在设计聚类算法时，初始中心的选择对于学习簇的质量至关重要。在本文中，我们基于数据的构建，我们开发了一种新的初始化方案，称为$ k $ -Median问题（例如图形引起的离散空间），基于数据的构造。从树中，我们提出了一种新颖有效的搜索算法，用于良好的初始中心，随后可用于本地搜索算法。我们提出的HST初始化可以产生与另一种流行初始化方法$ K $ -Median ++的初始中心，具有可比的效率。 HST初始化也可以扩展到差异隐私（DP）的设置，以生成私人初始中心。我们表明，应用DP本地搜索后，我们的私有HST初始化会改善对近似错误的先前结果，并在小因素内接近下限。实验证明了理论的合理性，并证明了我们提出的方法的有效性。我们的方法也可以扩展到$ k $ -MEANS问题。

我们在$ d $ dimensional Euclidean Space中研究私人$ k $ -Median和$ k $ -means聚集问题。通过利用树的嵌入，我们提供了一种有效且易于实现的算法，该算法在非私人方法的经验上具有竞争力。我们证明我们的方法计算一个最多$ o（d^{3/2} \ log n）\ cdot opt + o（k d^2 \ log^2 n / \ epsilon^2）$的解决方案，其中$ \ Epsilon $是隐私担保。 （使用标准尺寸缩小技术可以用$ o（\ log k）$替换尺寸项，$ d $。）尽管最坏的案例保证比最先进的私人聚类方法的状态更糟糕，但算法是我们建议是实用的，以接近线性的方式运行，$ \ tilde {o}（nkd）$，时间和比例为数千万分。我们还表明，我们的方法适合在大规模分布式计算环境中并行化。特别是我们表明，我们的私人算法可以在sublinear内存制度中的对数MPC弹奏数中实现。最后，我们通过经验评估来补充理论分析，证明了该算法与其他隐私聚类基线相比的效率和准确性。

在使用提供明确定义的隐私保证的用户数据时，至关重要。在这项工作中，我们旨在与第三方私下操纵和分享整个稀疏数据集。实际上，差异隐私已成为隐私的黄金标准，但是，当涉及到稀疏数据集时，作为我们的主要结果之一，我们证明\ emph {any}与最初的私人机制有差异化的私人机制数据集注定要拥有非常薄弱的隐私保证。因此，我们需要选择其他隐私概念，例如$ k $ - 匿名性更好地在这种情况下保存实用程序。在这项工作中，我们介绍了$ k $ - 匿名的变体，我们称之为平滑$ k $ - 匿名和设计简单算法，可有效地提供平滑的$ k $ - 匿名性。我们进一步执行经验评估以支持我们的理论保证，并表明我们的算法改善了匿名数据下游机器学习任务的性能。

聚类是无监督机器学习中的一个基本原态。我们带来了Sublinear-time差异私有聚类问题作为自然和良好的研究方向。我们结合了Mishra等人的$ k $ -means和$ k $ -median sublinear-time结果。（SODA，2001）和Czumaj和Sohler（Rand。Struct。Struct。和算法，2007），最近的Balcan等人的私人聚类结果。（ICML 2017），Gupta等。（苏打水，2010）和Ghazi等。（Neurips，2020）通过分列获取Subleinear-time私人$ k $ -means和$ k $ -median算法。我们还调查了对集团隐私的限制的隐私福利。

