在这项研究中，我们调查了动态模式分解（DMD）算法的稳定性到嘈杂的数据。为了实现稳定的DMD算法，我们将截断的总，最小二乘（T-TLS）回归和最佳截断级别选择应用于TLS DMD算法。通过向TLS DMD算法添加截断正则化，T-TLS DMD可以提高计算的稳定性，同时保持TLS DMD的精度。通过对自助式细胞现象的圆筒和实际压敏涂料（PSP）数据的唤醒分析，评估T-TLS DMD的有效性。结果表明，正规化在DMD算法中的重要性。关于特征值，T-TLS DMD受到噪声的影响较小，并且可以稳定地获得精确的特征值，而TLS和子空间DMD的特征值可能由于噪音大大变化。如前所述，它还观察到标准的特征值和精确的DMD具有转移到阻尼侧的问题。关于特征向量，T-TLS和精确的DMD即使在存在噪声的情况下也明确地捕获了特征流模式，而TLS和子空间DMD不能由于噪音而清楚地捕获它们。

时间序列数据，例如不稳定的压力敏感涂料（PSP）测量数据，可能包含大量随机噪声。因此，在这项研究中，我们研究了一种将多元奇异频谱分析（MSSA）与低维数据表示结合的降噪方法。 MSSA是一种使用时间延迟嵌入的状态空间重建技术，并且通过将数据投影到单数值分解（SVD）基础上来实现低维表示。将提出的不稳定PSP数据（即预计的MSSA）的降噪性能与截短的SVD方法的降噪性能（预计的MSSA），这是使用最多的降噪方法之一。结果表明，与截断的SVD方法相比，预测的MSSA在减少随机噪声方面表现出更好的性能。此外，与截断的SVD方法相比，投影的MSSA的性能对截断等级不太敏感。此外，预测的MSSA通过从嘈杂的输入数据中提取状态空间中的平滑轨迹来有效地实现脱氧。预计，预计的MSSA将有效地减少不仅PSP测量数据中的随机噪声，还可以有效地降低各种高维时间序列数据。

在本文中，我们为非稳定于3D流体结构交互系统提供了一种基于深度学习的阶数（DL-ROM）。所提出的DL-ROM具有非线性状态空间模型的格式，并采用具有长短期存储器（LSTM）的经常性神经网络。我们考虑一种以状态空间格式的可弹性安装的球体的规范流体结构系统，其具有不可压缩的流体流动。我们开发了一种非线性数据驱动的耦合，用于预测横向方向自由振动球的非定常力和涡旋诱导的振动（VIV）锁定。我们设计输入输出关系作为用于流体结构系统的低维逼近的力和位移数据集的时间序列。基于VIV锁定过程的先验知识，输入功能包含一系列频率和幅度，其能够实现高效的DL-ROM，而无需用于低维建模的大量训练数据集。一旦训练，网络就提供了输入 - 输出动态的非线性映射，其可以通过反馈过程预测较长地平线的耦合流体结构动态。通过将LSTM网络与Eigensystem实现算法（时代）集成，我们构造了用于减少阶稳定性分析的数据驱动状态空间模型。我们通过特征值选择过程调查VIV的潜在机制和稳定性特征。为了了解频率锁定机制，我们研究了针对降低振荡频率和质量比的范围的特征值轨迹。与全阶模拟一致，通过组合的LSTM-ERA程序精确捕获频率锁定分支。所提出的DL-ROM与涉及流体结构相互作用的物理学数字双胞胎的基于物理的数字双胞胎。

数字双胞胎是一个代孕模型，具有反映原始过程行为的主要功能。将动力学过程与降低复杂性的数字双模型相关联具有很大的优势，可以将动力学以高精度和CPU时间和硬件的成本降低到遭受重大变化的时间表，因此很难探索。本文介绍了一个新的框架，用于创建有效的数字双流体流量流量。我们介绍了一种新型算法，该算法结合了基于Krylov的动态模式分解的优势和正确的正交分解，并优于选择最有影响力的模式。我们证明，随机正交分解算法提供了比SVD经验正交分解方法的几个优点，并减轻了对多目标优化问题的投影误差。我们涉及最先进的艺术人工智能（DL）以执行实时的实时学习（DL）数字双胞胎模型的自适应校准，富裕性的增加。该输出是流体流动动力学的高保真数字双数据数据模型，具有降低的复杂性。在三波现象的数值模拟中，随着复杂性的增加，研究了新的建模工具。我们表明，输出与原始源数据一致。我们在数值准确性和计算效率方面对新数字数据模型的性能进行彻底评估，包括时间模拟响应功能研究。

