Supervised learning aims to train a classifier under the assumption that training and test data are from the same distribution. To ease the above assumption, researchers have studied a more realistic setting: out-of-distribution (OOD) detection, where test data may come from classes that are unknown during training (i.e., OOD data). Due to the unavailability and diversity of OOD data, good generalization ability is crucial for effective OOD detection algorithms. To study the generalization of OOD detection, in this paper, we investigate the probably approximately correct (PAC) learning theory of OOD detection, which is proposed by researchers as an open problem. First, we find a necessary condition for the learnability of OOD detection. Then, using this condition, we prove several impossibility theorems for the learnability of OOD detection under some scenarios. Although the impossibility theorems are frustrating, we find that some conditions of these impossibility theorems may not hold in some practical scenarios. Based on this observation, we next give several necessary and sufficient conditions to characterize the learnability of OOD detection in some practical scenarios. Lastly, we also offer theoretical supports for several representative OOD detection works based on our OOD theory.

比较概率分布是许多机器学习算法的关键。最大平均差异（MMD）和最佳运输距离（OT）是在过去几年吸引丰富的关注的概率措施之间的两类距离。本文建立了一些条件，可以通过MMD规范控制Wassersein距离。我们的作品受到压缩统计学习（CSL）理论的推动，资源有效的大规模学习的一般框架，其中训练数据总结在单个向量（称为草图）中，该训练数据捕获与所考虑的学习任务相关的信息。在CSL中的现有结果启发，我们介绍了H \“较旧的较低限制的等距属性（H \”较旧的LRIP）并表明这家属性具有有趣的保证对压缩统计学习。基于MMD与Wassersein距离之间的关系，我们通过引入和研究学习任务的Wassersein可读性的概念来提供压缩统计学习的保证，即概率分布之间的某些特定于特定的特定度量，可以由Wassersein界定距离。

分布（OOD）检测对于部署在野外的机器学习模型很重要。最近的方法使用辅助分离器数据将模型正规化以改进OOD检测。但是，这些方法是一个有力的分布假设，即辅助离群数据与分布（ID）数据完全可分离。在本文中，我们提出了一个利用野生混合数据的新型框架，该框架自然由ID和OOD样品组成。这样的野生数据很丰富，并且在将机器学习分类器部署在自然栖息地中时自由出现。我们的关键思想是制定一个约束的优化问题，并展示如何批准解决问题。我们的学习目标使OOD检测率最大化，但要受到ID数据的分类错误和ID示例的OOD错误率的限制。我们广泛评估了我们对常见的OOD检测任务的方法，并证明了卓越的性能。

本文开发了简单的前馈神经网络，实现了所有连续功能的通用近似性，具有固定的有限数量的神经元。这些神经网络很简单，因为它们的设计具有简单且可增加的连续激活功能$ \ Sigma $利用三角波函数和软片功能。我们证明了$ \ Sigma $ -Activated网络，宽度为36d $ 36d（2d + 1）$和11 $ 11 $可以在任意小错误中估计$ d $ -dimensioanl超级函数上的任何连续功能。因此，对于监督学习及其相关的回归问题，这些网络产生的假设空间，尺寸不小于36d（2d + 1）\ times 11 $的持续功能的空间。此外，由图像和信号分类引起的分类函数在$ \ sigma $ -activated网络生成的假设空间中，宽度为36d（2d + 1）$和12 $ 12 $，当存在$ \的成对不相交的界限子集时mathbb {r} ^ d $，使得同一类的样本位于同一子集中。

所有著名的机器学习算法构成了受监督和半监督的学习工作，只有在一个共同的假设下：培训和测试数据遵循相同的分布。当分布变化时，大多数统计模型必须从新收集的数据中重建，对于某些应用程序，这些数据可能是昂贵或无法获得的。因此，有必要开发方法，以减少在相关领域中可用的数据并在相似领域中进一步使用这些数据，从而减少需求和努力获得新的标签样品。这引起了一个新的机器学习框架，称为转移学习：一种受人类在跨任务中推断知识以更有效学习的知识能力的学习环境。尽管有大量不同的转移学习方案，但本调查的主要目的是在特定的，可以说是最受欢迎的转移学习中最受欢迎的次级领域，概述最先进的理论结果，称为域适应。在此子场中，假定数据分布在整个培训和测试数据中发生变化，而学习任务保持不变。我们提供了与域适应性问题有关的现有结果的首次最新描述，该结果涵盖了基于不同统计学习框架的学习界限。