本文展示了如何适应$ k $ -MEANS问题的几种简单和经典的基于采样的算法，以使用离群值设置。最近，Bhaskara等人。 （Neurips 2019）展示了如何将古典$ K $ -MEANS ++算法适应与异常值的设置。但是，他们的算法需要输出$ o（\ log（k）\ cdot z）$ outiers，其中$ z $是true Outliers的数量，以匹配$ o（\ log k）$ - 近似值的$ k的近似保证$ -Means ++。在本文中，我们以他们的想法为基础，并展示了如何适应几个顺序和分布式的$ k $ - 均值算法，但使用离群值来设置，但具有更强的理论保证：我们的算法输出$（1+ \ VAREPSILON）z $ OUTLIERS Z $ OUTLIERS在实现$ o（1 / \ varepsilon）$ - 近似目标函数的同时。在顺序世界中，我们通过改编Lattanzi和Sohler的最新算法来实现这一目标（ICML 2019）。在分布式设置中，我们适应了Guha等人的简单算法。 （IEEE Trans。知道和数据工程2003）以及Bahmani等人的流行$ K $ -Means $ \ | $。 （PVLDB 2012）。我们技术的理论应用是一种具有运行时间$ \ tilde {o}（nk^2/z）$的算法，假设$ k \ ll z \ ll n $。这与Omacle模型中此问题的$ \ Omega（NK^2/z）$的匹配下限相互补。

在本文中，我们提出了一个自然的单个偏好（IP）稳定性的概念，该概念要求每个数据点平均更接近其自身集群中的点，而不是其他群集中的点。我们的概念可以从几个角度的动机，包括游戏理论和算法公平。我们研究了与我们提出的概念有关的几个问题。我们首先表明，确定给定数据集通常允许进行IP稳定的聚类通常是NP-HARD。结果，我们探索了在某些受限度量空间中查找IP稳定聚类的有效算法的设计。我们提出了一种poly Time算法，以在实际线路上找到满足精确IP稳定性的聚类，并有效地算法来找到针对树度量的IP稳定2聚类。我们还考虑放松稳定性约束，即，与其他任何集群相比，每个数据点都不应太远。在这种情况下，我们提供具有不同保证的多时间算法。我们在实际数据集上评估了一些算法和几种标准聚类方法。

我们提供了一个新的双标准$ \ tilde {o}（\ log ^ 2 k）$竞争算法，可解释$ k $ -means群集。最近解释了$ k $ -means最近由Dasgupta，Frost，Moshkovitz和Rashtchian（ICML 2020）引入。它由易于解释和理解（阈值）决策树或图表描述。可解释的$ k $ -means集群的成本等于其集群成本的总和;每个群集的成本等于从群集中点到该群集的中心的平方距离之和。我们的随机双标准算法构造了一个阈值决策树，将数据设置为$（1+ \ delta）k $群集（其中$ \ delta \ In（0,1）$是算法的参数）。此群集的成本是大多数$ \ tilde {o}（1 / \ delta \ cdot \ log ^ 2 k）$乘以最佳不受约束$ k $ -means群集的成本。我们表明这一界限几乎是最佳的。

聚类是数据分析中的一个根本问题。在差别私有聚类中，目标是识别$ k $群集中心，而不披露各个数据点的信息。尽管研究进展显着，但问题抵制了实际解决方案。在这项工作中，我们的目的是提供简单的可实现的差异私有聚类算法，当数据“简单”时，提供实用程序，例如，当簇之间存在显着的分离时。我们提出了一个框架，允许我们将非私有聚类算法应用于简单的实例，并私下结合结果。在高斯混合的某些情况下，我们能够改善样本复杂性界限，并获得$ k $ -means。我们与合成数据的实证评估补充了我们的理论分析。

在许多应用程序中，多方拥有有关相同用户的私人数据，但在属性的脱节集上，服务器希望利用数据来训练模型。为了在保护数据主体的隐私时启用模型学习，我们需要垂直联合学习（VFL）技术，其中数据派对仅共享用于培训模型的信息，而不是私人数据。但是，确保共享信息在学习准确的模型的同时保持隐私是一项挑战。据我们所知，本文提出的算法是第一个实用的解决方案，用于差异化垂直联合K-均值聚类，服务器可以在其中获得具有可证明的差异隐私保证的全球中心。我们的算法假设一个不受信任的中央服务器，该服务器汇总了本地数据派对的差异私有本地中心和成员资格编码。它基于收到的信息构建加权网格作为全局数据集的概要。最终中心是通过在加权网格上运行任何K-均值算法而产生的。我们的网格重量估计方法采用了基于Flajolet-Martin草图的新颖，轻巧和差异私有的相交基数估计算法。为了提高两个以上数据方的设置中的估计准确性，我们进一步提出了权重估计算法的精致版本和参数调整策略，以减少最终的K-均值实用程序，以便在中央私人环境中接近它。我们为由我们的算法计算的群集中心提供了理论实用性分析和实验评估结果，并表明我们的方法在理论上和经验上都比基于现有技术的两个基准在理论上和经验上的表现更好。

