异常值广泛发生在大数据应用中,可能严重影响统计估计和推理。在本文中,引入了抗强估计的框架,以强制任意给出的损耗函数。它与修剪方法密切连接,并且包括所有样本的显式外围参数,这反过来促进计算,理论和参数调整。为了解决非凸起和非体性的问题,我们开发可扩展的算法,以实现轻松和保证快速收敛。特别地,提出了一种新的技术来缓解对起始点的要求,使得在常规数据集上,可以大大减少数据重采样的数量。基于组合的统计和计算处理,我们能够超越M估计来执行非因思分析。所获得的抗性估算器虽然不一定全局甚至是局部最佳的,但在低维度和高维度中享有最小的速率最优性。回归,分类和神经网络的实验表明,在总异常值发生的情况下提出了拟议方法的优异性能。
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现代统计应用常常涉及最小化可能是非流动和/或非凸起的目标函数。本文侧重于广泛的Bregman-替代算法框架,包括本地线性近似,镜像下降,迭代阈值,DC编程以及许多其他实例。通过广义BREGMAN功能的重新发出使我们能够构建合适的误差测量并在可能高维度下建立非凸起和非凸起和非球形目标的全球收敛速率。对于稀疏的学习问题,在一些规律性条件下,所获得的估算器作为代理人的固定点,尽管不一定是局部最小化者,但享受可明确的统计保障,并且可以证明迭代顺序在所需的情况下接近统计事实准确地快速。本文还研究了如何通过仔细控制步骤和放松参数来设计基于适应性的动力的加速度而不假设凸性或平滑度。
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现代高维方法经常采用“休稀稀物”的原则,而在监督多元学习统计学中可能面临着大量非零系数的“密集”问题。本文提出了一种新的聚类减少秩(CRL)框架,其施加了两个联合矩阵规范化,以自动分组构建预测因素的特征。 CRL比低级别建模更具可解释,并放松变量选择中的严格稀疏假设。在本文中,提出了新的信息 - 理论限制,揭示了寻求集群的内在成本,以及多元学习中的维度的祝福。此外,开发了一种有效的优化算法,其执行子空间学习和具有保证融合的聚类。所获得的定点估计器虽然不一定是全局最佳的,但在某些规则条件下享有超出标准似然设置的所需的统计准确性。此外,提出了一种新的信息标准,以及其无垢形式,用于集群和秩选择,并且具有严格的理论支持,而不假设无限的样本大小。广泛的模拟和实数据实验证明了所提出的方法的统计准确性和可解释性。
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套索是一种高维回归的方法,当时,当协变量$ p $的订单数量或大于观测值$ n $时,通常使用它。由于两个基本原因,经典的渐近态性理论不适用于该模型:$(1)$正规风险是非平滑的; $(2)$估算器$ \ wideHat {\ boldsymbol {\ theta}} $与true参数vector $ \ boldsymbol {\ theta}^*$无法忽略。结果,标准的扰动论点是渐近正态性的传统基础。另一方面,套索估计器可以精确地以$ n $和$ p $大,$ n/p $的订单为一。这种表征首先是在使用I.I.D的高斯设计的情况下获得的。协变量:在这里,我们将其推广到具有非偏差协方差结构的高斯相关设计。这是根据更简单的``固定设计''模型表示的。我们在两个模型中各种数量的分布之间的距离上建立了非反应界限,它们在合适的稀疏类别中均匀地固定在信号上$ \ boldsymbol {\ theta}^*$。作为应用程序,我们研究了借助拉索的分布,并表明需要校正程度对于计算有效的置信区间是必要的。
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本文为信号去噪提供了一般交叉验证框架。然后将一般框架应用于非参数回归方法,例如趋势过滤和二元推车。然后显示所得到的交叉验证版本以获得最佳调谐的类似物所熟知的几乎相同的收敛速度。没有任何先前的趋势过滤或二元推车的理论分析。为了说明框架的一般性,我们还提出并研究了两个基本估算器的交叉验证版本;套索用于高维线性回归和矩阵估计的奇异值阈值阈值。我们的一般框架是由Chatterjee和Jafarov(2015)的想法的启发,并且可能适用于使用调整参数的广泛估算方法。
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High-dimensional data can often display heterogeneity due to heteroscedastic variance or inhomogeneous covariate effects. Penalized quantile and expectile regression methods offer useful tools to detect heteroscedasticity in high-dimensional data. The former is computationally challenging due to the non-smooth nature of the check loss, and the latter is sensitive to heavy-tailed error distributions. In this paper, we propose and study (penalized) robust expectile regression (retire), with a focus on iteratively reweighted $\ell_1$-penalization which reduces the estimation bias