自从Russo和Zou（2016,2019）和Xu and Raginsky（2017）的著名作品以来，众所周知，监督学习算法的概括性错误可以根据其输入和输出，输出和输出之间的相互信息来界定。鉴于任何固定假设的丧失都具有亚高斯的尾巴。在这项工作中，我们将此结果推广到Shannon的共同信息的标准选择之外，以衡量输入和输出之间的依赖性。 Our main result shows that it is indeed possible to replace the mutual information by any strongly convex function of the joint input-output distribution, with the subgaussianity condition on the losses replaced by a bound on an appropriately chosen norm capturing the geometry of the dependence measure 。这使我们能够得出一系列的概括范围，这些范围是全新的，或者增强了以前已知的范围。示例包括按$ p $ norm差异和Wasserstein-2距离表示的界限，这些距离分别适用于重尾损失分布和高度平滑的损失功能。我们的分析完全基于来自凸分析的基本工具，通过跟踪与依赖度量和损失函数相关的潜在功能的增长。

这项工作讨论了如何通过链接技术导致监督学习算法的预期概括误差的上限。通过开发一个一般的理论框架，我们根据损失函数的规律性及其链式对应物建立二元性界限，这可以通过将损失从损失从其梯度提升到其梯度来获得。这使我们能够根据Wasserstein距离和其他概率指标重新衍生从文献中绑定的链式相互信息，并获得新颖的链接信息理论理论范围。我们在一些玩具示例中表明，链式的概括结合可能比其标准对应物明显更紧，尤其是当算法选择的假设的分布非常集中时。关键字：概括范围；链信息理论范围；相互信息；瓦斯堡的距离； Pac-Bayes。

在本文中，我们介绍了超模块化$ \ mf $ -Diverences，并为它们提供了三个应用程序：（i）我们在基于超模型$ \ MF $ - 基于独立随机变量的尾部引入了Sanov的上限。分歧并表明我们的广义萨诺夫（Sanov）严格改善了普通的界限，（ii）我们考虑了有损耗的压缩问题，该问题研究了给定失真和代码长度的一组可实现的速率。我们使用互助$ \ mf $ - 信息扩展了利率 - 延伸函数，并使用超模块化$ \ mf $ -Diverences在有限的区块长度方面提供了新的，严格的更好的界限，并且（iii）我们提供了连接具有有限输入/输出共同$ \ mf $的算法的概括误差和广义率延伸问题。该连接使我们能够使用速率函数的下限来限制学习算法的概括误差。我们的界限是基于对利率延伸函数的新下限，该函数（对于某些示例）严格改善了以前最著名的界限。此外，使用超模块化$ \ mf $ -Divergences来减少问题的尺寸并获得单字母界限。

我们提出了一种统一的技术，用于顺序估计分布之间的凸面分歧，包括内核最大差异等积分概率度量，$ \ varphi $ - 像Kullback-Leibler发散，以及最佳运输成本，例如Wassersein距离的权力。这是通过观察到经验凸起分歧（部分有序）反向半角分离的实现来实现的，而可交换过滤耦合，其具有这些方法的最大不等式。这些技术似乎是对置信度序列和凸分流的现有文献的互补和强大的补充。我们构建一个离线到顺序设备，将各种现有的离线浓度不等式转换为可以连续监测的时间均匀置信序列，在任意停止时间提供有效的测试或置信区间。得到的顺序边界仅在相应的固定时间范围内支付迭代对数价格，保留对问题参数的相同依赖性（如适用的尺寸或字母大小）。这些结果也适用于更一般的凸起功能，如负差分熵，实证过程的高度和V型统计。

我们提出了Pac-Bayes风格的概括结合，该结合可以用各种积分概率指标（IPM）替换KL-Divergence。我们提供了这种结合的实例，IPM是总变异度量和Wasserstein距离。获得的边界的一个显着特征是，它们在最坏的情况下（当前和后距离彼此远距离时）在经典均匀收敛边界之间自然插值，并且在更好的情况下（后验和先验都关闭时）优选界限。这说明了使用算法和数据依赖性组件加强经典概括界限的可能性，从而使它们更适合分析使用大假设空间的算法。

To date, no "information-theoretic" frameworks for reasoning about generalization error have been shown to establish minimax rates for gradient descent in the setting of stochastic convex optimization. In this work, we consider the prospect of establishing such rates via several existing information-theoretic frameworks: input-output mutual information bounds, conditional mutual information bounds and variants, PAC-Bayes bounds, and recent conditional variants thereof. We prove that none of these bounds are able to establish minimax rates. We then consider a common tactic employed in studying gradient methods, whereby the final iterate is corrupted by Gaussian noise, producing a noisy "surrogate" algorithm. We prove that minimax rates cannot be established via the analysis of such surrogates. Our results suggest that new ideas are required to analyze gradient descent using information-theoretic techniques.