K-means++ is an important algorithm to choose initial cluster centers for the k-means clustering algorithm. In this work, we present a new algorithm that can solve the $k$-means++ problem with near optimal running time. Given $n$ data points in $\mathbb{R}^d$, the current state-of-the-art algorithm runs in $\widetilde{O}(k )$ iterations, and each iteration takes $\widetilde{O}(nd k)$ time. The overall running time is thus $\widetilde{O}(n d k^2)$. We propose a new algorithm \textsc{FastKmeans++} that only takes in $\widetilde{O}(nd + nk^2)$ time, in total.

我们给出了第一个多项式算法来估计$ d $ -variate概率分布的平均值，从$ \ tilde {o}（d）$独立的样本受到纯粹的差异隐私的界限。此问题的现有算法无论是呈指数运行时间，需要$ \ OMEGA（D ^ {1.5}）$样本，或仅满足较弱的集中或近似差分隐私条件。特别地，所有先前的多项式算法都需要$ d ^ {1+ \ omega（1）} $ samples，以保证“加密”高概率，1-2 ^ { - d ^ {\ omega（1） $，虽然我们的算法保留$ \ tilde {o}（d）$ SAMPS复杂性即使在此严格设置中也是如此。我们的主要技术是使用强大的方块方法（SOS）来设计差异私有算法的新方法。算法的证据是在高维算法统计数据中的许多近期作品中的一个关键主题 - 显然需要指数运行时间，但可以通过低度方块证明可以捕获其分析可以自动变成多项式 - 时间算法具有相同的可证明担保。我们展示了私有算法的类似证据现象：工作型指数机制的实例显然需要指数时间，但可以用低度SOS样张分析的指数时间，可以自动转换为多项式差异私有算法。我们证明了捕获这种现象的元定理，我们希望在私人算法设计中广泛使用。我们的技术还在高维度之间绘制了差异私有和强大统计数据之间的新连接。特别是通过我们的校验算法镜头来看，几次研究的SOS证明在近期作品中的算法稳健统计中直接产生了我们差异私有平均估计算法的关键组成部分。

在共享数据的统计学习和分析中，在联合学习和元学习等平台上越来越广泛地采用，有两个主要问题：隐私和鲁棒性。每个参与的个人都应该能够贡献，而不会担心泄露一个人的敏感信息。与此同时，系统应该在恶意参与者的存在中插入损坏的数据。最近的算法在学习中，学习共享数据专注于这些威胁中的一个，使系统容易受到另一个威胁。我们弥合了这个差距，以获得估计意思的规范问题。样品。我们介绍了素数，这是第一算法，实现了各种分布的隐私和鲁棒性。我们通过新颖的指数时间算法进一步补充了这一结果，提高了素数的样本复杂性，实现了近最优保证并匹配（非鲁棒）私有平均估计的已知下限。这证明没有额外的统计成本同时保证隐私和稳健性。

我们启动差异私有（DP）估计的研究，并访问少量公共数据。为了对D维高斯人进行私人估计，我们假设公共数据来自高斯人，该高斯与私人数据的基础高斯人的总变化距离可能消失了。我们表明，在纯或集中DP的约束下，D+1个公共数据样本足以从私人样本复杂性中删除对私人数据分布的范围参数的任何依赖性，而在没有公共数据的情况下，这是必不可少的。对于分离的高斯混合物，我们假设基本的公共和私人分布是相同的，我们考虑两个设置：（1）当给出独立于维度的公共数据时，可以根据多种方式改善私人样本复杂性混合组件的数量以及对分布范围参数的任何依赖性都可以在近似DP情况下去除； （2）当在维度上给出了一定数量的公共数据线性时，即使在集中的DP下，也可以独立于范围参数使私有样本复杂性使得可以对整体样本复杂性进行其他改进。

