张量鲁棒主成分分析（TRPCA）是机器学习和计算机视觉中的基本模型。最近，张力列车（TT）分解已经过验证了捕获张量恢复任务的全局低秩相关性。然而，由于现实世界应用中的大规模张量数据，之前的TRPCA模型经常遭受高计算复杂性。在这封信中，我们提出了一个高效的TRPCA，在Tucker和TT的混合模型下。具体地，理论上我们揭示了原始大张量的TT核规范（TTNN）可以通过Tucker压缩格式等同地转换为更小的张量，从而显着降低了奇异值分解（SVD）的计算成本。合成和现实世界张量数据的数值实验验证了所提出的模型的优越性。

Tensor robust principal component analysis (TRPCA) is a promising way for low-rank tensor recovery, which minimizes the convex surrogate of tensor rank by shrinking each tensor singular values equally. However, for real-world visual data, large singular values represent more signifiant information than small singular values. In this paper, we propose a nonconvex TRPCA (N-TRPCA) model based on the tensor adjustable logarithmic norm. Unlike TRPCA, our N-TRPCA can adaptively shrink small singular values more and shrink large singular values less. In addition, TRPCA assumes that the whole data tensor is of low rank. This assumption is hardly satisfied in practice for natural visual data, restricting the capability of TRPCA to recover the edges and texture details from noisy images and videos. To this end, we integrate nonlocal self-similarity into N-TRPCA, and further develop a nonconvex and nonlocal TRPCA (NN-TRPCA) model. Specifically, similar nonlocal patches are grouped as a tensor and then each group tensor is recovered by our N-TRPCA. Since the patches in one group are highly correlated, all group tensors have strong low-rank property, leading to an improvement of recovery performance. Experimental results demonstrate that the proposed NN-TRPCA outperforms some existing TRPCA methods in visual data recovery. The demo code is available at https://github.com/qguo2010/NN-TRPCA.

张量稀疏建模是一种有希望的方法，在整个科学和工程学中，取得了巨大的成功。众所周知，实际应用中的各种数据通常由多种因素产生，因此使用张量表示包含多个因素内部结构的数据。但是，与矩阵情况不同，构建合理的稀疏度量张量是一项相对困难且非常重要的任务。因此，在本文中，我们提出了一种称为张量全功能度量（FFM）的新张量稀疏度度量。它可以同时描述张量的每个维度的特征信息以及两个维度之间的相关特征，并将塔克等级与张量管等级连接。这种测量方法可以更全面地描述张量的稀疏特征。在此基础上，我们建立了其非凸放松，并将FFM应用于低级张量完成（LRTC）和张量鲁棒的主成分分析（TRPCA）。提出了基于FFM的LRTC和TRPCA模型，并开发了两种有效的交替方向乘数法（ADMM）算法来求解所提出的模型。各种实际数值实验证实了超出最先进的方法的优势。

张张量强大的主成分分析（TRPCA）旨在恢复因稀疏噪声破坏的低排名张量，在许多真实应用中引起了很多关注。本文开发了一种新的全球加权TRPCA方法（GWTRPCA），该方法是第一种同时考虑额外域内切片和额叶间切片奇异值的重要性。利用这些全球信息，GWTRPCA惩罚了较大的单数值，并为其分配了较小的权重。因此，我们的方法可以更准确地恢复低管级组件。此外，我们提出了通过改良的考奇估计量（MCE）的有效自适应学习策略，因为重量设置在GWTRPCA的成功中起着至关重要的作用。为了实现GWTRPCA方法，我们使用乘数的交替方向方法（ADMM）方法设计了一种优化算法。对现实世界数据集的实验验证了我们提出的方法的有效性。

