基于近似基础的Koopman操作员或发电机的数据驱动的非线性动力系统模型已被证明是预测，功能学习，状态估计和控制的成功工具。众所周知，用于控制膜系统的Koopman发电机还对输入具有仿射依赖性，从而导致动力学的方便有限维双线性近似。然而，仍然存在两个主要障碍，限制了当前方法的范围，以逼近系统的koopman发电机。首先，现有方法的性能在很大程度上取决于要近似Koopman Generator的基础函数的选择；目前，目前尚无通用方法来为无法衡量保存的系统选择它们。其次，如果我们不观察到完整的状态，我们可能无法访问足够丰富的此类功能来描述动态。这是因为在有驱动时，通常使用时间延迟的可观察物的方法失败。为了解决这些问题，我们将Koopman Generator控制的可观察到的动力学写为双线性隐藏Markov模型，并使用预期最大化（EM）算法确定模型参数。 E-Step涉及标准的Kalman滤波器和更光滑，而M-Step类似于发电机的控制效果模式分解。我们在三个示例上证明了该方法的性能，包括恢复有限的Koopman-Invariant子空间，用于具有缓慢歧管的驱动系统；估计非强制性行驶方程的Koopman本征函数；仅基于提升和阻力的嘈杂观察，对流体弹球系统的模型预测控制。
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数据科学和机器学习的进展已在非线性动力学系统的建模和模拟方面取得了重大改进。如今，可以准确预测复杂系统，例如天气，疾病模型或股市。预测方法通常被宣传为对控制有用，但是由于系统的复杂性，较大的数据集的需求以及增加的建模工作，这些细节经常没有得到解答。换句话说，自治系统的替代建模比控制系统要容易得多。在本文中，我们介绍了Quasimodo框架（量化模拟模拟模拟 - 优化），以将任意预测模型转换为控制系统，从而使数据驱动的替代模型的巨大进步可访问控制系统。我们的主要贡献是，我们通过自动化动力学（产生混合企业控制问题）来贸易控制效率，以获取任意，即使用的自主替代建模技术。然后，我们通过利用混合成员优化的最新结果来恢复原始问题的复杂性。 Quasimodo的优点是数据要求在控制维度方面的线性增加，性能保证仅依赖于使用的预测模型的准确性，而控制理论中的知识知识要求很少来解决复杂的控制问题。
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在许多学科中，动态系统的数据信息预测模型的开发引起了广泛的兴趣。我们提出了一个统一的框架，用于混合机械和机器学习方法，以从嘈杂和部分观察到的数据中识别动态系统。我们将纯数据驱动的学习与混合模型进行比较，这些学习结合了不完善的域知识。我们的公式与所选的机器学习模型不可知，在连续和离散的时间设置中都呈现，并且与表现出很大的内存和错误的模型误差兼容。首先，我们从学习理论的角度研究无内存线性（W.R.T.参数依赖性）模型误差，从而定义了过多的风险和概括误差。对于沿阵行的连续时间系统，我们证明，多余的风险和泛化误差都通过与T的正方形介于T的术语（指定训练数据的时间间隔）的术语界定。其次，我们研究了通过记忆建模而受益的方案，证明了两类连续时间复发性神经网络（RNN）的通用近似定理：两者都可以学习与内存有关的模型误差。此外，我们将一类RNN连接到储层计算，从而将学习依赖性错误的学习与使用随机特征在Banach空间之间进行监督学习的最新工作联系起来。给出了数值结果（Lorenz '63，Lorenz '96多尺度系统），以比较纯粹的数据驱动和混合方法，发现混合方法较少，渴望数据较少，并且更有效。最后，我们从数值上证明了如何利用数据同化来从嘈杂，部分观察到的数据中学习隐藏的动态，并说明了通过这种方法和培训此类模型来表示记忆的挑战。
