尽管通常认为在高维度中学习受到维度的诅咒，但现代的机器学习方法通​​常具有惊人的力量，可以解决广泛的挑战性现实世界学习问题而无需使用大量数据。这些方法如何打破这种诅咒仍然是深度学习理论中的一个基本开放问题。尽管以前的努力通过研究数据（D），模型（M）和推理算法（i）作为独立模块来研究了这个问题，但在本文中，我们将三胞胎（D，M，I）分析为集成系统和确定有助于减轻维度诅咒的重要协同作用。我们首先研究了与各种学习算法（M，i）相关的基本对称性，重点是深度学习中的四个原型体系结构：完全连接的网络（FCN），本地连接的网络（LCN）和卷积网络，而无需合并（有和没有合并）（ GAP/VEC）。我们发现，当这些对称性与数据分布的对称性兼容时，学习是最有效的，并且当（d，m，i）三重态的任何成员不一致或次优时，性能会显着恶化。

了解神经网络大规模成功背后的基本原则是深度学习中最重要的开放性问题之一。但是，由于问题的高度复杂性，进展相对缓慢。在本说明中，通过无限宽度网络的镜头，A.K.A.神经内核，我们介绍了由分层本地产生的一个这样的原则。众所周知，无限宽度多层感知者（MLP）的特征结构仅取决于概念频率，从而测量相互作用的顺序。我们表明来自深度卷积网络（CNNS）的拓扑结构将相关的EIGenspace重组为更精细的子空间。除了频率之外，新结构还取决于概念空间，该空间测量非线性交互条款之间的空间距离。由此产生的细粒度的特征结构大大提高了网络的可读性，使它们能够同时模拟更丰富的相互作用，包括远程低频相互作用，短程 - 高频相互作用和各种插值和外插和外推 - 之间。此外，模型缩放可以改善内插和外推的分辨率，因此网络的可读性。最后，我们证明了在高维设置中任何深度的无限宽度CNN的泛化误差表征。遵循两个冠状动脉：（1）无限宽度深CNN可以在不失其富有效率的情况下打破维度的诅咒，而（2）缩放可以提高有限和无限数据制度的性能。

A longstanding goal in deep learning research has been to precisely characterize training and generalization. However, the often complex loss landscapes of neural networks have made a theory of learning dynamics elusive. In this work, we show that for wide neural networks the learning dynamics simplify considerably and that, in the infinite width limit, they are governed by a linear model obtained from the first-order Taylor expansion of the network around its initial parameters. Furthermore, mirroring the correspondence between wide Bayesian neural networks and Gaussian processes, gradient-based training of wide neural networks with a squared loss produces test set predictions drawn from a Gaussian process with a particular compositional kernel. While these theoretical results are only exact in the infinite width limit, we nevertheless find excellent empirical agreement between the predictions of the original network and those of the linearized version even for finite practically-sized networks. This agreement is robust across different architectures, optimization methods, and loss functions.

我们分析了通过梯度流通过自洽动力场理论训练的无限宽度神经网络中的特征学习。我们构建了确定性动力学阶参数的集合，该参数是内部产物内核，用于在成对的时间点中，每一层中隐藏的单位激活和梯度，从而减少了通过训练对网络活动的描述。这些内核顺序参数共同定义了隐藏层激活分布，神经切线核的演变以及因此输出预测。我们表明，现场理论推导恢复了从Yang和Hu（2021）获得张量程序的无限宽度特征学习网络的递归随机过程。对于深线性网络，这些内核满足一组代数矩阵方程。对于非线性网络，我们提供了一个交替的采样过程，以求助于内核顺序参数。我们提供了与各种近似方案的自洽解决方案的比较描述。最后，我们提供了更现实的设置中的实验，这些实验表明，在CIFAR分类任务上，在不同宽度上保留了CNN的CNN的损耗和内核动力学。

当我们扩大数据集，模型尺寸和培训时间时，深入学习方法的能力中存在越来越多的经验证据。尽管有一些关于这些资源如何调节统计能力的说法，但对它们对模型培训的计算问题的影响知之甚少。这项工作通过学习$ k $ -sparse $ n $ bits的镜头进行了探索，这是一个构成理论计算障碍的规范性问题。在这种情况下，我们发现神经网络在扩大数据集大小和运行时间时会表现出令人惊讶的相变。特别是，我们从经验上证明，通过标准培训，各种体系结构以$ n^{o（k）} $示例学习稀疏的平等，而损失（和错误）曲线在$ n^{o（k）}后突然下降。 $迭代。这些积极的结果几乎匹配已知的SQ下限，即使没有明确的稀疏性先验。我们通过理论分析阐明了这些现象的机制：我们发现性能的相变不到SGD“在黑暗中绊倒”，直到它找到了隐藏的特征集（自然算法也以$ n^中的方式运行{o（k）} $ time）;取而代之的是，我们表明SGD逐渐扩大了人口梯度的傅立叶差距。