我们开发一种方法来构造来自表示基本上非线性（或不可连锁的）动态系统的数据集构成低维预测模型，其中具有由有限许多频率的外部强制进行外部矫正的双曲线线性部分。我们的数据驱动，稀疏，非线性模型获得为低维，吸引动力系统的光谱子纤维（SSM）的降低的动态的延长正常形式。我们说明了数据驱动的SSM降低了高维数值数据集的功率和涉及梁振荡，涡旋脱落和水箱中的晃动的实验测量。我们发现，在未加工的数据上培训的SSM减少也在额外的外部强制下准确预测非线性响应。

由于其与线性主成分分析（PCA）相比，通过AutoEncoders的非线性主成分分析（NLPCA）通过自动化系统引起了动态系统社区的注意力。这些模型减少方法在应用于由于对称性的存在而展示具有全局不变样品的数据集时经历潜在空间的维度的增加。在这项研究中，我们在AutoEncoder中介绍了一种新颖的机器学习，它使用空间变压器网络和暹罗网络分别考虑连续和离散的对称。空间变压器网络发现连续平移或旋转的最佳变化，使得不变样本在周期性方向上对齐。同样，暹罗网络在离散移位和反射下不变的样本。因此，所提出的对称感知的AutoEncoder是不变的，到预定的输入变换，指示底层物理系统的动态。该嵌入可以与线性和非线性还原方法一起使用，我们将对称感知PCA（S-PCA）和对称感知NLPCA（S-NLPCA）采用。我们将建议的框架应用于3个流体流动问题：汉堡方程，流过一步漫射器的流程和kolmogorov流程的模拟，展示了表现出仅连续对称的情况的能力，只能离散对称或两者的组合。

科学机器学习的进步改善了现代计算科学和工程应用。数据驱动的方法（例如动态模式分解（DMD））可以从动态系统生成的时空数据中提取相干结构，并推断上述系统的不同方案。时空数据作为快照，每次瞬间包含空间信息。在现代工程应用中，高维快照的产生可能是时间和/或资源要求。在本研究中，我们考虑了在大型数值模拟中增强DMD工作流程的两种策略：（i）快照压缩以减轻磁盘压力； （ii）使用原位可视化图像在运行时重建动力学（或部分）。我们通过两个3D流体动力学模拟评估我们的方法，并考虑DMD重建解决方案。结果表明，快照压缩大大减少了所需的磁盘空间。我们已经观察到，损耗的压缩将存储降低了几乎$ 50 \％$，而信号重建和其他关注数量的相对错误则较低。我们还使用原位可视化工具将分析扩展到了直接生成的数据，在运行时生成状态向量的图像文件。在大型模拟中，快照的产生可能足够慢，可以使用批处理算法进行推理。流DMD利用增量SVD算法，并随着每个新快照的到来更新模式。我们使用流式DMD来重建原位生成的图像的动力学。我们证明此过程是有效的，并且重建的动力学是准确的。

映射近场污染物的浓度对于跟踪城市地区意外有毒羽状分散体至关重要。通过求解大部分湍流谱，大型模拟（LES）具有准确表示污染物浓度空间变异性的潜力。找到一种合成大量信息的方法，以提高低保真操作模型的准确性（例如，提供更好的湍流封闭条款）特别有吸引力。这是一个挑战，在多质量环境中，LES的部署成本高昂，以了解羽流和示踪剂分散如何随着各种大气和源参数的变化。为了克服这个问题，我们提出了一个合并正交分解（POD）和高斯过程回归（GPR）的非侵入性降低阶模型，以预测与示踪剂浓度相关的LES现场统计。通过最大的后验（MAP）过程，GPR HyperParameter是通过POD告知的最大后验（MAP）过程来优化组件的。我们在二维案例研究上提供了详细的分析，该案例研究对应于表面安装的障碍物上的湍流大气边界层流。我们表明，障碍物上游的近源浓度异质性需要大量的POD模式才能得到充分捕获。我们还表明，逐组分的优化允许捕获POD模式中的空间尺度范围，尤其是高阶模式中较短的浓度模式。如果学习数据库由至少五十至100个LES快照制成，则可以首先估算所需的预算，以朝着更逼真的大气分散应用程序迈进，因此减少订单模型的预测仍然可以接受。

