可视化非常大的矩阵涉及许多强大的问题。这些问题的各种流行的解决方案涉及采样，群集，投影或特征选择，以降低原始任务的大小和复杂性。这些方法的一个重要方面是如何在减少行和列以便在较低尺寸空间中保持高维空间中的点之间的相对距离。这方面很重要，因为基于错误的视觉推理的结论可能是有害的。在可视化的基础上判断与相似或类似的点相似或类似的点可以导致错误的结论。为了改善这种偏差并使非常大的数据集的可视化可行，我们介绍了两个新的算法，分别选择矩形矩阵的行和列的子集。这种选择旨在尽可能地保持相对距离。我们将矩阵素描与各种人工和真实数据集的更传统的替代品进行比较。

最近有一项激烈的活动在嵌入非常高维和非线性数据结构的嵌入中，其中大部分在数据科学和机器学习文献中。我们分四部分调查这项活动。在第一部分中，我们涵盖了非线性方法，例如主曲线，多维缩放，局部线性方法，ISOMAP，基于图形的方法和扩散映射，基于内核的方法和随机投影。第二部分与拓扑嵌入方法有关，特别是将拓扑特性映射到持久图和映射器算法中。具有巨大增长的另一种类型的数据集是非常高维网络数据。第三部分中考虑的任务是如何将此类数据嵌入中等维度的向量空间中，以使数据适合传统技术，例如群集和分类技术。可以说，这是算法机器学习方法与统计建模（所谓的随机块建模）之间的对比度。在论文中，我们讨论了两种方法的利弊。调查的最后一部分涉及嵌入$ \ mathbb {r}^ 2 $，即可视化中。提出了三种方法：基于第一部分，第二和第三部分中的方法，$ t $ -sne，UMAP和大节。在两个模拟数据集上进行了说明和比较。一个由嘈杂的ranunculoid曲线组成的三胞胎，另一个由随机块模型和两种类型的节点产生的复杂性的网络组成。

在这项工作中，我们提出了一种维度减少算法，即AKA。素描，用于分类数据集。我们提出的草图算法舱从高维分类向量构造低维二进制草图，我们的距离估计算法CHAM仅计算任何两个原始向量之间的汉明距离的近似近似。 Cham以确保良好估计的速度要求的最小尺寸理论上只取决于数据点的稀疏性 - 使其对涉及稀疏数据集的许多现实生活场景有用。我们对我们的方法提供了严格的理论分析，并在几个高维现实世界数据集上进行了广泛的实验，包括一个超过一百万维度的实验。我们表明，与使用完整数据集和其他维数减少技术相比，机舱和Cham Duo是一种明显的快速准确的任务和群集，如RMSE，全对相似性和聚类。

分类属性是那些可以采用离散值集的那些，例如颜色。这项工作是关于将vects压缩到基于小维度离散矢量的分类属性。基于目前的哈希的方法将传感器压缩到低维离散矢量的分类属性不提供压缩表示之间的汉明距离的任何保证。在这里，我们呈现fsketch以创建稀疏分类数据的草图和估算器，以估计仅从其草图中的未压缩数据之间的成对汉明距离。我们声称这些草图可以在通常的数据挖掘任务中使用代替原始数据而不会影响任务的质量。为此，我们确保草图也是分类，稀疏，汉明距离估计是合理的精确性。素描结构和汉明距离估计算法都只需要一条单通;此外，对数据点的改变可以以有效的方式结合到其草图中。压缩性取决于数据的稀疏程度如何且与原始维度无关 - 使我们的算法对许多现实生活场景具有吸引力。我们的索赔通过对FSKetch性质的严格理论分析来支持，并通过对某些现实世界数据集的相关算法进行广泛的比较评估。我们表明FSKetch明显更快，并且通过使用其草图获得的准确性是RMSE，聚类和相似性搜索的标准无监督任务的顶部。

大多数维度降低方法采用频域表示，从基质对角线化获得，并且对于具有较高固有维度的大型数据集可能不会有效。为了应对这一挑战，相关的聚类和投影（CCP）提供了一种新的数据域策略，不需要解决任何矩阵。CCP将高维特征分配到相关的群集中，然后根据样本相关性将每个集群中的特征分为一个一维表示。引入了残留相似性（R-S）分数和索引，Riemannian歧管中的数据形状以及基于代数拓扑的持久性Laplacian进行可视化和分析。建议的方法通过与各种机器学习算法相关的基准数据集验证。

We review clustering as an analysis tool and the underlying concepts from an introductory perspective. What is clustering and how can clusterings be realised programmatically? How can data be represented and prepared for a clustering task? And how can clustering results be validated? Connectivity-based versus prototype-based approaches are reflected in the context of several popular methods: single-linkage, spectral embedding, k-means, and Gaussian mixtures are discussed as well as the density-based protocols (H)DBSCAN, Jarvis-Patrick, CommonNN, and density-peaks.

