我们在非均匀超图随机块模型（HSBM）下的稀疏随机超图中的社区检测问题，是社区结构的随机网络的一般模型和高阶交互。当随机超图具有界定的预期度时，我们提供了一种频谱算法，该频谱算法输出分区，其中至少有$ \ gamma $分数正确分类，其中$ \ gamma \ in（0.5,1）$取决于信号 - 模型的噪声比（SNR）。当SNR随着顶点的数量转到无限的时，SNR慢慢地增长，我们的算法达到了弱的一致性，这改善了Ghoshdastidar和Dukkipati（2017）的上一个结果，用于非均匀的HSBMS。我们的谱算法由三个主要步骤组成：（1）HIFFEGE选择：选择某些尺寸的超高率，为诱导的子图像提供最大信噪比; （2）光谱分区：构造正则化邻接矩阵，并基于奇异向量获得近似分区; （3）纠正和合并：将超代表信息从邻接张于升级升级错误率保证。我们的算法的理论分析依赖于稀疏非均匀随机超图的邻接矩阵的浓度和正则化，这可以是独立的兴趣。

随机奇异值分解（RSVD）是用于计算大型数据矩阵截断的SVD的一类计算算法。给定A $ n \ times n $对称矩阵$ \ mathbf {m} $，原型RSVD算法输出通过计算$ \ mathbf {m mathbf {m} $的$ k $引导singular vectors的近似m}^{g} \ mathbf {g} $;这里$ g \ geq 1 $是一个整数，$ \ mathbf {g} \ in \ mathbb {r}^{n \ times k} $是一个随机的高斯素描矩阵。在本文中，我们研究了一般的“信号加上噪声”框架下的RSVD的统计特性，即，观察到的矩阵$ \ hat {\ mathbf {m}} $被认为是某种真实但未知的加法扰动信号矩阵$ \ mathbf {m} $。我们首先得出$ \ ell_2 $（频谱规范）和$ \ ell_ {2 \ to \ infty} $（最大行行列$ \ ell_2 $ norm）$ \ hat {\ hat {\ Mathbf {M}} $和信号矩阵$ \ Mathbf {M} $的真实单数向量。这些上限取决于信噪比（SNR）和功率迭代$ g $的数量。观察到一个相变现象，其中较小的SNR需要较大的$ g $值以保证$ \ ell_2 $和$ \ ell_ {2 \ to \ fo \ infty} $ distances的收敛。我们还表明，每当噪声矩阵满足一定的痕量生长条件时，这些相变发生的$ g $的阈值都会很清晰。最后，我们得出了近似奇异向量的行波和近似矩阵的进入波动的正常近似。我们通过将RSVD的几乎最佳性能保证在应用于三个统计推断问题的情况下，即社区检测，矩阵完成和主要的组件分析，并使用缺失的数据来说明我们的理论结果。

假设$ g $是根据所谓的HyperGraph随机块模型（HSBM）产生的，我们考虑了稀疏$ Q $均匀的HyperGraph $ G $中的社区检测问题。我们证明，基于非折线操作员的光谱方法具有很高的概率，可以降低到Angelini等人猜想的广义kesten-Stigum检测阈值。我们表征了稀疏HSBM的非背带操作员的频谱，并使用Ihara-Bass公式为超图提供有效的尺寸降低程序。结果，可以将稀疏HSBM的社区检测减少为$ 2N \ times 2n $非正态矩阵的特征向量问题，该矩阵从邻接矩阵和超级格雷普的学位矩阵中构建。据我们所知，这是第一种可证明，有效的光谱算法，它可以根据一般对称概率张量生成$ K $块的HSBMS阈值。

The stochastic block model (SBM) is a fundamental model for studying graph clustering or community detection in networks. It has received great attention in the last decade and the balanced case, i.e., assuming all clusters have large size, has been well studied. However, our understanding of SBM with unbalanced communities (arguably, more relevant in practice) is still very limited. In this paper, we provide a simple SVD-based algorithm for recovering the communities in the SBM with communities of varying sizes. We improve upon a result of Ailon, Chen and Xu [ICML 2013] by removing the assumption that there is a large interval such that the sizes of clusters do not fall in. Under the planted clique conjecture, the size of the clusters that can be recovered by our algorithm is nearly optimal (up to polylogarithmic factors) when the probability parameters are constant. As a byproduct, we obtain a polynomial-time algorithm with sublinear query complexity for a clustering problem with a faulty oracle, which finds all clusters of size larger than $\tilde{\Omega}({\sqrt{n}})$ even if $\Omega(n)$ small clusters co-exist in the graph. In contrast, all the previous efficient algorithms that makes sublinear number of queries cannot recover any large cluster, if there are more than $\tilde{\Omega}(n^{2/5})$ small clusters.

