与经典线性模型不同，非线性生成模型在统计学习的文献中被稀疏地解决。这项工作旨在引起对这些模型及其保密潜力的关注。为此，我们调用了复制方法，以在反相反的问题中得出渐近归一化的横熵，其生成模型由具有通用协方差函数的高斯随机场描述。我们的推导进一步证明了贝叶斯估计量的渐近统计解耦，并为给定的非线性模型指定了解耦设置。复制解决方案描述了严格的非线性模型建立了全有或全无的相变：存在一个关键负载，最佳贝叶斯推断从完美的学习变为不相关的学习。基于这一发现，我们设计了一种新的安全编码方案，该方案可实现窃听通道的保密能力。这个有趣的结果意味着，严格的非线性生成模型是完美的，没有任何安全编码。我们通过分析说明性模型的完全安全和可靠的推论来证明后一种陈述是合理的。

我们认为越来越复杂的矩阵去噪和贝叶斯最佳设置中的文章学习模型，在挑战性的政权中，在矩阵推断出与系统尺寸线性的排名增加。这与大多数现有的文献相比，与低秩（即常数级别）制度相关的文献相反。我们首先考虑一类旋转不变的矩阵去噪，使用来自随机矩阵理论的标准技术来计算的互动信息和最小均方误差。接下来，我们分析了字典学习的更具挑战性模式。为此，我们将复制方法与随机矩阵理论一起介绍了复制品方法的新组合，共同矩阵理论，Coined光谱副本方法。它允许我们猜测隐藏表示与字典学习问题的嘈杂数据之间的相互信息的变分形式，以及定量最佳重建误差的重叠。所提出的方法从$ \ theta（n ^ 2）$（矩阵条目）到$ \ theta（n）$（特征值或奇异值）减少自由度的数量，并产生的互信息的库仑气体表示让人想起物理学中的矩阵模型。主要成分是使用Harishchandra-Itzykson-Zuber球形积分，结合新的复制对称解耦Ansatz，在特定重叠矩阵的特征值（或奇异值）的概率分布的水平上。

随机块模型（SBM）是一个随机图模型，其连接不同的顶点组不同。它被广泛用作研究聚类和社区检测的规范模型，并提供了肥沃的基础来研究组合统计和更普遍的数据科学中出现的信息理论和计算权衡。该专着调查了最近在SBM中建立社区检测的基本限制的最新发展，无论是在信息理论和计算方案方面，以及各种恢复要求，例如精确，部分和弱恢复。讨论的主要结果是在Chernoff-Hellinger阈值中进行精确恢复的相转换，Kesten-Stigum阈值弱恢复的相变，最佳的SNR - 单位信息折衷的部分恢复以及信息理论和信息理论之间的差距计算阈值。该专着给出了在寻求限制时开发的主要算法的原则推导，特别是通过绘制绘制，半定义编程，（线性化）信念传播，经典/非背带频谱和图形供电。还讨论了其他块模型的扩展，例如几何模型和一些开放问题。

The stochastic block model (SBM) is a random graph model with planted clusters. It is widely employed as a canonical model to study clustering and community detection, and provides generally a fertile ground to study the statistical and computational tradeoffs that arise in network and data sciences.This note surveys the recent developments that establish the fundamental limits for community detection in the SBM, both with respect to information-theoretic and computational thresholds, and for various recovery requirements such as exact, partial and weak recovery (a.k.a., detection). The main results discussed are the phase transitions for exact recovery at the Chernoff-Hellinger threshold, the phase transition for weak recovery at the Kesten-Stigum threshold, the optimal distortion-SNR tradeoff for partial recovery, the learning of the SBM parameters and the gap between information-theoretic and computational thresholds.The note also covers some of the algorithms developed in the quest of achieving the limits, in particular two-round algorithms via graph-splitting, semi-definite programming, linearized belief propagation, classical and nonbacktracking spectral methods. A few open problems are also discussed.