Shift Invariance是CNN的关键属性，可提高分类性能。然而，我们表明，与循环偏移的不变性也可能导致对对抗性攻击的更大敏感性。我们首先在使用换档不变线性分类器时表征类之间的余量。我们表明边际只能依赖于信号的DC分量。然后，使用关于无限宽网络的结果，我们显示在一些简单的情况下，完全连接和换档不变神经网络产生线性决策边界。使用这一点，我们证明了神经网络中的换档不变性为两个类的简单情况产生了对手示例，每个案例由灰色背景上的黑色或白点组成的单个图像。这不仅仅是一种好奇心;我们凭经验显示，使用真实的数据集和现实的架构，换档不变性降低了对抗性的鲁棒性。最后，我们描述了使用合成数据来探测这种连接源的初始实验。

``神经切线内核'（NTK）（Jacot等人，2018年）及其经验变体被提议作为捕获真实神经网络某些行为的代理。在这项工作中，我们通过缩放定律的镜头研究NTK，并证明它们无法解释神经网络概括的重要方面。特别是，我们证明了现实的设置，其中有限宽度的神经网络具有与初始化时相应的经验和无限NTK相比，具有更好的数据缩放指数。这揭示了真实网络和NTK之间的更根本差异，仅仅是几个百分点的测试准确性。此外，我们表明，即使允许经验NTK在恒定数量的样本上进行预训练，也不会赶上神经网络缩放。最后，我们表明，经验NTK在整个培训的大部分培训中都在不断发展，与先前的工作相反，这表明它在经过几个时代的培训后稳定。总的来说，我们的工作确立了NTK方法在理解自然数据集对真实网络的概括方面的具体限制。

指导神经网络设计的方法的开发是深度学习理论的重要开放挑战。作为原则神经体系结构设计的范式，我们提出了高性能内核的翻译，它们对第一原理设计更好地理解和适合于等效的网络体系结构，这些网络体系结构具有较高的效率，灵活性和功能学习。为此，我们建设性地证明，只有适当的激活函数选择，任何一个正阳性点 - 产品核可以实现为完全连接的神经网络的NNGP或神经切线核，只有一个隐藏的层。我们通过数值验证我们的构建，并证明了其在多个实验中有限完全连接网络的设计工具。

我们证明了由例如He等人提出的广泛使用的方法。（2015年）并使用梯度下降对最小二乘损失进行训练并不普遍。具体而言，我们描述了一大批一维数据生成分布，较高的概率下降只会发现优化景观的局部最小值不好，因为它无法将其偏离偏差远离其初始化，以零移动。。事实证明，在这些情况下，即使目标函数是非线性的，发现的网络也基本执行线性回归。我们进一步提供了数值证据，表明在实际情况下，对于某些多维分布而发生这种情况，并且随机梯度下降表现出相似的行为。我们还提供了有关初始化和优化器的选择如何影响这种行为的经验结果。

深神经网络（DNN）是用于压缩和蒸馏信息的强大工具。由于它们的规模和复杂性，通常涉及数十亿间相互作用的内部自由度，精确分析方法通常会缩短。这种情况下的共同策略是识别平均潜在的快速微观变量的不稳定行为的缓慢自由度。在这里，我们在训练结束时识别在过度参数化的深卷积神经网络（CNNS）中发生的尺度的分离。它意味着神经元预激活与几乎高斯的方式与确定性潜在内核一起波动。在对于具有无限许多频道的CNN来说，这些内核是惰性的，对于有限的CNNS，它们以分析的方式通过数据适应和学习数据。由此产生的深度学习的热力学理论产生了几种深度非线性CNN玩具模型的准确预测。此外，它还提供了新的分析和理解CNN的方法。