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数据驱动的降级模型通常无法对沿坐标敏感的高维非线性系统进行准确的预测，因为这种坐标通常经常被截断，例如，通过正确的正交分解，核心成分分析和自动范围。这种系统在剪切主导的流体流中经常遇到，在剪切主导的流体流中，非正常性在障碍的生长中起着重要作用。为了解决这些问题，我们采用来自活跃子空间的想法来查找模型减少的坐标的低维系统，以平衡伴随的信息，以了解该系统的敏感性与沿轨迹的状态方差的敏感性。所得的方法是使用伴随快照（Cobras）称为协方差平衡降低，与平衡截断与状态和基于伴随的梯度协方差矩阵取代了系统gramians并遵守相同的关键转换定律。在这里，提取的坐标与可用于构建彼得罗夫 - 盖尔金还原模型的倾斜投影相关。我们提供了一种有效的基于快照的计算方法，类似于平衡的正交分解。这也导致观察到，可以单独依靠状态和梯度样品的内部产品来计算还原的坐标，从而使我们能够通过用核函数替换内部产品来找到丰富的非线性坐标。在这些坐标中，可以使用回归来学习减少的模型。我们演示了这些技术，并与简单但具有挑战性的三维系统和轴对称喷气流仿真进行比较，并具有$ 10^5 $状态变量。
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Koopman运算符是无限维的运算符，可全球线性化非线性动态系统，使其光谱信息可用于理解动态。然而，Koopman运算符可以具有连续的光谱和无限维度的子空间，使得它们的光谱信息提供相当大的挑战。本文介绍了具有严格融合的数据驱动算法，用于从轨迹数据计算Koopman运算符的频谱信息。我们引入了残余动态模式分解（ResDMD），它提供了第一种用于计算普通Koopman运算符的Spectra和PseudtoStra的第一种方案，无需光谱污染。使用解析器操作员和RESDMD，我们还计算与测量保存动态系统相关的光谱度量的平滑近似。我们证明了我们的算法的显式收敛定理，即使计算连续频谱和离散频谱的密度，也可以实现高阶收敛即使是混沌系统。我们展示了在帐篷地图，高斯迭代地图，非线性摆，双摆，洛伦茨系统和11美元延长洛伦兹系统的算法。最后，我们为具有高维状态空间的动态系统提供了我们的算法的核化变体。这使我们能够计算与具有20,046维状态空间的蛋白质分子的动态相关的光谱度量，并计算出湍流流过空气的误差界限的非线性Koopman模式，其具有雷诺数为$> 10 ^ 5 $。一个295,122维的状态空间。
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本论文主要涉及解决深层（时间）高斯过程（DGP）回归问题的状态空间方法。更具体地，我们代表DGP作为分层组合的随机微分方程（SDES），并且我们通过使用状态空间过滤和平滑方法来解决DGP回归问题。由此产生的状态空间DGP（SS-DGP）模型生成丰富的电视等级，与建模许多不规则信号/功能兼容。此外，由于他们的马尔可道结构，通过使用贝叶斯滤波和平滑方法可以有效地解决SS-DGPS回归问题。本论文的第二次贡献是我们通过使用泰勒力矩膨胀（TME）方法来解决连续离散高斯滤波和平滑问题。这诱导了一类滤波器和SmooThers，其可以渐近地精确地预测随机微分方程（SDES）解决方案的平均值和协方差。此外，TME方法和TME过滤器和SmoOthers兼容模拟SS-DGP并解决其回归问题。最后，本文具有多种状态 - 空间（深）GPS的应用。这些应用主要包括（i）来自部分观察到的轨迹的SDES的未知漂移功能和信号的光谱 - 时间特征估计。
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时间序列数据的生成和分析与许多从经济学到流体力学的定量字段相关。在物理科学中，诸如亚稳态和连贯的组的结构，慢松弛过程，集体变量显性过渡途径或歧管流动流动的概率流动可能非常重视理解和表征系统的动力动力学和机械性质。 Deeptime是一种通用Python库，提供各种工具来估计基于时间序列数据的动态模型，包括传统的线性学习方法，例如马尔可夫状态模型（MSM），隐藏的马尔可夫模型和Koopman模型，以及内核和深度学习方法如vampnets和深msms。该库主要兼容Scikit-Searn，为这些不同的模型提供一系列估计器类，但与Scikit-Ge劳说相比，还提供了深度模型类，例如，在MSM的情况下，提供了多种分析方法来计算有趣的热力学，动力学和动态量，例如自由能，松弛时间和过渡路径。图书馆专为易于使用而设计，而且易于维护和可扩展的代码。在本文中，我们介绍了Deeptime软件的主要特征和结构。
