现代神经网络通常以强烈的过度构造状态运行:它们包含许多参数,即使实际标签被纯粹随机的标签代替,它们也可以插入训练集。尽管如此,他们在看不见的数据上达到了良好的预测错误:插值训练集并不会导致巨大的概括错误。此外,过度散色化似乎是有益的,因为它简化了优化景观。在这里,我们在神经切线(NT)制度中的两层神经网络的背景下研究这些现象。我们考虑了一个简单的数据模型,以及各向同性协变量的矢量,$ d $尺寸和$ n $隐藏的神经元。我们假设样本量$ n $和尺寸$ d $都很大,并且它们在多项式上相关。我们的第一个主要结果是对过份术的经验NT内核的特征结构的特征。这种表征意味着必然的表明,经验NT内核的最低特征值在$ ND \ gg n $后立即从零界限,因此网络可以在同一制度中精确插值任意标签。我们的第二个主要结果是对NT Ridge回归的概括误差的表征,包括特殊情况,最小值-ULL_2 $ NORD插值。我们证明,一旦$ nd \ gg n $,测试误差就会被内核岭回归之一相对于无限宽度内核而近似。多项式脊回归的误差依次近似后者,从而通过与激活函数的高度组件相关的“自我诱导的”项增加了正则化参数。多项式程度取决于样本量和尺寸(尤其是$ \ log n/\ log d $)。
translated by 谷歌翻译
训练神经网络的一种常见方法是将所有权重初始化为独立的高斯向量。我们观察到,通过将权重初始化为独立对,每对由两个相同的高斯向量组成,我们可以显着改善收敛分析。虽然已经研究了类似的技术来进行随机输入[Daniely,Neurips 2020],但尚未使用任意输入进行分析。使用此技术,我们展示了如何显着减少两层relu网络所需的神经元数量,均在逻辑损失的参数化设置不足的情况下,大约$ \ gamma^{ - 8} $ [Ji and telgarsky,ICLR, 2020]至$ \ gamma^{ - 2} $,其中$ \ gamma $表示带有神经切线内核的分离边距,以及在与平方损失的过度参数化设置中,从大约$ n^4 $ [song [song]和Yang,2019年]至$ n^2 $,隐含地改善了[Brand,Peng,Song和Weinstein,ITCS 2021]的近期运行时间。对于参数不足的设置,我们还证明了在先前工作时改善的新下限,并且在某些假设下是最好的。
translated by 谷歌翻译
深度学习理论的最新目标是确定神经网络如何逃脱“懒惰训练”或神经切线内核(NTK)制度,在该制度中,网络与初始化时的一阶泰勒扩展相结合。尽管NTK是最大程度地用于学习密集多项式的最佳选择(Ghorbani等,2021),但它无法学习特征,因此对于学习包括稀疏多项式(稀疏多项式)的许多类别的功能的样本复杂性较差。因此,最近的工作旨在确定基于梯度的算法比NTK更好地概括的设置。一个这样的例子是Bai和Lee(2020)的“ Quadntk”方法,该方法分析了泰勒膨胀中的二阶项。 Bai和Lee(2020)表明,二阶项可以有效地学习稀疏的多项式。但是,它牺牲了学习一般密集多项式的能力。在本文中,我们分析了两层神经网络上的梯度下降如何通过利用NTK(Montanari和Zhong,2020)的光谱表征并在Quadntk方法上构建来逃脱NTK制度。我们首先扩展了光谱分析,以确定参数空间中的“良好”方向,在该空间中我们可以在不损害概括的情况下移动。接下来,我们表明一个宽的两层神经网络可以共同使用NTK和QUADNTK来适合由密集的低度项和稀疏高度术语组成的目标功能 - NTK和Quadntk无法在他们自己的。最后,我们构建了一个正常化程序,该正规化器鼓励我们的参数向量以“良好”的方向移动,并表明正规化损失上的梯度下降将融合到全局最小化器,这也有较低的测试误差。这产生了端到端的融合和概括保证,并自行对NTK和Quadntk进行了可证明的样本复杂性的改善。
translated by 谷歌翻译