从高度不足的数据中恢复颜色图像和视频是面部识别和计算机视觉中的一项基本且具有挑战性的任务。通过颜色图像和视频的多维性质，在本文中，我们提出了一种新颖的张量完成方法，该方法能够有效探索离散余弦变换（DCT）下张量数据的稀疏性。具体而言，我们介绍了两个``稀疏 +低升级''张量完成模型，以及两种可实现的算法来找到其解决方案。第一个是基于DCT的稀疏加权核标准诱导低级最小化模型。第二个是基于DCT的稀疏加上$ P $换图映射引起的低秩优化模型。此外，我们因此提出了两种可实施的增强拉格朗日算法，以解决基础优化模型。一系列数值实验在内，包括颜色图像介入和视频数据恢复表明，我们所提出的方法的性能要比许多现有的最新张量完成方法更好，尤其是对于缺少数据比率较高的情况。

非凸松弛方法已被广泛用于张量恢复问题，并且与凸松弛方法相比，可以实现更好的恢复结果。在本文中，提出了一种新的非凸函数，最小值对数凹点（MLCP）函数，并分析了其某些固有属性，其中有趣的是发现对数函数是MLCP的上限功能。所提出的功能概括为张量病例，得出张量MLCP和加权张量$ l \ gamma $ -norm。考虑到将其直接应用于张量恢复问题时无法获得其明确解决方案。因此，给出了解决此类问题的相应等效定理，即张量等效的MLCP定理和等效加权张量$ l \ gamma $ -norm定理。此外，我们提出了两个基于EMLCP的经典张量恢复问题的模型，即低秩量张量完成（LRTC）和张量稳健的主组件分析（TRPCA）以及设计近端替代线性化最小化（棕榈）算法以单独解决它们。此外，基于Kurdyka - {\ l} ojasiwicz属性，证明所提出算法的溶液序列具有有限的长度并在全球范围内收敛到临界点。最后，广泛的实验表明，提出的算法取得了良好的结果，并证实MLCP函数确实比最小化问题中的对数函数更好，这与理论特性的分析一致。

张量完成是从部分观察到的条目中估算高阶数据缺失值的问题。由于盛行异常值而引起的数据腐败对传统的张量完成算法提出了重大挑战，这促进了减轻异常值效果的强大算法的发展。但是，现有的强大方法在很大程度上假定腐败很少，这可能在实践中可能不存在。在本文中，我们开发了一种两阶段的稳健张量完成方法，以处理张张量的视觉数据，并具有大量的严重损坏。提出了一个新颖的粗到精细框架，该框架使用全局粗完成结果来指导局部贴剂细化过程。为了有效地减轻大量异常值对张量恢复的影响，我们开发了一种新的基于M估计器的稳健张环回收方法，该方法可以自适应地识别异常值并减轻其在优化中的负面影响。实验结果表明，所提出的方法优于最先进的稳定算法以完成张量。

我们使用张量奇异值分解（T-SVD）代数框架提出了一种新的快速流算法，用于抵抗缺失的低管级张量的缺失条目。我们展示T-SVD是三阶张量的研究型块术语分解的专业化，我们在该模型下呈现了一种算法，可以跟踪从不完全流2-D数据的可自由子模块。所提出的算法使用来自子空间的基层歧管的增量梯度下降的原理，以解决线性复杂度和时间样本的恒定存储器的张量完成问题。我们为我们的算法提供了局部预期的线性收敛结果。我们的经验结果在精确态度上具有竞争力，但在计算时间内比实际应用上的最先进的张量完成算法更快，以在有限的采样下恢复时间化疗和MRI数据。

低级别在高光谱图像（HSI）降级任务中很重要。根据张量的奇异值分解定义的张量核标准（TNN）是描述HSI低级别的最新方法。但是，TNN忽略了HSI在解决deno的任务时的某些身体含义，从而导致了次优的降级性能。在本文中，我们提出了用于HSI降解任务的多模式和频率加权张量核定常（MFWTNN）和非凸MFWTNN。首先，我们研究了频率切片的物理含义，并重新考虑其权重以提高TNN的低级别表示能力。其次，我们考虑两个空间维度和HSI的光谱维度之间的相关性，并将上述改进与TNN相结合以提出MFWTNN。第三，我们使用非凸功能来近似频率张量的秩函数，并提出非MFWTNN以更好地放松MFWTNN。此外，我们自适应地选择更大的权重，用于切片，主要包含噪声信息和较小的重量，用于包含配置文件信息的切片。最后，我们开发了基于乘数（ADMM）算法的有效交替方向方法来求解所提出的模型，并在模拟和真实的HSI数据集中证实了我们的模型的有效性。

