全连接，相关的对角线本身都是块 - diagonal，并且由A组成。大量适度的迷你块。我们的新方法利用GPU的并行性来有效地对每一层的大量矩阵进行计算。因此，MBF的均值计算成本仅略高于一阶方法。将我们提出的方法的性能与在自动编码器和CNN问题上的几种基线方法进行了比较，以在时间效率和概括功率方面验证其有效性。最后，证明MBF的理想化版本线性收敛。

Models in which the covariance matrix has the structure of a sparse matrix plus a low rank perturbation are ubiquitous in machine learning applications. It is often desirable for learning algorithms to take advantage of such structures, avoiding costly matrix computations that often require cubic time and quadratic storage. This is often accomplished by performing operations that maintain such structures, e.g. matrix inversion via the Sherman-Morrison-Woodbury formula. In this paper we consider the matrix square root and inverse square root operations. Given a low rank perturbation to a matrix, we argue that a low-rank approximate correction to the (inverse) square root exists. We do so by establishing a geometric decay bound on the true correction's eigenvalues. We then proceed to frame the correction has the solution of an algebraic Ricatti equation, and discuss how a low-rank solution to that equation can be computed. We analyze the approximation error incurred when approximately solving the algebraic Ricatti equation, providing spectral and Frobenius norm forward and backward error bounds. Finally, we describe several applications of our algorithms, and demonstrate their utility in numerical experiments.

网络数据通常在各种应用程序中收集，代表感兴趣的功能之间直接测量或统计上推断的连接。在越来越多的域中，这些网络会随着时间的流逝而收集，例如不同日子或多个主题之间的社交媒体平台用户之间的交互，例如在大脑连接性的多主体研究中。在分析多个大型网络时，降低降低技术通常用于将网络嵌入更易于处理的低维空间中。为此，我们通过专门的张量分解来开发用于网络集合的主组件分析（PCA）的框架，我们将半对称性张量PCA或SS-TPCA术语。我们得出计算有效的算法来计算我们提出的SS-TPCA分解，并在标准的低级别信号加噪声模型下建立方法的统计效率。值得注意的是，我们表明SS-TPCA具有与经典矩阵PCA相同的估计精度，并且与网络中顶点数的平方根成正比，而不是预期的边缘数。我们的框架继承了古典PCA的许多优势，适用于广泛的无监督学习任务，包括识别主要网络，隔离有意义的更改点或外出观察，以及表征最不同边缘的“可变性网络”。最后，我们证明了我们的提案对模拟数据的有效性以及经验法律研究的示例。用于建立我们主要一致性结果的技术令人惊讶地简单明了，可能会在其他各种网络分析问题中找到使用。

我们使用张量奇异值分解（T-SVD）代数框架提出了一种新的快速流算法，用于抵抗缺失的低管级张量的缺失条目。我们展示T-SVD是三阶张量的研究型块术语分解的专业化，我们在该模型下呈现了一种算法，可以跟踪从不完全流2-D数据的可自由子模块。所提出的算法使用来自子空间的基层歧管的增量梯度下降的原理，以解决线性复杂度和时间样本的恒定存储器的张量完成问题。我们为我们的算法提供了局部预期的线性收敛结果。我们的经验结果在精确态度上具有竞争力，但在计算时间内比实际应用上的最先进的张量完成算法更快，以在有限的采样下恢复时间化疗和MRI数据。

高维非正交掺入张量的CP分解是许多学科的广泛应用的重要问题。然而，以前的理论保证的工作通常在CP组分的基础载体上承担限制性的不连贯条件。在本文中，我们提出了新的计算高效的复合PCA和并发正交化算法，以便在轻度不连结条件下的理论保证。复合PCA将主成分或奇异值分解应用于张量数据的矩阵，以获得奇异矢量，然后在第一步骤中获得的奇异载体的基质折叠。它可以用作Tensor CP分解的任何迭代优化方案的初始化。并发正交化算法通过将突起同时施加到其他模式中的其他模式所产生的空格的正交补充，迭代地估计张量的每个模式的基础向量。旨在改善具有低或中等高CP等级的张量的交替的最小二乘估计器和其他形式的高阶正交迭代，并且当任何给定的初始估计器的错误被小常数界定时，它保证快速收敛。我们的理论调查为两种提出的算法提供了估算准确性和收敛速率。我们对合成数据的实施表明了我们对现有方法的方法的显着实际优势。