from $\ell_1$-penalization and leads to oracle properties. Theoretically, we establish the statistical properties of the retire estimator under two regimes: (i) low-dimensional regime in which $d \ll n$; (ii) high-dimensional regime in which $s\ll n\ll d$ with $s$ denoting the number of significant predictors. In the high-dimensional setting, we carefully characterize the solution path of the iteratively reweighted $\ell_1$-penalized retire estimation, adapted from the local linear approximation algorithm for folded-concave regularization. Under a mild minimum signal strength condition, we show that after as many as $\log(\log d)$ iterations the final iterate enjoys the oracle convergence rate. At each iteration, the weighted $\ell_1$-penalized convex program can be efficiently solved by a semismooth Newton coordinate descent algorithm. Numerical studies demonstrate the competitive performance of the proposed procedure compared with either non-robust or quantile regression based alternatives.
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在本文中,我们利用过度参数化来设计高维单索索引模型的无规矩算法,并为诱导的隐式正则化现象提供理论保证。具体而言,我们研究了链路功能是非线性且未知的矢量和矩阵单索引模型,信号参数是稀疏向量或低秩对称矩阵,并且响应变量可以是重尾的。为了更好地理解隐含正规化的角色而没有过度的技术性,我们假设协变量的分布是先验的。对于载体和矩阵设置,我们通过采用分数函数变换和专为重尾数据的强大截断步骤来构造过度参数化最小二乘损耗功能。我们建议通过将无规则化的梯度下降应用于损耗函数来估计真实参数。当初始化接近原点并且步骤中足够小时,我们证明了所获得的解决方案在载体和矩阵案件中实现了最小的收敛统计速率。此外,我们的实验结果支持我们的理论调查结果,并表明我们的方法在$ \ ell_2 $ -staticatisticated率和变量选择一致性方面具有明确的正则化的经验卓越。
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Wasserstein的分布在强大的优化方面已成为强大估计的有力框架,享受良好的样本外部性能保证,良好的正则化效果以及计算上可易处理的双重重新纠正。在这样的框架中,通过将最接近经验分布的所有概率分布中最接近的所有概率分布中最小化的最差预期损失来最大程度地减少估计量。在本文中,我们提出了一个在噪声线性测量中估算未知参数的Wasserstein分布稳定的M估计框架,我们专注于分析此类估计器的平方误差性能的重要且具有挑战性的任务。我们的研究是在现代的高维比例状态下进行的,在该状态下,环境维度和样品数量都以相对的速度进行编码,该速率以编码问题的下/过度参数化的比例。在各向同性高斯特征假设下,我们表明可以恢复平方误差作为凸 - 串联优化问题的解,令人惊讶的是,它在最多四个标量变量中都涉及。据我们所知,这是在Wasserstein分布强劲的M估计背景下研究此问题的第一项工作。
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在负面的感知问题中,我们给出了$ n $数据点$({\ boldsymbol x} _i,y_i)$,其中$ {\ boldsymbol x} _i $是$ d $ -densional vector和$ y_i \ in \ { + 1,-1 \} $是二进制标签。数据不是线性可分离的,因此我们满足自己的内容,以找到最大的线性分类器,具有最大的\ emph {否定}余量。换句话说,我们想找到一个单位常规矢量$ {\ boldsymbol \ theta} $,最大化$ \ min_ {i \ le n} y_i \ langle {\ boldsymbol \ theta},{\ boldsymbol x} _i \ rangle $ 。这是一个非凸优化问题(它相当于在Polytope中找到最大标准矢量),我们在两个随机模型下研究其典型属性。我们考虑比例渐近,其中$ n,d \ to \ idty $以$ n / d \ to \ delta $,并在最大边缘$ \ kappa _ {\ text {s}}(\ delta)上证明了上限和下限)$或 - 等效 - 在其逆函数$ \ delta _ {\ text {s}}(\ kappa)$。