通常假设基于深神经网络的分类器的培训和测试数据是从相同的分布采样的。当从远离训练样品的分布中抽出部分测试样品时（AKA分配（OOD）样本），培训的神经网络具有对这些ood的高信任预测的趋势样品。当培训用于图像分类的神经网络，对象检测等的神经网络时，检测是至关重要的。它可以提高分类器对无关投入的鲁棒性，并在不同形式的攻击下提高系统恢复力和安全性。检测OOD样品有三个主要挑战：（i）建议的OOD检测方法应与各种分类器的各种架构（例如，DENSENET，RESET）兼容，而不会显着提高模型复杂性和对计算资源的要求; （ii）ood样本可能来自多个分布，其类标签通常不可用; （iii）需要定义得分函数以有效地分离来自分布（IND）样本的OOD样本。为了克服这些挑战，我们提出了一种基于Wasserstein的分布式检测（木材）方法。基本思想是定义基于Wassersein-距离的评分，评估测试样品与IND样品的分布之间的异化。然后基于所提出的得分函数制定和解决优化问题。研究了所提出的方法的统计学习，以保证经验优化器实现的损耗值近似于全局最优。比较研究结果表明，所提出的木材始终如一地优于其他现有的ood检测方法。

Real-world machine learning applications often involve deploying neural networks to domains that are not seen in the training time. Hence, we need to understand the extrapolation of nonlinear models -- under what conditions on the distributions and function class, models can be guaranteed to extrapolate to new test distributions. The question is very challenging because even two-layer neural networks cannot be guaranteed to extrapolate outside the support of the training distribution without further assumptions on the domain shift. This paper makes some initial steps toward analyzing the extrapolation of nonlinear models for structured domain shift. We primarily consider settings where the marginal distribution of each coordinate of the data (or subset of coordinates) does not shift significantly across the training and test distributions, but the joint distribution may have a much bigger shift. We prove that the family of nonlinear models of the form $f(x)=\sum f_i(x_i)$, where $f_i$ is an arbitrary function on the subset of features $x_i$, can extrapolate to unseen distributions, if the covariance of the features is well-conditioned. To the best of our knowledge, this is the first result that goes beyond linear models and the bounded density ratio assumption, even though the assumptions on the distribution shift and function class are stylized.

我们在决策边界是一定规律的假设下，研究从无噪声训练样本的学习分类功能的问题。我们为这一估计问题建立了普遍的下限，对于连续决策边界的一般阶级。对于本地禁区的类别，我们发现最佳估计率基本上独立于底层维度，并且可以通过在适当类的深神经网络上通过经验风险最小化方法实现。这些结果基于$ l ^ 1 $和$ l ^ \ infty $ intty $ inthty $ off的禁区常规职能的新颖估计数。

分销（OOD）检测对于在现实世界中部署机器学习模型是重要的，其中来自移位分布的测试数据可以自然地出现。虽然最近出现了何种算法方法，但何种算法检测，临界差距仍然存在理论上。在这项工作中，我们开发了一个分析框架，其特征，并统一了对OOD检测的理论理解。我们的分析框架激励了一种新颖的电子网络，创业板的检测方法，展示了理论和经验的优势。特别是，在CIFAR-100作为分布数据中，我们的方法优于竞争性基线16.57％（FPR95）。最后，我们正式提供可证明的保证和对我们的方法进行全面分析，支撑数据分布的各种性能如何影响OOD检测的性能。

对抗性鲁棒性是各种现代机器学习应用中的关键财产。虽然它是最近几个理论研究的主题，但与对抗性稳健性有关的许多重要问题仍然是开放的。在这项工作中，我们研究了有关对抗对抗鲁棒性的贝叶斯最优性的根本问题。我们提供了一般的充分条件，可以保证贝叶斯最佳分类器的存在，以满足对抗性鲁棒性。我们的结果可以提供一种有用的工具，用于随后研究对抗性鲁棒性及其一致性的替代损失。这份稿件是“关于普通贝叶斯分类器的存在”在神经潮端中发表的延伸版本。原始纸张的结果不适用于一些非严格凸的规范。在这里，我们将结果扩展到所有可能的规范。

解决基于图形的方法的半监督学习问题已成为近年来的趋势，因为图表可以代表各种数据，并为差分运算符提供了适当的框架，例如用于研究连续体限制。这里的流行策略是$ p $ -laplacian学习，它在该组未标记的数据上对所寻求的推理功能构成平滑状态。对于$ p <\ infty $ of the infult的$ of theftum，使用$ \ gamma $ -convergence的工具研究了这种方法。对于案件$ p = \ infty $，被称为Lipschitz学习，使用粘度溶液的概念研究了相关无限拉拉披肩方程的连续范围。在这项工作中，我们通过$ \ Gamma $ -Convergence证明了Lipschitz学习的连续内限。特别是，我们定义了一系列功能，该功能近似于图形功能的最大局部嘴唇常数，并以$ l ^ \ idty $ -topology以梯度的高价计算到梯度的$ \ gamma $ -convergence，因为图表变得更密集。此外，我们展示了暗示偶然的功能的紧凑性。在我们的分析中，我们允许改变一组标记的数据，该数据会聚到Hausdorff距离中的一般关闭集。我们将结果应用于非线性地面状态，即，最小化器，具有约束的$ L ^ P $ -Norm，并且作为副产品，证明了Graph距离函数的收敛到Geodeic距离功能。