随着大型网络在重要领域的相关领域的相关性，例如对疾病传播的联系网络的研究，或社交网络对地缘政治的影响，已经有必要研究可扩展到非常大的网络的机器学习工具，通常包含数百万节点。一种主要类别可扩展算法称为网络表示学习或网络嵌入。这些算法尝试通过首次运行多个随机散步，然后使用观察到的随机步行段中的每对节点的共同数量来学习网络功能（例如〜节点）的表示，以获得一些节点的低维表示欧几里德空间。本文的目的是严格地了解两个主要算法，深途化和Node2VEC的性能，以恢复与地面真理社区的规范网络模型的社区。根据图的稀疏性，我们发现所需的随机步道段的长度，使得相应的观察到的共生窗口能够对底层社区分配的几乎精确恢复。我们证明，考虑到一些固定的共同发生窗口，使用随机散步的Node2Vec与低横向概率的随机散步可以相比，与使用简单随机散步的深度扫视相比，稀疏网络可以成功。此外，如果稀疏参数低，我们提供了证据表明这些算法几乎完全恢复可能不会成功。该分析需要开发用于对具有底层低级结构的随机网络计数的通用工具，这与独立兴趣。

本文讨论了ERD \ H {O} S-R \'enyi图的图形匹配或网络对齐问题，可以将其视为图同构问题的嘈杂平均案例版本。令$ g $和$ g'$ be $ g（n，p）$ erd \ h {o} s--r \'enyi略微图形，并用其邻接矩阵识别。假设$ g $和$ g'$是相关的，因此$ \ mathbb {e} [g_ {ij} g'_ {ij}] = p（1- \ alpha）$。对于置换$ \ pi $，代表$ g $和$ g'$之间的潜在匹配，用$ g^\ pi $表示从$ \ pi $的$ g $的顶点获得的图表。观察$ g^\ pi $和$ g'$，我们的目标是恢复匹配的$ \ pi $。在这项工作中，我们证明，在（0,1] $中，每$ \ varepsilon \ in（0,1] $，都有$ n_0> 0 $，具体取决于$ \ varepsilon $和绝对常数$ \ alpha_0，r> 0 $，带有以下属性。令$ n \ ge n_0 $，$（1+ \ varepsilon）\ log n \ le np \ le n^{\ frac {1} {r \ log \ log \ log n}} $ （\ alpha_0，\ varepsilon/4）$。有一个多项式时算法$ f $，因此$ \ m athbb {p} \ {f（g^\ pi，g'）= \ pi \} = 1-o （1）$。这是第一种多项式时算法，它恢复了相关的ERD \ H {O} S-r \'enyi图与具有恒定相关性的相关性图与高概率相关性的确切匹配。该算法是基于比较的比较与图形顶点关联的分区树。

我们调查与高斯的混合的数据分享共同但未知，潜在虐待协方差矩阵的数据。我们首先考虑具有两个等级大小的组件的高斯混合，并根据最大似然估计导出最大切割整数程序。当样品的数量在维度下线性增长时，我们证明其解决方案实现了最佳的错误分类率，直到对数因子。但是，解决最大切割问题似乎是在计算上棘手的。为了克服这一点，我们开发了一种高效的频谱算法，该算法达到最佳速率，但需要一种二次样本量。虽然这种样本复杂性比最大切割问题更差，但我们猜测没有多项式方法可以更好地执行。此外，我们收集了支持统计计算差距存在的数值和理论证据。最后，我们将MAX-CUT程序概括为$ k $ -means程序，该程序处理多组分混合物的可能性不平等。它享有相似的最优性保证，用于满足运输成本不平等的分布式的混合物，包括高斯和强烈的对数的分布。

