在优化动态系统时，变量通常具有约束。这些问题可以建模为受约束的马尔可夫决策过程（CMDP）。本文考虑了受限制的马尔可夫决策过程（PCMDP），其中代理选择该策略以最大程度地提高有限视野中的总奖励，并在每个时期内满足约束。应用不受约束的问题并应用了基于Q的方法。我们定义了可能正确正确的PCMDP问题的概念（PAC）。事实证明，提出的算法可以实现$（\ epsilon，p）$ - PAC政策，当$ k \ geq \ omega（\ frac {i^2h^6sa \ ell} {\ ell} {\ epsilon^2}）$ $ s $和$ a $分别是州和行动的数量。 $ h $是每集时代的数量。 $ i $是约束函数的数量，$ \ ell = \ log（\ frac {sat} {p}）$。我们注意到，这是PCMDP的PAC分析的第一个结果，具有峰值约束，其中过渡动力学未知。我们证明了有关能量收集问题和单个机器调度问题的提议算法，该算法接近研究优化问题的理论上限。

强化学习被广泛用于在与环境互动时需要执行顺序决策的应用中。当决策要求包括满足一些安全限制时，问题就变得更加具有挑战性。该问题在数学上是作为约束的马尔可夫决策过程（CMDP）提出的。在文献中，可以通过无模型的方式解决各种算法来解决CMDP问题，以实现$ \ epsilon $ - 最佳的累积奖励，并使用$ \ epsilon $可行的政策。 $ \ epsilon $可行的政策意味着它遭受了违规的限制。这里的一个重要问题是，我们是否可以实现$ \ epsilon $ - 最佳的累积奖励，并违反零约束。为此，我们主张使用随机原始偶对偶方法来解决CMDP问题，并提出保守的随机原始二重算法（CSPDA），该算法（CSPDA）显示出$ \ tilde {\ tilde {\ Mathcal {o}} \ left（1 /\ epsilon^2 \ right）$样本复杂性，以实现$ \ epsilon $ - 最佳累积奖励，违反零约束。在先前的工作中，$ \ epsilon $ - 最佳策略的最佳可用样本复杂性是零约束的策略是$ \ tilde {\ Mathcal {o}}} \ left（1/\ epsilon^5 \ right）$。因此，与最新技术相比，拟议的算法提供了重大改进。

我们研究了受限的强化学习问题，其中代理的目的是最大程度地提高预期的累积奖励，从而受到对实用程序函数的预期总价值的约束。与现有的基于模型的方法或无模型方法伴随着“模拟器”，我们旨在开发第一个无模型的无模拟算法，即使在大规模系统中，也能够实现sublinear遗憾和透明度的约束侵犯。为此，我们考虑具有线性函数近似的情节约束决策过程，其中过渡动力学和奖励函数可以表示为某些已知功能映射的线性函数。我们表明$ \ tilde {\ mathcal {o}}（\ sqrt {d^3h^3t}）$遗憾和$ \ tilde {\ tillcal {\ mathcal {o}}（\ sqrt {d^3h^3ht}）$约束$约束$约束可以实现违规范围，其中$ d $是功能映射的尺寸，$ h $是情节的长度，而$ t $是总数的总数。我们的界限是在没有明确估计未知过渡模型或需要模拟器的情况下达到的，并且仅通过特征映射的维度依赖于状态空间。因此，即使国家的数量进入无穷大，我们的界限也会存在。我们的主要结果是通过标准LSVI-UCB算法的新型适应来实现的。特别是，我们首先将原始二次优化引入LSVI-UCB算法中，以在遗憾和违反约束之间取得平衡。更重要的是，我们使用软马克斯政策取代了LSVI-UCB中的状态行动功能的标准贪婪选择。事实证明，这对于通过其近似平滑度的权衡来确定受约束案例的统一浓度是关键。我们还表明，一个人可以达到均匀的约束违规行为，同时仍然保持相同的订单相对于$ t $。