成功的深度学习模型往往涉及培训具有比训练样本数量更多的参数的神经网络架构。近年来已经广泛研究了这种超分子化的模型,并且通过双下降现象和通过优化景观的结构特性,从统计的角度和计算视角都建立了过分统计化的优点。尽管在过上分层的制度中深入学习架构的显着成功,但也众所周知,这些模型对其投入中的小对抗扰动感到高度脆弱。即使在普遍培训的情况下,它们在扰动输入(鲁棒泛化)上的性能也会比良性输入(标准概括)的最佳可达到的性能更糟糕。因此,必须了解如何从根本上影响稳健性的情况下如何影响鲁棒性。在本文中,我们将通过专注于随机特征回归模型(具有随机第一层权重的两层神经网络)来提供超分度化对鲁棒性的作用的精确表征。我们考虑一个制度,其中样本量,输入维度和参数的数量彼此成比例地生长,并且当模型发生前列地训练时,可以为鲁棒泛化误差导出渐近精确的公式。我们的发达理论揭示了过分统计化对鲁棒性的非竞争效果,表明对于普遍训练的随机特征模型,高度公正化可能会损害鲁棒泛化。
translated by 谷歌翻译
过度分辨率是指选择神经网络的宽度,使得学习算法可以在非凸训练中可被估计零损失的重要现象。现有理论建立了各种初始化策略,培训修改和宽度缩放等全局融合。特别地,最先进的结果要求宽度以二次逐步缩放,并在实践中使用的标准初始化策略下进行培训数据的数量,以获得最佳泛化性能。相比之下,最新的结果可以获得线性缩放,需要导致导致“懒惰训练”的初始化,或者仅训练单层。在这项工作中,我们提供了一个分析框架,使我们能够采用标准的初始化策略,可能避免懒惰的训练,并在基本浅色神经网络中同时培训所有层,同时获得网络宽度的理想子标缩放。我们通过Polyak-Lojasiewicz条件,平滑度和数据标准假设实现了Desiderata,并使用随机矩阵理论的工具。
translated by 谷歌翻译
我们考虑与高斯数据的高维线性回归中的插值学习,并在类高斯宽度方面证明了任意假设类别中的内插器的泛化误差。将通用绑定到欧几里德常规球恢复了Bartlett等人的一致性结果。(2020)对于最小规范内插器,并确认周等人的预测。(2020)在高斯数据的特殊情况下,对于近乎最小常态的内插器。我们通过将其应用于单位来证明所界限的一般性,从而获得最小L1-NORM Interpoolator(基础追踪)的新型一致性结果。我们的结果表明,基于规范的泛化界限如何解释并用于分析良性过度装备,至少在某些设置中。
translated by 谷歌翻译
我们在随机特征矩阵的条件数上提供(高概率)界限。特别是,我们表明,如果复杂性比率$ \ frac {n} $ where $ n $是n $ with n $ wore $ n $是$ m $的数量,如$ \ log ^ {-1}( n)$或$ \ log(m)$,然后随机功能矩阵很好。该结果在没有正则化的情况下保持并且依赖于在随机特征矩阵的相关组件之间建立各种浓度界限。另外,我们在随机特征矩阵的受限等距常数上获得界限。我们证明了使用随机特征矩阵的回归问题相关的风险表现出双重下降现象,并且这是条件数的双缩小行为的效果。风险范围包括使用最小二乘问题的underParamedAimed设置和使用最小规范插值问题或稀疏回归问题的过次参数化设置。对于最小二乘或稀疏的回归案例,我们表明风险降低为$ M $和$ N $增加,即使在存在有限或随机噪声时也是如此。风险绑定与文献中的最佳缩放匹配,我们的结果中的常量是显式的,并且独立于数据的维度。
translated by 谷歌翻译
在分析过度参数化神经网络的训练动力学方面的最新进展主要集中在广泛的网络上,因此无法充分解决深度在深度学习中的作用。在这项工作中,我们介绍了第一个无限深层但狭窄的神经网络的训练保证。我们研究具有特定初始化的多层感知器(MLP)的无限深度极限,并使用NTK理论建立了可训练性保证。然后,我们将分析扩展到无限深的卷积神经网络(CNN),并进行简短的实验。
translated by 谷歌翻译