本文研究了一般D-均匀的HyperGraph随机块模型（D-HSBM）中精确恢复的基本限制，其中n个节点被分配到具有相对大小的k差异群落中（p1，...，pk）。具有基数d的节点的每个子集都是独立生成的，作为订单-D超边，其一定概率取决于D节点所属的地面真相群落。目标是根据观察到的超图准确地恢复K隐藏的社区。我们表明存在一个尖锐的阈值，因此可以在阈值之上实现精确的恢复，而不可能在阈值以下（除了将精确指定的小参数制度之外）。该阈值是根据我们称为社区之间普遍的Chernoff-Hellinger分歧的数量来表示的。我们对该通用模型的结果恢复了标准SBM和D-HSBM的先前结果，其中两个对称群落作为特殊情况。在证明我们的可实现结果的途径中，我们开发了一种符合阈值的多项式两阶段算法。第一阶段采用某种超图光谱聚类方法来获得社区的粗略估计，第二阶段通过局部细化步骤单独完善每个节点，以确保精确恢复。

随机块模型（SBM）是一个随机图模型，其连接不同的顶点组不同。它被广泛用作研究聚类和社区检测的规范模型，并提供了肥沃的基础来研究组合统计和更普遍的数据科学中出现的信息理论和计算权衡。该专着调查了最近在SBM中建立社区检测的基本限制的最新发展，无论是在信息理论和计算方案方面，以及各种恢复要求，例如精确，部分和弱恢复。讨论的主要结果是在Chernoff-Hellinger阈值中进行精确恢复的相转换，Kesten-Stigum阈值弱恢复的相变，最佳的SNR - 单位信息折衷的部分恢复以及信息理论和信息理论之间的差距计算阈值。该专着给出了在寻求限制时开发的主要算法的原则推导，特别是通过绘制绘制，半定义编程，（线性化）信念传播，经典/非背带频谱和图形供电。还讨论了其他块模型的扩展，例如几何模型和一些开放问题。

我们开发了一种高效的随机块模型中的弱恢复算法。该算法与随机块模型的Vanilla版本的最佳已知算法的统计保证匹配。从这个意义上讲，我们的结果表明，随机块模型没有稳健性。我们的工作受到最近的银行，Mohanty和Raghavendra（SODA 2021）的工作，为相应的区别问题提供了高效的算法。我们的算法及其分析显着脱离了以前的恢复。关键挑战是我们算法的特殊优化景观：种植的分区可能远非最佳意义，即完全不相关的解决方案可以实现相同的客观值。这种现象与PCA的BBP相转变的推出效应有关。据我们所知，我们的算法是第一个在非渐近设置中存在这种推出效果的鲁棒恢复。我们的算法是基于凸优化的框架的实例化（与平方和不同的不同），这对于其他鲁棒矩阵估计问题可能是有用的。我们的分析的副产物是一种通用技术，其提高了任意强大的弱恢复算法的成功（输入的随机性）从恒定（或缓慢消失）概率以指数高概率。

在这项工作中，我们研究了具有对抗性节点损坏的随机块模型中社区发现的问题。我们的主要结果是一种有效的算法，该算法可以忍受$ \ epsilon $ - 损坏和达到错误$ o（\ epsilon） + e^{ - \ frac {c} {2} {2}（1 \ pm o（1））} $其中$ c =（\ sqrt {a} - \ sqrt {b}）^2 $是信噪比，$ a/n $和$ b/n $是互发和intra-intra-intra-社区连接概率分别。这些界限基本上与无损坏的SBM的最小值相匹配。我们还为$ \ mathbb {z} _2 $ -Synchronization提供了可靠的算法。我们算法的核心是一个新的半决赛程序，它使用全局信息来鲁棒提高粗糙聚类的准确性。此外，我们表明我们的算法是双重的，因为它们在更具挑战性的噪声模型中起作用，该模型将对抗性腐败与无限制的单调变化混合在一起，从半随机模型中。

