Implicitly defined, continuous, differentiable signal representations parameterized by neural networks have emerged as a powerful paradigm, offering many possible benefits over conventional representations. However, current network architectures for such implicit neural representations are incapable of modeling signals with fine detail, and fail to represent a signal's spatial and temporal derivatives, despite the fact that these are essential to many physical signals defined implicitly as the solution to partial differential equations. We propose to leverage periodic activation functions for implicit neural representations and demonstrate that these networks, dubbed sinusoidal representation networks or SIRENs, are ideally suited for representing complex natural signals and their derivatives. We analyze SIREN activation statistics to propose a principled initialization scheme and demonstrate the representation of images, wavefields, video, sound, and their derivatives. Further, we show how SIRENs can be leveraged to solve challenging boundary value problems, such as particular Eikonal equations (yielding signed distance functions), the Poisson equation, and the Helmholtz and wave equations. Lastly, we combine SIRENs with hypernetworks to learn priors over the space of SIREN functions. Please see the project website for a video overview of the proposed method and all applications.

基于坐标的网络成为3D表示和场景重建的强大工具。这些网络训练以将连续输入坐标映射到每个点处的信号的值。尽管如此，当前的架构是黑色盒子：不能轻易分析它们的光谱特性，并且在无监督点处的行为难以预测。此外，这些网络通常接受训练以以单个刻度表示信号，并且如此天真的下采样或上采样导致伪像。我们引入带限量坐标网络（BACON），具有分析傅里叶谱的网络架构。培根在无监督点处具有可预测的行为，可以基于所代表信号的光谱特性设计，并且可以在没有明确的监督的情况下代表多个尺度的信号。我们向培根展示用于使用符号距离功能的图像，辐射字段和3D场景的多尺度神经表示的培根，并表明它在可解释性和质量方面优于传统的单尺度坐标网络。

机器学习的最近进步已经创造了利用一类基于坐标的神经网络来解决视觉计算问题的兴趣，该基于坐标的神经网络在空间和时间跨空间和时间的场景或对象的物理属性。我们称之为神经领域的这些方法已经看到在3D形状和图像的合成中成功应用，人体的动画，3D重建和姿势估计。然而，由于在短时间内的快速进展，许多论文存在，但尚未出现全面的审查和制定问题。在本报告中，我们通过提供上下文，数学接地和对神经领域的文学进行广泛综述来解决这一限制。本报告涉及两种维度的研究。在第一部分中，我们通过识别神经字段方法的公共组件，包括不同的表示，架构，前向映射和泛化方法来专注于神经字段的技术。在第二部分中，我们专注于神经领域的应用在视觉计算中的不同问题，超越（例如，机器人，音频）。我们的评论显示了历史上和当前化身的视觉计算中已覆盖的主题的广度，展示了神经字段方法所带来的提高的质量，灵活性和能力。最后，我们展示了一个伴随着贡献本综述的生活版本，可以由社区不断更新。

我们提出了一个小说嵌入字段\ emph {pref}作为促进神经信号建模和重建任务的紧凑表示。基于纯的多层感知器（MLP）神经技术偏向低频信号，并依赖于深层或傅立叶编码以避免丢失细节。取而代之的是，基于傅立叶嵌入空间的相拟合公式，PREF采用了紧凑且物理上解释的编码场。我们进行全面的实验，以证明PERF比最新的空间嵌入技术的优势。然后，我们使用近似的逆傅里叶变换方案以及新型的parseval正常器来开发高效的频率学习框架。广泛的实验表明，我们的高效和紧凑的基于频率的神经信号处理技术与2D图像完成，3D SDF表面回归和5D辐射场现场重建相同，甚至比最新的。

物理信息的神经网络（PINN）是神经网络（NNS），它们作为神经网络本身的组成部分编码模型方程，例如部分微分方程（PDE）。如今，PINN是用于求解PDE，分数方程，积分分化方程和随机PDE的。这种新颖的方法已成为一个多任务学习框架，在该框架中，NN必须在减少PDE残差的同时拟合观察到的数据。本文对PINNS的文献进行了全面的综述：虽然该研究的主要目标是表征这些网络及其相关的优势和缺点。该综述还试图将出版物纳入更广泛的基于搭配的物理知识的神经网络，这些神经网络构成了香草·皮恩（Vanilla Pinn）以及许多其他变体，例如物理受限的神经网络（PCNN），各种HP-VPINN，变量HP-VPINN，VPINN，VPINN，变体。和保守的Pinn（CPINN）。该研究表明，大多数研究都集中在通过不同的激活功能，梯度优化技术，神经网络结构和损耗功能结构来定制PINN。尽管使用PINN的应用范围广泛，但通过证明其在某些情况下比有限元方法（FEM）等经典数值技术更可行的能力，但仍有可能的进步，最著名的是尚未解决的理论问题。

