In this paper we derive a PAC-Bayesian-Like error bound for a class of stochastic dynamical systems with inputs, namely, for linear time-invariant stochastic state-space models (stochastic LTI systems for short). This class of systems is widely used in control engineering and econometrics, in particular, they represent a special case of recurrent neural networks. In this paper we 1) formalize the learning problem for stochastic LTI systems with inputs, 2) derive a PAC-Bayesian-Like error bound for such systems, 3) discuss various consequences of this error bound.

We define notions of stability for learning algorithms and show how to use these notions to derive generalization error bounds based on the empirical error and the leave-one-out error. The methods we use can be applied in the regression framework as well as in the classification one when the classifier is obtained by thresholding a real-valued function. We study the stability properties of large classes of learning algorithms such as regularization based algorithms. In particular we focus on Hilbert space regularization and Kullback-Leibler regularization. We demonstrate how to apply the results to SVM for regression and classification.1. For a qualitative discussion about sensitivity analysis with links to other resources see e.g. http://sensitivity-analysis.jrc.cec.eu.int/

我们研究了随机近似程序，以便基于观察来自ergodic Markov链的长度$ n $的轨迹来求近求解$ d -dimension的线性固定点方程。我们首先表现出$ t _ {\ mathrm {mix}} \ tfrac {n}} \ tfrac {n}} \ tfrac {d}} \ tfrac {d} {n} $的非渐近性界限。$ t _ {\ mathrm {mix $是混合时间。然后，我们证明了一种在适当平均迭代序列上的非渐近实例依赖性，具有匹配局部渐近最小的限制的领先术语，包括对参数$的敏锐依赖（d，t _ {\ mathrm {mix}}） $以高阶术语。我们将这些上限与非渐近Minimax的下限补充，该下限是建立平均SA估计器的实例 - 最优性。我们通过Markov噪声的政策评估导出了这些结果的推导 - 覆盖了所有$ \ lambda \中的TD（$ \ lambda $）算法，以便[0,1）$ - 和线性自回归模型。我们的实例依赖性表征为HyperParameter调整的细粒度模型选择程序的设计开放了门（例如，在运行TD（$ \ Lambda $）算法时选择$ \ lambda $的值）。

专家（MOE）的混合是一种流行的统计和机器学习模型，由于其灵活性和效率，多年来一直引起关注。在这项工作中，我们将高斯门控的局部MOE（GLOME）和块对基因协方差局部MOE（Blome）回归模型在异质数据中呈现非线性关系，并在高维预测变量之间具有潜在的隐藏图形结构相互作用。这些模型从计算和理论角度提出了困难的统计估计和模型选择问题。本文致力于研究以混合成分数量，高斯平均专家的复杂性以及协方差矩阵的隐藏块 - 基因结构为特征的Glome或Blome模型集合中的模型选择问题。惩罚最大似然估计框架。特别是，我们建立了以弱甲骨文不平等的形式的非反应风险界限，但前提是罚款的下限。然后，在合成和真实数据集上证明了我们的模型的良好经验行为。

收购数据是机器学习的许多应用中的一项艰巨任务，只有一个人希望并且预期人口风险在单调上汇率增加（更好的性能）。事实证明，甚至对于最小化经验风险的最大限度的算法，甚至不令人惊讶的情况。在训练中的风险和不稳定的非单调行为表现出并出现在双重血统描述中的流行深度学习范式中。这些问题突出了目前对学习算法和泛化的理解缺乏了解。因此，追求这种行为的表征是至关重要的，这是至关重要的。在本文中，我们在弱假设下获得了一致和风险的单调算法，从而解决了一个打开问题Viering等。 2019关于如何避免风险曲线的非单调行为。我们进一步表明，风险单调性不一定以更糟糕的风险率的价格出现。为实现这一目标，我们推出了持有某些非I.I.D的独立利益的新经验伯恩斯坦的浓度不等式。鞅差异序列等进程。

本论文主要涉及解决深层（时间）高斯过程（DGP）回归问题的状态空间方法。更具体地，我们代表DGP作为分层组合的随机微分方程（SDES），并且我们通过使用状态空间过滤和平滑方法来解决DGP回归问题。由此产生的状态空间DGP（SS-DGP）模型生成丰富的电视等级，与建模许多不规则信号/功能兼容。此外，由于他们的马尔可道结构，通过使用贝叶斯滤波和平滑方法可以有效地解决SS-DGPS回归问题。本论文的第二次贡献是我们通过使用泰勒力矩膨胀（TME）方法来解决连续离散高斯滤波和平滑问题。这诱导了一类滤波器和SmooThers，其可以渐近地精确地预测随机微分方程（SDES）解决方案的平均值和协方差。此外，TME方法和TME过滤器和SmoOthers兼容模拟SS-DGP并解决其回归问题。最后，本文具有多种状态 - 空间（深）GPS的应用。这些应用主要包括（i）来自部分观察到的轨迹的SDES的未知漂移功能和信号的光谱 - 时间特征估计。