我们考虑了马尔可夫决策过程（CMDP）的问题，其中代理与Markov Unichain决策过程进行交互。在每次互动中，代理都会获得奖励。此外，还有$ K $成本功能。该代理商的目标是最大程度地提高长期平均奖励，同时使$ k $的长期平均成本低于一定阈值。在本文中，我们提出了CMDP-PSRL，这是一种基于后取样的算法，使用该算法，代理可以学习与CMDP相互作用的最佳策略。此外，对于具有$ s $州的MDP，$ A $ ACTICE和DIAMETER $ D $，我们证明，遵循CMDP-PSRL算法，代理商可能会束缚不累积最佳策略奖励的遗憾。 （poly（dsa）\ sqrt {t}）$。此外，我们表明，任何$ k $约束的违规行为也受$ \ tilde {o}（poly（dsa）\ sqrt {t}）$的限制。据我们所知，这是第一批获得$ \ tilde {o}（\ sqrt {t}）$遗憾的Ergodic MDP的界限，并具有长期平均约束。

我们考虑了在连续的状态行为空间中受到约束马尔可夫决策过程（CMDP）的问题，在该空间中，目标是最大程度地提高预期的累积奖励受到某些约束。我们提出了一种新型的保守自然政策梯度原始二算法（C-NPG-PD），以达到零约束违规，同时实现了目标价值函数的最新融合结果。对于一般策略参数化，我们证明了价值函数与全局最佳功能的融合到由于限制性策略类而导致的近似错误。我们甚至从$ \ Mathcal {o}（1/\ epsilon^6）$从$ \ Mathcal {o}（1/\ Epsilon^4）$提高了现有约束NPG-PD算法\ cite {ding2020}的样本复杂性。。据我们所知，这是第一项通过自然政策梯度样式算法建立零约束违规的工作，用于无限的地平线折扣CMDP。我们通过实验评估证明了提出的算法的优点。

我们考虑了学习eoiSodic安全控制政策的问题，这最小化了客观函数，同时满足必要的安全约束 - 都在学习和部署期间。我们使用具有未知转换概率函数的有限范围限制的Markov决策过程（CMDP）的有限范围限制的Markov决策过程（CMDP）制定了这种安全约束的强化学习（RL）问题。在这里，我们将安全要求造型为关于在所有学习集中必须满足的预期累计成本的限制。我们提出了一种基于模型的安全RL算法，我们称之为乐观 - 悲观的安全强化学习（OPSRL）算法，并表明它实现了$ \ TINDE {\ MATHCAL {O}}（S ^ {2} \ SQRT {啊^ {7} k} /（\ bar {c} - \ bar {c} _ {b}））$累积遗憾在学习期间没有违反安全限制，其中$ S $是州的数量，$ a $动作数量，$ H $是地平线长度，$ k $是学习剧集的数量，$（\ bar {c} - \ bar {c} _ {b}）$是安全差距，即，约束值与已知安全基线政策的成本之间的差异。缩放为$ \ tilde {\ mathcal {o}}（\ sqrt {k}）$与学习期间可能违反约束的传统方法相同，这意味着我们的算法尽管提供了一个额外的遗憾安全保证。我们的主要思想是利用乐观的探索方法，以悲观的约束实施来学习政策。这种方法同时激励了未知国家的探索，同时对访问可能违反安全限制的国家施加罚款。我们通过对传统方法的基准问题进行评估来验证我们的算法。