How well does a classic deep net architecture like AlexNet or VGG19 classify on a standard dataset such as CIFAR-10 when its "width"-namely, number of channels in convolutional layers, and number of nodes in fully-connected internal layers -is allowed to increase to infinity? Such questions have come to the forefront in the quest to theoretically understand deep learning and its mysteries about optimization and generalization. They also connect deep learning to notions such as Gaussian processes and kernels. A recent paper [Jacot et al., 2018] introduced the Neural Tangent Kernel (NTK) which captures the behavior of fully-connected deep nets in the infinite width limit trained by gradient descent; this object was implicit in some other recent papers. An attraction of such ideas is that a pure kernel-based method is used to capture the power of a fully-trained deep net of infinite width. The current paper gives the first efficient exact algorithm for computing the extension of NTK to convolutional neural nets, which we call Convolutional NTK (CNTK), as well as an efficient GPU implementation of this algorithm. This results in a significant new benchmark for performance of a pure kernel-based method on CIFAR-10, being 10% higher than the methods reported in [Novak et al., 2019], and only 6% lower than the performance of the corresponding finite deep net architecture (once batch normalization etc. are turned off). Theoretically, we also give the first non-asymptotic proof showing that a fully-trained sufficiently wide net is indeed equivalent to the kernel regression predictor using NTK.

尽管过度参数过多，但人们认为，通过随机梯度下降（SGD）训练的深度神经网络令人惊讶地概括了。基于预先指定的假设集的Rademacher复杂性，已经开发出不同的基于规范的泛化界限来解释这种现象。但是，最近的研究表明，这些界限可能会随着训练集的规模而增加，这与经验证据相反。在这项研究中，我们认为假设集SGD探索是轨迹依赖性的，因此可能在其Rademacher复杂性上提供更严格的结合。为此，我们通过假设发生的随机梯度噪声遵循分数的布朗运动，通过随机微分方程来表征SGD递归。然后，我们根据覆盖数字识别Rademacher的复杂性，并将其与优化轨迹的Hausdorff维度相关联。通过调用假设集稳定性，我们得出了针对深神经网络的新型概括。广泛的实验表明，它可以很好地预测几种常见的实验干预措施的概括差距。我们进一步表明，分数布朗运动的HURST参数比现有的概括指标（例如幂律指数和上blumenthal-getoor索引）更具信息性。

It has long been known that a single-layer fully-connected neural network with an i.i.d. prior over its parameters is equivalent to a Gaussian process (GP), in the limit of infinite network width. This correspondence enables exact Bayesian inference for infinite width neural networks on regression tasks by means of evaluating the corresponding GP. Recently, kernel functions which mimic multi-layer random neural networks have been developed, but only outside of a Bayesian framework. As such, previous work has not identified that these kernels can be used as covariance functions for GPs and allow fully Bayesian prediction with a deep neural network. In this work, we derive the exact equivalence between infinitely wide deep networks and GPs. We further develop a computationally efficient pipeline to compute the covariance function for these GPs. We then use the resulting GPs to perform Bayesian inference for wide deep neural networks on MNIST and CIFAR-10. We observe that trained neural network accuracy approaches that of the corresponding GP with increasing layer width, and that the GP uncertainty is strongly correlated with trained network prediction error. We further find that test performance increases as finite-width trained networks are made wider and more similar to a GP, and thus that GP predictions typically outperform those of finite-width networks. Finally we connect the performance of these GPs to the recent theory of signal propagation in random neural networks. * Both authors contributed equally to this work. † Work done as a member of the Google AI Residency program (g.co/airesidency). 1 Throughout this paper, we assume the conditions on the parameter distributions and nonlinearities are such that the Central Limit Theorem will hold; for instance, that the weight variance is scaled inversely proportional to the layer width.

对称性一直是探索广泛复杂系统的基本工具。在机器学习中，在模型和数据中都探索了对称性。在本文中，我们试图将模型家族架构引起的对称性与该家族的内部数据表示的对称性联系起来。我们通过计算一组基本的对称组来做到这一点，我们称它们称为模型的\ emph {Intertwiner组}。这些中的每一个都来自模型的特定非线性层，不同的非线性导致不同的对称组。这些组以模型的权重更改模型的权重，使模型所代表的基础函数保持恒定，但模型内部数据的内部表示可能会改变。我们通过一系列实验将Intertwiner组连接到模型的数据内部表示，这些实验在具有相同体系结构的模型之间探测隐藏状态之间的相似性。我们的工作表明，网络的对称性在该网络的数据表示中传播到对称性中，从而使我们更好地了解架构如何影响学习和预测过程。最后，我们推测，对于Relu网络，交织组可能会为在隐藏层而不是任意线性组合的激活基础上集中模型可解释性探索的共同实践提供理由。