我们研究了广义熵的连续性属性作为潜在的概率分布的函数，用动作空间和损失函数定义，并使用此属性来回答统计学习理论中的基本问题：各种学习方法的过度风险分析。我们首先在几种常用的F分歧，Wassersein距离的熵差异导出了两个分布的熵差，这取决于动作空间的距离和损失函数，以及由熵产生的Bregman发散，这也诱导了两个分布之间的欧几里德距离方面的界限。对于每个一般结果的讨论给出了示例，使用现有的熵差界进行比较，并且基于新结果导出新的相互信息上限。然后，我们将熵差异界限应用于统计学习理论。结果表明，两种流行的学习范式，频繁学习和贝叶斯学习中的过度风险都可以用不同形式的广义熵的连续性研究。然后将分析扩展到广义条件熵的连续性。扩展为贝叶斯决策提供了不匹配的分布来提供性能范围。它也会导致第三个划分的学习范式的过度风险范围，其中决策规则是在经验分布的预定分布家族的预测下进行最佳设计。因此，我们通过广义熵的连续性建立了统计学习三大范式的过度风险分析的统一方法。

转移学习或域适应性与机器学习问题有关，在这些问题中，培训和测试数据可能来自可能不同的概率分布。在这项工作中，我们在Russo和Xu发起的一系列工作之后，就通用错误和转移学习算法的过量风险进行了信息理论分析。我们的结果也许表明，也许正如预期的那样，kullback-leibler（kl）Divergence $ d（\ mu || \ mu'）$在$ \ mu $和$ \ mu'$表示分布的特征中起着重要作用。培训数据和测试测试。具体而言，我们为经验风险最小化（ERM）算法提供了概括误差上限，其中两个分布的数据在训练阶段都可用。我们进一步将分析应用于近似的ERM方法，例如Gibbs算法和随机梯度下降方法。然后，我们概括了与$ \ phi $ -Divergence和Wasserstein距离绑定的共同信息。这些概括导致更紧密的范围，并且在$ \ mu $相对于$ \ mu' $的情况下，可以处理案例。此外，我们应用了一套新的技术来获得替代的上限，该界限为某些学习问题提供了快速（最佳）的学习率。最后，受到派生界限的启发，我们提出了Infoboost算法，其中根据信息测量方法对源和目标数据的重要性权重进行了调整。经验结果表明了所提出的算法的有效性。

在因果推理和强盗文献中，基于观察数据的线性功能估算线性功能的问题是规范的。我们分析了首先估计治疗效果函数的广泛的两阶段程序，然后使用该数量来估计线性功能。我们证明了此类过程的均方误差上的非反应性上限：这些边界表明，为了获得非反应性最佳程序，应在特定加权$ l^2 $中最大程度地估算治疗效果的误差。 -规范。我们根据该加权规范的约束回归分析了两阶段的程序，并通过匹配非轴突局部局部最小值下限，在有限样品中建立了实例依赖性最优性。这些结果表明，除了取决于渐近效率方差之外，最佳的非质子风险除了取决于样本量支持的最富有函数类别的真实结果函数与其近似类别之间的加权规范距离。

We consider the problem of estimating the optimal transport map between a (fixed) source distribution $P$ and an unknown target distribution $Q$, based on samples from $Q$. The estimation of such optimal transport maps has become increasingly relevant in modern statistical applications, such as generative modeling. At present, estimation rates are only known in a few settings (e.g. when $P$ and $Q$ have densities bounded above and below and when the transport map lies in a H\"older class), which are often not reflected in practice. We present a unified methodology for obtaining rates of estimation of optimal transport maps in general function spaces. Our assumptions are significantly weaker than those appearing in the literature: we require only that the source measure $P$ satisfies a Poincar\'e inequality and that the optimal map be the gradient of a smooth convex function that lies in a space whose metric entropy can be controlled. As a special case, we recover known estimation rates for bounded densities and H\"older transport maps, but also obtain nearly sharp results in many settings not covered by prior work. For example, we provide the first statistical rates of estimation when $P$ is the normal distribution and the transport map is given by an infinite-width shallow neural network.