Echo State Networks (ESN) are a type of Recurrent Neural Networks that yields promising results in representing time series and nonlinear dynamic systems. Although they are equipped with a very efficient training procedure, Reservoir Computing strategies, such as the ESN, require the use of high order networks, i.e. large number of layers, resulting in number of states that is magnitudes higher than the number of model inputs and outputs. This not only makes the computation of a time step more costly, but also may pose robustness issues when applying ESNs to problems such as Model Predictive Control (MPC) and other optimal control problems. One such way to circumvent this is through Model Order Reduction strategies such as the Proper Orthogonal Decomposition (POD) and its variants (POD-DEIM), whereby we find an equivalent lower order representation to an already trained high dimension ESN. The objective of this work is to investigate and analyze the performance of POD methods in Echo State Networks, evaluating their effectiveness. To this end, we evaluate the Memory Capacity (MC) of the POD-reduced network in comparison to the original (full order) ENS. We also perform experiments on two different numerical case studies: a NARMA10 difference equation and an oil platform containing two wells and one riser. The results show that there is little loss of performance comparing the original ESN to a POD-reduced counterpart, and also that the performance of a POD-reduced ESN tend to be superior to a normal ESN of the same size. Also we attain speedups of around $80\%$ in comparison to the original ESN.

Koopman运算符全球线性化非线性动力学系统及其光谱信息是分析和分解非线性动力学系统的强大工具。但是，Koopman运营商是无限维度的，计算其光谱信息是一个巨大的挑战。我们介绍了Measure-tearving扩展动态模式分解（$ \ texttt {mpedmd} $），这是第一种截断方法，其特征性组件收敛到koopman运算符的光谱，以用于一般测量的动态系统。 $ \ texttt {mpedmd} $是基于正交式procrustes问题的数据驱动算法，该问题使用可观察的一般字典来强制测量Koopman运算符的截断。它具有灵活性且易于使用的任何预先存在的DMD类型方法，并且具有不同类型的数据。我们证明了$ \ texttt {mpedmd} $的融合，用于投影值和标量值光谱测量，光谱和koopman模式分解。对于延迟嵌入（Krylov子空间）的情况，我们的结果包括随着字典的大小增加，光谱测量近似值的第一个收敛速率。我们在一系列具有挑战性的示例中演示了$ \ texttt {mpedmd} $，与其他DMD型方法相比，其对噪声的稳健性提高，以及其捕获湍流边界层实验测量的能源保存和级联反应的能力，并以Reynolds的方式流动。数字$> 6 \ times 10^4 $和状态空间尺寸$> 10^5 $。

高维时空动力学通常可以在低维子空间中编码。用于建模，表征，设计和控制此类大规模系统的工程应用通常依赖于降低尺寸，以实时计算解决方案。降低维度的常见范例包括线性方法，例如奇异值分解（SVD）和非线性方法，例如卷积自动编码器（CAE）的变体。但是，这些编码技术缺乏有效地表示与时空数据相关的复杂性的能力，后者通常需要可变的几何形状，非均匀的网格分辨率，自适应网格化和/或参数依赖性。为了解决这些实用的工程挑战，我们提出了一个称为神经隐式流（NIF）的一般框架，该框架可以实现大型，参数，时空数据的网格不稳定，低级别表示。 NIF由两个修改的多层感知器（MLP）组成：（i）shapenet，它分离并代表空间复杂性，以及（ii）参数，该参数解释了任何其他输入复杂性，包括参数依赖关系，时间和传感器测量值。我们演示了NIF用于参数替代建模的实用性，从而实现了复杂时空动力学的可解释表示和压缩，有效的多空间质量任务以及改善了稀疏重建的通用性能。