我们考虑了有多个具有不同奖励功能的利益相关者的情节强化学习问题。我们的目标是输出有关不同奖励功能在社会上公平的政策。先前的工作提出了不同的目标，即公平政策必须优化，包括最低福利和广义的基尼福利。我们首先对问题进行公理视图，并提出四个公理，任何这样的公平目标都必须满足。我们表明，纳什社会福利是一个独特的目标，它独特地满足了所有四个目标，而先前的目标无法满足所有四个公理。然后，我们考虑了基础模型，即马尔可夫决策过程未知的问题的学习版本。我们考虑到最大程度地降低对公平政策最大化的遗憾的问题，从而最大化三个不同的公平目标 - 最低限度的福利，广义基尼福利和纳什社会福利。基于乐观的计划，我们提出了一种通用的学习算法，并在三种不同的政策方面得出了遗憾。为了纳什社会福利的目的，我们还遗憾地得出了一个遗憾的遗憾，它以$ n $（代理的数量）成倍增长。最后，我们表明，为了最低限度福利的目的，对于较弱的遗憾概念，人们可以将遗憾提高到$ o（h）$。

我们考虑在马尔可夫决策过程中的强化学习（RL），其中代理人反复交互与由受控马尔可夫进程建模的环境进行交互。在每次步骤$ $ $时，它赢得了奖励，并招收了由$ M $成本组成的成本矢量。我们设计学习算法，最大限度地提高$ T $时间步长的时间范围内获得的累积奖励，同时确保$ M $成本支出的平均值由代理指定的阈值界限为$ C ^ {UB} _I ，i = 1,2，\ ldots，m $。关于累积成本支出的审议从现有文献中离开，因为代理商此外需要以在线方式平衡成本费用，同时执行通常遇到的RL任务中的勘探开发权衡。为了测量满足平均成本约束的加强学习算法的性能，我们定义了由其奖励后悔组成的$ M + 1 $维度遗憾的载体，而M $费用遗憾。奖励后悔在累计奖励中衡量次级最优性，而成本遗憾的奖励奖励奖励是其$ I $ -Th累计成本费用与预期成本支出之间的差异，而预期的成本支出$ TC ^ {UB} _i $。我们证明，通过高概率，UCRL-CMDP的遗憾矢量是高度限制的（S \ SQRT {AT ^ {1.5} \ log（t）\右）$，其中$ s $状态的数量，$ a $是行动的数量，而$ t $是时间范围。我们进一步展示了如何减少预期奖金的所需子集的遗憾，以牺牲奖励遗憾和剩余成本的牺牲品为代价。据我们所知，我们的是唯一考虑在平均成本限制下的非焦化RL的工作，并且可以根据代理人对其成本遗憾的要求进行〜\ excph {调整后悔向量}的算法。

在许多综合设置（例如视频游戏）和GO中，增强学习（RL）超出了人类的绩效。但是，端到端RL模型的现实部署不太常见，因为RL模型对环境的轻微扰动非常敏感。强大的马尔可夫决策过程（MDP）框架（其中的过渡概率属于名义模型设置的不确定性）提供了一种开发健壮模型的方法。虽然先前的分析表明，RL算法是有效的，假设访问生成模型，但尚不清楚RL在更现实的在线设置下是否可以有效，这需要在探索和开发之间取得仔细的平衡。在这项工作中，我们通过与未知的名义系统进行互动来考虑在线强大的MDP。我们提出了一种强大的乐观策略优化算法，该算法可有效。为了解决由对抗性环境引起的其他不确定性，我们的模型具有通过Fenchel Conjugates得出的新的乐观更新规则。我们的分析确定了在线强大MDP的第一个遗憾。

Model-free reinforcement learning (RL) algorithms, such as Q-learning, directly parameterize and update value functions or policies without explicitly modeling the environment. They are typically simpler, more flexible to use, and thus more prevalent in modern deep RL than model-based approaches. However, empirical work has suggested that model-free algorithms may require more samples to learn [7,22]. The theoretical question of "whether model-free algorithms can be made sample efficient" is one of the most fundamental questions in RL, and remains unsolved even in the basic scenario with finitely many states and actions.We prove that, in an episodic MDP setting, Q-learning with UCB exploration achieves regret Õ( √ H 3 SAT ), where S and A are the numbers of states and actions, H is the number of steps per episode, and T is the total number of steps. This sample efficiency matches the optimal regret that can be achieved by any model-based approach, up to a single √ H factor. To the best of our knowledge, this is the first analysis in the model-free setting that establishes √ T regret without requiring access to a "simulator." * The first two authors contributed equally.

