我们开发一种方法来构造来自表示基本上非线性(或不可连锁的)动态系统的数据集构成低维预测模型,其中具有由有限许多频率的外部强制进行外部矫正的双曲线线性部分。我们的数据驱动,稀疏,非线性模型获得为低维,吸引动力系统的光谱子纤维(SSM)的降低的动态的延长正常形式。我们说明了数据驱动的SSM降低了高维数值数据集的功率和涉及梁振荡,涡旋脱落和水箱中的晃动的实验测量。我们发现,在未加工的数据上培训的SSM减少也在额外的外部强制下准确预测非线性响应。
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Identifying coordinate transformations that make strongly nonlinear dynamics approximately linear is a central challenge in modern dynamical systems. These transformations have the potential to enable prediction, estimation, and control of nonlinear systems using standard linear theory. The Koopman operator has emerged as a leading data-driven embedding, as eigenfunctions of this operator provide intrinsic coordinates that globally linearize the dynamics. However, identifying and representing these eigenfunctions has proven to be mathematically and computationally challenging. This work leverages the power of deep learning to discover representations of Koopman eigenfunctions from trajectory data of dynamical systems. Our network is parsimonious and interpretable by construction, embedding the dynamics on a low-dimensional manifold parameterized by these eigenfunctions. In particular, we identify nonlinear coordinates on which the dynamics are globally linear using a modified auto-encoder. We also generalize Koopman representations to include a ubiquitous class of systems that exhibit continuous spectra, ranging from the simple pendulum to nonlinear optics and broadband turbulence. Our framework parametrizes the continuous frequency using an auxiliary network, enabling a compact and efficient embedding, while connecting our models to half a century of asymptotics. In this way, we benefit from the power and generality of deep learning, while retaining the physical interpretability of Koopman embeddings.
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由于管理部分微分方程的半差异,例如通过有限元方法。这些系统的复杂性提出了直接应用自动控制的计算挑战。虽然模型还原已在控制中看到无处不在的应用,但在这种情况下使用非线性模型还原方法仍然很困难。问题在于在降低的订单模型中保留非线性动力学的结构,以进行高保真控制。在这项工作中,我们利用光谱亚曼佛(SSM)理论的最新进展来使模型在明确的假设下降低,以有效地合成反馈控制器。
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本文探讨了一个问题:如何从数据中识别减少的订单模型。有三种将数据与模型联系起来的方法:不变叶,不变歧管和自动编码器。除非使用循环系统中的硬件,否则不变的歧管不能安装到数据中。自动编码器仅标识数据所在的相空间的一部分,这不一定是不变的歧管。因此,对于离线数据,唯一的选择是不变的叶面。我们注意到,Koopman本征函数也定义了不变的叶子,但是它们受到线性和产生的单一岩的假设的限制。寻找不变的叶面需要近似高维函数。我们提出了两种解决方案。如果寻求准确的降级模型,则使用稀疏的多项式近似,具有稀疏分层张量的多项式系数。如果寻求不变的歧管,作为叶的叶片,则可以通过低维多项式近似所需的高维函数。可以将这两种方法组合在一起以找到准确的减少订单模型和不变歧管。我们还分析了在机械系统中典型的焦点类型平衡的情况下,降低的订单模型。我们注意到,由不变叶叶定义的非线性坐标系和不变的歧管扭曲了瞬时频率和阻尼比,我们是正确的。通过示例,我们说明了不变叶和歧管的计算,同时表明,Koopman eigenfunctions和AutoCododer无法在相同条件下捕获准确的减少订单模型。