高维时空动力学通常可以在低维子空间中编码。用于建模，表征，设计和控制此类大规模系统的工程应用通常依赖于降低尺寸，以实时计算解决方案。降低维度的常见范例包括线性方法，例如奇异值分解（SVD）和非线性方法，例如卷积自动编码器（CAE）的变体。但是，这些编码技术缺乏有效地表示与时空数据相关的复杂性的能力，后者通常需要可变的几何形状，非均匀的网格分辨率，自适应网格化和/或参数依赖性。为了解决这些实用的工程挑战，我们提出了一个称为神经隐式流（NIF）的一般框架，该框架可以实现大型，参数，时空数据的网格不稳定，低级别表示。 NIF由两个修改的多层感知器（MLP）组成：（i）shapenet，它分离并代表空间复杂性，以及（ii）参数，该参数解释了任何其他输入复杂性，包括参数依赖关系，时间和传感器测量值。我们演示了NIF用于参数替代建模的实用性，从而实现了复杂时空动力学的可解释表示和压缩，有效的多空间质量任务以及改善了稀疏重建的通用性能。

These notes were compiled as lecture notes for a course developed and taught at the University of the Southern California. They should be accessible to a typical engineering graduate student with a strong background in Applied Mathematics. The main objective of these notes is to introduce a student who is familiar with concepts in linear algebra and partial differential equations to select topics in deep learning. These lecture notes exploit the strong connections between deep learning algorithms and the more conventional techniques of computational physics to achieve two goals. First, they use concepts from computational physics to develop an understanding of deep learning algorithms. Not surprisingly, many concepts in deep learning can be connected to similar concepts in computational physics, and one can utilize this connection to better understand these algorithms. Second, several novel deep learning algorithms can be used to solve challenging problems in computational physics. Thus, they offer someone who is interested in modeling a physical phenomena with a complementary set of tools.

Implicit Neural Representations (INRs) encoding continuous multi-media data via multi-layer perceptrons has shown undebatable promise in various computer vision tasks. Despite many successful applications, editing and processing an INR remains intractable as signals are represented by latent parameters of a neural network. Existing works manipulate such continuous representations via processing on their discretized instance, which breaks down the compactness and continuous nature of INR. In this work, we present a pilot study on the question: how to directly modify an INR without explicit decoding? We answer this question by proposing an implicit neural signal processing network, dubbed INSP-Net, via differential operators on INR. Our key insight is that spatial gradients of neural networks can be computed analytically and are invariant to translation, while mathematically we show that any continuous convolution filter can be uniformly approximated by a linear combination of high-order differential operators. With these two knobs, INSP-Net instantiates the signal processing operator as a weighted composition of computational graphs corresponding to the high-order derivatives of INRs, where the weighting parameters can be data-driven learned. Based on our proposed INSP-Net, we further build the first Convolutional Neural Network (CNN) that implicitly runs on INRs, named INSP-ConvNet. Our experiments validate the expressiveness of INSP-Net and INSP-ConvNet in fitting low-level image and geometry processing kernels (e.g. blurring, deblurring, denoising, inpainting, and smoothening) as well as for high-level tasks on implicit fields such as image classification.

神经网络的经典发展主要集中在有限维欧基德空间或有限组之间的学习映射。我们提出了神经网络的概括，以学习映射无限尺寸函数空间之间的运算符。我们通过一类线性积分运算符和非线性激活函数的组成制定运营商的近似，使得组合的操作员可以近似复杂的非线性运算符。我们证明了我们建筑的普遍近似定理。此外，我们介绍了四类运算符参数化：基于图形的运算符，低秩运算符，基于多极图形的运算符和傅里叶运算符，并描述了每个用于用每个计算的高效算法。所提出的神经运营商是决议不变的：它们在底层函数空间的不同离散化之间共享相同的网络参数，并且可以用于零击超分辨率。在数值上，与现有的基于机器学习的方法，达西流程和Navier-Stokes方程相比，所提出的模型显示出卓越的性能，而与传统的PDE求解器相比，与现有的基于机器学习的方法有关的基于机器学习的方法。

最近，通过神经网络参数化的隐式神经表示（INR）已成为一种强大而有前途的工具，可以代表不同种类的信号，因为其连续的，可区分的属性，表现出与经典离散表示的优越性。但是，对INR的神经网络的培训仅利用输入输出对，而目标输出相对于输入的衍生物通常忽略了输入。在本文中，我们为目标输出为图像像素的INR提出了一个训练范式，以编码图像衍生物除了神经网络中的图像值外。具体而言，我们使用有限的差异来近似图像导数。我们展示了如何利用训练范式来解决典型的INRS问题，即图像回归和逆渲染，并证明这种训练范式可以提高INR的数据效率和概括能力。我们方法的代码可在\ url {https://github.com/megvii-research/sobolev_inrs}中获得。