在负面的感知问题中,我们给出了$ n $数据点$({\ boldsymbol x} _i,y_i)$,其中$ {\ boldsymbol x} _i $是$ d $ -densional vector和$ y_i \ in \ { + 1,-1 \} $是二进制标签。数据不是线性可分离的,因此我们满足自己的内容,以找到最大的线性分类器,具有最大的\ emph {否定}余量。换句话说,我们想找到一个单位常规矢量$ {\ boldsymbol \ theta} $,最大化$ \ min_ {i \ le n} y_i \ langle {\ boldsymbol \ theta},{\ boldsymbol x} _i \ rangle $ 。这是一个非凸优化问题(它相当于在Polytope中找到最大标准矢量),我们在两个随机模型下研究其典型属性。我们考虑比例渐近,其中$ n,d \ to \ idty $以$ n / d \ to \ delta $,并在最大边缘$ \ kappa _ {\ text {s}}(\ delta)上证明了上限和下限)$或 - 等效 - 在其逆函数$ \ delta _ {\ text {s}}(\ kappa)$。换句话说,$ \ delta _ {\ text {s}}(\ kappa)$是overparametization阈值:以$ n / d \ le \ delta _ {\ text {s}}(\ kappa) - \ varepsilon $一个分类器实现了消失的训练错误,具有高概率,而以$ n / d \ ge \ delta _ {\ text {s}}(\ kappa)+ \ varepsilon $。我们在$ \ delta _ {\ text {s}}(\ kappa)$匹配,以$ \ kappa \ to - \ idty $匹配。然后,我们分析了线性编程算法来查找解决方案,并表征相应的阈值$ \ delta _ {\ text {lin}}(\ kappa)$。我们观察插值阈值$ \ delta _ {\ text {s}}(\ kappa)$和线性编程阈值$ \ delta _ {\ text {lin {lin}}(\ kappa)$之间的差距,提出了行为的问题其他算法。
translated by 谷歌翻译
古典统计学习理论表示,拟合太多参数导致过度舒服和性能差。尽管大量参数矛盾,但是现代深度神经网络概括了这一发现,并构成了解释深度学习成功的主要未解决的问题。随机梯度下降(SGD)引起的隐式正规被认为是重要的,但其特定原则仍然是未知的。在这项工作中,我们研究了当地最小值周围的能量景观的局部几何学如何影响SGD的统计特性,具有高斯梯度噪声。我们争辩说,在合理的假设下,局部几何形状力强制SGD保持接近低维子空间,这会引起隐式正则化并导致深神经网络的泛化误差界定更严格的界限。为了获得神经网络的泛化误差界限,我们首先引入局部最小值周围的停滞迹象,并施加人口风险的局部基本凸性财产。在这些条件下,推导出SGD的下界,以保留在这些停滞套件中。如果发生停滞,我们会导出涉及权重矩阵的光谱规范的深神经网络的泛化误差的界限,但不是网络参数的数量。从技术上讲,我们的证据基于控制SGD中的参数值的变化以及基于局部最小值周围的合适邻域的熵迭代的参数值和局部均匀收敛。我们的工作试图通过统一收敛更好地连接非凸优化和泛化分析。
translated by 谷歌翻译