比较概率分布是许多机器学习算法的关键。最大平均差异（MMD）和最佳运输距离（OT）是在过去几年吸引丰富的关注的概率措施之间的两类距离。本文建立了一些条件，可以通过MMD规范控制Wassersein距离。我们的作品受到压缩统计学习（CSL）理论的推动，资源有效的大规模学习的一般框架，其中训练数据总结在单个向量（称为草图）中，该训练数据捕获与所考虑的学习任务相关的信息。在CSL中的现有结果启发，我们介绍了H \“较旧的较低限制的等距属性（H \”较旧的LRIP）并表明这家属性具有有趣的保证对压缩统计学习。基于MMD与Wassersein距离之间的关系，我们通过引入和研究学习任务的Wassersein可读性的概念来提供压缩统计学习的保证，即概率分布之间的某些特定于特定的特定度量，可以由Wassersein界定距离。

在线学习和决策中的一个核心问题 - 从土匪到强化学习 - 是要了解哪种建模假设会导致样本有效的学习保证。我们考虑了一个普遍的对抗性决策框架，该框架涵盖了（结构化的）匪徒问题，这些问题与对抗性动力学有关。我们的主要结果是通过新的上限和下限显示决策估计系数，这是Foster等人引入的复杂度度量。在与我们环境的随机对应物中，对于对抗性决策而言是必要和足够的遗憾。但是，与随机设置相比，必须将决策估计系数应用于所考虑的模型类（或假设）的凸壳。这就确定了容纳对抗奖励或动态的价格受凸层化模型类的行为的约束，并恢复了许多现有结果 - 既积极又负面。在获得这些保证的途径中，我们提供了新的结构结果，将决策估计系数与其他众所周知的复杂性度量的变体联系起来，包括Russo和Van Roy的信息比以及Lattimore和Gy的探索目标\“ {o} rgy。

量化概率分布之间的异化的统计分歧（SDS）是统计推理和机器学习的基本组成部分。用于估计这些分歧的现代方法依赖于通过神经网络（NN）进行参数化经验变化形式并优化参数空间。这种神经估算器在实践中大量使用，但相应的性能保证是部分的，并呼吁进一步探索。特别是，涉及的两个错误源之间存在基本的权衡：近似和经验估计。虽然前者需要NN课程富有富有表现力，但后者依赖于控制复杂性。我们通过非渐近误差界限基于浅NN的基于浅NN的估计的估算权，重点关注四个流行的$ \ mathsf {f} $ - 分离 - kullback-leibler，chi squared，squared hellinger，以及总变异。我们分析依赖于实证过程理论的非渐近功能近似定理和工具。界限揭示了NN尺寸和样品数量之间的张力，并使能够表征其缩放速率，以确保一致性。对于紧凑型支持的分布，我们进一步表明，上述上三次分歧的神经估算器以适当的NN生长速率接近Minimax率 - 最佳，实现了对数因子的参数速率。

对于高维和非参数统计模型，速率最优估计器平衡平方偏差和方差是一种常见的现象。虽然这种平衡被广泛观察到，但很少知道是否存在可以避免偏差和方差之间的权衡的方法。我们提出了一般的策略，以获得对任何估计方差的下限，偏差小于预先限定的界限。这表明偏差差异折衷的程度是不可避免的，并且允许量化不服从其的方法的性能损失。该方法基于许多抽象的下限，用于涉及关于不同概率措施的预期变化以及诸如Kullback-Leibler或Chi-Sque-diversence的信息措施的变化。其中一些不平等依赖于信息矩阵的新概念。在该物品的第二部分中，将抽象的下限应用于几种统计模型，包括高斯白噪声模型，边界估计问题，高斯序列模型和高维线性回归模型。对于这些特定的统计应用，发生不同类型的偏差差异发生，其实力变化很大。对于高斯白噪声模型中集成平方偏置和集成方差之间的权衡，我们将较低界限的一般策略与减少技术相结合。这允许我们将原始问题与估计的估计器中的偏差折衷联动，以更简单的统计模型中具有额外的对称性属性。在高斯序列模型中，发生偏差差异的不同相位转换。虽然偏差和方差之间存在非平凡的相互作用，但是平方偏差的速率和方差不必平衡以实现最小估计速率。

鉴于$ n $ i.i.d.从未知的分发$ P $绘制的样本，何时可以生成更大的$ n + m $ samples，这些标题不能与$ n + m $ i.i.d区别区别。从$ p $绘制的样品？（AXELROD等人2019）将该问题正式化为样本放大问题，并为离散分布和高斯位置模型提供了最佳放大程序。然而，这些程序和相关的下限定制到特定分布类，对样本扩增的一般统计理解仍然很大程度上。在这项工作中，我们通过推出通常适用的放大程序，下限技术和与现有统计概念的联系来放置对公司统计基础的样本放大问题。我们的技术适用于一大类分布，包括指数家庭，并在样本放大和分配学习之间建立严格的联系。