数字双胞胎已成为优化工程产品和系统性能的关键技术。高保真数值模拟构成了工程设计的骨干，从而准确地了解了复杂系统的性能。但是，大规模的，动态的非线性模型需要大量的计算资源，并且对于实时数字双胞胎应用而言是高度的。为此，采用了减少的订单模型（ROM），以近似高保真解决方案，同时准确捕获身体行为的主要方面。本工作提出了一个新的机器学习（ML）平台，用于开发ROM，以处理处理瞬态非线性偏微分方程的大规模数值问题。我们的框架被称为$ \ textit {fastsvd-ml-rom} $，利用$ \ textit {（i）} $单数值分解（SVD）更新方法，以计算多效性解决方案的线性子空间仿真过程，$ \ textIt {（ii）} $降低非线性维度的卷积自动编码器，$ \ textit {（iii）} $ feed-feed-feed-forderward神经网络以将输入参数映射到潜在的空间，以及$ \ textit {（iv） ）} $长的短期内存网络，以预测和预测参数解决方案的动力学。 $ \ textit {fastsvd-ml-rom} $框架的效率用于2D线性对流扩散方程，圆柱周围的流体问题以及动脉段内的3D血流。重建结果的准确性证明了鲁棒性，并评估了所提出的方法的效率。

Regularising the parameter matrices of neural networks is ubiquitous in training deep models. Typical regularisation approaches suggest initialising weights using small random values, and to penalise weights to promote sparsity. However, these widely used techniques may be less effective in certain scenarios. Here, we study the Koopman autoencoder model which includes an encoder, a Koopman operator layer, and a decoder. These models have been designed and dedicated to tackle physics-related problems with interpretable dynamics and an ability to incorporate physics-related constraints. However, the majority of existing work employs standard regularisation practices. In our work, we take a step toward augmenting Koopman autoencoders with initialisation and penalty schemes tailored for physics-related settings. Specifically, we propose the "eigeninit" initialisation scheme that samples initial Koopman operators from specific eigenvalue distributions. In addition, we suggest the "eigenloss" penalty scheme that penalises the eigenvalues of the Koopman operator during training. We demonstrate the utility of these schemes on two synthetic data sets: a driven pendulum and flow past a cylinder; and two real-world problems: ocean surface temperatures and cyclone wind fields. We find on these datasets that eigenloss and eigeninit improves the convergence rate by up to a factor of 5, and that they reduce the cumulative long-term prediction error by up to a factor of 3. Such a finding points to the utility of incorporating similar schemes as an inductive bias in other physics-related deep learning approaches.

Koopman运算符是无限维的运算符，可全球线性化非线性动态系统，使其光谱信息可用于理解动态。然而，Koopman运算符可以具有连续的光谱和无限维度的子空间，使得它们的光谱信息提供相当大的挑战。本文介绍了具有严格融合的数据驱动算法，用于从轨迹数据计算Koopman运算符的频谱信息。我们引入了残余动态模式分解（ResDMD），它提供了第一种用于计算普通Koopman运算符的Spectra和PseudtoStra的第一种方案，无需光谱污染。使用解析器操作员和RESDMD，我们还计算与测量保存动态系统相关的光谱度量的平滑近似。我们证明了我们的算法的显式收敛定理，即使计算连续频谱和离散频谱的密度，也可以实现高阶收敛即使是混沌系统。我们展示了在帐篷地图，高斯迭代地图，非线性摆，双摆，洛伦茨系统和11美元延长洛伦兹系统的算法。最后，我们为具有高维状态空间的动态系统提供了我们的算法的核化变体。这使我们能够计算与具有20,046维状态空间的蛋白质分子的动态相关的光谱度量，并计算出湍流流过空气的误差界限的非线性Koopman模式，其具有雷诺数为$> 10 ^ 5 $。一个295,122维的状态空间。

Low-rank matrix approximations, such as the truncated singular value decomposition and the rank-revealing QR decomposition, play a central role in data analysis and scientific computing. This work surveys and extends recent research which demonstrates that randomization offers a powerful tool for performing low-rank matrix approximation. These techniques exploit modern computational architectures more fully than classical methods and open the possibility of dealing with truly massive data sets.This paper presents a modular framework for constructing randomized algorithms that compute partial matrix decompositions. These methods use random sampling to identify a subspace that captures most of the action of a matrix. The input matrix is then compressed-either explicitly or implicitly-to this subspace, and the reduced matrix is manipulated deterministically to obtain the desired low-rank factorization. In many cases, this approach beats its classical competitors in terms of accuracy, speed, and robustness. These claims are supported by extensive numerical experiments and a detailed error analysis.The specific benefits of randomized techniques depend on the computational environment. Consider the model problem of finding the k dominant components of the singular value decomposition of an m × n matrix. (i) For a dense input matrix, randomized algorithms require O(mn log(k)) floating-point operations (flops) in contrast with O(mnk) for classical algorithms. (ii) For a sparse input matrix, the flop count matches classical Krylov subspace methods, but the randomized approach is more robust and can easily be reorganized to exploit multi-processor architectures. (iii) For a matrix that is too large to fit in fast memory, the randomized techniques require only a constant number of passes over the data, as opposed to O(k) passes for classical algorithms. In fact, it is sometimes possible to perform matrix approximation with a single pass over the data.