我们介绍了学习然后测试，校准机器学习模型的框架，使其预测满足明确的，有限样本统计保证，无论底层模型如何和（未知）数据生成分布。框架地址，以及在其他示例中，在多标签分类中的错误发现速率控制，在实例分割中交叉联盟控制，以及同时控制分类或回归中的异常检测和置信度覆盖的类型误差。为实现这一目标，我们解决了一个关键的技术挑战：控制不一定单调的任意风险。我们的主要洞察力是将风险控制问题重新构建为多个假设检测，使技术和数学论据不同于先前文献中的技术。我们使用我们的框架为多个核心机器学习任务提供新的校准方法，在计算机视觉中具有详细的工作示例。

向外配送（OOD）数据的概括是现代机器学习中的核心问题之一。最近，试图提出主要建立在提取不变特征的想法上的算法。虽然直观地合理，但理论上了解如何保证ood泛化仍然有限，并且任意分配的概括显然是不可能的。在这项工作中，我们将第一步迈向严格和定量定义1）什么是ood; 2）通过说ood问题是学习的，这是什么意思。我们还介绍了扩展功能的新概念，其特征在于训练域的测试域中的方差在多大程度上放大，因此提供了不变特征的定量含义。基于这些，我们证明了ood泛化误差界限。事实证明，OOD泛化在很大程度上取决于扩展功能。正如Gulrajani和Lopez-PAZ（2020）所指出的那样，任何没有模型选择模块的学习算法都是不完整的。我们的理论自然地诱导了模型选择标准。基准OOD数据集的广泛实验表明，我们的模型选择标准在基线上具有显着的优势。

本文介绍了一种新的基于仿真的推理程序，以对访问I.I.D. \ samples的多维概率分布进行建模和样本，从而规避明确建模密度函数或设计Markov Chain Monte Carlo的通常方法。我们提出了一个称为可逆的Gromov-monge（RGM）距离的新概念的距离和同构的动机，并研究了RGM如何用于设计新的转换样本，以执行基于模拟的推断。我们的RGM采样器还可以估计两个异质度量度量空间之间的最佳对齐$（\ cx，\ mu，c _ {\ cx}）$和$（\ cy，\ cy，\ nu，c _ {\ cy}）$从经验数据集中，估计的地图大约将一个量度$ \ mu $推向另一个$ \ nu $，反之亦然。我们研究了RGM距离的分析特性，并在轻度条件下得出RGM等于经典的Gromov-Wasserstein距离。奇怪的是，与Brenier的两极分解结合了连接，我们表明RGM采样器以$ C _ {\ cx} $和$ C _ {\ cy} $的正确选择诱导了强度同构的偏见。研究了有关诱导采样器的收敛，表示和优化问题的统计率。还展示了展示RGM采样器有效性的合成和现实示例。

对对抗性示例强大的学习分类器已经获得了最近的关注。标准强大学习框架的主要缺点是人为强大的RADIUS $ R $，适用于所有输入。这忽略了数据可能是高度异构的事实，在这种情况下，它是合理的，在某些数据区域中，鲁棒性区域应该更大，并且在其他区域中更小。在本文中，我们通过提出名为邻域最佳分类器的新限制分类器来解决此限制，该分类通过使用最接近的支持点的标签扩展其支持之外的贝叶斯最佳分类器。然后，我们认为该分类器可能会使其稳健性区域的大小最大化，但受到等于贝叶斯的准确性的约束。然后，我们存在足够的条件，该条件下可以表示为重量函数的一般非参数方法会聚在此限制，并且显示最近的邻居和内核分类器在某些条件下满足它们。

众所周知，$ O（n）$参数足以让神经网络记住任意$ N $ INPUT-LABE标签对。通过利用深度，我们显示$ O（n ^ {2/3}）$参数足以在输入点的分离的温和条件下记住$ n $对。特别是，更深的网络（即使是宽度为3美元），也会显示比浅网络更有成对，这也同意最近的作品对函数近似的深度的好处。我们还提供支持我们理论发现的经验结果。