本文提出了一个无网格的计算框架和机器学习理论，用于在未知的歧管上求解椭圆形PDE，并根据扩散地图（DM）和深度学习确定点云。 PDE求解器是作为监督的学习任务制定的，以解决最小二乘回归问题，该问题施加了近似PDE的代数方程（如果适用）。该代数方程涉及通过DM渐近扩展获得的图形拉平型矩阵，该基质是二阶椭圆差差算子的一致估计器。最终的数值方法是解决受神经网络假设空间解决方案的高度非凸经验最小化问题。在体积良好的椭圆PDE设置中，当假设空间由具有无限宽度或深度的神经网络组成时，我们表明，经验损失函数的全球最小化器是大型训练数据极限的一致解决方案。当假设空间是一个两层神经网络时，我们表明，对于足够大的宽度，梯度下降可以识别经验损失函数的全局最小化器。支持数值示例证明了解决方案的收敛性，范围从具有低和高共限度的简单歧管到具有和没有边界的粗糙表面。我们还表明，所提出的NN求解器可以在具有概括性误差的新数据点上稳健地概括PDE解决方案，这些误差几乎与训练错误相同，从而取代了基于Nystrom的插值方法。

光谱聚类是网络中广泛使用的社区检测方法之一。然而，大型网络为其中的特征值分解带来了计算挑战。在本文中，我们研究了从统计角度使用随机草图算法的光谱聚类，在那里我们通常假设网络数据是从随机块模型生成的，这些模型不一定是完整等级的。为此，我们首先使用最近开发的草图算法来获得两个随机谱聚类算法，即基于随机投影和基于随机采样的光谱聚类。然后，我们在群体邻接矩阵的近似误差，错误分类误差和链路概率矩阵的估计误差方面研究得到的算法的理论界限。事实证明，在温和条件下，随机谱聚类算法导致与原始光谱聚类算法相同的理论界。我们还将结果扩展到校正的程度校正的随机块模型。数值实验支持我们的理论发现并显示随机化方法的效率。一个名为rclusct的新R包是开发的，并提供给公众。

近年来，健壮的主成分分析（PCA）受到了广泛关注。它的目的是从其总和中恢复一个低级别矩阵和稀疏矩阵。本文提出了一种新型的非凸强壮的PCA算法，即Riemannian Cur（Riecur），它利用了Riemannian优化和强大的CUR分解观念。该算法与迭代的鲁棒cur具有相同的计算复杂性，后者目前是最新的，但对离群值更强。Riecur还能够忍受大量的异常值，并且与加速的交替预测相媲美，该预测具有很高的离群公差，但计算复杂性比提议的方法差。因此，所提出的算法在计算复杂性和异常耐受性方面都可以在鲁棒PCA上实现最新性能。

We consider the nonlinear inverse problem of learning a transition operator $\mathbf{A}$ from partial observations at different times, in particular from sparse observations of entries of its powers $\mathbf{A},\mathbf{A}^2,\cdots,\mathbf{A}^{T}$. This Spatio-Temporal Transition Operator Recovery problem is motivated by the recent interest in learning time-varying graph signals that are driven by graph operators depending on the underlying graph topology. We address the nonlinearity of the problem by embedding it into a higher-dimensional space of suitable block-Hankel matrices, where it becomes a low-rank matrix completion problem, even if $\mathbf{A}$ is of full rank. For both a uniform and an adaptive random space-time sampling model, we quantify the recoverability of the transition operator via suitable measures of incoherence of these block-Hankel embedding matrices. For graph transition operators these measures of incoherence depend on the interplay between the dynamics and the graph topology. We develop a suitable non-convex iterative reweighted least squares (IRLS) algorithm, establish its quadratic local convergence, and show that, in optimal scenarios, no more than $\mathcal{O}(rn \log(nT))$ space-time samples are sufficient to ensure accurate recovery of a rank-$r$ operator $\mathbf{A}$ of size $n \times n$. This establishes that spatial samples can be substituted by a comparable number of space-time samples. We provide an efficient implementation of the proposed IRLS algorithm with space complexity of order $O(r n T)$ and per-iteration time complexity linear in $n$. Numerical experiments for transition operators based on several graph models confirm that the theoretical findings accurately track empirical phase transitions, and illustrate the applicability and scalability of the proposed algorithm.