在本文中，我们解决了测试两个观察到的树$（t，t'）$是独立采样还是从它们相关的联合分布中进行采样的问题。这个问题我们称为树中的相关检测，在两个相关随机图的图形对齐中起着关键作用。通过图形对准，我们研究了单方面测试的存在条件，即具有I型误差和非呈现能力的消失的测试。对于带有平均$ \ lambda的Poisson后代的相关Galton-Watson模型，我们在（0,1）$中$ s $ s \ s $ s \ in（0,1）$，我们在$ s = \ sqrt { \ alpha} $，其中$ \ alpha \ sim 0.3383 $是Otter的常数。也就是说，我们证明，对于$ s \ leq \ sqrt {\ alpha} $，不存在此类测试，并且每当$ \ sqrt {\ alpha} $，$ \ lambda $ for Empoot Foom Foom时，就存在此类测试。该结果为稀疏制度（$ o（1）$平均节点度）以及Ganassali等人研究的MPALIGN方法的性能提供了有关图形对准问题的新启示。 （2021），Piccioli等。 （2021），特别是Piccioli等人的猜想。 （2021）MPALIGN在相关参数的部分恢复任务中取得成功，提供了平均节点度$ \ lambda $的平均节点$ \ lambda $足够大。

Motivated by alignment of correlated sparse random graphs, we introduce a hypothesis testing problem of deciding whether or not two random trees are correlated. We obtain sufficient conditions under which this testing is impossible or feasible. We propose MPAlign, a message-passing algorithm for graph alignment inspired by the tree correlation detection problem. We prove MPAlign to succeed in polynomial time at partial alignment whenever tree detection is feasible. As a result our analysis of tree detection reveals new ranges of parameters for which partial alignment of sparse random graphs is feasible in polynomial time. We then conjecture that graph alignment is not feasible in polynomial time when the associated tree detection problem is impossible. If true, this conjecture together with our sufficient conditions on tree detection impossibility would imply the existence of a hard phase for graph alignment, i.e. a parameter range where alignment cannot be done in polynomial time even though it is known to be feasible in non-polynomial time.

本文研究了在两个边缘相关随机图之间恢复隐藏顶点对应的问题。我们专注于两个图形的高斯模型，其中两个图表是具有相关的高斯权重的完整图表和eRD \ h {o} sr \'enyi模型，其中两个图形是从常见的父erd \ h {o} sr \'enyi附带的图$ \ mathcal {g}（n，p）$。对于以$ p = n ^ { - o（1）} $的密集图，我们证明存在尖锐的阈值，上面可以正确地匹配，而是可以正确地匹配顶点的所有消失的分数，下面是不可能正确匹配的任何正部分的下降，一种称为“全无或无关”相转变的现象。更广泛地，在高斯环境中，高于阈值，所有顶点都可以与高概率完全匹配。相比之下，对于稀疏的ERD \ h {o} sr \'enyi图表，以$ p = n ^ { - \ theta（1）} $，我们表明全部或全无的现象不再持有，我们确定阈值达到恒定因素。沿途，我们还导出了精确恢复的尖锐阈值，锐化了ERD \ H {O} S-R'enyi图中的现有结果。负面结果的证明在基于截断的第二时刻计算和“区域定理”的相互信息的紧密表征之上构建，该“区域定理”将相互信息与重建误差的积分相关联。阳性结果从对最大似然估计器的严格分析，考虑到边缘上诱导置换的循环结构。

我们研究了小组测试问题，其目标是根据合并测试的结果，确定一组k感染的人，这些k含有稀有疾病，这些人在经过测试中至少有一个受感染的个体时返回阳性的结果。团体。我们考虑将个人分配给测试的两个不同的简单随机过程：恒定柱设计和伯努利设计。我们的第一组结果涉及基本统计限制。对于恒定柱设计，我们给出了一个新的信息理论下限，这意味着正确识别的感染者的比例在测试数量越过特定阈值时会经历急剧的“全或全或无所不包”的相变。对于Bernoulli设计，我们确定解决相关检测问题所需的确切测试数量（目的是区分小组测试实例和纯噪声），改善Truong，Aldridge和Scarlett的上限和下限（2020）。对于两个小组测试模型，我们还研究了计算有效（多项式时间）推理程序的能力。我们确定了解决检测问题的低度多项式算法所需的精确测试数量。这为在少量稀疏度的检测和恢复问题中都存在固有的计算统计差距提供了证据。值得注意的是，我们的证据与Iliopoulos和Zadik（2021）相反，后者预测了Bernoulli设计中没有计算统计差距。