这项正在进行的工作旨在为统计学习提供统一的介绍，从诸如GMM和HMM等经典模型到现代神经网络（如VAE和扩散模型）缓慢地构建。如今，有许多互联网资源可以孤立地解释这一点或新的机器学习算法，但是它们并没有（也不能在如此简短的空间中）将这些算法彼此连接起来，或者与统计模型的经典文献相连现代算法出现了。同样明显缺乏的是一个单一的符号系统，尽管对那些已经熟悉材料的人（如这些帖子的作者）不满意，但对新手的入境造成了重大障碍。同样，我的目的是将各种模型（尽可能）吸收到一个用于推理和学习的框架上，表明（以及为什么）如何以最小的变化将一个模型更改为另一个模型（其中一些是新颖的，另一些是文献中的）。某些背景当然是必要的。我以为读者熟悉基本的多变量计算，概率和统计以及线性代数。这本书的目标当然不是​​完整性，而是从基本知识到过去十年中极强大的新模型的直线路径或多或少。然后，目标是补充而不是替换，诸如Bishop的\ emph {模式识别和机器学习}之类的综合文本，该文本现在已经15岁了。

在负面的感知问题中，我们给出了$ n $数据点$（{\ boldsymbol x} _i，y_i）$，其中$ {\ boldsymbol x} _i $是$ d $ -densional vector和$ y_i \ in \ { + 1，-1 \} $是二进制标签。数据不是线性可分离的，因此我们满足自己的内容，以找到最大的线性分类器，具有最大的\ emph {否定}余量。换句话说，我们想找到一个单位常规矢量$ {\ boldsymbol \ theta} $，最大化$ \ min_ {i \ le n} y_i \ langle {\ boldsymbol \ theta}，{\ boldsymbol x} _i \ rangle $ 。这是一个非凸优化问题（它相当于在Polytope中找到最大标准矢量），我们在两个随机模型下研究其典型属性。我们考虑比例渐近，其中$ n，d \ to \ idty $以$ n / d \ to \ delta $，并在最大边缘$ \ kappa _ {\ text {s}}（\ delta）上证明了上限和下限）$或 - 等效 - 在其逆函数$ \ delta _ {\ text {s}}（\ kappa）$。换句话说，$ \ delta _ {\ text {s}}（\ kappa）$是overparametization阈值：以$ n / d \ le \ delta _ {\ text {s}}（\ kappa） - \ varepsilon $一个分类器实现了消失的训练错误，具有高概率，而以$ n / d \ ge \ delta _ {\ text {s}}（\ kappa）+ \ varepsilon $。我们在$ \ delta _ {\ text {s}}（\ kappa）$匹配，以$ \ kappa \ to - \ idty $匹配。然后，我们分析了线性编程算法来查找解决方案，并表征相应的阈值$ \ delta _ {\ text {lin}}（\ kappa）$。我们观察插值阈值$ \ delta _ {\ text {s}}（\ kappa）$和线性编程阈值$ \ delta _ {\ text {lin {lin}}（\ kappa）$之间的差距，提出了行为的问题其他算法。

近似消息传递（AMP）是解决高维统计问题的有效迭代范式。但是，当迭代次数超过$ o \ big（\ frac {\ log n} {\ log log \ log \ log n} \时big）$（带有$ n $问题维度）。为了解决这一不足，本文开发了一个非吸附框架，用于理解峰值矩阵估计中的AMP。基于AMP更新的新分解和可控的残差项，我们布置了一个分析配方，以表征在存在独立初始化的情况下AMP的有限样本行为，该过程被进一步概括以进行光谱初始化。作为提出的分析配方的两个具体后果：（i）求解$ \ mathbb {z} _2 $同步时，我们预测了频谱初始化AMP的行为，最高为$ o \ big（\ frac {n} {\ mathrm {\ mathrm { poly} \ log n} \ big）$迭代，表明该算法成功而无需随后的细化阶段（如最近由\ citet {celentano2021local}推测）; （ii）我们表征了稀疏PCA中AMP的非反应性行为（在尖刺的Wigner模型中），以广泛的信噪比。