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Koopman运算符是无限维的运算符,可全球线性化非线性动态系统,使其光谱信息可用于理解动态。然而,Koopman运算符可以具有连续的光谱和无限维度的子空间,使得它们的光谱信息提供相当大的挑战。本文介绍了具有严格融合的数据驱动算法,用于从轨迹数据计算Koopman运算符的频谱信息。我们引入了残余动态模式分解(ResDMD),它提供了第一种用于计算普通Koopman运算符的Spectra和PseudtoStra的第一种方案,无需光谱污染。使用解析器操作员和RESDMD,我们还计算与测量保存动态系统相关的光谱度量的平滑近似。我们证明了我们的算法的显式收敛定理,即使计算连续频谱和离散频谱的密度,也可以实现高阶收敛即使是混沌系统。我们展示了在帐篷地图,高斯迭代地图,非线性摆,双摆,洛伦茨系统和11美元延长洛伦兹系统的算法。最后,我们为具有高维状态空间的动态系统提供了我们的算法的核化变体。这使我们能够计算与具有20,046维状态空间的蛋白质分子的动态相关的光谱度量,并计算出湍流流过空气的误差界限的非线性Koopman模式,其具有雷诺数为$> 10 ^ 5 $。一个295,122维的状态空间。
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由于其固有的非线性和高度的自由度,对连续体软机器人的建模和控制仍然是一项艰巨的任务。这些复杂性阻碍了适合实时控制的高保真模型的构建。尽管已经提出了各种模型和基于学习的方法来应对这些挑战,但它们缺乏普遍性,很少保留动态的结构。在这项工作中,我们提出了一种新的,数据驱动的方法,用于从数据中提取面向控制的模型。我们克服了上面概述的问题,并证明了我们对光谱次级减少(SSMR)的卓越性能 - \'a-vis the Art的状态。
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在本文中,我们为非稳定于3D流体结构交互系统提供了一种基于深度学习的阶数(DL-ROM)。所提出的DL-ROM具有非线性状态空间模型的格式,并采用具有长短期存储器(LSTM)的经常性神经网络。我们考虑一种以状态空间格式的可弹性安装的球体的规范流体结构系统,其具有不可压缩的流体流动。我们开发了一种非线性数据驱动的耦合,用于预测横向方向自由振动球的非定常力和涡旋诱导的振动(VIV)锁定。我们设计输入输出关系作为用于流体结构系统的低维逼近的力和位移数据集的时间序列。基于VIV锁定过程的先验知识,输入功能包含一系列频率和幅度,其能够实现高效的DL-ROM,而无需用于低维建模的大量训练数据集。一旦训练,网络就提供了输入 - 输出动态的非线性映射,其可以通过反馈过程预测较长地平线的耦合流体结构动态。通过将LSTM网络与Eigensystem实现算法(时代)集成,我们构造了用于减少阶稳定性分析的数据驱动状态空间模型。我们通过特征值选择过程调查VIV的潜在机制和稳定性特征。为了了解频率锁定机制,我们研究了针对降低振荡频率和质量比的范围的特征值轨迹。与全阶模拟一致,通过组合的LSTM-ERA程序精确捕获频率锁定分支。所提出的DL-ROM与涉及流体结构相互作用的物理学数字双胞胎的基于物理的数字双胞胎。
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Experimental sciences have come to depend heavily on our ability to organize, interpret and analyze high-dimensional datasets produced from observations of a large number of variables governed by natural processes. Natural laws, conservation principles, and dynamical structure introduce intricate inter-dependencies among these observed variables, which in turn yield geometric structure, with fewer degrees of freedom, on the dataset. We show how fine-scale features of this structure in data can be extracted from \emph{discrete} approximations to quantum mechanical processes given by data-driven graph Laplacians and localized wavepackets. This data-driven quantization procedure leads to a novel, yet natural uncertainty principle for data analysis induced by limited data. We illustrate the new approach with algorithms and several applications to real-world data, including the learning of patterns and anomalies in social distancing and mobility behavior during the COVID-19 pandemic.