通过使一组基本预测因素投票根据一些权重，即对某些概率分布来获得聚合预测器。根据一些规定的概率分布，通过在一组基本预测器中采样来获得随机预测器。因此，聚合和随机预测器的共同之处包括最小化问题，而是通过对预测器集的概率分布来定义。在统计学习理论中，有一套工具旨在了解此类程序的泛化能力：Pac-Bayesian或Pac-Bayes界。由于D. Mcallester的原始Pac-Bayes界，这些工具在许多方向上得到了大大改善（例如，我们将描述社区错过的O. Catoni的定位技术的简化版本，后来被重新发现“相互信息界“）。最近，Pac-Bayes的界限受到相当大的关注：例如，在2017年的Pac-Bayes上有研讨会，“（几乎）50种贝叶斯学习：Pac-Bayesian趋势和见解”，由B. Guedj，F组织。 。巴赫和P.Merain。这一最近成功的原因之一是通过G. Dziugaite和D. Roy成功地将这些限制应用于神经网络。对Pac-Bayes理论的初步介绍仍然缺失。这是一种尝试提供这样的介绍。

通过定义和上限，通过定义和上限，分析了贝叶斯学习的最佳成绩性能，通过限定了最小的过度风险（MER）：通过从数据学习和最低预期损失可以实现的最低预期损失之间的差距认识到了。 MER的定义提供了一种原则状的方式来定义贝叶斯学习中的不同概念的不确定性，包括炼膜不确定性和最小的认知不确定性。提出了用于衍生MER的上限的两种方法。第一方法，通常适用于具有参数生成模型的贝叶斯学习，通过在模型参数之间的条件互信息和所观察到的数据预测的量之间的条件相互信息。它允许我们量化MER衰减随着更多数据可用而衰减为零的速率。在可实现的模型中，该方法还将MER与生成函数类的丰富性涉及，特别是二进制分类中的VC维度。具有参数预测模型的第二种方法，特别适用于贝叶斯学习，将MER与来自数据的模型参数的最小估计误差相关联。它明确地说明了模型参数估计中的不确定性如何转化为MER和最终预测不确定性。我们还将MER的定义和分析扩展到具有多个模型系列的设置以及使用非参数模型的设置。沿着讨论，我们在贝叶斯学习中的MER与频繁学习的过度风险之间建立了一些比较。

变性推理（VI）为基于传统的采样方法提供了一种吸引人的替代方法，用于实施贝叶斯推断，因为其概念性的简单性，统计准确性和计算可扩展性。然而，常见的变分近似方案（例如平均场（MF）近似）需要某些共轭结构以促进有效的计算，这可能会增加不必要的限制对可行的先验分布家族，并对变异近似族对差异进行进一步的限制。在这项工作中，我们开发了一个通用计算框架，用于实施MF-VI VIA WASSERSTEIN梯度流（WGF），这是概率度量空间上的梯度流。当专门针对贝叶斯潜在变量模型时，我们将分析基于时间消化的WGF交替最小化方案的算法收敛，用于实现MF近似。特别是，所提出的算法类似于EM算法的分布版本，包括更新潜在变量变异分布的E step以及在参数的变异分布上进行最陡峭下降的m step。我们的理论分析依赖于概率度量空间中的最佳运输理论和细分微积分。我们证明了时间限制的WGF的指数收敛性，以最大程度地减少普通大地测量学严格的凸度的通用物镜功能。我们还提供了通过使用时间限制的WGF的固定点方程从MF近似获得的变异分布的指数收缩的新证明。我们将方法和理论应用于两个经典的贝叶斯潜在变量模型，即高斯混合模型和回归模型的混合物。还进行了数值实验，以补充这两个模型下的理论发现。