众所周知，现代神经网络容易受到对抗例子的影响。为了减轻这个问题，已经提出了一系列强大的学习算法。但是，尽管通过某些方法可以通过某些方法接近稳定的训练误差，但所有现有的算法都会导致较高的鲁棒概括误差。在本文中，我们从深层神经网络的表达能力的角度提供了对这种令人困惑的现象的理论理解。具体而言，对于二进制分类数据，我们表明，对于Relu网络，虽然轻度的过度参数足以满足较高的鲁棒训练精度，但存在持续的稳健概括差距，除非神经网络的大小是指数的，却是指数的。数据维度$ d $。即使数据是线性可分离的，这意味着要实现低清洁概括错误很容易，我们仍然可以证明$ \ exp（{\ omega}（d））$下限可用于鲁棒概括。通常，只要它们的VC维度最多是参数数量，我们的指数下限也适用于各种神经网络家族和其他功能类别。此外，我们为网络大小建立了$ \ exp（{\ mathcal {o}}（k））$的改进的上限，当数据放在具有内在尺寸$ k $的歧管上时，以实现低鲁棒的概括错误（$） k \ ll d $）。尽管如此，我们也有一个下限，相对于$ k $成倍增长 - 维度的诅咒是不可避免的。通过证明网络大小之间的指数分离以实现较低的鲁棒训练和泛化错误，我们的结果表明，鲁棒概括的硬度可能源于实用模型的表现力。

We consider the problem of estimating the optimal transport map between a (fixed) source distribution $P$ and an unknown target distribution $Q$, based on samples from $Q$. The estimation of such optimal transport maps has become increasingly relevant in modern statistical applications, such as generative modeling. At present, estimation rates are only known in a few settings (e.g. when $P$ and $Q$ have densities bounded above and below and when the transport map lies in a H\"older class), which are often not reflected in practice. We present a unified methodology for obtaining rates of estimation of optimal transport maps in general function spaces. Our assumptions are significantly weaker than those appearing in the literature: we require only that the source measure $P$ satisfies a Poincar\'e inequality and that the optimal map be the gradient of a smooth convex function that lies in a space whose metric entropy can be controlled. As a special case, we recover known estimation rates for bounded densities and H\"older transport maps, but also obtain nearly sharp results in many settings not covered by prior work. For example, we provide the first statistical rates of estimation when $P$ is the normal distribution and the transport map is given by an infinite-width shallow neural network.

在负面的感知问题中，我们给出了$ n $数据点$（{\ boldsymbol x} _i，y_i）$，其中$ {\ boldsymbol x} _i $是$ d $ -densional vector和$ y_i \ in \ { + 1，-1 \} $是二进制标签。数据不是线性可分离的，因此我们满足自己的内容，以找到最大的线性分类器，具有最大的\ emph {否定}余量。换句话说，我们想找到一个单位常规矢量$ {\ boldsymbol \ theta} $，最大化$ \ min_ {i \ le n} y_i \ langle {\ boldsymbol \ theta}，{\ boldsymbol x} _i \ rangle $ 。这是一个非凸优化问题（它相当于在Polytope中找到最大标准矢量），我们在两个随机模型下研究其典型属性。我们考虑比例渐近，其中$ n，d \ to \ idty $以$ n / d \ to \ delta $，并在最大边缘$ \ kappa _ {\ text {s}}（\ delta）上证明了上限和下限）$或 - 等效 - 在其逆函数$ \ delta _ {\ text {s}}（\ kappa）$。换句话说，$ \ delta _ {\ text {s}}（\ kappa）$是overparametization阈值：以$ n / d \ le \ delta _ {\ text {s}}（\ kappa） - \ varepsilon $一个分类器实现了消失的训练错误，具有高概率，而以$ n / d \ ge \ delta _ {\ text {s}}（\ kappa）+ \ varepsilon $。我们在$ \ delta _ {\ text {s}}（\ kappa）$匹配，以$ \ kappa \ to - \ idty $匹配。然后，我们分析了线性编程算法来查找解决方案，并表征相应的阈值$ \ delta _ {\ text {lin}}（\ kappa）$。我们观察插值阈值$ \ delta _ {\ text {s}}（\ kappa）$和线性编程阈值$ \ delta _ {\ text {lin {lin}}（\ kappa）$之间的差距，提出了行为的问题其他算法。

我们研究了非参数混合模型中的一致性以及回归的密切相关的混合物（也称为混合回归）模型，其中允许回归函数是非参数的，并且假定误差分布是高斯密度的卷积。我们在一般条件下构建统一的一致估计器，同时突出显示了将现有的点一致性结果扩展到均匀结果的几个疼痛点。最终的分析事实并非如此，并且在此过程中开发了几种新颖的技术工具。在混合回归的情况下，我们证明了回归函数的$ l^1 $收敛性，同时允许组件回归函数任意地相交，这带来了其他技术挑战。我们还考虑对一般（即非跨方向）非参数混合物的概括。