在这项工作中，我们在用户级差异隐私下研究高维平均值估计，并设计$（\ varepsilon，\ delta）$ - 使用尽可能少的用户差异化私人机制。特别是，即使用户数量低至$ o（\ frac {1} {\ varepsilon } \ log \ frac {1} {\ delta}）$。有趣的是，这对\ emph {users}的数量绑定到独立于维度（尽管\ emph {samples aper users}的数量被允许以多项式依赖于尺寸），这与先前需要用户数量的工作数量不同。在多项式上依赖于维度。这解决了Amin等人首先提出的问题。此外，我们的机制可抵抗高达$ 49 \％用户的损坏。最后，我们的结果还适用于与少数用户私下学习离散分布的最佳算法，回答Liu等人的问题，以及更广泛的问题，例如随机凸优化和通过差异化的随机梯度优化和随机梯度下降的变体私人平均估计。

差异化（DP）随机凸优化（SCO）在可信赖的机器学习算法设计中无处不在。本文研究了DP-SCO问题，该问题是从分布中采样并顺序到达的流媒体数据。我们还考虑了连续发布模型，其中与私人信息相关的参数已在每个新数据（通常称为在线算法）上更新和发布。尽管已经开发了许多算法，以实现不同$ \ ell_p $ norm几何的最佳多余风险，但是没有一个现有的算法可以适应流和持续发布设置。为了解决诸如在线凸优化和隐私保护的挑战，我们提出了一种在线弗兰克 - 沃尔夫算法的私人变体，并带有递归梯度，以减少差异，以更新和揭示每个数据上的参数。结合自适应差异隐私分析，我们的在线算法在线性时间中实现了最佳的超额风险，当$ 1 <p \ leq 2 $和最先进的超额风险达到了非私人较低的风险时，当$ 2 <p \ p \ $ 2 <p \ leq \ infty $。我们的算法也可以扩展到$ p = 1 $的情况，以实现几乎与维度无关的多余风险。虽然先前的递归梯度降低结果仅在独立和分布的样本设置中才具有理论保证，但我们在非平稳环境中建立了这样的保证。为了展示我们方法的优点，我们设计了第一个DP算法，用于具有对数遗憾的高维广义线性土匪。使用多种DP-SCO和DP-Bandit算法的比较实验表现出所提出的算法的功效和实用性。

Arthur和Vassilvitskii的著名$ K $ -MEANS ++算法[SODA 2007]是解决实践中$ K $ - 英镑问题的最流行方式。该算法非常简单：它以随机的方式均匀地对第一个中心进行采样，然后始终将每个$ K-1 $中心的中心取样与迄今为止最接近最接近中心的平方距离成比例。之后，运行了劳埃德的迭代算法。已知$ k $ -Means ++算法可以返回预期的$ \ theta（\ log K）$近似解决方案。在他们的开创性工作中，Arthur和Vassilvitskii [Soda 2007]询问了其以下\ emph {greedy}的保证：在每一步中，我们采样了$ \ ell $候选中心，而不是一个，然后选择最小化新的中心成本。这也是$ k $ -Means ++在例如中实现的方式。流行的Scikit-Learn库[Pedregosa等人； JMLR 2011]。我们为贪婪的$ k $ -Means ++提供几乎匹配的下限和上限：我们证明它是$ o（\ ell^3 \ log^3 k）$ - 近似算法。另一方面，我们证明了$ \ omega的下限（\ ell^3 \ log^3 k / \ log^2（\ ell \ log k））$。以前，只有$ \ omega（\ ell \ log k）$下限是已知的[bhattacharya，eube，r \“ ogllin，schmidt; esa 2020），并且没有已知的上限。