每年，深度学习都会通过更深层和更广泛的神经网络展示新的和改进的经验结果。同时，使用现有的理论框架，很难在不诉诸于计数参数或遇到深度指数的样本复杂性范围的情况下，比两层更深地分析网络。尝试在不同的镜头下分析现代机器学习也许是富有成效的。在本文中，我们提出了一个新颖的信息理论框架，其遗憾和样本复杂性的概念用于分析机器学习的数据要求。通过我们的框架，我们首先通过一些经典示例进行工作，例如标量估计和线性回归，以构建直觉并引入通用技术。然后，我们使用该框架来研究由深度符号神经网络，深度恢复神经网络和深层网络产生的数据的样本复杂性，这些数据无限宽，但具有限制的权重。对于符号神经网络，我们恢复了基于VC量的参数之后的样本复杂性界限。对于后两个神经网络环境，我们建立了新的结果，这些结果表明，在这些数据生成过程中，学习的样本复杂性最多是线性和二次的网络深度。

深度学习的概括分析通常假定训练会收敛到固定点。但是，最近的结果表明，实际上，用随机梯度下降优化的深神经网络的权重通常无限期振荡。为了减少理论和实践之间的这种差异，本文着重于神经网络的概括，其训练动力不一定会融合到固定点。我们的主要贡献是提出一个统计算法稳定性（SAS）的概念，该算法将经典算法稳定性扩展到非convergergent算法并研究其与泛化的联系。与传统的优化和学习理论观点相比，这种崇高的理论方法可导致新的见解。我们证明，学习算法的时间复杂行为的稳定性与其泛化有关，并在经验上证明了损失动力学如何为概括性能提供线索。我们的发现提供了证据表明，即使训练无限期继续并且权重也不会融合，即使训练持续进行训练，训练更好地概括”的网络也是如此。

所有著名的机器学习算法构成了受监督和半监督的学习工作，只有在一个共同的假设下：培训和测试数据遵循相同的分布。当分布变化时，大多数统计模型必须从新收集的数据中重建，对于某些应用程序，这些数据可能是昂贵或无法获得的。因此，有必要开发方法，以减少在相关领域中可用的数据并在相似领域中进一步使用这些数据，从而减少需求和努力获得新的标签样品。这引起了一个新的机器学习框架，称为转移学习：一种受人类在跨任务中推断知识以更有效学习的知识能力的学习环境。尽管有大量不同的转移学习方案，但本调查的主要目的是在特定的，可以说是最受欢迎的转移学习中最受欢迎的次级领域，概述最先进的理论结果，称为域适应。在此子场中，假定数据分布在整个培训和测试数据中发生变化，而学习任务保持不变。我们提供了与域适应性问题有关的现有结果的首次最新描述，该结果涵盖了基于不同统计学习框架的学习界限。

我们提出了Pac-Bayes风格的概括结合，该结合可以用各种积分概率指标（IPM）替换KL-Divergence。我们提供了这种结合的实例，IPM是总变异度量和Wasserstein距离。获得的边界的一个显着特征是，它们在最坏的情况下（当前和后距离彼此远距离时）在经典均匀收敛边界之间自然插值，并且在更好的情况下（后验和先验都关闭时）优选界限。这说明了使用算法和数据依赖性组件加强经典概括界限的可能性，从而使它们更适合分析使用大假设空间的算法。

我们使用仅使用独立和相同分布的样本的有限集合来估计用于估计动态系统的正向可迁移装置的算法。产生的估计是称为经验逆克里斯科特的函数的诸如函数的Sublevel组：已知经验逆Christoffel功能，以提供对概率分布的支持的良好近似。除了可达性分析之外，可以应用于估计随机变量支持的一般问题，这在数据科学中具有数据科学中的应用程序，可以应用于数据集中的Novelties和异常值。在安全是一个问题的应用中，保证在有限数据集上保持的准确性至关重要。在本文中，我们在可能大致正确（PAC）框架下证明了我们算法的界限。除了应用古典VAPnik-Chervonenkis（VC）维度绑定参数之外，我们除了利用核化经验逆克里斯科特函数和高斯进程回归模型之间的正式连接，我们还应用PAC-Bayes定理。基于Pac-Bayes的界限适用于比VC维度参数更一般的Christoffel功能，并在实验中实现了更大的样本效率。

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我们建议和分析一个强化学习原理，该原理仅在测试功能的用户定义空间沿使用它们的有效性来近似钟声方程。我们专注于使用功能近似的无模型离线RL应用程序，我们利用这一原理来得出置信区间以进行非政策评估，并在规定的策略类别中优化了对策略的优化。我们证明了关于我们的政策优化程序的甲骨文不平等，就任意比较策略的价值和不确定性之间的权衡而言。测试功能空间的不同选择使我们能够解决共同框架中的不同问题。我们表征了使用我们的程序从政策转移到政策数据的效率的丧失，并建立了与过去工作中研究的浓缩性系数的连接。我们深入研究了具有线性函数近似的方法的实施，即使贝尔曼关闭不结束，也可以通过多项式时间实现提供理论保证。