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我们开发一种方法来构造来自表示基本上非线性（或不可连锁的）动态系统的数据集构成低维预测模型，其中具有由有限许多频率的外部强制进行外部矫正的双曲线线性部分。我们的数据驱动，稀疏，非线性模型获得为低维，吸引动力系统的光谱子纤维（SSM）的降低的动态的延长正常形式。我们说明了数据驱动的SSM降低了高维数值数据集的功率和涉及梁振荡，涡旋脱落和水箱中的晃动的实验测量。我们发现，在未加工的数据上培训的SSM减少也在额外的外部强制下准确预测非线性响应。
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由于其固有的非线性和高度的自由度，对连续体软机器人的建模和控制仍然是一项艰巨的任务。这些复杂性阻碍了适合实时控制的高保真模型的构建。尽管已经提出了各种模型和基于学习的方法来应对这些挑战，但它们缺乏普遍性，很少保留动态的结构。在这项工作中，我们提出了一种新的，数据驱动的方法，用于从数据中提取面向控制的模型。我们克服了上面概述的问题，并证明了我们对光谱次级减少（SSMR）的卓越性能 - \'a-vis the Art的状态。
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这项正在进行的工作旨在为统计学习提供统一的介绍，从诸如GMM和HMM等经典模型到现代神经网络（如VAE和扩散模型）缓慢地构建。如今，有许多互联网资源可以孤立地解释这一点或新的机器学习算法，但是它们并没有（也不能在如此简短的空间中）将这些算法彼此连接起来，或者与统计模型的经典文献相连现代算法出现了。同样明显缺乏的是一个单一的符号系统，尽管对那些已经熟悉材料的人（如这些帖子的作者）不满意，但对新手的入境造成了重大障碍。同样，我的目的是将各种模型（尽可能）吸收到一个用于推理和学习的框架上，表明（以及为什么）如何以最小的变化将一个模型更改为另一个模型（其中一些是新颖的，另一些是文献中的）。某些背景当然是必要的。我以为读者熟悉基本的多变量计算，概率和统计以及线性代数。这本书的目标当然不是完整性，而是从基本知识到过去十年中极强大的新模型的直线路径或多或少。然后，目标是补充而不是替换，诸如Bishop的\ emph {模式识别和机器学习}之类的综合文本，该文本现在已经15岁了。
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这项教程调查概述了统计学习理论中最新的非征血性进步与控制和系统识别相关。尽管在所有控制领域都取得了重大进展，但在线性系统的识别和学习线性二次调节器时，该理论是最发达的，这是本手稿的重点。从理论的角度来看，这些进步的大部分劳动都在适应现代高维统计和学习理论的工具。虽然与控制对机器学习的工具感兴趣的理论家高度相关，但基础材料并不总是容易访问。为了解决这个问题，我们提供了相关材料的独立介绍，概述了基于最新结果的所有关键思想和技术机械。我们还提出了许多开放问题和未来的方向。
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Koopman运算符全球线性化非线性动力学系统及其光谱信息是分析和分解非线性动力学系统的强大工具。但是，Koopman运营商是无限维度的，计算其光谱信息是一个巨大的挑战。我们介绍了Measure-tearving扩展动态模式分解（$ \ texttt {mpedmd} $），这是第一种截断方法，其特征性组件收敛到koopman运算符的光谱，以用于一般测量的动态系统。 $ \ texttt {mpedmd} $是基于正交式procrustes问题的数据驱动算法，该问题使用可观察的一般字典来强制测量Koopman运算符的截断。