社区检测是网络科学中的一个基本问题。在本文中，我们考虑了从$ HyperGraph $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $（HSBM）中绘制的HyperGraphs中的社区检测，重点是精确的社区恢复。在整个超图未知的情况下，我们研究了多项式时间算法以进行社区检测的性能。取而代之的是，我们获得了$相似性$ $ $ $ $ $ $ w $，其中$ w_ {ij} $报告包含$ i $和$ j $的超补品的数量。在此信息模型下，Kim，Bandeira和Goemans [KBG18]确定了信息理论阈值，以进行精确恢复，并提出了他们认为是最佳的半决赛编程松弛。在本文中，我们确认了这个猜想。我们还表明，一种简单，高效的光谱算法是最佳的，将光谱算法作为选择方法。我们对光谱算法的分析至关重要地依赖于$ w $的特征向量上的强$ entrywise $界限。我们的边界灵感来自Abbe，Fan，Wang和Zhong [AFWZ20]的工作，他们开发了具有独立条目的对称矩阵的特征向量的进入界。尽管相似性矩阵的依赖性结构复杂，但我们证明了相似的入口保证。

我们提出了对学度校正随机块模型（DCSBM）的合适性测试。该测试基于调整后的卡方统计量，用于测量$ n $多项式分布的组之间的平等性，该分布具有$ d_1，\ dots，d_n $观测值。在网络模型的背景下，多项式的数量（$ n $）的数量比观测值数量（$ d_i $）快得多，与节点$ i $的度相对应，因此设置偏离了经典的渐近学。我们表明，只要$ \ {d_i \} $的谐波平均值生长到无穷大，就可以使统计量在NULL下分配。顺序应用时，该测试也可以用于确定社区数量。该测试在邻接矩阵的压缩版本上进行操作，因此在学位上有条件，因此对大型稀疏网络具有高度可扩展性。我们结合了一个新颖的想法，即在测试$ K $社区时根据$（k+1）$ - 社区分配来压缩行。这种方法在不牺牲计算效率的情况下增加了顺序应用中的力量，我们证明了它在恢复社区数量方面的一致性。由于测试统计量不依赖于特定的替代方案，因此其效用超出了顺序测试，可用于同时测试DCSBM家族以外的各种替代方案。特别是，我们证明该测试与具有社区结构的潜在可变性网络模型的一般家庭一致。

社区检测和正交组同步是科学和工程中各种重要应用的基本问题。在这项工作中，我们考虑了社区检测和正交组同步的联合问题，旨在恢复社区并同时执行同步。为此，我们提出了一种简单的算法，该算法由频谱分解步骤组成，然后是彼此枢转的QR分解（CPQR）。所提出的算法与数据点数线性有效且缩放。我们还利用最近开发的“休闲一淘汰”技术来建立近乎最佳保证，以确切地恢复集群成员资格，并稳定地恢复正交变换。数值实验证明了我们算法的效率和功效，并确认了我们的理论表征。

我们根据计算一个扎根于每个顶点的某个加权树的家族而构成的相似性得分提出了一种有效的图形匹配算法。对于两个erd \ h {o} s-r \'enyi图$ \ mathcal {g}（n，q）$，其边缘通过潜在顶点通信相关联，我们表明该算法正确地匹配了所有范围的范围，除了所有的vertices分数外，有了很高的概率，前提是$ nq \ to \ infty $，而边缘相关系数$ \ rho $满足$ \ rho^2> \ alpha \ ailpha \大约0.338 $，其中$ \ alpha $是Otter的树木计数常数。此外，在理论上是必需的额外条件下，可以精确地匹配。这是第一个以显式常数相关性成功的多项式图匹配算法，并适用于稀疏和密集图。相比之下，以前的方法要么需要$ \ rho = 1-o（1）$，要么仅限于稀疏图。该算法的症结是一个经过精心策划的植根树的家族，称为吊灯，它可以有效地从同一树的计数中提取图形相关性，同时抑制不同树木之间的不良相关性。

网络值时间序列是目前的网络数据的常见形式。然而，研究由网络价值随机过程产生的网络序列的总体行为相对较少。现有的大多数研究都集中在简单的设置上，其中网络在整个时间内是独立的（或有条件独立的），并且所有边缘在每个时间步骤均同步更新。在本文中，我们研究了聚集的邻接矩阵的浓度特性以及与懒惰网络值随机过程产生的网络序列相关的相应拉普拉斯矩阵，其中边缘异步不断地更新，并且每个边缘都遵循其懒惰的随机过程，以更新独立于其更新其他边缘。我们证明了这些集中度的有用性，从而证明了标准估计器在社区估计和变更点估计问题中的一致性。我们还进行了一项仿真研究，以证明懒惰参数的影响，该参数控制时间相关的程度，对社区和变化点估计的准确性。