鉴于$ n $ i.i.d.从未知的分发$ P $绘制的样本，何时可以生成更大的$ n + m $ samples，这些标题不能与$ n + m $ i.i.d区别区别。从$ p $绘制的样品？（AXELROD等人2019）将该问题正式化为样本放大问题，并为离散分布和高斯位置模型提供了最佳放大程序。然而，这些程序和相关的下限定制到特定分布类，对样本扩增的一般统计理解仍然很大程度上。在这项工作中，我们通过推出通常适用的放大程序，下限技术和与现有统计概念的联系来放置对公司统计基础的样本放大问题。我们的技术适用于一大类分布，包括指数家庭，并在样本放大和分配学习之间建立严格的联系。

对于高维和非参数统计模型，速率最优估计器平衡平方偏差和方差是一种常见的现象。虽然这种平衡被广泛观察到，但很少知道是否存在可以避免偏差和方差之间的权衡的方法。我们提出了一般的策略，以获得对任何估计方差的下限，偏差小于预先限定的界限。这表明偏差差异折衷的程度是不可避免的，并且允许量化不服从其的方法的性能损失。该方法基于许多抽象的下限，用于涉及关于不同概率措施的预期变化以及诸如Kullback-Leibler或Chi-Sque-diversence的信息措施的变化。其中一些不平等依赖于信息矩阵的新概念。在该物品的第二部分中，将抽象的下限应用于几种统计模型，包括高斯白噪声模型，边界估计问题，高斯序列模型和高维线性回归模型。对于这些特定的统计应用，发生不同类型的偏差差异发生，其实力变化很大。对于高斯白噪声模型中集成平方偏置和集成方差之间的权衡，我们将较低界限的一般策略与减少技术相结合。这允许我们将原始问题与估计的估计器中的偏差折衷联动，以更简单的统计模型中具有额外的对称性属性。在高斯序列模型中，发生偏差差异的不同相位转换。虽然偏差和方差之间存在非平凡的相互作用，但是平方偏差的速率和方差不必平衡以实现最小估计速率。

高维统计数据的一个基本目标是检测或恢复嘈杂数据中隐藏的种植结构（例如低级别矩阵）。越来越多的工作研究低级多项式作为此类问题的计算模型的限制模型：在各种情况下，数据的低级多项式可以与最知名的多项式时间算法的统计性能相匹配。先前的工作已经研究了低度多项式的力量，以检测隐藏结构的存在。在这项工作中，我们将这些方法扩展到解决估计和恢复问题（而不是检测）。对于大量的“信号加噪声”问题，我们给出了一个用户友好的下限，以获得最佳的均衡误差。据我们所知，这些是建立相关检测问题的恢复问题低度硬度的第一个结果。作为应用，我们对种植的子静脉和种植的密集子图问题的低度最小平方误差进行了严格的特征，在两种情况下都解决了有关恢复的计算复杂性的开放问题（在低度框架中）。

给定$ n $数据点$ \ mathbb {r}^d $中的云，请考虑$ \ mathbb {r}^d $的$ m $ dimensional子空间预计点。当$ n，d $增长时，这一概率分布的集合如何？我们在零模型下考虑了这个问题。标准高斯矢量，重点是渐近方案，其中$ n，d \ to \ infty $，$ n/d \ to \ alpha \ in（0，\ infty）$，而$ m $是固定的。用$ \ mathscr {f} _ {m，\ alpha} $表示$ \ mathbb {r}^m $中的一组概率分布，在此限制中以低维度为单位，我们在此限制中建立了新的内部和外部界限$ \ mathscr {f} _ {m，\ alpha} $。特别是，我们将$ \ mathscr {f} _ {m，\ alpha} $的Wasserstein Radius表征为对数因素，并以$ M = 1 $确切确定它。我们还通过kullback-leibler差异和r \'{e} NYI信息维度证明了尖锐的界限。上一个问题已应用于无监督的学习方法，例如投影追求和独立的组件分析。我们介绍了与监督学习相关的相同问题的版本，并证明了尖锐的沃斯坦斯坦半径绑定。作为一个应用程序，我们在具有$ M $隐藏神经元的两层神经网络的插值阈值上建立了上限。