它具有灵活性且易于使用的任何预先存在的DMD类型方法，并且具有不同类型的数据。我们证明了$ \ texttt {mpedmd} $的融合，用于投影值和标量值光谱测量，光谱和koopman模式分解。对于延迟嵌入（Krylov子空间）的情况，我们的结果包括随着字典的大小增加，光谱测量近似值的第一个收敛速率。我们在一系列具有挑战性的示例中演示了$ \ texttt {mpedmd} $，与其他DMD型方法相比，其对噪声的稳健性提高，以及其捕获湍流边界层实验测量的能源保存和级联反应的能力，并以Reynolds的方式流动。数字$> 6 \ times 10^4 $和状态空间尺寸$> 10^5 $。
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纵向生物医学数据通常是稀疏时间网格和个体特定发展模式的特征。具体而言，在流行病学队列研究和临床登记处，我们面临的问题是在研究早期阶段中可以从数据中学到的问题，只有基线表征和一个后续测量。灵感来自最近的进步，允许将深度学习与动态建模相结合，我们调查这些方法是否可用于揭示复杂结构，特别是对于每个单独的两个观察时间点的极端小数据设置。然后，通过利用个体的相似性，可以使用不规则间距来获得有关个体动态的更多信息。我们简要概述了变形的自动化器（VAES）如何作为深度学习方法，可以与普通微分方程（ODES）相关联用于动态建模，然后具体研究这种方法的可行性，即提供个人特定的潜在轨迹的方法通过包括规律性假设和个人的相似性。我们还提供了对这种深度学习方法的描述作为过滤任务，以提供统计的视角。使用模拟数据，我们展示了方法可以在多大程度上从多大程度上恢复具有两个和四个未知参数的颂歌系统的单个轨迹，以及使用具有类似轨迹的个体群体，以及其崩溃的地方。结果表明，即使在极端的小数据设置中，这种动态深度学习方法也可能是有用的，但需要仔细调整。
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贝叶斯推理允许在贝叶斯神经网络的上下文中获取有关模型参数的有用信息，或者在贝叶斯神经网络的背景下。通常的Monte Carlo方法的计算成本，用于在贝叶斯推理中对贝叶斯推理的后验法律进行线性点的数量与数据点的数量进行线性。将其降低到这一成本的一小部分的一种选择是使用Langevin动态的未经调整的离散化来诉诸Mini-Batching，在这种情况下，只使用数据的随机分数来估计梯度。然而，这导致动态中的额外噪声，因此在马尔可夫链采样的不变度量上的偏差。我们倡导使用所谓的自适应Langevin动态，这是一种改进标准惯性Langevin动态，其动态摩擦力，可自动校正迷你批次引起的增加的噪声。我们调查假设适应性Langevin的假设（恒定协方差估计梯度的恒定协方差），这在贝叶斯推理的典型模型中不满足，并在这种情况下量化小型匹配诱导的偏差。我们还展示了如何扩展ADL，以便通过考虑根据参数的当前值来系统地减少后部分布的偏置。
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提出了用于基于合奏的估计和模拟高维动力系统（例如海洋或大气流）的方法学框架。为此，动态系统嵌入了一个由动力学驱动的内核功能的繁殖核Hilbert空间的家族中。这个家庭因其吸引人的财产而被昵称为仙境。在梦游仙境中，Koopman和Perron-Frobenius操作员是统一且均匀的。该属性保证它们可以在一系列可对角线的无限发电机中表达。访问Lyapunov指数和切线线性动力学的精确集合表达式也可以直接可用。仙境使我们能够根据轨迹样本的恒定时间线性组合来设计出惊人的简单集合数据同化方法。通过几个基本定理的完全合理的叠加原则，使这种令人尴尬的简单策略成为可能。