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如果机器人曾经实现与动物所展示的机器人相当的自动运动,则它们必须获得在损害,故障或环境条件下快速恢复运动行为的能力,从而损害了其有效移动的能力。我们提出了一种方法,该方法使我们的机器人和模拟机器人能够在几十次尝试中恢复自由运动行为的高度。我们的方法采用行为规范,以等级的差异约束来表达所需的行为。我们展示了如何通过编码模板来考虑这些约束,从而产生了将先前优化的行为推广到新情况下以快速学习的形式概括的秘诀。我们进一步说明,在数据驱动的上下文中,足够的限制通常很容易确定。作为例证,我们证明了我们在物理7 DOF六型六杆元机器人上的恢复方法,以及对6 DOF 2D运动机制的模拟。在这两种情况下,我们恢复了与先前优化的运动在功能上无法区分的行为。
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我们提出了一种从数据模拟动态系统的数值方法。我们使用最近引入的方法可扩展的概率近似(SPA)从欧几里德空间到凸多台的项目点,并表示在新的低维坐标中的系统的预计状态,表示其在多晶硅中的位置。然后,我们介绍特定的非线性变换,以构建多特渗透中动力学的模型,并转换回原始状态空间。为了克服投影到低维层的潜在信息损失,我们在局部延迟嵌入定理的意义上使用记忆。通过施工,我们的方法产生稳定的模型。我们说明了在各种示例上具有多个连接组件的甚至复制混沌动力学和吸引子的方法的能力。
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在许多学科中,动态系统的数据信息预测模型的开发引起了广泛的兴趣。我们提出了一个统一的框架,用于混合机械和机器学习方法,以从嘈杂和部分观察到的数据中识别动态系统。我们将纯数据驱动的学习与混合模型进行比较,这些学习结合了不完善的域知识。我们的公式与所选的机器学习模型不可知,在连续和离散的时间设置中都呈现,并且与表现出很大的内存和错误的模型误差兼容。首先,我们从学习理论的角度研究无内存线性(W.R.T.参数依赖性)模型误差,从而定义了过多的风险和概括误差。对于沿阵行的连续时间系统,我们证明,多余的风险和泛化误差都通过与T的正方形介于T的术语(指定训练数据的时间间隔)的术语界定。其次,我们研究了通过记忆建模而受益的方案,证明了两类连续时间复发性神经网络(RNN)的通用近似定理:两者都可以学习与内存有关的模型误差。此外,我们将一类RNN连接到储层计算,从而将学习依赖性错误的学习与使用随机特征在Banach空间之间进行监督学习的最新工作联系起来。给出了数值结果(Lorenz '63,Lorenz '96多尺度系统),以比较纯粹的数据驱动和混合方法,发现混合方法较少,渴望数据较少,并且更有效。最后,我们从数值上证明了如何利用数据同化来从嘈杂,部分观察到的数据中学习隐藏的动态,并说明了通过这种方法和培训此类模型来表示记忆的挑战。
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我们建议采用统计回归作为投影操作员,以使数据驱动以数据为基础的Mori-Zwanzig形式主义中的运营商学习。我们提出了一种原则性方法,用于为任何回归模型提取Markov和内存操作员。我们表明,线性回归的选择导致了基于Mori的投影操作员最近提出的数据驱动的学习算法,这是一种高阶近似Koopman学习方法。我们表明,更具表现力的非线性回归模型自然填补了高度理想化和计算有效的MORI投影操作符和最佳迄今为止计算上最佳的Zwanzig投影仪之间的差距。我们进行了数值实验,并提取了一系列基于回归的投影的运算符,包括线性,多项式,样条和基于神经网络的回归,随着回归模型的复杂性的增加而显示出渐进的改进。我们的命题提供了一个通用框架来提取内存依赖性校正,并且可以轻松地应用于文献中固定动力学系统的一系列数据驱动的学习方法。
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经常性神经网络(RNNS)是强大的动态模型,广泛用于机器学习(ML)和神经科学。之前的理论作品集中在具有添加剂相互作用的RNN上。然而,门控 - 即乘法 - 相互作用在真神经元中普遍存在,并且也是ML中最佳性能RNN的中心特征。在这里,我们表明Gating提供灵活地控制集体动态的两个突出特征:i)时间尺寸和ii)维度。栅极控制时间尺度导致新颖的稳定状态,网络用作灵活积分器。与以前的方法不同,Gating允许这种重要功能而没有参数微调或特殊对称。门还提供一种灵活的上下文相关机制来重置存储器跟踪,从而补充存储器功能。调制维度的栅极可以诱导新颖的不连续的混沌转变,其中输入将稳定的系统推向强的混沌活动,与通常稳定的输入效果相比。在这种转变之上,与添加剂RNN不同,关键点(拓扑复杂性)的增殖与混沌动力学的外观解耦(动态复杂性)。丰富的动态总结在相图中,从而为ML从业者提供了一个原理参数初始化选择的地图。