部分可观察到的马尔可夫决策过程（POMDPS）是加强学习的自然和一般模型，以考虑到代理人对其当前国家的不确定性。在POMDPS的文献中，习惯性地假设在已知参数时计算最佳策略的规划Oracle，即使已知问题是计算的。几乎所有现有的规划算法都在指数时间内运行，缺乏可证明的性能保证，或者需要在每个可能的政策下对转换动态进行强烈的假设。在这项工作中，我们重新审视了规划问题并问：是否有自然和积极的假设，使计划变得容易？我们的主要结果是用于规划（一步）可观察POMDPS的QuasioInomial-time算法。具体而言，我们假设各国的分离良好的分布导致分开的观察分布，因此观察结果在每一步中至少有一些信息。至关重要的是，这个假设没有对POMDP的过渡动态的限制;尽管如此，它意味着近乎最佳的政策承认准简洁的描述，这通常不是真实的（在标准的硬度假设下）。我们的分析基于滤波器稳定性的新定量界限 - 即潜在状态的最佳滤波器的速率忘记其初始化。此外，在指数时间假设下，我们证明了在可观察POMDPS中规划的匹配硬度。

We introduce and study a novel model-selection strategy for Bayesian learning, based on optimal transport, along with its associated predictive posterior law: the Wasserstein population barycenter of the posterior law over models. We first show how this estimator, termed Bayesian Wasserstein barycenter (BWB), arises naturally in a general, parameter-free Bayesian model-selection framework, when the considered Bayesian risk is the Wasserstein distance. Examples are given, illustrating how the BWB extends some classic parametric and non-parametric selection strategies. Furthermore, we also provide explicit conditions granting the existence and statistical consistency of the BWB, and discuss some of its general and specific properties, providing insights into its advantages compared to usual choices, such as the model average estimator. Finally, we illustrate how this estimator can be computed using the stochastic gradient descent (SGD) algorithm in Wasserstein space introduced in a companion paper arXiv:2201.04232v2 [math.OC], and provide a numerical example for experimental validation of the proposed method.

我们观察到，给定两个（兼容的）函数类别$ \ MATHCAL {f} $和$ \ MATHCAL {h} $，具有较小的容量，按其均匀覆盖的数字测量，组成类$ \ Mathcal {H} \ Circ \ Mathcal {f} $可能会变得非常大，甚至无限。然后，我们证明，在用$ \ Mathcal {h} $构成$ \ Mathcal {f} $的输出中，添加少量高斯噪声可以有效地控制$ \ Mathcal {H} \ Circ \ Mathcal { F} $，提供模块化设计的一般配方。为了证明我们的结果，我们定义了均匀覆盖随机函数数量的新概念，相对于总变异和瓦斯坦斯坦距离。我们将结果实例化，以实现多层Sigmoid神经​​网络。 MNIST数据集的初步经验结果表明，在现有统一界限上改善所需的噪声量在数值上可以忽略不计（即，元素的I.I.D. I.I.D.高斯噪声，具有标准偏差$ 10^{ - 240} $）。源代码可从https://github.com/fathollahpour/composition_noise获得。

专家（MOE）模型的混合物是对数据中的异质性建模的流行框架，由于其灵活性以及可用的统计估计和模型选择工具的丰富性，用于统计和机器学习中的回归和分类问题。这种灵活性来自于允许MOE模型中的混合物重量（或门控函数）与专家（或组件密度）一起取决于解释变量。与经典的有限混合物和回归模型的有限混合物相比，这允许由更复杂的数据生成过程产生的数据建模，该过程的混合参数与协变量无关。从计算的角度来看，当解释变量的数量可能大于样本量时，MOE模型在高维度中的使用是挑战的，尤其是从理论的角度来看，文献是对于统计估计和特征选择问题，仍缺乏处理维度诅咒的结果。我们考虑具有软马克斯门控函数和高斯专家的有限MOE模型，用于在异质数据上进行高维回归，并通过Lasso进行$ L_1 $调查的估计。我们专注于拉索估计属性，而不是其特征选择属性。我们在LASSO函数的正规化参数上提供了一个下限，该参数确保了根据Kullback-Leibler损失，Lasso估算器满足了$ L_1 $ -ORACLE不平等。