Kernel matrices, as well as weighted graphs represented by them, are ubiquitous objects in machine learning, statistics and other related fields. The main drawback of using kernel methods (learning and inference using kernel matrices) is efficiency -- given $n$ input points, most kernel-based algorithms need to materialize the full $n \times n$ kernel matrix before performing any subsequent computation, thus incurring $\Omega(n^2)$ runtime. Breaking this quadratic barrier for various problems has therefore, been a subject of extensive research efforts. We break the quadratic barrier and obtain $\textit{subquadratic}$ time algorithms for several fundamental linear-algebraic and graph processing primitives, including approximating the top eigenvalue and eigenvector, spectral sparsification, solving linear systems, local clustering, low-rank approximation, arboricity estimation and counting weighted triangles. We build on the recent Kernel Density Estimation framework, which (after preprocessing in time subquadratic in $n$) can return estimates of row/column sums of the kernel matrix. In particular, we develop efficient reductions from $\textit{weighted vertex}$ and $\textit{weighted edge sampling}$ on kernel graphs, $\textit{simulating random walks}$ on kernel graphs, and $\textit{importance sampling}$ on matrices to Kernel Density Estimation and show that we can generate samples from these distributions in $\textit{sublinear}$ (in the support of the distribution) time. Our reductions are the central ingredient in each of our applications and we believe they may be of independent interest. We empirically demonstrate the efficacy of our algorithms on low-rank approximation (LRA) and spectral sparsification, where we observe a $\textbf{9x}$ decrease in the number of kernel evaluations over baselines for LRA and a $\textbf{41x}$ reduction in the graph size for spectral sparsification.

我们介绍了一个普遍的框架，用于表征差异隐私保证的统计估算问题的统计效率。我们的框架，我们呼叫高维建议 - 试验释放（HPTR），在三个重要组件上建立：指数机制，强大的统计和提议 - 试验释放机制。将所有这些粘在一起是恢复力的概念，这是强大的统计估计的核心。弹性指导算法的设计，灵敏度分析和试验步骤的成功概率分析。关键识别是，如果我们设计了一种仅通过一维鲁棒统计数据访问数据的指数机制，则可以大大减少所产生的本地灵敏度。使用弹性，我们可以提供紧密的本地敏感界限。这些紧张界限在几个案例中容易转化为近乎最佳的实用程序。我们给出了将HPTR应用于统计估计问题的给定实例的一般配方，并在平均估计，线性回归，协方差估计和主成分分析的规范问题上证明了它。我们介绍了一般的公用事业分析技术，证明了HPTR几乎在文献中研究的若干场景下实现了最佳的样本复杂性。

Differentially private algorithms for common metric aggregation tasks, such as clustering or averaging, often have limited practicality due to their complexity or to the large number of data points that is required for accurate results. We propose a simple and practical tool, $\mathsf{FriendlyCore}$, that takes a set of points ${\cal D}$ from an unrestricted (pseudo) metric space as input. When ${\cal D}$ has effective diameter $r$, $\mathsf{FriendlyCore}$ returns a "stable" subset ${\cal C} \subseteq {\cal D}$ that includes all points, except possibly few outliers, and is {\em certified} to have diameter $r$. $\mathsf{FriendlyCore}$ can be used to preprocess the input before privately aggregating it, potentially simplifying the aggregation or boosting its accuracy. Surprisingly, $\mathsf{FriendlyCore}$ is light-weight with no dependence on the dimension. We empirically demonstrate its advantages in boosting the accuracy of mean estimation and clustering tasks such as $k$-means and $k$-GMM, outperforming tailored methods.

我们在差分隐私（DP）的约束下，用重型数据研究随机凸优化。大多数关于此问题的事先工作仅限于损耗功能是Lipschitz的情况。相反，正如王，肖，德拉达斯和徐\ Cite {wangxdx20}所引入的那样，假设渐变的分布已涉及$ k $ --th时刻，我们研究了一般凸损失功能。我们在集中DP下提供了改善的上限，用于凸起的凸起和强凸损失功能。一路上，我们在纯粹和集中的DP下获得了私人平均估计的私有平均估计的新算法。最后，我们证明了私有随机凸性优化的近乎匹配的下限，具有强凸损失和平均估计，显示纯净和浓缩的DP之间的新分离。