换句话说,$ \ delta _ {\ text {s}}(\ kappa)$是overparametization阈值:以$ n / d \ le \ delta _ {\ text {s}}(\ kappa) - \ varepsilon $一个分类器实现了消失的训练错误,具有高概率,而以$ n / d \ ge \ delta _ {\ text {s}}(\ kappa)+ \ varepsilon $。我们在$ \ delta _ {\ text {s}}(\ kappa)$匹配,以$ \ kappa \ to - \ idty $匹配。然后,我们分析了线性编程算法来查找解决方案,并表征相应的阈值$ \ delta _ {\ text {lin}}(\ kappa)$。我们观察插值阈值$ \ delta _ {\ text {s}}(\ kappa)$和线性编程阈值$ \ delta _ {\ text {lin {lin}}(\ kappa)$之间的差距,提出了行为的问题其他算法。
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我们研究了称为“乐观速率”(Panchenko 2002; Srebro等,2010)的统一收敛概念,用于与高斯数据的线性回归。我们的精致分析避免了现有结果中的隐藏常量和对数因子,这已知在高维设置中至关重要,特别是用于了解插值学习。作为一个特殊情况,我们的分析恢复了Koehler等人的保证。(2021年),在良性过度的过度条件下,严格地表征了低规范内插器的人口风险。但是,我们的乐观速度绑定还分析了具有任意训练错误的预测因子。这使我们能够在随机设计下恢复脊和套索回归的一些经典统计保障,并有助于我们在过度参数化制度中获得精确了解近端器的过度风险。
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This paper investigates the stability of deep ReLU neural networks for nonparametric regression under the assumption that the noise has only a finite p-th moment. We unveil how the optimal rate of convergence depends on p, the degree of smoothness and the intrinsic dimension in a class of nonparametric regression functions with hierarchical composition structure when both the adaptive Huber loss and deep ReLU neural networks are used. This optimal rate of convergence cannot be obtained by the ordinary least squares but can be achieved by the Huber loss with a properly chosen parameter that adapts to the sample size, smoothness, and moment parameters. A concentration inequality for the adaptive Huber ReLU neural network estimators with allowable optimization errors is also derived. To establish a matching lower bound within the class of neural network estimators using the Huber loss, we employ a different strategy from the traditional route: constructing a deep ReLU network estimator that has a better empirical loss than the true function and the difference between these two functions furnishes a low bound. This step is related to the Huberization bias, yet more critically to the approximability of deep ReLU networks. As a result, we also contribute some new results on the approximation theory of deep ReLU neural networks.
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我们调查与高斯的混合的数据分享共同但未知,潜在虐待协方差矩阵的数据。我们首先考虑具有两个等级大小的组件的高斯混合,并根据最大似然估计导出最大切割整数程序。当样品的数量在维度下线性增长时,我们证明其解决方案实现了最佳的错误分类率,直到对数因子。但是,解决最大切割问题似乎是在计算上棘手的。为了克服这一点,我们开发了一种高效的频谱算法,该算法达到最佳速率,但需要一种二次样本量。虽然这种样本复杂性比最大切割问题更差,但我们猜测没有多项式方法可以更好地执行。此外,我们收集了支持统计计算差距存在的数值和理论证据。最后,我们将MAX-CUT程序概括为$ k $ -means程序,该程序处理多组分混合物的可能性不平等。它享有相似的最优性保证,用于满足运输成本不平等的分布式的混合物,包括高斯和强烈的对数的分布。