在本文中，我们重新审视了私人经验风险最小化（DP-erm）和差异私有随机凸优化（DP-SCO）的问题。我们表明，来自统计物理学（Langevin Exfusion（LD））的经过良好研究的连续时间算法同时为DP-SCO和DP-SCO提供了最佳的隐私/实用性权衡，$ \ epsilon $ -DP和$ $ \ epsilon $ -DP和$ （\ epsilon，\ delta）$ - dp均用于凸和强烈凸损失函数。我们为LD提供新的时间和尺寸独立统一稳定性，并使用我们为$ \ epsilon $ -DP提供相应的最佳超额人口风险保证。 $ \ epsilon $ -DP的DP-SCO保证的一个重要属性是，它们将非私人最佳界限匹配为$ \ epsilon \与\ infty $。在此过程中，我们提供了各种技术工具，这些工具可能引起独立的关注：i）在两个相邻数据集上运行损失功能时，一个新的r \'enyi Divergence绑定了LD，ii）最后一个过多的经验风险范围迭代LD，类似于Shamir和Zhang的嘈杂随机梯度下降（SGD）和iii）的LD，对LD进行了两期多余的风险分析，其中第一阶段是当扩散在任何合理意义上都没有在任何合理意义上融合到固定分布时，在第二阶段扩散已收敛到吉布斯分布的变体。我们的普遍性结果至关重要地依赖于LD的动力学。当它融合到固定分布时，我们获得了$ \ epsilon $ -DP的最佳界限。当它仅在很短的时间内运行$ \ propto 1/p $时，我们在$（\ epsilon，\ delta）$ -DP下获得最佳界限。在这里，$ p $是模型空间的维度。

通过定义和上限，通过定义和上限，分析了贝叶斯学习的最佳成绩性能，通过限定了最小的过度风险（MER）：通过从数据学习和最低预期损失可以实现的最低预期损失之间的差距认识到了。 MER的定义提供了一种原则状的方式来定义贝叶斯学习中的不同概念的不确定性，包括炼膜不确定性和最小的认知不确定性。提出了用于衍生MER的上限的两种方法。第一方法，通常适用于具有参数生成模型的贝叶斯学习，通过在模型参数之间的条件互信息和所观察到的数据预测的量之间的条件相互信息。它允许我们量化MER衰减随着更多数据可用而衰减为零的速率。在可实现的模型中，该方法还将MER与生成函数类的丰富性涉及，特别是二进制分类中的VC维度。具有参数预测模型的第二种方法，特别适用于贝叶斯学习，将MER与来自数据的模型参数的最小估计误差相关联。它明确地说明了模型参数估计中的不确定性如何转化为MER和最终预测不确定性。我们还将MER的定义和分析扩展到具有多个模型系列的设置以及使用非参数模型的设置。沿着讨论，我们在贝叶斯学习中的MER与频繁学习的过度风险之间建立了一些比较。

在线学习中，随机数据和对抗性数据是两个广泛研究的设置。但是许多优化任务都不是I.I.D.也不完全对抗，这使得对这些极端之间的世界有更好的理论理解具有根本的利益。在这项工作中，我们在在随机I.I.D.之间插值的环境中建立了在线凸优化的新颖遗憾界限。和完全的对抗损失。通过利用预期损失的平滑度，这些边界用梯度的方差取代对最大梯度长度的依赖，这是以前仅以线性损失而闻名的。此外，它们削弱了I.I.D.假设通过允许对抗中毒的回合，以前在专家和强盗设置中考虑过。我们的结果将其扩展到在线凸优化框架。在完全I.I.D.中情况，我们的界限与随机加速的结果相匹配，并且在完全对抗的情况下，它们优雅地恶化以符合Minimax的遗憾。我们进一步提供了下限，表明所有中级方案的遗憾上限都很紧张，从随机方差和损失梯度的对抗变异方面。

We develop and analyze M -estimation methods for divergence functionals and the likelihood ratios of two probability distributions. Our method is based on a non-asymptotic variational characterization of f -divergences, which allows the problem of estimating divergences to be tackled via convex empirical risk optimization. The resulting estimators are simple to implement, requiring only the solution of standard convex programs. We present an analysis of consistency and convergence for these estimators. Given conditions only on the ratios of densities, we show that our estimators can achieve optimal minimax rates for the likelihood ratio and the divergence functionals in certain regimes. We derive an efficient optimization algorithm for computing our estimates, and illustrate their convergence behavior and practical viability by simulations. 1

我们在差分隐私（DP）的约束下，用重型数据研究随机凸优化。大多数关于此问题的事先工作仅限于损耗功能是Lipschitz的情况。相反，正如王，肖，德拉达斯和徐\ Cite {wangxdx20}所引入的那样，假设渐变的分布已涉及$ k $ --th时刻，我们研究了一般凸损失功能。我们在集中DP下提供了改善的上限，用于凸起的凸起和强凸损失功能。一路上，我们在纯粹和集中的DP下获得了私人平均估计的私有平均估计的新算法。最后，我们证明了私有随机凸性优化的近乎匹配的下限，具有强凸损失和平均估计，显示纯净和浓缩的DP之间的新分离。