拓扑数据分析（TDA）研究数据的形状模式。持续同源性（pH）是TDA中广泛使用的方法，其总结了多个尺度的数据的同源特征，并将它们存储在持久图（PDS）中。在本文中，我们提出了一种随机持久性图（RPDG）方法，其生成从数据产生的那些随机PDS序列。RPDG由（i）基于对持久性图推断的成对交互点处理的模型，并通过可逆跳转马克可蒙特卡罗（RJ-MCMC）算法来生成PDS样本。基于合成数据集的第一示例演示了RPDG的功效，并提供了与用于采样PDS的其他现有方法的详细比较。第二个例子演示了RPDG求解材料科学问题的效用，给出了小样本大小的真实数据集。

利用启发式来评估收敛性和压缩马尔可夫链蒙特卡罗的输出可以在生产的经验逼近时是次优。通常，许多初始状态归因于“燃烧”并移除，而链条的其余部分是“变薄”，如果还需要压缩。在本文中，我们考虑回顾性地从样本路径中选择固定基数的状态的问题，使得由其经验分布提供的近似接近最佳。提出了一种基于核心稳定性差异的贪婪最小化的新方法，这适用于需要重压力的问题。理论结果保障方法的一致性及其有效性在常微分方程的参数推理的具体背景下证明了该效果。软件可在Python，R和Matlab中的Stein细化包中提供。

最近有一项激烈的活动在嵌入非常高维和非线性数据结构的嵌入中，其中大部分在数据科学和机器学习文献中。我们分四部分调查这项活动。在第一部分中，我们涵盖了非线性方法，例如主曲线，多维缩放，局部线性方法，ISOMAP，基于图形的方法和扩散映射，基于内核的方法和随机投影。第二部分与拓扑嵌入方法有关，特别是将拓扑特性映射到持久图和映射器算法中。具有巨大增长的另一种类型的数据集是非常高维网络数据。第三部分中考虑的任务是如何将此类数据嵌入中等维度的向量空间中，以使数据适合传统技术，例如群集和分类技术。可以说，这是算法机器学习方法与统计建模（所谓的随机块建模）之间的对比度。在论文中，我们讨论了两种方法的利弊。调查的最后一部分涉及嵌入$ \ mathbb {r}^ 2 $，即可视化中。提出了三种方法：基于第一部分，第二和第三部分中的方法，$ t $ -sne，UMAP和大节。在两个模拟数据集上进行了说明和比较。一个由嘈杂的ranunculoid曲线组成的三胞胎，另一个由随机块模型和两种类型的节点产生的复杂性的网络组成。

持续的同源性（PH）是拓扑数据分析中最流行的方法之一。尽管PH已用于许多不同类型的应用程序中，但其成功背后的原因仍然难以捉摸。特别是，尚不知道哪种类别的问题最有效，或者在多大程度上可以检测几何或拓扑特征。这项工作的目的是确定pH在数据分析中比其他方法更好甚至更好的问题。我们考虑三个基本形状分析任务：从形状采样的2D和3D点云中检测孔数，曲率和凸度。实验表明，pH在这些任务中取得了成功，超过了几个基线，包括PointNet，这是一个精确地受到点云的属性启发的体系结构。此外，我们观察到，pH对于有限的计算资源和有限的培训数据以及分布外测试数据，包括各种数据转换和噪声，仍然有效。

适当地表示数据库中的元素，以便可以准确匹配查询是信息检索的核心任务；最近，通过使用各种指标将数据库的图形结构嵌入层次结构的方式中来实现。持久性同源性是一种在拓扑数据分析中常用的工具，能够严格地以其层次结构和连接结构来表征数据库。计算各种嵌入式数据集上的持续同源性表明，一些常用的嵌入式无法保留连接性。我们表明，那些成功保留数据库拓扑的嵌入通过引入两种扩张不变的比较措施来捕获这种效果，尤其是解决了对流形的度量扭曲问题。我们为它们的计算提供了一种算法，该算法大大降低了现有方法的时间复杂性。我们使用这些措施来执行基于拓扑的信息检索的第一个实例，并证明了其在持久同源性的标准瓶颈距离上的性能提高。我们在不同数据品种的数据库中展示了我们的方法，包括文本，视频和医学图像。