Recent years have witnessed a growth in mathematics for deep learning--which seeks a deeper understanding of the concepts of deep learning with mathematics, and explores how to make it more robust--and deep learning for mathematics, where deep learning algorithms are used to solve problems in mathematics. The latter has popularised the field of scientific machine learning where deep learning is applied to problems in scientific computing. Specifically, more and more neural network architectures have been developed to solve specific classes of partial differential equations (PDEs). Such methods exploit properties that are inherent to PDEs and thus solve the PDEs better than classical feed-forward neural networks, recurrent neural networks, and convolutional neural networks. This has had a great impact in the area of mathematical modeling where parametric PDEs are widely used to model most natural and physical processes arising in science and engineering, In this work, we review such methods and extend them for parametric studies as well as for solving the related inverse problems. We equally proceed to show their relevance in some industrial applications.

这本数字本书包含在物理模拟的背景下与深度学习相关的一切实际和全面的一切。尽可能多，所有主题都带有Jupyter笔记本的形式的动手代码示例，以便快速入门。除了标准的受监督学习的数据中，我们将看看物理丢失约束，更紧密耦合的学习算法，具有可微分的模拟，以及加强学习和不确定性建模。我们生活在令人兴奋的时期：这些方法具有从根本上改变计算机模拟可以实现的巨大潜力。

We show that passing input points through a simple Fourier feature mapping enables a multilayer perceptron (MLP) to learn high-frequency functions in lowdimensional problem domains. These results shed light on recent advances in computer vision and graphics that achieve state-of-the-art results by using MLPs to represent complex 3D objects and scenes. Using tools from the neural tangent kernel (NTK) literature, we show that a standard MLP fails to learn high frequencies both in theory and in practice. To overcome this spectral bias, we use a Fourier feature mapping to transform the effective NTK into a stationary kernel with a tunable bandwidth. We suggest an approach for selecting problem-specific Fourier features that greatly improves the performance of MLPs for low-dimensional regression tasks relevant to the computer vision and graphics communities.

近年来，由于其表达力和灵活性，神经隐式表示在3D重建中获得了普及。然而，神经隐式表示的隐式性质导致缓慢的推理时间并且需要仔细初始化。在本文中，我们重新审视经典且无处不在的点云表示，并使用泊松表面重建（PSR）的可分辨率配方引入可分化的点对网格层，其允许给予定向的GPU加速的指示灯的快速解决方案点云。可微分的PSR层允许我们通过隐式指示器字段有效地和分散地桥接与3D网格的显式3D点表示，从而实现诸如倒角距离的表面重建度量的端到端优化。因此，点和网格之间的这种二元性允许我们以面向点云表示形状，这是显式，轻量级和富有表现力的。与神经内隐式表示相比，我们的形状 - 点（SAP）模型更具可解释，轻量级，并通过一个级别加速推理时间。与其他显式表示相比，如点，补丁和网格，SA​​P产生拓扑无关的水密歧管表面。我们展示了SAP对无知点云和基于学习的重建的表面重建任务的有效性。

全波形反演（FWI）通常代表成像地下结构和物理参数的最新方法，但是，其实施通常面临着巨大的挑战，例如建立一个良好的初始模型以逃脱本地的最小值，并评估评估反转结果的不确定性。在本文中，我们建议使用连续和隐式定义的深神经表示形式提出隐式全波形反演（IFWI）算法。与对初始模型敏感的FWI相比，IFWI从增加的自由度中受益于深度学习优化，从而可以从随机初始化开始，从而大大降低了非唯一性的风险，并被当地的微型捕获。理论分析和实验分析都表明，在随机初始模型的情况下，IFWI能够收敛到全局最小值并产生具有精细结构的地下的高分辨率图像。此外，通过使用各种深度学习方法近似贝叶斯推断，可以轻松地对IFWI进行不确定性分析，这在本文中通过添加辍学神经元进行了分析。此外，IFWI具有一定程度的鲁棒性和强大的概括能力，在各种2D地质模型的实验中被例证。通过适当的设置，IFWI也可以非常适合多规模关节地球物理反演。