矩阵正常模型,高斯矩阵变化分布的系列,其协方差矩阵是两个较低尺寸因子的Kronecker乘积,经常用于模拟矩阵变化数据。张量正常模型将该家庭推广到三个或更多因素的Kronecker产品。我们研究了矩阵和张量模型中协方差矩阵的Kronecker因子的估计。我们向几个自然度量中的最大似然估计器(MLE)实现的误差显示了非因素界限。与现有范围相比,我们的结果不依赖于条件良好或稀疏的因素。对于矩阵正常模型,我们所有的所有界限都是最佳的对数因子最佳,对于张量正常模型,我们对最大因数和整体协方差矩阵的绑定是最佳的,所以提供足够的样品以获得足够的样品以获得足够的样品常量Frobenius错误。在与我们的样本复杂性范围相同的制度中,我们表明迭代程序计算称为触发器算法称为触发器算法的MLE的线性地收敛,具有高概率。我们的主要工具是Fisher信息度量诱导的正面矩阵的几何中的测地强凸性。这种强大的凸起由某些随机量子通道的扩展来决定。我们还提供了数值证据,使得将触发器算法与简单的收缩估计器组合可以提高缺乏采样制度的性能。
translated by 谷歌翻译
我们考虑培训多层过参数化神经网络的问题,以最大限度地减少损失函数引起的经验风险。在过度参数化的典型设置中,网络宽度$ M $远大于数据维度$ D $和培训数量$ N $($ m = \ mathrm {poly}(n,d)$),其中诱导禁止的大量矩阵$ w \ in \ mathbb {r} ^ {m \ times m} $每层。天真地,一个人必须支付$ O(m ^ 2)$时间读取权重矩阵并评估前向和后向计算中的神经网络功能。在这项工作中,我们展示了如何降低每个迭代的培训成本,具体而言,我们提出了一个仅在初始化阶段使用M ^ 2美元的框架,并且在$ M $的情况下实现了每次迭代的真正子种化成本。 ,$ m ^ {2- \ oomga(1)} $次迭代。为了获得此结果,我们利用各种技术,包括偏移的基于Relu的稀释器,懒惰的低级维护数据结构,快速矩阵矩阵乘法,张量的草图技术和预处理。
translated by 谷歌翻译
本文为信号去噪提供了一般交叉验证框架。然后将一般框架应用于非参数回归方法,例如趋势过滤和二元推车。然后显示所得到的交叉验证版本以获得最佳调谐的类似物所熟知的几乎相同的收敛速度。没有任何先前的趋势过滤或二元推车的理论分析。为了说明框架的一般性,我们还提出并研究了两个基本估算器的交叉验证版本;套索用于高维线性回归和矩阵估计的奇异值阈值阈值。我们的一般框架是由Chatterjee和Jafarov(2015)的想法的启发,并且可能适用于使用调整参数的广泛估算方法。
translated by 谷歌翻译
要了解深度学习的作品,了解神经网络的培训动态至关重要。关于这些动态的几个有趣的假设是基于经验观察到的现象,但存在有限的理论上了解此类现象的时间和原因。在本文中,我们考虑了内核最小二乘目标对梯度流动的培训动态,这是SGD培训的神经网络的限制动态。使用精确的高维渐近学,我们将拟合模型的动态表征在两个“世界”中:在甲骨文世界中,该模型在人口分布和实证世界中培训,模型在采样的数据集上培训。我们展示在内核的温和条件下,$ L ^ 2 $目标回归函数,培训动力学经历三个阶段,其特征在于两个世界的模型的行为。我们的理论结果也在数学上正式化一些有趣的深度学习现象。具体而言,在我们的环境中,我们展示了SGD逐步了解更多复杂的功能,并且存在“深度引导”现象:在第二阶段,尽管经验训练误差要小得多,但两个世界的测试错误仍然接近。最后,我们提供了一个具体的例子,比较了两种不同核的动态,这表明更快的培训不需要更好地推广。
translated by 谷歌翻译
这项工作研究了浅relu网络通过梯度下降训练的浅relu网络,在底层数据分布一般的二进制分类数据上,(最佳)贝叶斯风险不一定为零。在此设置中,表明,在早期停止的梯度下降达到人口风险在不仅仅是逻辑和错误分类损失方面,也可以在校准方面任意接近最佳,这意味着其输出的符合矩阵映射近似于真正的条件分布任意精细。此外,这种分析的必要迭代,样本和架构复杂性,并且在真实条件模型的某种复杂度测量方面都是自然的。最后,虽然没有表明需要早期停止是必要的,但是显示满足局部内插特性的任何单变量分类器是不一致的。
translated by 谷歌翻译