本文研究了聚类基质值观测值的计算和统计限制。我们提出了一个低级别的混合模型（LRMM），该模型适用于经典的高斯混合模型（GMM）来处理基质值观测值，该观测值假设人口中心矩阵的低级别。通过集成Lloyd算法和低级近似值设计了一种计算有效的聚类方法。一旦定位良好，该算法将快速收敛并达到最小值最佳的指数型聚类错误率。同时，我们表明一种基于张量的光谱方法可提供良好的初始聚类。与GMM相当，最小值最佳聚类错误率是由分离强度（即种群中心矩阵之间的最小距离）决定的。通过利用低级度，提出的算法对分离强度的要求较弱。但是，与GMM不同，LRMM的统计难度和计算难度的特征是信号强度，即最小的人口中心矩阵的非零奇异值。提供了证据表明，即使信号强度不够强，即使分离强度很强，也没有多项式时间算法是一致的。在高斯以下噪声下进一步证明了我们低级劳埃德算法的性能。讨论了LRMM下估计和聚类之间的有趣差异。通过全面的仿真实验证实了低级劳埃德算法的优点。最后，我们的方法在现实世界数据集的文献中优于其他方法。

The stochastic block model (SBM) is a random graph model with planted clusters. It is widely employed as a canonical model to study clustering and community detection, and provides generally a fertile ground to study the statistical and computational tradeoffs that arise in network and data sciences.This note surveys the recent developments that establish the fundamental limits for community detection in the SBM, both with respect to information-theoretic and computational thresholds, and for various recovery requirements such as exact, partial and weak recovery (a.k.a., detection). The main results discussed are the phase transitions for exact recovery at the Chernoff-Hellinger threshold, the phase transition for weak recovery at the Kesten-Stigum threshold, the optimal distortion-SNR tradeoff for partial recovery, the learning of the SBM parameters and the gap between information-theoretic and computational thresholds.The note also covers some of the algorithms developed in the quest of achieving the limits, in particular two-round algorithms via graph-splitting, semi-definite programming, linearized belief propagation, classical and nonbacktracking spectral methods. A few open problems are also discussed.

为了捕获许多社区检测问题的固有几何特征，我们建议使用一个新的社区随机图模型，我们称之为\ emph {几何块模型}。几何模型建立在\ emph {随机几何图}（Gilbert，1961）上，这是空间网络的随机图的基本模型之一，就像在ERD \ H上建立的良好的随机块模型一样{o} s-r \'{en} yi随机图。它也是受到社区发现中最新的理论和实际进步启发的随机社区模型的自然扩展。为了分析几何模型，我们首先为\ emph {Random Annulus图}提供新的连接结果，这是随机几何图的概括。自引入以来，已经研究了几何图的连通性特性，并且由于相关的边缘形成而很难分析它们。然后，我们使用随机环形图的连接结果来提供必要的条件，以有效地为几何块模型恢复社区。我们表明，一种简单的三角计数算法来检测几何模型中的社区几乎是最佳的。为此，我们考虑了两个图密度方案。在图表的平均程度随着顶点的对数增长的状态中，我们表明我们的算法在理论上和实际上都表现出色。相比之下，三角计数算法对于对数学度方案中随机块模型远非最佳。我们还查看了图表的平均度与顶点$ n $的数量线性增长的状态，因此要存储一个需要$ \ theta（n^2）$内存的图表。我们表明，我们的算法需要在此制度中仅存储$ o（n \ log n）$边缘以恢复潜在社区。

高维统计数据的一个基本目标是检测或恢复嘈杂数据中隐藏的种植结构（例如低级别矩阵）。越来越多的工作研究低级多项式作为此类问题的计算模型的限制模型：在各种情况下，数据的低级多项式可以与最知名的多项式时间算法的统计性能相匹配。先前的工作已经研究了低度多项式的力量，以检测隐藏结构的存在。在这项工作中，我们将这些方法扩展到解决估计和恢复问题（而不是检测）。对于大量的“信号加噪声”问题，我们给出了一个用户友好的下限，以获得最佳的均衡误差。据我们所知，这些是建立相关检测问题的恢复问题低度硬度的第一个结果。作为应用，我们对种植的子静脉和种植的密集子图问题的低度最小平方误差进行了严格的特征，在两种情况下都解决了有关恢复的计算复杂性的开放问题（在低度框架中）。