在这项工作中，我们估计具有高概率的张量的随机选择元素的数量，保证了黎曼梯度下降的局部收敛性，以便张力列车完成。基于展开奇异值的谐波平均值，我们从正交投影的正交投影推导出一个新的界限，并引入张力列车的核心相干概念。我们还将结果扩展到张力列车完成与侧面信息，并获得相应的本地收敛保证。

低级张力完成已广泛用于计算机视觉和机器学习。本文开发了一种新型多模态核心张量分解（MCTF）方法，与张量低秩测量和该措施的更好的非凸弛豫形式（NC-MCTF）。所提出的模型编码由Tucker和T-SVD提供的一般张量的低秩见解，因此预计将在多个方向上同时模拟光谱低秩率，并准确地恢复基于几个观察到的条目的内在低秩结构的数据。此外，我们研究了MCTF和NC-MCTF正则化最小化问题，并设计了一个有效的块连续上限最小化（BSUM）算法来解决它们。该高效的求解器可以将MCTF扩展到各种任务，例如张量完成。一系列实验，包括高光谱图像（HSI），视频和MRI完成，确认了所提出的方法的卓越性能。

核标准和沙滕 - $ p $ quasi-Norm是低级矩阵恢复中受欢迎的排名代理。不幸的是，计算张量的核标准或schatten-$ p $ quasi-Norm是NP-HARD，这是对低级数张量完成（LRTC）（LRTC）和张量稳定性主组件分析（TRPCA）的怜悯。在本文中，我们根据张量的CP组件向量的欧几里得规范提出了一类新的张量级正规化器，并表明这些正则化是张量schatten-$ p $ quasi-norm的单调转换。该连接使我们能够将LRTC和TRPCA中的Schatten-$ p $ quasi-norm降至最低。这些方法不使用奇异的值分解，因此可以对大张量进行比例。此外，这些方法对初始等级的选择不敏感，并且与核定标准相比，该方法为低量张量回收率提供了任意尖锐的等级代理。另一方面，我们使用Schatten-$ $ p $ quasi-norm正规化和LRTC研究了LRTC的概括能力。该定理表明，相对更清晰的正规化程序会导致更严格的误差绑定，这与我们的数值结果一致。合成数据和实际数据的数值结果证明了与基线方法相比，我们方法的有效性和优势。

在本文中，我们在不同研究领域使用的三种模型之间存在联系：来自正式语言和语言学的加权有限自动机〜（WFA），机器学习中使用的经常性神经网络，以及张量网络，包括一组高处的优化技术量子物理学和数值分析中使用的顺序张量。我们首先介绍WFA与张力列车分解，特定形式的张量网络之间的内在关系。该关系允许我们展示由WFA计算的函数的Hankel矩阵的新型低级结构，并设计利用这种结构的有效光谱学习算法来扩展到非常大的Hankel矩阵。我们将解开基本连接在WFA和第二阶逆转神经网络之间〜（2-RNN）：在离散符号的序列的情况下，具有线性激活功能的WFA和2-RNN是表现性的。利用该等效结果与加权自动机的经典频谱学习算法相结合，我们介绍了在连续输入向量序列上定义的线性2-RNN的第一可提供学习算法。本算法依赖于Hankel Tensor的低等级子块，可以从中可以从中恢复线性2-RNN的参数。在综合性和现实世界数据的仿真研究中评估了所提出的学习算法的性能。