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我们在高维批处理设置中提出了统计上健壮和计算高效的线性学习方法,其中功能$ d $的数量可能超过样本量$ n $。在通用学习环境中,我们采用两种算法,具体取决于所考虑的损失函数是否为梯度lipschitz。然后,我们将我们的框架实例化,包括几种应用程序,包括香草稀疏,群 - 帕克斯和低升级矩阵恢复。对于每种应用,这导致了有效而强大的学习算法,这些算法在重尾分布和异常值的存在下达到了近乎最佳的估计率。对于香草$ S $ -SPARSITY,我们能够以重型尾巴和$ \ eta $ - 腐败的计算成本与非企业类似物相当的计算成本达到$ s \ log(d)/n $速率。我们通过开放源代码$ \ mathtt {python} $库提供了有效的算法实现文献中提出的最新方法。
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火星是1991年弗里德曼引入的非参数回归的流行方法。火星适合回归数据的简单非线性和非添加功能。我们提出并研究了火星方法的自然套索变体。我们的方法基于通过考虑MARS中的功能的无限维线性组合而获得的凸类功能的最小二乘估计,并施加基于变化的复杂性约束。我们表明我们的估计器可以通过有限维凸优化来计算,并且基于平滑度约束自然地连接到非参数函数估计技术。在一个简单的设计假设下,我们证明了我们的估算仪实现了一定程度上仅依赖于对数的收敛速度,从而在一定程度上避免了通常的维度诅咒。我们使用交叉验证方案实现了用于选择所涉及的调谐参数的方法,并显示与仿真和实际数据设置中的通常的MARS方法相比具有良好的性能。
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成功的深度学习模型往往涉及培训具有比训练样本数量更多的参数的神经网络架构。近年来已经广泛研究了这种超分子化的模型,并且通过双下降现象和通过优化景观的结构特性,从统计的角度和计算视角都建立了过分统计化的优点。尽管在过上分层的制度中深入学习架构的显着成功,但也众所周知,这些模型对其投入中的小对抗扰动感到高度脆弱。即使在普遍培训的情况下,它们在扰动输入(鲁棒泛化)上的性能也会比良性输入(标准概括)的最佳可达到的性能更糟糕。因此,必须了解如何从根本上影响稳健性的情况下如何影响鲁棒性。在本文中,我们将通过专注于随机特征回归模型(具有随机第一层权重的两层神经网络)来提供超分度化对鲁棒性的作用的精确表征。我们考虑一个制度,其中样本量,输入维度和参数的数量彼此成比例地生长,并且当模型发生前列地训练时,可以为鲁棒泛化误差导出渐近精确的公式。我们的发达理论揭示了过分统计化对鲁棒性的非竞争效果,表明对于普遍训练的随机特征模型,高度公正化可能会损害鲁棒泛化。
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This paper studies the quantization of heavy-tailed data in some fundamental statistical estimation problems, where the underlying distributions have bounded moments of some order. We propose to truncate and properly dither the data prior to a uniform quantization. Our major standpoint is that (near) minimax rates of estimation error are achievable merely from the quantized data produced by the proposed scheme. In particular, concrete results are worked out for covariance estimation, compressed sensing, and matrix completion, all agreeing that the quantization only slightly worsens the multiplicative factor. Besides, we study compressed sensing where both covariate (i.e., sensing vector) and response are quantized. Under covariate quantization, although our recovery program is non-convex because the covariance matrix estimator lacks positive semi-definiteness, all local minimizers are proved to enjoy near optimal error bound. Moreover, by the concentration inequality of product process and covering argument, we establish near minimax uniform recovery guarantee for quantized compressed sensing with heavy-tailed noise.