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使用机器学习结构的增强机械常微分方程(ODE)模型是一种新颖的方法,可以通过测量数据创建专业知识和现实的高精度,低维模型。我们的探索性研究侧重于培训具有限制循环的物理非线性动力系统的通用微分方程(UDE)模型:勃起振动振荡和电动非线性振荡器的空心罐。我们考虑通过数值模拟产生培训数据的示例,而我们还将建议的建模概念应用于物理实验,允许我们研究各种复杂性的问题。要收集培训数据,因此使用基于控制的延续的方法,因为它不仅捕获稳定,而且使用观察到的系统的不稳定限制周期。此功能使得可以提取有关观察系统的更多信息,而不是标准,开环方法允许。我们使用神经网络和高斯过程作为通用近似器,以及机械模型,对UDE建模方法的准确性和稳健性进行了关键评估。我们还突出显示可能在培训过程中遇到的潜在问题,指示当前建模框架的限制。
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我们提供了一个方程/可变的免费机器学习(EVFML)框架,以控制通过基于微观/代理模拟器建模的复杂/多尺度系统的集体动力学。该方法避免了构建替代物,还原级模型的需求。〜所提出的实现包括三个步骤:(a)来自基于高维代理的模拟,机器学习(尤其是非线性歧管学习(扩散图)(扩散地图) (DMS))有助于确定一组粗粒变量,该变量参数化了出现/集体动力学的低维歧管。从高维输入空间到低维歧管和背部,通过将DMS与NyStrom扩展和几何谐波耦合来求解;(b)已确定了歧管及其坐标,我们将方程式的方法利用了方程的方法对出现动力学执行数值分叉分析;然后,基于先前的步骤(C),我们设计了数据驱动的嵌入式洗涤控制器,该控制器将基于代理的模拟器驱动其内在的IM精确知道的,新兴的开环不稳定稳态,因此表明该方案对数值近似误差和建模不确定性是可靠的。交通动态模型和(ii)与哑剧的随机金融市场代理模型的平衡。
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机器人社区在为软机器人设备建模提供的理论工具的复杂程度中看到了指数增长。已经提出了不同的解决方案以克服与软机器人建模相关的困难,通常利用其他科学学科,例如连续式机械和计算机图形。这些理论基础通常被认为是理所当然的,这导致复杂的文献,因此,从未得到完整审查的主题。Withing这种情况下,提交的文件的目标是双重的。突出显示涉及建模技术的不同系列的常见理论根源,采用统一语言,以简化其主要连接和差异的分析。因此,对上市接近自然如下,并最终提供在该领域的主要作品的完整,解开,审查。
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基于近似基础的Koopman操作员或发电机的数据驱动的非线性动力系统模型已被证明是预测,功能学习,状态估计和控制的成功工具。众所周知,用于控制膜系统的Koopman发电机还对输入具有仿射依赖性,从而导致动力学的方便有限维双线性近似。然而,仍然存在两个主要障碍,限制了当前方法的范围,以逼近系统的koopman发电机。首先,现有方法的性能在很大程度上取决于要近似Koopman Generator的基础函数的选择;目前,目前尚无通用方法来为无法衡量保存的系统选择它们。其次,如果我们不观察到完整的状态,我们可能无法访问足够丰富的此类功能来描述动态。这是因为在有驱动时,通常使用时间延迟的可观察物的方法失败。为了解决这些问题,我们将Koopman Generator控制的可观察到的动力学写为双线性隐藏Markov模型,并使用预期最大化(EM)算法确定模型参数。 E-Step涉及标准的Kalman滤波器和更光滑,而M-Step类似于发电机的控制效果模式分解。我们在三个示例上证明了该方法的性能,包括恢复有限的Koopman-Invariant子空间,用于具有缓慢歧管的驱动系统;估计非强制性行驶方程的Koopman本征函数;仅基于提升和阻力的嘈杂观察,对流体弹球系统的模型预测控制。
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我们介绍了一种算法,用于计算采样歧管的测量测量算法,其依赖于对采样数据的植物嵌入的曲线图的模拟。我们的方法利用经典的结果在半导体分析和量子古典对应中,并形成用于学习数据集的歧管的技术的基础,随后用于高维数据集的非线性维度降低。我们以基于CoVID-19移动数据的聚类演示,从模型歧管中采样数据采样的数据,并通过集群演示来说明新的算法。最后,我们的方法揭示了数据采样和量化提供的离散化之间有趣的连接。
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神经网络的经典发展主要集中在有限维欧基德空间或有限组之间的学习映射。我们提出了神经网络的概括,以学习映射无限尺寸函数空间之间的运算符。我们通过一类线性积分运算符和非线性激活函数的组成制定运营商的近似,使得组合的操作员可以近似复杂的非线性运算符。我们证明了我们建筑的普遍近似定理。此外,我们介绍了四类运算符参数化:基于图形的运算符,低秩运算符,基于多极图形的运算符和傅里叶运算符,并描述了每个用于用每个计算的高效算法。所提出的神经运营商是决议不变的:它们在底层函数空间的不同离散化之间共享相同的网络参数,并且可以用于零击超分辨率。在数值上,与现有的基于机器学习的方法,达西流程和Navier-Stokes方程相比,所提出的模型显示出卓越的性能,而与传统的PDE求解器相比,与现有的基于机器学习的方法有关的基于机器学习的方法。
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