假设$ g $是根据所谓的HyperGraph随机块模型（HSBM）产生的，我们考虑了稀疏$ Q $均匀的HyperGraph $ G $中的社区检测问题。我们证明，基于非折线操作员的光谱方法具有很高的概率，可以降低到Angelini等人猜想的广义kesten-Stigum检测阈值。我们表征了稀疏HSBM的非背带操作员的频谱，并使用Ihara-Bass公式为超图提供有效的尺寸降低程序。结果，可以将稀疏HSBM的社区检测减少为$ 2N \ times 2n $非正态矩阵的特征向量问题，该矩阵从邻接矩阵和超级格雷普的学位矩阵中构建。据我们所知，这是第一种可证明，有效的光谱算法，它可以根据一般对称概率张量生成$ K $块的HSBMS阈值。

随机块模型（SBM）是一个随机图模型，其连接不同的顶点组不同。它被广泛用作研究聚类和社区检测的规范模型，并提供了肥沃的基础来研究组合统计和更普遍的数据科学中出现的信息理论和计算权衡。该专着调查了最近在SBM中建立社区检测的基本限制的最新发展，无论是在信息理论和计算方案方面，以及各种恢复要求，例如精确，部分和弱恢复。讨论的主要结果是在Chernoff-Hellinger阈值中进行精确恢复的相转换，Kesten-Stigum阈值弱恢复的相变，最佳的SNR - 单位信息折衷的部分恢复以及信息理论和信息理论之间的差距计算阈值。该专着给出了在寻求限制时开发的主要算法的原则推导，特别是通过绘制绘制，半定义编程，（线性化）信念传播，经典/非背带频谱和图形供电。还讨论了其他块模型的扩展，例如几何模型和一些开放问题。

我们根据计算一个扎根于每个顶点的某个加权树的家族而构成的相似性得分提出了一种有效的图形匹配算法。对于两个erd \ h {o} s-r \'enyi图$ \ mathcal {g}（n，q）$，其边缘通过潜在顶点通信相关联，我们表明该算法正确地匹配了所有范围的范围，除了所有的vertices分数外，有了很高的概率，前提是$ nq \ to \ infty $，而边缘相关系数$ \ rho $满足$ \ rho^2> \ alpha \ ailpha \大约0.338 $，其中$ \ alpha $是Otter的树木计数常数。此外，在理论上是必需的额外条件下，可以精确地匹配。这是第一个以显式常数相关性成功的多项式图匹配算法，并适用于稀疏和密集图。相比之下，以前的方法要么需要$ \ rho = 1-o（1）$，要么仅限于稀疏图。该算法的症结是一个经过精心策划的植根树的家族，称为吊灯，它可以有效地从同一树的计数中提取图形相关性，同时抑制不同树木之间的不良相关性。

Consider the problem of matching two independent i.i.d. samples of size $N$ from two distributions $P$ and $Q$ in $\mathbb{R}^d$. For an arbitrary continuous cost function, the optimal assignment problem looks for the matching that minimizes the total cost. We consider instead in this paper the problem where each matching is endowed with a Gibbs probability weight proportional to the exponential of the negative total cost of that matching. Viewing each matching as a joint distribution with $N$ atoms, we then take a convex combination with respect to the above Gibbs probability measure. We show that this resulting random joint distribution converges, as $N\rightarrow \infty$, to the solution of a variational problem, introduced by F\"ollmer, called the Schr\"odinger problem. We also derive the first two error terms of orders $N^{-1/2}$ and $N^{-1}$, respectively. This gives us central limit theorems for integrated test functions, including for the cost of transport, and second order Gaussian chaos limits when the limiting Gaussian variance is zero. The proofs are based on a novel chaos decomposition of the discrete Schr\"odinger bridge by polynomial functions of the pair of empirical distributions as the first and second order Taylor approximations in the space of measures. This is achieved by extending the Hoeffding decomposition from the classical theory of U-statistics.