张量模型在许多领域中起着越来越重要的作用，特别是在机器学习中。在几种应用中，例如社区检测，主题建模和高斯混合物学习，必须估算噪声张量的低级别信号。因此，了解该信号的估计器的基本限制不可避免地要求研究随机张量。最近，在大维限制中，该主题取得了实质性进展。然而，其中一些最重要的结果（尤其是对突然的相变（相对于信噪比）的精确表征），该表现控制着对称等级的最大可能性（ML）估计器的性能 - 具有高斯噪声的模型 - 基于平均场自旋玻璃理论得出，非专家不容易访问。在这项工作中，我们依靠标准但强大的工具开发出一种截然不同，更基本的方法，这是由随机矩阵理论的多年进步带来的。关键思想是研究由给定随机张量的收缩引起的随机矩阵的光谱。我们展示了如何访问随机张量本身的光谱属性。对于上述排名衡量模型，我们的技术产生了迄今未知的固定点方程，其解决方案与第三阶情况下的相变阈值高于相变阈值的ML估计器的渐近性能。数值验证提供了证据，表明订单4和5相同，导致我们猜想，对于任何顺序，我们的定点方程等于已知的ML估计性能的表征，这些表现通过依靠旋转玻璃而获得。此外，我们的方法阐明了ML问题景观的某些特性，可以扩展到其他模型，例如不对称和非高斯。

了解特征学习如何影响概括是现代深度学习理论的最重要目标之一。在这里，我们研究了学习表示的能力如何影响一类简单模型的概括性能：深贝叶斯线性神经网络接受了非结构化高斯数据的训练。通过将深层随机特征模型与所有训练所有层的深网进行比较，我们将提供详细的表征宽度，深度，数据密度和先验不匹配之间的相互作用。我们表明，在存在标签噪声的情况下，这两种模型都显示出样本的双重变化行为。如果有狭窄的瓶颈层，那么随机特征模型还可以显示模型的双重变化，而深网不显示这些分歧。随机特征模型可以具有特定的宽度，这些宽度对于在给定的数据密度下是最佳的概括，同时使神经网络尽可能宽或狭窄始终是最佳的。此外，我们表明，对内核限制学习曲线的前阶校正无法区分所有培训所有层的随机特征模型和深层网络。综上所述，我们的发现开始阐明建筑细节如何影响这种简单的深层回归模型类别的概括性能。

我们介绍树-AMP，站在树近似消息传递，用于高维树结构模型的组成推理的Python包。该包提供统一框架，用于研究以前导出的多种机器学习任务的几种近似消息传递算法，例如广义线性模型，多层网络的推断，矩阵分解和使用不可惩罚的重建。对于某些型号，可以通过状态进化理论上预测算法的渐近性能，并通过自由熵形式主义估计的测量熵。通过设计模块化：实现因子的每个模块可以与其他模块一起组成，以解决复杂的推理任务。用户只需要声明模型的因子图：推理算法，状态演化和熵估计是完全自动化的。

变性推理（VI）为基于传统的采样方法提供了一种吸引人的替代方法，用于实施贝叶斯推断，因为其概念性的简单性，统计准确性和计算可扩展性。然而，常见的变分近似方案（例如平均场（MF）近似）需要某些共轭结构以促进有效的计算，这可能会增加不必要的限制对可行的先验分布家族，并对变异近似族对差异进行进一步的限制。在这项工作中，我们开发了一个通用计算框架，用于实施MF-VI VIA WASSERSTEIN梯度流（WGF），这是概率度量空间上的梯度流。当专门针对贝叶斯潜在变量模型时，我们将分析基于时间消化的WGF交替最小化方案的算法收敛，用于实现MF近似。特别是，所提出的算法类似于EM算法的分布版本，包括更新潜在变量变异分布的E step以及在参数的变异分布上进行最陡峭下降的m step。我们的理论分析依赖于概率度量空间中的最佳运输理论和细分微积分。我们证明了时间限制的WGF的指数收敛性，以最大程度地减少普通大地测量学严格的凸度的通用物镜功能。我们还提供了通过使用时间限制的WGF的固定点方程从MF近似获得的变异分布的指数收缩的新证明。我们将方法和理论应用于两个经典的贝叶斯潜在变量模型，即高斯混合模型和回归模型的混合物。还进行了数值实验，以补充这两个模型下的理论发现。