无监督的特征学习通常会发现捕获复杂数据结构的低维嵌入。对于专家的任务可获得专家，将其纳入学习的代表可能会导致更高质量的嵌入品。例如，这可以帮助人们将数据嵌入给定的簇数，或者容纳阻止一个人直接在模型上衍生数据分布的噪声，然后可以更有效地学习。然而，缺乏将不同的先前拓扑知识集成到嵌入中的一般工具。虽然最近已经开发了可微分的拓扑层，但可以（重新）形状嵌入预定的拓扑模型，他们对代表学习有两个重要的局限性，我们在本文中解决了这一点。首先，目前建议的拓扑损失未能以自然的方式代表诸如群集和耀斑的简单模型。其次，这些损失忽略了对学习有用的数据中的所有原始结构（例如邻域）信息。我们通过引入一组新的拓扑损失来克服这些限制，并提出其用法作为拓扑正规规范数据嵌入来自然代表预定模型的一种方法。我们包括彻底的综合和实际数据实验，突出了这种方法的有用性和多功能性，其中应用范围从建模高维单胞胎数据进行建模到绘图嵌入。

We consider the problem of estimating the interacting neighborhood of a Markov Random Field model with finite support and homogeneous pairwise interactions based on relative positions of a two-dimensional lattice. Using a Bayesian framework, we propose a Reversible Jump Monte Carlo Markov Chain algorithm that jumps across subsets of a maximal range neighborhood, allowing us to perform model selection based on a marginal pseudoposterior distribution of models. To show the strength of our proposed methodology we perform a simulation study and apply it to a real dataset from a discrete texture image analysis.

这是模型选择和假设检测的边缘似然计算的最新介绍和概述。计算概率模型（或常量比率）的常规规定常数是许多统计数据，应用数学，信号处理和机器学习中的许多应用中的基本问题。本文提供了对主题的全面研究。我们突出了不同技术之间的局限性，优势，连接和差异。还描述了使用不正确的前沿的问题和可能的解决方案。通过理论比较和数值实验比较一些最相关的方法。

在半导体制造中，晶圆地图缺陷模式为设施维护和产量管理提供了关键信息，因此缺陷模式的分类是制造过程中最重要的任务之一。在本文中，我们提出了一种新颖的方式来表示缺陷模式作为有限维矢量的形状，该矢量将用作分类神经网络算法的输入。主要思想是使用拓扑数据分析（TDA）的持续同源性理论提取每种模式的拓扑特征。通过使用模拟数据集进行的一些实验，我们表明，与使用卷积神经网络（CNN）的方法相比，所提出的方法在训练方面更快，更有效地训练，这是晶圆映射缺陷模式分类的最常见方法。此外，当训练数据的数量不够并且不平衡时，我们的方法优于基于CNN的方法。

本文旨在通过一种称为拓扑数据分析的方法来讨论一种量化数据“形状”的方法。拓扑数据分析中的主要工具是持续的同源性。这是从简单复合物的同源物中测量数据形状的一种手段，该方法在一系列值范围内计算出来。此处介绍了所需的背景理论和计算持续同源性的方法，并具有针对结构健康监测的应用。这些结果允许拓扑推断和推断高维数据中的功能的能力，否则可能会被忽略。为给定距离参数的数据构建了一个简单复合物。该复合物编码有关数据点局部接近性的信息。可以从这个简单复合物中计算出奇异的同源性值。扩展此想法，为一系列值提供了距离参数，并且在此范围内计算同源性。持续的同源性是在此间隔中如何持续存在数据的同源特征的一种表示。结果是数据的特征。还讨论了一种允许比较不同数据集的持续同源性的方法。

In this paper, we present the findings of various methodologies for measuring the similarity of synthetic data generated from tabular data samples. We particularly apply our research to the case where the synthetic data has many more samples than the real data. This task has a special complexity: validating the reliability of this synthetically generated data with a much higher number of samples than the original. We evaluated the most commonly used global metrics found in the literature. We introduced a novel approach based on the data's topological signature analysis. Topological data analysis has several advantages in addressing this latter challenge. The study of qualitative geometric information focuses on geometric properties while neglecting quantitative distance function values. This is especially useful with high-dimensional synthetic data where the sample size has been significantly increased. It is comparable to introducing new data points into the data space within the limits set by the original data. Then, in large synthetic data spaces, points will be much more concentrated than in the original space, and their analysis will become much more sensitive to both the metrics used and noise. Instead, the concept of "closeness" between points is used for qualitative geometric information. Finally, we suggest an approach based on data Eigen vectors for evaluating the level of noise in synthetic data. This approach can also be used to assess the similarity of original and synthetic data.