我们开发了一种高效的随机块模型中的弱恢复算法。该算法与随机块模型的Vanilla版本的最佳已知算法的统计保证匹配。从这个意义上讲，我们的结果表明，随机块模型没有稳健性。我们的工作受到最近的银行，Mohanty和Raghavendra（SODA 2021）的工作，为相应的区别问题提供了高效的算法。我们的算法及其分析显着脱离了以前的恢复。关键挑战是我们算法的特殊优化景观：种植的分区可能远非最佳意义，即完全不相关的解决方案可以实现相同的客观值。这种现象与PCA的BBP相转变的推出效应有关。据我们所知，我们的算法是第一个在非渐近设置中存在这种推出效果的鲁棒恢复。我们的算法是基于凸优化的框架的实例化（与平方和不同的不同），这对于其他鲁棒矩阵估计问题可能是有用的。我们的分析的副产物是一种通用技术，其提高了任意强大的弱恢复算法的成功（输入的随机性）从恒定（或缓慢消失）概率以指数高概率。

近似消息传递（AMP）是解决高维统计问题的有效迭代范式。但是，当迭代次数超过$ o \ big（\ frac {\ log n} {\ log log \ log \ log n} \时big）$（带有$ n $问题维度）。为了解决这一不足，本文开发了一个非吸附框架，用于理解峰值矩阵估计中的AMP。基于AMP更新的新分解和可控的残差项，我们布置了一个分析配方，以表征在存在独立初始化的情况下AMP的有限样本行为，该过程被进一步概括以进行光谱初始化。作为提出的分析配方的两个具体后果：（i）求解$ \ mathbb {z} _2 $同步时，我们预测了频谱初始化AMP的行为，最高为$ o \ big（\ frac {n} {\ mathrm {\ mathrm { poly} \ log n} \ big）$迭代，表明该算法成功而无需随后的细化阶段（如最近由\ citet {celentano2021local}推测）; （ii）我们表征了稀疏PCA中AMP的非反应性行为（在尖刺的Wigner模型中），以广泛的信噪比。

The stochastic block model (SBM) is a random graph model with planted clusters. It is widely employed as a canonical model to study clustering and community detection, and provides generally a fertile ground to study the statistical and computational tradeoffs that arise in network and data sciences.This note surveys the recent developments that establish the fundamental limits for community detection in the SBM, both with respect to information-theoretic and computational thresholds, and for various recovery requirements such as exact, partial and weak recovery (a.k.a., detection). The main results discussed are the phase transitions for exact recovery at the Chernoff-Hellinger threshold, the phase transition for weak recovery at the Kesten-Stigum threshold, the optimal distortion-SNR tradeoff for partial recovery, the learning of the SBM parameters and the gap between information-theoretic and computational thresholds.The note also covers some of the algorithms developed in the quest of achieving the limits, in particular two-round algorithms via graph-splitting, semi-definite programming, linearized belief propagation, classical and nonbacktracking spectral methods. A few open problems are also discussed.

我们考虑对称二进制Perceptron模型，这是一个简单的神经网络模型，在统计物理学，信息理论和概率理论社区中具有重大关注，最近的连接对Baldassi等人的学习算法进行了性能。 '15。我们确定该模型的分区功能，由其预期值归一化，会聚到Lognormal分布。因此，这允许我们为此模型建立几个猜想：（i）证明Aubin等人的默默是普及猜想。 '19在满足政权中的种植和漂白模型之间; （ii）它建立了尖锐的阈值猜想; （iii）证明了对称案例中的冷冻1-RSB猜想，首先在非对称情况下首先召集了Krauth-M \'Ezard'89。在最近的Perkins-XU '21的工作中，还通过证明分区功能集中在实际值函数上的分析假设下，还建立了最后两个猜想。左侧打开默认的猜想和逻辑正常限制表征，这些表征在此无条件地建立，具有验证的分析假设。特别是，我们的证明技术依赖于小型曲调调节方法的密集对抗部分，该方法是为罗宾逊和Wormald庆典工作中的稀疏模型而开发的。

我们提出了改进的算法，并为身份测试$ n $维分布的问题提供了统计和计算下限。在身份测试问题中，我们将作为输入作为显式分发$ \ mu $，$ \ varepsilon> 0 $，并访问对隐藏分布$ \ pi $的采样甲骨文。目标是区分两个分布$ \ mu $和$ \ pi $是相同的还是至少$ \ varepsilon $ -far分开。当仅从隐藏分布$ \ pi $中访问完整样本时，众所周知，可能需要许多样本，因此以前的作品已经研究了身份测试，并额外访问了各种有条件采样牙齿。我们在这里考虑一个明显弱的条件采样甲骨文，称为坐标Oracle，并在此新模型中提供了身份测试问题的相当完整的计算和统计表征。我们证明，如果一个称为熵的分析属性为可见分布$ \ mu $保留，那么对于任何使用$ \ tilde {o}（n/\ tilde {o}），有一个有效的身份测试算法Varepsilon）$查询坐标Oracle。熵的近似张力是一种经典的工具，用于证明马尔可夫链的最佳混合时间边界用于高维分布，并且最近通过光谱独立性为许多分布族建立了最佳的混合时间。我们将算法结果与匹配的$ \ omega（n/\ varepsilon）$统计下键进行匹配的算法结果补充，以供坐标Oracle下的查询数量。我们还证明了一个计算相变：对于$ \ {+1，-1，-1 \}^n $以上的稀疏抗抗铁磁性模型，在熵失败的近似张力失败的状态下，除非RP = np，否则没有有效的身份测试算法。