在机器学习中调用多种假设需要了解歧管的几何形状和维度，理论决定了需要多少样本。但是，在应用程序数据中，采样可能不均匀，歧管属性是未知的，并且（可能）非纯化；这意味着社区必须适应本地结构。我们介绍了一种用于推断相似性内核提供数据的自适应邻域的算法。从本地保守的邻域（Gabriel）图开始，我们根据加权对应物进行迭代率稀疏。在每个步骤中，线性程序在全球范围内产生最小的社区，并且体积统计数据揭示了邻居离群值可能违反了歧管几何形状。我们将自适应邻域应用于非线性维度降低，地球计算和维度估计。与标准算法的比较，例如使用K-Nearest邻居，证明了它们的实用性。

Low-rank matrix approximations, such as the truncated singular value decomposition and the rank-revealing QR decomposition, play a central role in data analysis and scientific computing. This work surveys and extends recent research which demonstrates that randomization offers a powerful tool for performing low-rank matrix approximation. These techniques exploit modern computational architectures more fully than classical methods and open the possibility of dealing with truly massive data sets.This paper presents a modular framework for constructing randomized algorithms that compute partial matrix decompositions. These methods use random sampling to identify a subspace that captures most of the action of a matrix. The input matrix is then compressed-either explicitly or implicitly-to this subspace, and the reduced matrix is manipulated deterministically to obtain the desired low-rank factorization. In many cases, this approach beats its classical competitors in terms of accuracy, speed, and robustness. These claims are supported by extensive numerical experiments and a detailed error analysis.The specific benefits of randomized techniques depend on the computational environment. Consider the model problem of finding the k dominant components of the singular value decomposition of an m × n matrix. (i) For a dense input matrix, randomized algorithms require O(mn log(k)) floating-point operations (flops) in contrast with O(mnk) for classical algorithms. (ii) For a sparse input matrix, the flop count matches classical Krylov subspace methods, but the randomized approach is more robust and can easily be reorganized to exploit multi-processor architectures. (iii) For a matrix that is too large to fit in fast memory, the randomized techniques require only a constant number of passes over the data, as opposed to O(k) passes for classical algorithms. In fact, it is sometimes possible to perform matrix approximation with a single pass over the data.

我们讨论集群分析的拓扑方面，并表明在聚类之前推断数据集的拓扑结构可以大大增强群集检测：理论论证和经验证据表明，聚类嵌入向量，代表数据歧管的结构，而不是观察到的特征矢量他们自己是非常有益的。为了证明，我们将流形学习方法与基于密度的聚类方法DBSCAN结合了歧管学习方法UMAP。合成和真实数据结果表明，这既简化和改善了多种低维问题，包括密度变化和/或纠缠形状的群集。我们的方法简化了聚类，因为拓扑预处理始终降低DBSCAN的参数灵敏度。然后，用dbscan聚类所得的嵌入可以超过诸如spectacl和clustergan之类的复杂方法。最后，我们的调查表明，聚类中的关键问题似乎不是数据的标称维度或其中包含多少不相关的功能，而是\ textIt {可分离}群集在环境观察空间中的\ textit {可分离}，它们嵌入了它们中。 ，通常是数据特征定义的（高维）欧几里得空间。我们的方法之所以成功，是因为我们将数据投影到更合适的空间后，从某种意义上说，我们执行了群集分析。

Experimental sciences have come to depend heavily on our ability to organize, interpret and analyze high-dimensional datasets produced from observations of a large number of variables governed by natural processes. Natural laws, conservation principles, and dynamical structure introduce intricate inter-dependencies among these observed variables, which in turn yield geometric structure, with fewer degrees of freedom, on the dataset. We show how fine-scale features of this structure in data can be extracted from \emph{discrete} approximations to quantum mechanical processes given by data-driven graph Laplacians and localized wavepackets. This data-driven quantization procedure leads to a novel, yet natural uncertainty principle for data analysis induced by limited data. We illustrate the new approach with algorithms and several applications to real-world data, including the learning of patterns and anomalies in social distancing and mobility behavior during the COVID-19 pandemic.