本文介绍了一个固定的厄贡点过程的统计模型，该模型是根据在方形窗口中观察到的单个实现估计的。使用随机几何形状中的现有方法，很难用大量颗粒形成复杂的几何形状进行建模。受到采样最大渗透模型的梯度下降算法的最新作品的启发，我们描述了一个模型，该模型允许快速采样新的配置，从而再现了给定观察的统计数据。从初始随机配置开始，其粒子根据能量的梯度移动，以匹配一组规定的矩（功能）。我们的矩是通过相谐波操作员在点模式的小波变换上定义的。它们允许一个人捕获粒子之间的多尺度相互作用，同时按照模型的结构的尺度明确控制矩数。我们介绍了具有各种几何结构的点过程的数值实验，并通过光谱和拓扑数据分析评估模型的质量。

不服从统计学习理论的古典智慧，即使它们通常包含数百万参数，现代深度神经网络也概括了井。最近，已经表明迭代优化算法的轨迹可以具有分形结构，并且它们的泛化误差可以与这种分形的复杂性正式连接。这种复杂性由分形的内在尺寸测量，通常比网络中的参数数量小得多。尽管这种透视提供了对为什么跨分层化的网络不会过度装备的解释，但计算内在尺寸（例如，在训练期间进行监测泛化）是一种臭名昭着的困难任务，即使在中等环境维度中，现有方法也通常失败。在这项研究中，我们考虑了从拓扑数据分析（TDA）的镜头上的这个问题，并开发了一个基于严格的数学基础的通用计算工具。通过在学习理论和TDA之间进行新的联系，我们首先说明了泛化误差可以在称为“持久同源维度”（PHD）的概念中，与先前工作相比，我们的方法不需要关于培训动态的任何额外几何或统计假设。然后，通过利用最近建立的理论结果和TDA工具，我们开发了一种高效的算法来估计现代深度神经网络的规模中的博士，并进一步提供可视化工具，以帮助理解深度学习中的概括。我们的实验表明，所提出的方法可以有效地计算网络的内在尺寸，这些设置在各种设置中，这是预测泛化误差的。

数字图像使得在微观和宏观长度尺度上的材料特性进行定量分析，但在获取图像时选择适当的分辨率是具有挑战性的。高分辨率意味着对给定样本的图像采集和更大的数据要求，但如果分辨率太低，则可能丢失重要信息。本文研究了解决方案对持续同源性的改变的影响，一种来自拓扑数据分析的工具，在所有长度尺度上提供图像中的图像中的结构签名。给定关于函数的先前信息，对象的几何形状，或者在给定分辨率下的密度分布，我们提供了在可接受的公差内选择粗糙分辨率的方法。我们展示了用于说明性合成实例和来自多孔材料的样品的数值案例研究，其中理论界限未知。

本文介绍了合并树木主要测量分析（MT-PGA）的计算框架，这是对著名的主要组件分析（PCA）框架[87]对合并树的瓦斯坦斯坦度量空间[92]的新颖调整。我们将MT-PGA计算作为一个约束优化问题，旨在调整正交测量轴的基础，同时最大程度地减少拟合能量。我们引入了一种有效的，迭代的算法，该算法利用了共享记忆并行性以及拟合能量梯度的分析表达，以确保快速迭代。我们的方法还琐碎地扩展到极值持久图。对公共集合的广泛实验证明了我们方法的效率 - 最大示例中的MT -PGA计算在分钟内进行了计算。我们通过扩展了两个典型的PCA应用程序来展示我们的贡献的实用性。首先，我们将MT-PGA应用于数据降低，并通过以MT-PGA为基础的第一批坐标来可靠地压缩合并树。其次，我们提出一个利用MT-PGA基础的前两个方向来生成合奏的二维布局，提出了一个维度降低框架。我们以持久性相关视图来增强这些布局，从而实现整体和局部视觉检查集合中的特征可变性。在这两种应用中，定量实验评估我们框架的相关性。最后，我们提供了轻巧的C ++实现，可用于复制我们的结果。

我们考虑了使用显微镜或X射线散射技术产生的图像数据自组装的模型的贝叶斯校准。为了说明BCP平衡结构中的随机远程疾病，我们引入了辅助变量以表示这种不确定性。然而，这些变量导致了高维图像数据的综合可能性，通常可以评估。我们使用基于测量运输的可能性方法以及图像数据的摘要统计数据来解决这一具有挑战性的贝叶斯推理问题。我们还表明，可以计算出有关模型参数的数据中的预期信息收益（EIG），而无需额外的成本。最后，我们介绍了基于二嵌段共聚物薄膜自组装和自上而下显微镜表征的ohta-kawasaki模型的数值案例研究。为了进行校准，我们介绍了一些基于域的能量和傅立叶的摘要统计数据，并使用EIG量化了它们的信息性。我们证明了拟议方法研究数据损坏和实验设计对校准结果的影响的力量。