Testing the significance of a variable or group of variables $X$ for predicting a response $Y$, given additional covariates $Z$, is a ubiquitous task in statistics. A simple but common approach is to specify a linear model, and then test whether the regression coefficient for $X$ is non-zero. However, when the model is misspecified, the test may have poor power, for example when $X$ is involved in complex interactions, or lead to many false rejections. In this work we study the problem of testing the model-free null of conditional mean independence, i.e. that the conditional mean of $Y$ given $X$ and $Z$ does not depend on $X$. We propose a simple and general framework that can leverage flexible nonparametric or machine learning methods, such as additive models or random forests, to yield both robust error control and high power. The procedure involves using these methods to perform regressions, first to estimate a form of projection of $Y$ on $X$ and $Z$ using one half of the data, and then to estimate the expected conditional covariance between this projection and $Y$ on the remaining half of the data. While the approach is general, we show that a version of our procedure using spline regression achieves what we show is the minimax optimal rate in this nonparametric testing problem. Numerical experiments demonstrate the effectiveness of our approach both in terms of maintaining Type I error control, and power, compared to several existing approaches.

在本文中，我们考虑图对对齐问题，这是恢复的问题，给定两个图形，节点之间的一对一映射，最大化边缘重叠。此问题可以被视为众所周知的图形同构问题的嘈杂版本，并出现在许多应用中，包括社交网络Deanymation和蜂窝生物学。我们这里的焦点是部分恢复，即，我们寻找一个一对一的映射，这对图形的节点的一小部分而不是在所有这些上都是正确的，并且我们假设两个输入图对问题是相关的ERD \ h {o} sr \'enyi参数$（n，q，s）$。我们的主要贡献是在$（n，q，s）$给出必要和充分的条件，在其中部分恢复是可能的，因为节点N $的节点数量的概率很高。特别是，我们表明，在某些额外的假设下，可以在$ NQS = \ \ \θ（1）$制度中实现部分恢复。

我们研究了恢复单位 - 总稀疏主组件$ x \ in \ mathbb {r}^n $在随机矩阵中种植的计算成本，以wigner或wishart尖峰模型（观察$ w + \ lambda xx xx^xx^ \ top $带有从高斯正交集合中绘制的$ w $，或分别来自$ \ Mathcal {n}（0，i_n + \ beta xx^\ top）$的$ n $独立样本，分别为$）。先前的工作表明，当信噪比（分别$ \ lambda $或$ \ beta \ sqrt {n/n} $）是一个小常数，而种植向量中的非零入口的分数为$ \ \ \ | x \ | _0 / n = \ rho $，如果$ \ rho \ sillsim 1 / \ sqrt {n} $，可以在多项式时间内恢复$ x $。虽然可以在较弱的条件下以$ \ rho \ ll 1 $恢复指数时间的$ x $，但据信，除非$ \ rho \ rho \ simsim 1/\ sqrt {n} $，否则不可能多项式时间恢复。我们研究了“可能但难”制度中恢复所需的精确时间，$ 1/\ sqrt {n} \ ll \ ll \ rho \ ll 1 $通过探索次指定时间算法的功能，即，在时间$中运行的算法$ \ exp（n^\ delta）$对于某些常数$ \ delta \ in（0,1）$。对于任何$ 1/\ sqrt {n} \ ll \ rho \ ll 1 $，我们给出了一个恢复算法的运行时大约$ \ exp（\ rho^2 n）$，表明了稀疏和runtime之间的平稳折衷。我们的算法家族在两种现有算法之间平稳地插入：多项式时间对角线阈值算法和$ \ exp（\ rho n）$ - 时间详尽的搜索算法。此外，通过分析低度的似然比，我们提供了严格的证据，表明我们算法实现的权衡是最佳的。