综合照片 - 现实图像和视频是计算机图形的核心，并且是几十年的研究焦点。传统上，使用渲染算法（如光栅化或射线跟踪）生成场景的合成图像，其将几何形状和材料属性的表示为输入。统称，这些输入定义了实际场景和呈现的内容，并且被称为场景表示（其中场景由一个或多个对象组成）。示例场景表示是具有附带纹理的三角形网格（例如，由艺术家创建），点云（例如，来自深度传感器），体积网格（例如，来自CT扫描）或隐式曲面函数（例如，截短的符号距离）字段）。使用可分辨率渲染损耗的观察结果的这种场景表示的重建被称为逆图形或反向渲染。神经渲染密切相关，并将思想与经典计算机图形和机器学习中的思想相结合，以创建用于合成来自真实观察图像的图像的算法。神经渲染是朝向合成照片现实图像和视频内容的目标的跨越。近年来，我们通过数百个出版物显示了这一领域的巨大进展，这些出版物显示了将被动组件注入渲染管道的不同方式。这种最先进的神经渲染进步的报告侧重于将经典渲染原则与学习的3D场景表示结合的方法，通常现在被称为神经场景表示。这些方法的一个关键优势在于它们是通过设计的3D-一致，使诸如新颖的视点合成捕获场景的应用。除了处理静态场景的方法外，我们还涵盖了用于建模非刚性变形对象的神经场景表示...

最近隐含的神经表示（INRS）作为各种数据类型的新颖且有效的表现。到目前为止，事先工作主要集中在优化其重建性能。这项工作从新颖的角度来调查INRS，即作为图像压缩的工具。为此，我们提出了基于INR的第一综合压缩管线，包括量化，量化感知再培训和熵编码。使用INRS进行编码，即对数据示例的过度装备，通常是较慢的秩序。为缓解此缺点，我们基于MAML利用META学习初始化，以便在较少的渐变更新中达到编码，这也通常提高INR的速率失真性能。我们发现，我们对INR的源压缩方法非常优于类似的事先工作，具有专门针对图像专门设计的常见压缩算法，并将基于速率 - 失真自动分析器的差距缩小到最先进的学习方法。此外，我们提供了对我们希望促进这种新颖方法对图像压缩的未来研究的重要性的广泛消融研究。

各系列扩张是几个世纪以来的应用数学和工程的基石。在本文中，我们从现代机器学习角度重新审视了泰勒系列扩张。具体地，我们介绍了快速连续的卷积泰勒变换（FC2T2），这是快速多极法（FMM）的变型，其允许在连续空间中有效地逼近低维卷积操作者。我们建立在FMM上，这是一种近似算法，其降低了从O（nm）到o（n + m）的n身体问题的计算复杂度，并在例如，在例如，在例如，在例如，在ev中找到应用。粒子模拟。作为中间步骤，FMM为网格上的每个单元产生串联扩展，我们引入直接作用于该表示的算法。这些算法分析但大致计算了反向衰减算法的前向和后向通过所需的数量，因此可以在神经网络中用作（隐式）层。具体地，我们引入了一种根隐性层，其输出表面法线和对象距离以及输出给定3D姿势的辐射场的渲染的积分隐式层。在机器学习的背景下，可以理解为N $和M $的$和M $分别被理解为型号参数和模型评估的数量，这对于需要在计算机视觉和图形中普遍存在的重复函数评估的应用程序，与常规神经网络不同网络，该技术以参数优雅地介绍了本文。对于某些应用，这导致拖鞋的200倍减少，与最先进的方法以合理的或不存在的准确性损失相比。

Representing shapes as level sets of neural networks has been recently proved to be useful for different shape analysis and reconstruction tasks. So far, such representations were computed using either: (i) pre-computed implicit shape representations; or (ii) loss functions explicitly defined over the neural level sets.In this paper we offer a new paradigm for computing high fidelity implicit neural representations directly from raw data (i.e., point clouds, with or without normal information). We observe that a rather simple loss function, encouraging the neural network to vanish on the input point cloud and to have a unit norm gradient, possesses an implicit geometric regularization property that favors smooth and natural zero level set surfaces, avoiding bad zero-loss solutions.We provide a theoretical analysis of this property for the linear case, and show that, in practice, our method leads to state of the art implicit neural representations with higher level-of-details and fidelity compared to previous methods.

可微分的渲染是现代视觉中的重要操作，允许在现代机器学习框架中使用逆图形方法3D理解。显式形状表示（体素，点云或网格），而相对容易呈现，通常遭受有限的几何保真度或拓扑限制。另一方面，隐式表示（占用，距离或辐射字段）保持更大的保真度，但遭受复杂或低效的渲染过程，限制可扩展性。在这项工作中，我们努力解决具有新颖形状表示的缺点，允许在隐式架构内快速可分辨地渲染。构建隐式距离表示，我们定义了指向距离字段（DDF），将定向点（位置和方向）映射到表面可见性和深度。这种场可以通过网络衍生物能够使差分表面几何提取（例如，表面法线和曲率）能够容易地构成，并且允许提取经典无符号距离场。使用概率DDFS（PDDFS），我们展示了如何模拟底层字段中固有的不连续性。最后，我们将方法应用于拟合单一形状，未配对的3D感知生成图像建模和单像3D重建任务，通过我们表示的多功能性展示具有简单架构组件的强大性能。