量子哈密顿学习和量子吉布斯采样的双重任务与物理和化学中的许多重要问题有关。在低温方案中，这些任务的算法通常会遭受施状能力，例如因样本或时间复杂性差而遭受。为了解决此类韧性，我们将量子自然梯度下降的概括引入了参数化的混合状态，并提供了稳健的一阶近似算法，即量子 - 固定镜下降。我们使用信息几何学和量子计量学的工具证明了双重任务的数据样本效率，因此首次将经典Fisher效率的开创性结果推广到变异量子算法。我们的方法扩展了以前样品有效的技术，以允许模型选择的灵活性，包括基于量子汉密尔顿的量子模型，包括基于量子的模型，这些模型可能会规避棘手的时间复杂性。我们的一阶算法是使用经典镜下降二元性的新型量子概括得出的。两种结果都需要特殊的度量选择，即Bogoliubov-Kubo-Mori度量。为了从数值上测试我们提出的算法，我们将它们的性能与现有基准进行了关于横向场ISING模型的量子Gibbs采样任务的现有基准。最后，我们提出了一种初始化策略，利用几何局部性来建模状态的序列（例如量子 - 故事过程）的序列。我们从经验上证明了它在实际和想象的时间演化的经验上，同时定义了更广泛的潜在应用。

强大的机器学习模型的开发中的一个重要障碍是协变量的转变，当训练和测试集的输入分布时发生的分配换档形式在条件标签分布保持不变时发生。尽管现实世界应用的协变量转变普遍存在，但在现代机器学习背景下的理论理解仍然缺乏。在这项工作中，我们检查协变量的随机特征回归的精确高尺度渐近性，并在该设置中提出了限制测试误差，偏差和方差的精确表征。我们的结果激发了一种自然部分秩序，通过协变速转移，提供足够的条件来确定何时何时损害（甚至有助于）测试性能。我们发现，过度分辨率模型表现出增强的协会转变的鲁棒性，为这种有趣现象提供了第一个理论解释之一。此外，我们的分析揭示了分销和分发外概率性能之间的精确线性关系，为这一令人惊讶的近期实证观察提供了解释。

本文通过匹配的追求方法开发了一类低复杂设备调度算法，以实现空中联合学习。提出的方案紧密跟踪了通过差异编程实现的接近最佳性能，并且基于凸松弛的众所周知的基准算法极大地超越了众所周知的基准算法。与最先进的方案相比，所提出的方案在系统上构成了较低的计算负载：对于$ k $设备和参数服务器上的$ n $ antennas，基准的复杂性用$ \ left缩放（n^）2 + k \ right）^3 + n^6 $，而提出的方案量表的复杂性则以$ 0 <p，q \ leq 2 $为$ k^p n^q $。通过CIFAR-10数据集上的数值实验证实了所提出的方案的效率。

In a mixed generalized linear model, the objective is to learn multiple signals from unlabeled observations: each sample comes from exactly one signal, but it is not known which one. We consider the prototypical problem of estimating two statistically independent signals in a mixed generalized linear model with Gaussian covariates. Spectral methods are a popular class of estimators which output the top two eigenvectors of a suitable data-dependent matrix. However, despite the wide applicability, their design is still obtained via heuristic considerations, and the number of samples $n$ needed to guarantee recovery is super-linear in the signal dimension $d$. In this paper, we develop exact asymptotics on spectral methods in the challenging proportional regime in which $n, d$ grow large and their ratio converges to a finite constant. By doing so, we are able to optimize the design of the spectral method, and combine it with a simple linear estimator, in order to minimize the estimation error. Our characterization exploits a mix of tools from random matrices, free probability and the theory of approximate message passing algorithms. Numerical simulations for mixed linear regression and phase retrieval display the advantage enabled by our analysis over existing designs of spectral methods.

聚类是无监督学习中的基本原始，它引发了丰富的计算挑战性推理任务。在这项工作中，我们专注于将$ D $ -dimential高斯混合的规范任务与未知（和可能的退化）协方差集成。最近的作品（Ghosh等人。恢复在高斯聚类实例中种植的某些隐藏结构。在许多类似的推理任务上的工作开始，这些较低界限强烈建议存在群集的固有统计到计算间隙，即群集任务是\ yringit {statistically}可能但没有\ texit {多项式 - 时间}算法成功。我们考虑的聚类任务的一个特殊情况相当于在否则随机子空间中找到种植的超立体载体的问题。我们表明，也许令人惊讶的是，这种特定的聚类模型\ extent {没有展示}统计到计算间隙，即使在这种情况下继续应用上述的低度和SOS下限。为此，我们提供了一种基于Lenstra - Lenstra - Lovasz晶格基础减少方法的多项式算法，该方法实现了$ D + 1 $样本的统计上最佳的样本复杂性。该结果扩展了猜想统计到计算间隙的问题的类问题可以通过“脆弱”多项式算法“关闭”，突出显示噪声在统计到计算间隙的发作中的关键而微妙作用。