我们在适应性约束下研究了强化学习（RL），线性函数近似。我们考虑两个流行的有限适应性模型：批量学习模型和稀有策略交换机模型，并提出了两个有效的在线线性马尔可夫决策过程的在线RL算法，其中转换概率和奖励函数可以表示为一些线性函数已知的特征映射。具体而言，对于批量学习模型，我们提出的LSVI-UCB-批处理算法实现了$ \ tilde o（\ sqrt {d ^ 3h ^ 3t} + dht / b）$后悔，$ d $是尺寸特征映射，$ H $是剧集长度，$ t $是交互数量，$ b $是批次数。我们的结果表明，只使用$ \ sqrt {t / dh} $批量来获得$ \ tilde o（\ sqrt {d ^ 3h ^ 3t}）$后悔。对于稀有策略开关模型，我们提出的LSVI-UCB-RARESWICH算法享有$ \ TINDE O（\ SQRT {D ^ 3h ^ 3t [1 + T /（DH）] ^ {dh / b}）$遗憾，这意味着$ dh \ log t $策略交换机足以获得$ \ tilde o（\ sqrt {d ^ 3h ^ 3t}）$后悔。我们的算法达到与LSVI-UCB算法相同的遗憾（Jin等，2019），但具有大量较小的适应性。我们还为批量学习模式建立了较低的界限，这表明对我们遗憾的依赖于您的遗憾界限是紧张的。

尽管无奖励强化学习勘探阶段的主要目标（RF-RL）是减少具有最小轨迹数量的估计模型中的不确定性时间。目前尚不清楚这种安全的探索要求如何影响相应的样本复杂性，以实现所获得的计划中所需的最佳性。在这项工作中，我们首次尝试回答这个问题。特别是，我们考虑了事先知道安全基线政策的情况，并提出了一个统一的安全奖励探索（甜蜜）框架。然后，我们将甜蜜框架专门为表格和低级MDP设置，并分别开发出算法所构成的表格甜味和低级别甜味。两种算法都利用了新引入的截短值函数的凹度和连续性，并保证在探索过程中以高概率侵犯了零约束。此外，两种算法都可以在计划阶段的任何约束中找到近乎最佳的政策。值得注意的是，算法下的样本复杂性在无限制的对应物中匹配甚至超过最恒定因素的最新情况，这证明安全约束几乎不会增加RF-RL的样本复杂性。

Modern Reinforcement Learning (RL) is commonly applied to practical problems with an enormous number of states, where function approximation must be deployed to approximate either the value function or the policy. The introduction of function approximation raises a fundamental set of challenges involving computational and statistical efficiency, especially given the need to manage the exploration/exploitation tradeoff. As a result, a core RL question remains open: how can we design provably efficient RL algorithms that incorporate function approximation? This question persists even in a basic setting with linear dynamics and linear rewards, for which only linear function approximation is needed.This paper presents the first provable RL algorithm with both polynomial runtime and polynomial sample complexity in this linear setting, without requiring a "simulator" or additional assumptions. Concretely, we prove that an optimistic modification of Least-Squares Value Iteration (LSVI)-a classical algorithm frequently studied in the linear setting-achieves O( √ d 3 H 3 T ) regret, where d is the ambient dimension of feature space, H is the length of each episode, and T is the total number of steps. Importantly, such regret is independent of the number of states and actions.