张量分解是从多维非负数据中提取物理有意义的潜在因素的强大工具，并且对诸如图像处理，机器学习和计算机视觉等各个领域的兴趣越来越多。在本文中，我们提出了一种稀疏的非负塔克分解和完成方法，用于在嘈杂的观察结果下恢复潜在的非负数据。在这里，基本的非负数据张量分解为核心张量，几个因子矩阵，所有条目均为无负，并且因子矩阵稀疏。损失函数是由嘈杂观测值的最大似然估计得出的，并且使用$ \ ell_0 $ norm来增强因子矩阵的稀疏性。我们在通用噪声场景下建立了拟议模型的估计器的误差结合，然后将其指定为具有加性高斯噪声，加法拉普拉斯噪声和泊松观测的观测值。我们的理论结果比现有基于张量或基于矩阵的方法更好。此外，最小值的下限显示与对数因子的衍生上限相匹配。合成数据集和现实世界数据集的数值示例证明了提出的非负张量数据完成方法的优越性。

It is known that the decomposition in low-rank and sparse matrices (\textbf{L+S} for short) can be achieved by several Robust PCA techniques. Besides the low rankness, the local smoothness (\textbf{LSS}) is a vitally essential prior for many real-world matrix data such as hyperspectral images and surveillance videos, which makes such matrices have low-rankness and local smoothness properties at the same time. This poses an interesting question: Can we make a matrix decomposition in terms of \textbf{L\&LSS +S } form exactly? To address this issue, we propose in this paper a new RPCA model based on three-dimensional correlated total variation regularization (3DCTV-RPCA for short) by fully exploiting and encoding the prior expression underlying such joint low-rank and local smoothness matrices. Specifically, using a modification of Golfing scheme, we prove that under some mild assumptions, the proposed 3DCTV-RPCA model can decompose both components exactly, which should be the first theoretical guarantee among all such related methods combining low rankness and local smoothness. In addition, by utilizing Fast Fourier Transform (FFT), we propose an efficient ADMM algorithm with a solid convergence guarantee for solving the resulting optimization problem. Finally, a series of experiments on both simulations and real applications are carried out to demonstrate the general validity of the proposed 3DCTV-RPCA model.

In this paper, we study the problem of a batch of linearly correlated image alignment, where the observed images are deformed by some unknown domain transformations, and corrupted by additive Gaussian noise and sparse noise simultaneously. By stacking these images as the frontal slices of a third-order tensor, we propose to utilize the tensor factorization method via transformed tensor-tensor product to explore the low-rankness of the underlying tensor, which is factorized into the product of two smaller tensors via transformed tensor-tensor product under any unitary transformation. The main advantage of transformed tensor-tensor product is that its computational complexity is lower compared with the existing literature based on transformed tensor nuclear norm. Moreover, the tensor $\ell_p$ $(0<p<1)$ norm is employed to characterize the sparsity of sparse noise and the tensor Frobenius norm is adopted to model additive Gaussian noise. A generalized Gauss-Newton algorithm is designed to solve the resulting model by linearizing the domain transformations and a proximal Gauss-Seidel algorithm is developed to solve the corresponding subproblem. Furthermore, the convergence of the proximal Gauss-Seidel algorithm is established, whose convergence rate is also analyzed based on the Kurdyka-$\L$ojasiewicz property. Extensive numerical experiments on real-world image datasets are carried out to demonstrate the superior performance of the proposed method as compared to several state-of-the-art methods in both accuracy and computational time.

低等级张量完成（LRTC）问题引起了计算机视觉和信号处理的极大关注。如何获得高质量的图像恢复效果仍然是目前要解决的紧急任务。本文提出了一种新的张量$ l_ {2,1} $最小化模型（TLNM），该模型（TLNM）集成了总和核标准（SNN）方法，与经典的张量核定常（TNN）基于张量的张量完成方法不同，与$ L_ { 2,1} $ norm和卡塔尔里亚尔分解用于解决LRTC问题。为了提高图像的局部先验信息的利用率，引入了总变化（TV）正则化项，从而导致一类新的Tensor $ L_ {2,1} $ NORM Minimization，总变量模型（TLNMTV）。两个提出的模型都是凸，因此具有全局最佳解决方案。此外，我们采用交替的方向乘数法（ADMM）来获得每个变量的封闭形式解，从而确保算法的可行性。数值实验表明，这两种提出的算法是收敛性的，比较优于方法。特别是，当高光谱图像的采样率为2.5 \％时，我们的方法显着优于对比方法。