无似然方法是对可以模拟的隐式模型执行推断的必不可少的工具，但相应的可能性是棘手的。但是，常见的无可能方法不能很好地扩展到大量模型参数。一种有前途的无可能推理的有前途的方法涉及通过仅根据据信为低维成分提供信息的摘要统计数据来估计低维边缘后期，然后在某种程度上结合了低维近似值。在本文中，我们证明，对于看似直观的汇总统计选择，这种低维近似值在实践中可能是差的。我们描述了一个理想化的低维汇总统计量，原则上适用于边际估计。但是，在实践中很难直接近似理想的选择。因此，我们提出了一种替代的边际估计方法，该方法更容易实施和自动化。考虑到初始选择的低维摘要统计量可能仅对边缘后验位置有用，新方法通过使用所有摘要统计数据来确保全局可识别性来提高性能，从而提高性能使用低维摘要统计量进行精确的低维近似。我们表明，该方法的后部可以分别基于低维和完整的摘要统计数据将其表示为后验分布的对数库。在几个示例中说明了我们方法的良好性能。

在发育过程中，细胞细胞共同居住与其新兴动态之间没有常规关联，这阻碍了我们对细胞种群如何扩散，分化和竞争的理解，即细胞生态学。随着单细胞RNA-Sequencing（RNA-Seq）的最新进展，我们可以通过构造表征细胞特异性转录程序基因表达谱的相似性的网络图来描述这种链接，并分析这些图系统地使用代数拓扑信息的摘要统计数据。我们提出了单细胞拓扑简单分析（SCTSA）。将这种方法应用于不同发展阶段的不同发育阶段的局部细胞网络的单细胞基因表达谱，这揭示了以前看不见的细胞生态拓扑结构。这些网络包含大量的单细胞剖面丛中的腔体，这些腔体指导了更复杂的居住形式的出现。与无效模型相比，我们使用这些网络的拓扑简单架构可视化这些生态模式。斑马鱼胚胎发生的单细胞RNA-seq数据跨越了38,731个细胞，25种细胞类型和12个时间步，我们的方法突出了胃肠道是最关键的阶段，与发育生物学的共识一致。作为非线性，独立和无监督的框架，我们的方法也可以应用于追踪多规模的细胞谱系，识别关键阶段或创建伪时间序列。

Neyman-Scott processes (NSPs) are point process models that generate clusters of points in time or space. They are natural models for a wide range of phenomena, ranging from neural spike trains to document streams. The clustering property is achieved via a doubly stochastic formulation: first, a set of latent events is drawn from a Poisson process; then, each latent event generates a set of observed data points according to another Poisson process. This construction is similar to Bayesian nonparametric mixture models like the Dirichlet process mixture model (DPMM) in that the number of latent events (i.e. clusters) is a random variable, but the point process formulation makes the NSP especially well suited to modeling spatiotemporal data. While many specialized algorithms have been developed for DPMMs, comparatively fewer works have focused on inference in NSPs. Here, we present novel connections between NSPs and DPMMs, with the key link being a third class of Bayesian mixture models called mixture of finite mixture models (MFMMs). Leveraging this connection, we adapt the standard collapsed Gibbs sampling algorithm for DPMMs to enable scalable Bayesian inference on NSP models. We demonstrate the potential of Neyman-Scott processes on a variety of applications including sequence detection in neural spike trains and event detection in document streams.

量子计算为某些问题提供了指数加速的潜力。但是，许多具有可证明加速的现有算法都需要当前不可用的耐故障量子计算机。我们提出了NISQ-TDA，这是第一个完全实现的量子机学习算法，其在任意经典（非手动）数据上具有可证明的指数加速，并且仅需要线性电路深度。我们报告了我们的NISQ-TDA算法的成功执行，该算法应用于在量子计算设备以及嘈杂的量子模拟器上运行的小数据集。我们从经验上证实，该算法对噪声是可靠的，并提供了目标深度和噪声水平，以实现现实世界中问题的近期，无耐受耐受性的量子优势。我们独特的数据加载投影方法是噪声鲁棒性的主要来源，引入了一种新的自我校正数据加载方法。