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由于在数据稀缺的设置中,交叉验证的性能不佳,我们提出了一个新颖的估计器,以估计数据驱动的优化策略的样本外部性能。我们的方法利用优化问题的灵敏度分析来估计梯度关于数据中噪声量的最佳客观值,并利用估计的梯度将策略的样本中的表现为依据。与交叉验证技术不同,我们的方法避免了为测试集牺牲数据,在训练和因此非常适合数据稀缺的设置时使用所有数据。我们证明了我们估计量的偏见和方差范围,这些问题与不确定的线性目标优化问题,但已知的,可能是非凸的,可行的区域。对于更专业的优化问题,从某种意义上说,可行区域“弱耦合”,我们证明结果更强。具体而言,我们在估算器的错误上提供明确的高概率界限,该估计器在策略类别上均匀地保持,并取决于问题的维度和策略类的复杂性。我们的边界表明,在轻度条件下,随着优化问题的尺寸的增长,我们的估计器的误差也会消失,即使可用数据的量仍然很小且恒定。说不同的是,我们证明我们的估计量在小型数据中的大规模政权中表现良好。最后,我们通过数值将我们提出的方法与最先进的方法进行比较,通过使用真实数据调度紧急医疗响应服务的案例研究。我们的方法提供了更准确的样本外部性能估计,并学习了表现更好的政策。
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我们开发机器以设计有效的可计算和一致的估计,随着观察人数而达到零的估计误差,因为观察的次数增长,当面对可能损坏的答复,除了样本的所有品,除了每种量之外的ALL。作为具体示例,我们调查了两个问题:稀疏回归和主成分分析(PCA)。对于稀疏回归,我们实现了最佳样本大小的一致性$ n \ gtrsim(k \ log d)/ \ alpha ^ $和最佳错误率$ o(\ sqrt {(k \ log d)/(n \ cdot \ alpha ^ 2))$ N $是观察人数,$ D $是尺寸的数量,$ k $是参数矢量的稀疏性,允许在数量的数量中为逆多项式进行逆多项式样品。在此工作之前,已知估计是一致的,当Inliers $ \ Alpha $ IS $ O(1 / \ log \ log n)$,即使是(非球面)高斯设计矩阵时也是一致的。结果在弱设计假设下持有,并且在这种一般噪声存在下仅被D'Orsi等人最近以密集的设置(即一般线性回归)显示。 [DNS21]。在PCA的上下文中,我们在参数矩阵上的广泛尖端假设下获得最佳错误保证(通常用于矩阵完成)。以前的作品可以仅在假设下获得非琐碎的保证,即与最基于的测量噪声以$ n $(例如,具有方差1 / n ^ 2 $的高斯高斯)。为了设计我们的估算,我们用非平滑的普通方(如$ \ ell_1 $ norm或核规范)装备Huber丢失,并以一种新的方法来分析损失的新方法[DNS21]的方法[DNS21]。功能。我们的机器似乎很容易适用于各种估计问题。
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对于高维和非参数统计模型,速率最优估计器平衡平方偏差和方差是一种常见的现象。虽然这种平衡被广泛观察到,但很少知道是否存在可以避免偏差和方差之间的权衡的方法。我们提出了一般的策略,以获得对任何估计方差的下限,偏差小于预先限定的界限。这表明偏差差异折衷的程度是不可避免的,并且允许量化不服从其的方法的性能损失。该方法基于许多抽象的下限,用于涉及关于不同概率措施的预期变化以及诸如Kullback-Leibler或Chi-Sque-diversence的信息措施的变化。其中一些不平等依赖于信息矩阵的新概念。在该物品的第二部分中,将抽象的下限应用于几种统计模型,包括高斯白噪声模型,边界估计问题,高斯序列模型和高维线性回归模型。对于这些特定的统计应用,发生不同类型的偏差差异发生,其实力变化很大。对于高斯白噪声模型中集成平方偏置和集成方差之间的权衡,我们将较低界限的一般策略与减少技术相结合。这允许我们将原始问题与估计的估计器中的偏差折衷联动,以更简单的统计模型中具有额外的对称性属性。在高斯序列模型中,发生偏差差异的不同相位转换。虽然偏差和方差之间存在非平凡的相互作用,但是平方偏差的速率和方差不必平衡以实现最小估计速率。
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在稀疏线性建模 - 最佳子集选择中,研究了一个看似意外的,相对不太理解的基本工具的过度选择,这最小化了对非零系数的约束的限制的剩余平方和。虽然当信噪比(SNR)高时,最佳子集选择过程通常被视为稀疏学习中的“黄金标准”,但是当SNR低时,其预测性能会恶化。特别是,它通过连续收缩方法而言,例如脊回归和套索。我们研究了高噪声制度中最佳子集选择的行为,并提出了一种基于最小二乘标准的正则化版本的替代方法。我们提出的估算员(a)在很大程度上减轻了高噪声制度的最佳次集选择的可预测性能差。 (b)相对于通过脊回归和套索的最佳预测模型,通常递送大幅稀疏模型的同时表现出有利的。我们对所提出的方法的预测性质进行广泛的理论分析,并在噪声水平高时提供相对于最佳子集选择的优越预测性能的理由。我们的估算器可以表达为混合整数二阶圆锥优化问题的解决方案,因此,来自数学优化的现代计算工具可供使用。
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