在随机抽样方法中，马尔可夫链蒙特卡洛算法是最重要的。在随机行走都市方案中，我们利用分析方法和数值方法的结合研究了它们的收敛性能。我们表明，偏离目标稳态分布的偏差特征是定位过渡的函数，这是定义随机步行的尝试跳跃的特征长度。该过渡大大改变了误差，而误差是通过不完整的收敛引入的，并区分了两个方案，其中弛豫机制分别受扩散和排斥分别受到限制。

我们研究了以模型为简单络合物的抽象拓扑空间支撑的处理信号的线性过滤器，可以解释为解释节点，边缘，三角形面的图形的概括等，以处理此类信号，我们开发了定义为Matrix polynomials的简单卷积过滤器下霍德·拉普拉斯人的下部和上部。首先，我们研究了这些过滤器的特性，并表明它们是线性和转移不变的，以及置换和定向等效的。这些过滤器也可以以低计算复杂性的分布式方式实现，因为它们仅涉及（多个回合）上层和下相邻简单之间的简单转移。其次，着眼于边缘流，我们研究了这些过滤器的频率响应，并研究了如何使用Hodge分类来描述梯度，卷曲和谐波频率。我们讨论了这些频率如何对应于霍德拉普拉斯（Hodge laplacian）的下部和上等耦合以及上的核心，并且可以通过我们的滤波器设计独立调整。第三，我们研究设计简单卷积过滤器并讨论其相对优势的不同程序。最后，我们在几种应用中证实了简单过滤器：提取简单信号的不同频率组件，以denoise边缘流量以及分析金融市场和交通网络。

数据驱动的降级模型通常无法对沿坐标敏感的高维非线性系统进行准确的预测，因为这种坐标通常经常被截断，例如，通过正确的正交分解，核心成分分析和自动范围。这种系统在剪切主导的流体流中经常遇到，在剪切主导的流体流中，非正常性在障碍的生长中起着重要作用。为了解决这些问题，我们采用来自活跃子空间的想法来查找模型减少的坐标的低维系统，以平衡伴随的信息，以了解该系统的敏感性与沿轨迹的状态方差的敏感性。所得的方法是使用伴随快照（Cobras）称为协方差平衡降低，与平衡截断与状态和基于伴随的梯度协方差矩阵取代了系统gramians并遵守相同的关键转换定律。在这里，提取的坐标与可用于构建彼得罗夫 - 盖尔金还原模型的倾斜投影相关。我们提供了一种有效的基于快照的计算方法，类似于平衡的正交分解。这也导致观察到，可以单独依靠状态和梯度样品的内部产品来计算还原的坐标，从而使我们能够通过用核函数替换内部产品来找到丰富的非线性坐标。在这些坐标中，可以使用回归来学习减少的模型。我们演示了这些技术，并与简单但具有挑战性的三维系统和轴对称喷气流仿真进行比较，并具有$ 10^5 $状态变量。

场景背景初始化（SBI）是计算机愿景中的具有挑战性之一。动态模式分解（DMD）是最近提出的方法，以鲁布妥地将视频序列分解为背景模型和相应的前景部分。然而，该方法需要将彩色图像转换为用于处理的灰度图像，这导致忽略彩色图像的三个通道之间的耦合信息。在本研究中，我们提出了一种基于四元数的DMD（Q-DMD），其通过四元数矩阵分析扩展了DMD，以便完全保留彩色图像的固有色彩结构和彩色视频。我们利用四元数矩阵的标准特征值来计算其光谱分解并计算相应的Q-DMD模式和特征值。公开的基准数据集上的结果证明我们的Q-DMD优于确切的DMD方法，实验结果还表明，我们的方法的性能与最先进的模式相当。