我们研究了随机近似程序,以便基于观察来自ergodic Markov链的长度$ n $的轨迹来求近求解$ d -dimension的线性固定点方程。我们首先表现出$ t _ {\ mathrm {mix}} \ tfrac {n}} \ tfrac {n}} \ tfrac {d}} \ tfrac {d} {n} $的非渐近性界限。$ t _ {\ mathrm {mix $是混合时间。然后,我们证明了一种在适当平均迭代序列上的非渐近实例依赖性,具有匹配局部渐近最小的限制的领先术语,包括对参数$的敏锐依赖(d,t _ {\ mathrm {mix}}) $以高阶术语。我们将这些上限与非渐近Minimax的下限补充,该下限是建立平均SA估计器的实例 - 最优性。我们通过Markov噪声的政策评估导出了这些结果的推导 - 覆盖了所有$ \ lambda \中的TD($ \ lambda $)算法,以便[0,1)$ - 和线性自回归模型。我们的实例依赖性表征为HyperParameter调整的细粒度模型选择程序的设计开放了门(例如,在运行TD($ \ Lambda $)算法时选择$ \ lambda $的值)。
translated by 谷歌翻译
我们证明了由例如He等人提出的广泛使用的方法。(2015年)并使用梯度下降对最小二乘损失进行训练并不普遍。具体而言,我们描述了一大批一维数据生成分布,较高的概率下降只会发现优化景观的局部最小值不好,因为它无法将其偏离偏差远离其初始化,以零移动。。事实证明,在这些情况下,即使目标函数是非线性的,发现的网络也基本执行线性回归。我们进一步提供了数值证据,表明在实际情况下,对于某些多维分布而发生这种情况,并且随机梯度下降表现出相似的行为。我们还提供了有关初始化和优化器的选择如何影响这种行为的经验结果。
translated by 谷歌翻译
在深度学习中的优化分析是连续的,专注于(变体)梯度流动,或离散,直接处理(变体)梯度下降。梯度流程可符合理论分析,但是风格化并忽略计算效率。它代表梯度下降的程度是深度学习理论的一个开放问题。目前的论文研究了这个问题。将梯度下降视为梯度流量初始值问题的近似数值问题,发现近似程度取决于梯度流动轨迹周围的曲率。然后,我们表明,在具有均匀激活的深度神经网络中,梯度流动轨迹享有有利的曲率,表明它们通过梯度下降近似地近似。该发现允许我们将深度线性神经网络的梯度流分析转换为保证梯度下降,其几乎肯定会在随机初始化下有效地收敛到全局最小值。实验表明,在简单的深度神经网络中,具有传统步长的梯度下降确实接近梯度流。我们假设梯度流动理论将解开深入学习背后的奥秘。
translated by 谷歌翻译
本文介绍了梯度下降到全球最低最低限度的新标准。该标准用于表明,当训练任何具有光滑且严格增加激活功能的前馈神经网络时,具有适当初始化的梯度下降将收敛到全局最小值,前提是输入维度大于或等于数据点的数量。先前工作的主要区别在于,网络的宽度可以是固定的数字,而不是作为数据点数量的某些倍数或功率而不现实地生长。
translated by 谷歌翻译
我们在具有Martingale差异噪声的可实现的时间序列框架中学习正方形损失。我们的主要结果是一个快速率的多余风险结合,这表明每当轨迹超收缩条件成立时,依赖数据的最小二乘估计器的风险与燃烧时间后的IID速率订单匹配。相比之下,从依赖数据中学习的许多现有结果都具有有效的样本量,即使在燃烧时间之后,有效的样本量也被基础过程的混合时间降低。此外,我们的结果允许协变量过程表现出远距离相关性,这些相关性大大弱于几何牙齿。我们将这种现象学习称为几乎没有混合的方式,并为其示出了几个示例:$ l^2 $和$ l^{2+\ epsilon} $ norms的有界函数类是等效的,有限的有限态Markov链,各种参数模型,以及一个无限尺寸$ \ ell^2(\ mathbb {n})$椭圆形的广阔家族。通过将我们的主要结果实例化,以使用广义线性模型过渡对非线性动力学的系统识别,我们仅在多项式燃烧时间后获得了几乎最小的最佳超量风险。
translated by 谷歌翻译