与表征解决马尔可夫决策过程（MDP）样品复杂性的进步相反，解决约束MDP（CMDP）的最佳统计复杂性仍然未知。我们通过在折扣CMDP中学习近乎最佳策略的样本复杂性上的最小上限和下限来解决这个问题，并访问生成模型（模拟器）。特别是，我们设计了一种基于模型的算法，该算法解决了两个设置：（i）允许违反小小的约束的可行性，以及（ii）严格的可行性，其中需要输出策略来满足约束。对于（i），我们证明我们的算法通过制作$ \ tilde {o} \ left（\ frac {s a \ log（1/\ delta）来返回带有概率$ 1- \ delta $的$ \ epsilon $ - 优势策略} {（1- \ gamma）^3 \ epsilon^2} \ right）$ QUERIES $ QUERIES与生成模型相匹配，因此与无约束的MDP的样品复杂性匹配。对于（ii），我们表明该算法的样本复杂性是由$ \ tilde {o} \ left（\ frac {s a a \ log，\ log（1/\ delta）} {（1 - \ gamma）^5 \，\ epsilon^2 \ zeta^2} \ right）$，其中$ \ zeta $是与问题相关的slater常数，其特征是可行区域的大小。最后，我们证明了严格的可行性设置的匹配较低限制，因此获得了折扣CMDP的第一个最小值最佳界限。我们的结果表明，在允许违反小小的约束时，学习CMDP与MDP一样容易，但是当我们要求零约束违规时，本质上更加困难。

最大化马尔可夫和固定的累积奖励函数，即在国家行动对和时间独立于时间上定义，足以在马尔可夫决策过程（MDP）中捕获多种目标。但是，并非所有目标都可以以这种方式捕获。在本文中，我们研究了凸MDP，其中目标表示为固定分布的凸功能，并表明它们不能使用固定奖励函数进行配制。凸MDP将标准加强学习（RL）问题提出概括为一个更大的框架，其中包括许多受监督和无监督的RL问题，例如学徒学习，约束MDP和所谓的“纯探索”。我们的方法是使用Fenchel二重性将凸MDP问题重新将凸MDP问题重新制定为涉及政策和成本（负奖励）的最小游戏。我们提出了一个用于解决此问题的元偏金属，并表明它统一了文献中许多现有的算法。

我们考虑非平稳马尔可夫决策过程中的无模型增强学习（RL）。只要其累积变化不超过某些变化预算，奖励功能和国家过渡功能都可以随时间随时间变化。我们提出了重新启动的Q学习，以上置信度范围（RestartQ-UCB），这是第一个用于非平稳RL的无模型算法，并表明它在动态遗憾方面优于现有的解决方案。具体而言，带有freedman型奖励项的restartq-ucb实现了$ \ widetilde {o}（s^{\ frac {1} {3}} {\ frac {\ frac {1} {1} {3}} {3}} {3}} {3}} {3}} {3}} {3}} {3}} {\ delta ^{\ frac {1} {3}} h t^{\ frac {2} {3}}} $，其中$ s $和$ a $分别是$ \ delta> 0 $的状态和动作的数字是变化预算，$ h $是每集的时间步数，而$ t $是时间步长的总数。我们进一步提出了一种名为Double-Restart Q-UCB的无参数算法，该算法不需要事先了解变化预算。我们证明我们的算法是\ emph {几乎是最佳}，通过建立$ \ omega的信息理论下限（s^{\ frac {1} {1} {3}}} a^{\ frac {1} {1} {3}}}}}} \ delta^{\ frac {1} {3}} h^{\ frac {2} {3}}}} t^{\ frac {2} {3}}} $，是非稳态RL中的第一个下下限。数值实验可以根据累积奖励和计算效率来验证RISTARTQ-UCB的优势。我们在相关产品的多代理RL和库存控制的示例中证明了我们的结果的力量。