拓扑数据分析（TDA）提供了新的方法，使我们能够分析数据集的几何形状和拓扑结构。作为一个重要应用，TDA可用于数据可视化和尺寸减少。我们遵循圆形坐标表示的框架，这使我们能够使用持续的协调学上对Corus上的高维数据集进行维度降低和可视化。在本文中，我们提出了一种方法来调整圆形坐标框架，以考虑变换点和高维应用中圆形坐标的粗糙度。我们在传统的圆坐标算法中使用广义惩罚功能而不是$ l_ {2} $罚金。我们提供仿真实验和实际数据分析，支持我们的索赔，具有广义惩罚的圆形坐标将在保留拓扑结构的同时检测不同采样方案下的高维数据集的变化。

本文报告了在应用多维缩放（MDS）技术中以创建语言研究中的语义地图的最先进。 MDS指的是一种统计技术，其表示对象（词汇项，语言上下文，语言等）作为空间中的点，使得对象之间的密切相似性对应于表示表示中的对应点之间的距离。我们专注于使用MDS与在跨语言变异研究中使用的并行语料库数据相结合。我们首先介绍了MD的数学基础，然后略微概述过去的研究，采用MDS技术与并行语料库数据结合使用。我们提出了一组术语，以简便地描述特定MDS应用程序的关键参数。然后，我们表明，这种计算方法是理论中立的，即它可以用来在各种语言理论框架中回答研究问题。最后，我们展示了这在语言学中的MDS研究中的两条发展程度的发展。

我们为级别集方法提出了一个数据驱动的均值曲线求解器。这项工作是我们在[arxiv：2201.12342] [1]和[doi：10.1016/j.jcp.2022.1111291] [arxiv：2201.12342] [1]中的二维策略的$ \ mathbb {r}^3 $的自然扩展。 ]。但是，与[1,2]建立了依赖分辨率的神经网络词典相比，在这里，我们在$ \ mathbb {r}^3 $中开发了两对模型，而不管网格大小如何。我们的前馈网络摄入的水平集，梯度和曲率数据转换为固定接口节点的数值均值曲率近似值。为了降低问题的复杂性，我们使用高斯曲率对模板进行了分类，并将模型分别适合于非堆肥和鞍模式。非插图模板更容易处理，因为它们表现出以单调性和对称性为特征的曲率误差分布。尽管后者允许我们仅在平均曲面频谱的一半上进行训练，但前者帮助我们将数据驱动的融合并在平坦区域附近无缝地融合了基线估计。另一方面，鞍形图案误差结构不太清楚。因此，我们没有利用超出已知信息的潜在信息。在这方面，我们不仅在球形和正弦和双曲线抛物面斑块上训练了我们的模型。我们构建他们的数据集的方法是系统的，但是随机收集样品，同时确保均衡度。我们还诉诸于标准化和降低尺寸，作为预处理步骤和集成正则化以最大程度地减少异常值。此外，我们利用曲率旋转/反射不变性在推理时提高精度。几项实验证实，与现代粒子的界面重建和水平设定方案相比，我们提出的系统可以产生更准确的均值曲线估计。

投影技术经常用于可视化高维数据，使用户能够更好地理解在2D屏幕上的多维空间的总体结构。尽管存在着许多这样的方法，相当小的工作已经逆投影的普及方法来完成 - 绘制投影点，或者更一般的过程中，投影空间回到原来的高维空间。在本文中我们提出NNInv，用近似的任何突起或映射的逆的能力的深学习技术。 NNInv学会重建上的二维投影空间从任意点高维数据，给用户在视觉分析系统所学习的高维表示的能力进行交互。我们提供NNInv的参数空间的分析，并在选择这些参数提供指导。我们通过一系列定量和定性分析的延长NNInv的有效性验证。交互式实例中插值，分级协议，梯度可视化：然后，我们把它应用到三个可视化任务，验证了该方法的效用。

在解决问题的过程中，通往解决方案的道路可以看作是一系列决策。人类或计算机做出的决定通过问题的高维表示空间来描述轨迹。通过降低维度，可以在较低维空间中可视化这些轨迹。此类嵌入式轨迹先前已应用于各种数据，但是分析几乎完全集中在单轨迹的自相似性上。相比之下，我们描述了在相同的嵌入空间中绘制许多轨迹（对于不同初始条件，终端状态和解决方案策略）而出现的模式。我们认为，可以通过解释这些模式来制定有关解决问题的任务和解决策略的一般性陈述。我们探索并描述了由人类和机器制定的各种应用领域中的决策产生的轨迹中的这种模式：逻辑难题（魔术片），策略游戏（国际象棋）和优化问题（神经网络培训）。 We also discuss the importance of suitably chosen representation spaces and similarity metrics for the embedding.