张量恢复是计算机视觉和机器学习中的重要问题。它通常使用张量排名的凸松弛和$ l_ {0} $ norm，即分别为核定标准和$ l_ {1} $ norm，以解决此类问题。已知凸的近似值会产生偏置的估计量。为了克服这个问题，采用并设计了相应的非凸照器。受到最近开发的矩阵等效最小值凸额（EMCP）定理的启发，本文确定了张量当量的最小值 - concave惩罚（TEMCP）的定理。张量当量MCP（TEMCP）作为非凸照正规器零件和等效加权张量$ \ gamma $ norm（EWTGN）作为低级别部分的构建，两者都可以实现权重适应性。同时，我们提出了两个相应的自适应模型，用于两个经典的张量恢复问题，即低级张量完成（LRTC）和张量鲁棒的主成分分析（TRPCA），其中优化算法基于交替的方向乘数（ADMM）。设计了这种新型的迭代自适应算法，可以产生更准确的张量恢复效果。对于张量的完成模型，考虑了多光谱图像（MSI），磁共振成像（MRI）和彩色视频（CV）数据，而对于张量的稳定性主成分分析模型，高光谱图像（HSI）在高斯噪声和盐和盐和盐和盐和盐和盐和盐和盐和盐和考虑了胡椒噪声。所提出的算法优于ARTS方法，并且通过实验保证其降低和收敛性。

张量火车的分解因其高维张量的简洁表示，因此在机器学习和量子物理学中广泛使用，克服了维度的诅咒。交叉近似 - 从近似形式开发用于从一组选定的行和列中表示矩阵，这是一种有效的方法，用于构建来自其少数条目的张量的张量列器分解。虽然张量列车交叉近似在实际应用中取得了显着的性能，但迄今为止缺乏其理论分析，尤其是在近似误差方面的理论分析。据我们所知，现有结果仅提供元素近似精度的保证，这会导致扩展到整个张量时的束缚非常松。在本文中，我们通过提供精确测量和嘈杂测量的整个张量来保证准确性来弥合这一差距。我们的结果说明了选定子观察器的选择如何影响交叉近似的质量，并且模型误差和/或测量误差引起的近似误差可能不会随着张量的顺序而指数增长。这些结果通过数值实验来验证，并且可能对高阶张量的交叉近似值（例如在量子多体状态的描述中遇到的）具有重要意义。

流量数据长期遭受缺失和腐败的困扰，从而导致随后的智能运输系统（ITS）应用程序的准确性和效用降低。注意到流量数据的固有低级属性，大量研究将缺少的流量数据恢复为低级张量完成（LRTC）问题。由于LRTC中的秩最小化的非跨性别性和离散性，现有方法要么用凸面替代等级代替等级替代等级函数，要么以涉及许多参数的非convex替代物，或近似等级。在这项研究中，我们提出了一个用于交通数据恢复的无参数的非凸张量完成模型（TC-PFNC），其中设计了基于日志的松弛项以近似张量代数级别。此外，以前的研究通常认为观察结果是可靠的，没有任何异常值。因此，我们通过对潜在的流量数据异常值进行建模，将TC-PFNC扩展到了强大的版本（RTC-PFNC），该数据可以从部分和损坏的观测值中恢复缺失的值并在观测中删除异常。基于交替的方向乘数法（ADMM）详细阐述了TC-PFNC和RTC-PFNC的数值解。在四个现实世界流量数据集上进行的广泛实验结果表明，所提出的方法在缺失和损坏的数据恢复中都优于其他最先进的方法。本文使用的代码可在以下网址获得：https：//github.com/younghe49/t-ITSPFNC。