作为安全加强学习的重要框架，在最近的文献中已经广泛研究了受约束的马尔可夫决策过程（CMDP）。然而，尽管在各种式学习设置下取得了丰富的结果，但就算法设计和信息理论样本复杂性下限而言，仍然缺乏对离线CMDP问题的基本理解。在本文中，我们专注于仅在脱机数据可用的情况下解决CMDP问题。通过采用单极浓缩系数$ c^*$的概念，我们建立了一个$ \ omega \ left（\ frac {\ min \ left \ left \ weft \ {| \ mathcal {s} || \ mathcal {a} a} |，， | \ Mathcal {s} |+i \ right \} c^*} {（1- \ gamma）^3 \ epsilon^2} \ right）$ sample Complacy度在离线cmdp问题上，其中$ i $架对于约束数量。通过引入一种简单但新颖的偏差控制机制，我们提出了一种称为DPDL的近乎最佳的原始二重学习算法。该算法证明，除了$ \ tilde {\ Mathcal {o}}}}（（（1- \ gamma）^{ - 1}）$外，该算法可确保零约束违规及其样本复杂性匹配上下界。还包括有关如何处理未知常数$ c^*$以及离线数据集中潜在的异步结构的全面讨论。

在表格设置下，我们研究了折扣马尔可夫决策过程（MDP）的强化学习问题。我们提出了一种名为UCBVI - $ \ Gamma $的基于模型的算法，该算法基于\ emph {面对不确定原理}和伯尔斯坦型奖金的乐观。我们展示了UCBVI - $ \ Gamma $实现了一个$ \ tilde {o} \ big（{\ sqrt {sat}} / {（1- \ gamma）^ {1.5}} \ big）$后悔，在哪里$ s $是州的数量，$ a $是行动的数量，$ \ gamma $是折扣因子，$ t $是步数。此外，我们构建了一类硬MDP并表明对于任何算法，预期的遗憾是至少$ \ tilde {\ omega} \ big（{\ sqrt {sat}} / {（1- \ gamma）^ {1.5}} \大）$。我们的上限与对数因子的最低限度相匹配，这表明UCBVI - $ \ Gamma $几乎最小的贴现MDP。

我们研究了具有线性函数近似增强学习中的随机最短路径（SSP）问题，其中过渡内核表示为未知模型的线性混合物。我们将此类别的SSP问题称为线性混合物SSP。我们提出了一种具有Hoeffding-type置信度的新型算法，用于学习线性混合物SSP，可以获得$ \ tilde {\ Mathcal {o}}}}（d B _ {\ star}^{1.5} \ sqrt {k/c_ {k/c_ {k/c_ {k/c_ { \ min}}）$遗憾。这里$ k $是情节的数量，$ d $是混合模型中功能映射的维度，$ b _ {\ star} $限制了最佳策略的预期累积成本，$ c _ {\ min}>> 0 $是成本函数的下限。当$ c _ {\ min} = 0 $和$ \ tilde {\ mathcal {o}}}（k^{2/3}）$遗憾时，我们的算法也适用于情况。据我们所知，这是第一个具有sublrinear遗憾保证线性混合物SSP的算法。此外，我们设计了精致的伯恩斯坦型信心集并提出了改进的算法，该算法可实现$ \ tilde {\ Mathcal {o}}}（d b _ {\ star} \ sqrt {k/c/c/c {k/c _ {\ min}}） $遗憾。为了补充遗憾的上限，我们还证明了$ \ omega（db _ {\ star} \ sqrt {k}）$的下限。因此，我们的改进算法将下限匹配到$ 1/\ sqrt {c _ {\ min}} $ factor和poly-logarithmic因素，从而实现了近乎最佳的遗憾保证。

我们考虑了具有未知成本函数的大规模马尔可夫决策过程，并解决了从有限一套专家演示学习政策的问题。我们假设学习者不允许与专家互动，并且无法访问任何类型的加固信号。现有的逆钢筋学习方法具有强大的理论保证，但在计算上是昂贵的，而最先进的政策优化算法实现了重大的经验成功，但受到有限的理论理解受到阻碍。为了弥合理论与实践之间的差距，我们使用拉格朗日二元介绍了一种新的Bilinear鞍点框架。所提出的原始双视点允许我们通过随机凸优化的镜头开发出无模型可释放的算法。该方法享有实现，低内存要求和独立于州数量的计算和采样复杂性的优点。我们进一步提出了同等的无悔在线学习解释。