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我们引入了变分状态空间过滤器（VSSF），这是从原始像素的无监督学习，识别和过滤潜伏的Larkov状态空间模型的新方法。在异构传感器配置下，我们为潜在的状态空间推断提出了理论上的声音框架。得到的模型可以集成训练期间使用的传感器测量的任意子集，从而实现半监督状态表示的学习，从而强制执行学习潜在状态空间的某些组件来达成可解释的测量。从此框架中，我们派生了L-VSSF，这是一个用线性潜在动态和高斯分布参数化的本模型的明确实例化。我们通过实验演示了L-VSSF在几个不同的测试环境中过滤超出训练数据集的序列长度的潜伏空间的能力。
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我们合并计算力学的因果状态（预测等同历史）的定义与再现 - 内核希尔伯特空间（RKHS）表示推断。结果是一种广泛适用的方法，可直接从系统行为的观察中迁移因果结构，无论它们是否超过离散或连续事件或时间。结构表示 - 有限或无限状态内核$ \ epsilon $ -Machine - 由减压变换提取，其提供了有效的因果状态及其拓扑。以这种方式，系统动态由用于在因果状态上的随机（普通或部分）微分方程表示。我们介绍了一种算法来估计相关的演化运营商。平行于Fokker-Plank方程，它有效地发展了因果状态分布，并通过RKHS功能映射在原始数据空间中进行预测。我们展示了这些技术，以及他们的预测能力，在离散时间的离散时间离散 - 有限的无限值Markov订单流程，其中有限状态隐藏马尔可夫模型与（i）有限或（ii）不可数 - 无限因果态和（iii）连续时间，由热驱动的混沌流产生的连续值处理。该方法在存在不同的外部和测量噪声水平和非常高的维数据存在下鲁棒地估计因果结构。
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我们建议采用统计回归作为投影操作员，以使数据驱动以数据为基础的Mori-Zwanzig形式主义中的运营商学习。我们提出了一种原则性方法，用于为任何回归模型提取Markov和内存操作员。我们表明，线性回归的选择导致了基于Mori的投影操作员最近提出的数据驱动的学习算法，这是一种高阶近似Koopman学习方法。我们表明，更具表现力的非线性回归模型自然填补了高度理想化和计算有效的MORI投影操作符和最佳迄今为止计算上最佳的Zwanzig投影仪之间的差距。我们进行了数值实验，并提取了一系列基于回归的投影的运算符，包括线性，多项式，样条和基于神经网络的回归，随着回归模型的复杂性的增加而显示出渐进的改进。我们的命题提供了一个通用框架来提取内存依赖性校正，并且可以轻松地应用于文献中固定动力学系统的一系列数据驱动的学习方法。
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从数据稳定动力学系统的数据中学习控制器通常遵循首先识别模型然后基于确定模型构建控制器的两步过程。但是，学习模型意味着确定系统动力学的通用描述，这些描述可能需要大量数据并提取对稳定的特定任务不必要的信息。这项工作的贡献是表明，如果线性动力学系统具有尺寸（McMillan学位）$ n $，那么总是存在$ n $状态，可以从中构建稳定反馈控制器，而与表示的尺寸无关观察到的状态和输入的数量。通过基于先前的工作，这一发现意味着，与学习动力学模型所需的最少状态相比，观察到的状态较少的任何线性动力系统都可以稳定。通过数值实验证明了理论发现，这些实验表明了圆柱体后面的流动稳定，从学习模型的数据少于数据。
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这本数字本书包含在物理模拟的背景下与深度学习相关的一切实际和全面的一切。尽可能多，所有主题都带有Jupyter笔记本的形式的动手代码示例，以便快速入门。除了标准的受监督学习的数据中，我们将看看物理丢失约束，更紧密耦合的学习算法，具有可微分的模拟，以及加强学习和不确定性建模。我们生活在令人兴奋的时期：这些方法具有从根本上改变计算机模拟可以实现的巨大潜力。
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