数据增强是机器学习管道的基石，但其理论基础尚不清楚。它只是人为增加数据集大小的一种方法吗？还是鼓励模型满足某些不变性？在这项工作中，我们考虑了另一个角度，我们研究了数据增强对学习过程动态的影响。我们发现，数据增强可以改变各种功能的相对重要性，从而有效地使某些信息性但难以学习的功能更有可能在学习过程中捕获。重要的是，我们表明，对于非线性模型，例如神经网络，这种效果更为明显。我们的主要贡献是对Allen-Zhu和Li [2020]最近提出的多视图数据模型中两层卷积神经网络的学习动态数据的详细分析。我们通过进一步的实验证据来补充这一分析，证明数据增加可以看作是特征操纵。

我们引入了重新定性，这是一种数据依赖性的重新聚集化，将贝叶斯神经网络（BNN）转化为后部的分布，其KL对BNN对BNN的差异随着层宽度的增长而消失。重新定义图直接作用于参数，其分析简单性补充了宽BNN在功能空间中宽BNN的已知神经网络过程（NNGP）行为。利用重新定性，我们开发了马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）后采样算法，该算法将BNN更快地混合在一起。这与MCMC在高维度上的表现差异很差。对于完全连接和残留网络，我们观察到有效样本量高达50倍。在各个宽度上都取得了改进，并在层宽度的重新培训和标准BNN之间的边缘。

神经切线内核（NTK）是分析神经网络及其泛化界限的训练动力学的强大工具。关于NTK的研究已致力于典型的神经网络体系结构，但对于Hadamard产品（NNS-HP）的神经网络不完整，例如StyleGAN和多项式神经网络。在这项工作中，我们为特殊类别的NNS-HP（即多项式神经网络）得出了有限宽度的NTK公式。我们证明了它们与关联的NTK与内核回归预测变量的等效性，该预测扩大了NTK的应用范围。根据我们的结果，我们阐明了针对外推和光谱偏置，PNN在标准神经网络上的分离。我们的两个关键见解是，与标准神经网络相比，PNN能够在外推方案中拟合更复杂的功能，并承认相应NTK的特征值衰减较慢。此外，我们的理论结果可以扩展到其他类型的NNS-HP，从而扩大了我们工作的范围。我们的经验结果验证了更广泛的NNS-HP类别的分离，这为对神经体系结构有了更深入的理解提供了良好的理由。

强大的机器学习模型的开发中的一个重要障碍是协变量的转变，当训练和测试集的输入分布时发生的分配换档形式在条件标签分布保持不变时发生。尽管现实世界应用的协变量转变普遍存在，但在现代机器学习背景下的理论理解仍然缺乏。在这项工作中，我们检查协变量的随机特征回归的精确高尺度渐近性，并在该设置中提出了限制测试误差，偏差和方差的精确表征。我们的结果激发了一种自然部分秩序，通过协变速转移，提供足够的条件来确定何时何时损害（甚至有助于）测试性能。我们发现，过度分辨率模型表现出增强的协会转变的鲁棒性，为这种有趣现象提供了第一个理论解释之一。此外，我们的分析揭示了分销和分发外概率性能之间的精确线性关系，为这一令人惊讶的近期实证观察提供了解释。

最近的工作表明，不同体系结构的卷积神经网络学会按照相同的顺序对图像进行分类。为了理解这种现象，我们重新审视了过度参数的深度线性网络模型。我们的分析表明，当隐藏层足够宽时，该模型参数的收敛速率沿数据的较大主组件的方向呈指数级数，该方向由由相应的奇异值控制的速率。我们称这种收敛模式主成分偏差（PC偏置）。从经验上讲，我们展示了PC偏差如何简化线性和非线性网络的学习顺序，在学习的早期阶段更为突出。然后，我们将结果与简单性偏见进行比较，表明可以独立看到这两个偏见，并以不同的方式影响学习顺序。最后，我们讨论了PC偏差如何解释早期停止及其与PCA的联系的一些好处，以及为什么深网与随机标签更慢地收敛。

一项开创性的工作[Jacot等，2018]表明，在特定参数化下训练神经网络等同于执行特定的内核方法，因为宽度延伸到无穷大。这种等效性为将有关内核方法的丰富文献结果应用于神经网的结果开辟了一个有希望的方向，而神经网络很难解决。本调查涵盖了内核融合的关键结果，因为宽度进入无穷大，有限宽度校正，应用以及对相应方法的局限性的讨论。