成功的深度学习模型往往涉及培训具有比训练样本数量更多的参数的神经网络架构。近年来已经广泛研究了这种超分子化的模型，并且通过双下降现象和通过优化景观的结构特性，从统计的角度和计算视角都建立了过分统计化的优点。尽管在过上分层的制度中深入学习架构的显着成功，但也众所周知，这些模型对其投入中的小对抗扰动感到高度脆弱。即使在普遍培训的情况下，它们在扰动输入（鲁棒泛化）上的性能也会比良性输入（标准概括）的最佳可达到的性能更糟糕。因此，必须了解如何从根本上影响稳健性的情况下如何影响鲁棒性。在本文中，我们将通过专注于随机特征回归模型（具有随机第一层权重的两层神经网络）来提供超分度化对鲁棒性的作用的精确表征。我们考虑一个制度，其中样本量，输入维度和参数的数量彼此成比例地生长，并且当模型发生前列地训练时，可以为鲁棒泛化误差导出渐近精确的公式。我们的发达理论揭示了过分统计化对鲁棒性的非竞争效果，表明对于普遍训练的随机特征模型，高度公正化可能会损害鲁棒泛化。

Autoencoders are a popular model in many branches of machine learning and lossy data compression. However, their fundamental limits, the performance of gradient methods and the features learnt during optimization remain poorly understood, even in the two-layer setting. In fact, earlier work has considered either linear autoencoders or specific training regimes (leading to vanishing or diverging compression rates). Our paper addresses this gap by focusing on non-linear two-layer autoencoders trained in the challenging proportional regime in which the input dimension scales linearly with the size of the representation. Our results characterize the minimizers of the population risk, and show that such minimizers are achieved by gradient methods; their structure is also unveiled, thus leading to a concise description of the features obtained via training. For the special case of a sign activation function, our analysis establishes the fundamental limits for the lossy compression of Gaussian sources via (shallow) autoencoders. Finally, while the results are proved for Gaussian data, numerical simulations on standard datasets display the universality of the theoretical predictions.

A simple model to study subspace clustering is the high-dimensional $k$-Gaussian mixture model where the cluster means are sparse vectors. Here we provide an exact asymptotic characterization of the statistically optimal reconstruction error in this model in the high-dimensional regime with extensive sparsity, i.e. when the fraction of non-zero components of the cluster means $\rho$, as well as the ratio $\alpha$ between the number of samples and the dimension are fixed, while the dimension diverges. We identify the information-theoretic threshold below which obtaining a positive correlation with the true cluster means is statistically impossible. Additionally, we investigate the performance of the approximate message passing (AMP) algorithm analyzed via its state evolution, which is conjectured to be optimal among polynomial algorithm for this task. We identify in particular the existence of a statistical-to-computational gap between the algorithm that require a signal-to-noise ratio $\lambda_{\text{alg}} \ge k / \sqrt{\alpha} $ to perform better than random, and the information theoretic threshold at $\lambda_{\text{it}} \approx \sqrt{-k \rho \log{\rho}} / \sqrt{\alpha}$. Finally, we discuss the case of sub-extensive sparsity $\rho$ by comparing the performance of the AMP with other sparsity-enhancing algorithms, such as sparse-PCA and diagonal thresholding.

Motivated by alignment of correlated sparse random graphs, we introduce a hypothesis testing problem of deciding whether or not two random trees are correlated. We obtain sufficient conditions under which this testing is impossible or feasible. We propose MPAlign, a message-passing algorithm for graph alignment inspired by the tree correlation detection problem. We prove MPAlign to succeed in polynomial time at partial alignment whenever tree detection is feasible. As a result our analysis of tree detection reveals new ranges of parameters for which partial alignment of sparse random graphs is feasible in polynomial time. We then conjecture that graph alignment is not feasible in polynomial time when the associated tree detection problem is impossible. If true, this conjecture together with our sufficient conditions on tree detection impossibility would imply the existence of a hard phase for graph alignment, i.e. a parameter range where alignment cannot be done in polynomial time even though it is known to be feasible in non-polynomial time.