培训和测试监督对象检测模型需要大量带有地面真相标签的图像。标签定义图像中的对象类及其位置，形状以及可能的其他信息，例如姿势。即使存在人力，标签过程也非常耗时。我们引入了一个新的标签工具，用于2D图像以及3D三角网格：3D标记工具（3DLT）。这是一个独立的，功能丰富和跨平台软件，不需要安装，并且可以在Windows，MacOS和基于Linux的发行版上运行。我们不再像当前工具那样在每个图像上分别标记相同的对象，而是使用深度信息从上述图像重建三角形网格，并仅在上述网格上标记一次对象。我们使用注册来简化3D标记，离群值检测来改进2D边界框的计算和表面重建，以将标记可能性扩展到大点云。我们的工具经过最先进的方法测试，并且在保持准确性和易用性的同时，它极大地超过了它们。

We present a new technique called "t-SNE" that visualizes high-dimensional data by giving each datapoint a location in a two or three-dimensional map. The technique is a variation of Stochastic Neighbor Embedding (Hinton and Roweis, 2002) that is much easier to optimize, and produces significantly better visualizations by reducing the tendency to crowd points together in the center of the map. t-SNE is better than existing techniques at creating a single map that reveals structure at many different scales. This is particularly important for high-dimensional data that lie on several different, but related, low-dimensional manifolds, such as images of objects from multiple classes seen from multiple viewpoints. For visualizing the structure of very large data sets, we show how t-SNE can use random walks on neighborhood graphs to allow the implicit structure of all of the data to influence the way in which a subset of the data is displayed. We illustrate the performance of t-SNE on a wide variety of data sets and compare it with many other non-parametric visualization techniques, including Sammon mapping, Isomap, and Locally Linear Embedding. The visualizations produced by t-SNE are significantly better than those produced by the other techniques on almost all of the data sets.

潜在的语义分析（LSA）和对应分析（CA）是两种使用单数值分解（SVD）来降低维度的技术。 LSA已广泛用于获得低维表示，以捕获文档和术语之间的关系。在本文中，我们介绍了文档矩阵中两种技术的理论分析和比较。我们表明，与LSA相比，CA具有一些吸引人的特性，例如，有效消除了由于文档长度和期限频率而产生的边距的影响，因此CA解决方案非常适合于文档和条款之间的关系。提出了一个统一的框架，其中包括CA和LSA作为特殊情况。我们从经验上将CA与荷兰历史文本中的英语和作者身份归因的文本分类进行了与CA进行比较，并发现CA的性能明显更好。我们还将CA应用于一个关于荷兰国歌威廉斯（Wilhelmus）的作者身份的长期问题，并提供了进一步的支持，可以将其归因于作者，在几位竞争者中。

A common approach to modeling networks assigns each node to a position on a low-dimensional manifold where distance is inversely proportional to connection likelihood. More positive manifold curvature encourages more and tighter communities; negative curvature induces repulsion. We consistently estimate manifold type, dimension, and curvature from simply connected, complete Riemannian manifolds of constant curvature. We represent the graph as a noisy distance matrix based on the ties between cliques, then develop hypothesis tests to determine whether the observed distances could plausibly be embedded isometrically in each of the candidate geometries. We apply our approach to data-sets from economics and neuroscience.

封闭曲线的建模和不确定性量化是形状分析领域的重要问题，并且可以对随后的统计任务产生重大影响。这些任务中的许多涉及封闭曲线的集合，这些曲线通常在多个层面上表现出结构相似性。以有效融合这种曲线间依赖性的方式对多个封闭曲线进行建模仍然是一个具有挑战性的问题。在这项工作中，我们提出并研究了一个多数输出（又称多输出），多维高斯流程建模框架。我们说明了提出的方法学进步，并在几个曲线和形状相关的任务上证明了有意义的不确定性量化的实用性。这种基于模型的方法不仅解决了用内核构造对封闭曲线（及其形状）的推断问题，而且还为通常对功能对象的多层依赖性的非参数建模打开了门。