许多物理系统由普通的或部分微分方程描述,其解决方案由复杂域中的全象或亚纯函数给出。在许多情况下,只有在纯虚拟JW轴上的各个点上只观察到这些功能的大小,因为它们的阶段的相干测量通常是昂贵的。然而,期望在可能的情况下从幅度中检索丢失的阶段。为此,我们提出了一种基于Blaschke产品的物理漏险的深神经网络,用于相位检索。灵感来自赫尔森和Sarason定理,我们使用Blaschke产品神经网络(BPNN)来恢复Blaschke产品的合理功能系数,基于输入作为输入的幅度观察。然后使用得到的Rational函数进行相位检索。我们将BPNN与常规深度神经网络(NNS)进行比较多相检索问题,包括合成和当代的现实世界问题(例如,数据收集需要大量专业知识的超材料,并且耗时)。在每个阶段检索问题上,我们与不同尺寸和超参数设置的传统NNS群体进行比较。即使没有任何超参数搜索,我们发现BPNNS始终如一地优于稀缺数据场景中优化NNS的群体,并且尽管模型更小。结果又可以应用于计算超材料的折射率,这是物质科学新兴领域的重要问题。
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Recent years have witnessed a growth in mathematics for deep learning--which seeks a deeper understanding of the concepts of deep learning with mathematics, and explores how to make it more robust--and deep learning for mathematics, where deep learning algorithms are used to solve problems in mathematics. The latter has popularised the field of scientific machine learning where deep learning is applied to problems in scientific computing. Specifically, more and more neural network architectures have been developed to solve specific classes of partial differential equations (PDEs). Such methods exploit properties that are inherent to PDEs and thus solve the PDEs better than classical feed-forward neural networks, recurrent neural networks, and convolutional neural networks. This has had a great impact in the area of mathematical modeling where parametric PDEs are widely used to model most natural and physical processes arising in science and engineering, In this work, we review such methods and extend them for parametric studies as well as for solving the related inverse problems. We equally proceed to show their relevance in some industrial applications.
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物理信息的神经网络(PINN)是神经网络(NNS),它们作为神经网络本身的组成部分编码模型方程,例如部分微分方程(PDE)。如今,PINN是用于求解PDE,分数方程,积分分化方程和随机PDE的。这种新颖的方法已成为一个多任务学习框架,在该框架中,NN必须在减少PDE残差的同时拟合观察到的数据。本文对PINNS的文献进行了全面的综述:虽然该研究的主要目标是表征这些网络及其相关的优势和缺点。该综述还试图将出版物纳入更广泛的基于搭配的物理知识的神经网络,这些神经网络构成了香草·皮恩(Vanilla Pinn)以及许多其他变体,例如物理受限的神经网络(PCNN),各种HP-VPINN,变量HP-VPINN,VPINN,VPINN,变体。和保守的Pinn(CPINN)。该研究表明,大多数研究都集中在通过不同的激活功能,梯度优化技术,神经网络结构和损耗功能结构来定制PINN。尽管使用PINN的应用范围广泛,但通过证明其在某些情况下比有限元方法(FEM)等经典数值技术更可行的能力,但仍有可能的进步,最著名的是尚未解决的理论问题。
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These notes were compiled as lecture notes for a course developed and taught at the University of the Southern California. They should be accessible to a typical engineering graduate student with a strong background in Applied Mathematics. The main objective of these notes is to introduce a student who is familiar with concepts in linear algebra and partial differential equations to select topics in deep learning. These lecture notes exploit the strong connections between deep learning algorithms and the more conventional techniques of computational physics to achieve two goals. First, they use concepts from computational physics to develop an understanding of deep learning algorithms. Not surprisingly, many concepts in deep learning can be connected to similar concepts in computational physics, and one can utilize this connection to better understand these algorithms. Second, several novel deep learning algorithms can be used to solve challenging problems in computational physics. Thus, they offer someone who is interested in modeling a physical phenomena with a complementary set of tools.
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这项调查的目的是介绍对深神经网络的近似特性的解释性回顾。具体而言,我们旨在了解深神经网络如何以及为什么要优于其他经典线性和非线性近似方法。这项调查包括三章。在第1章中,我们回顾了深层网络及其组成非线性结构的关键思想和概念。我们通过在解决回归和分类问题时将其作为优化问题来形式化神经网络问题。我们简要讨论用于解决优化问题的随机梯度下降算法以及用于解决优化问题的后传播公式,并解决了与神经网络性能相关的一些问题,包括选择激活功能,成本功能,过度适应问题和正则化。在第2章中,我们将重点转移到神经网络的近似理论上。我们首先介绍多项式近似中的密度概念,尤其是研究实现连续函数的Stone-WeierStrass定理。然后,在线性近似的框架内,我们回顾了馈电网络的密度和收敛速率的一些经典结果,然后在近似Sobolev函数中进行有关深网络复杂性的最新发展。在第3章中,利用非线性近似理论,我们进一步详细介绍了深度和近似网络与其他经典非线性近似方法相比的近似优势。
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神经网络的经典发展主要集中在有限维欧基德空间或有限组之间的学习映射。我们提出了神经网络的概括,以学习映射无限尺寸函数空间之间的运算符。我们通过一类线性积分运算符和非线性激活函数的组成制定运营商的近似,使得组合的操作员可以近似复杂的非线性运算符。我们证明了我们建筑的普遍近似定理。此外,我们介绍了四类运算符参数化:基于图形的运算符,低秩运算符,基于多极图形的运算符和傅里叶运算符,并描述了每个用于用每个计算的高效算法。所提出的神经运营商是决议不变的:它们在底层函数空间的不同离散化之间共享相同的网络参数,并且可以用于零击超分辨率。在数值上,与现有的基于机器学习的方法,达西流程和Navier-Stokes方程相比,所提出的模型显示出卓越的性能,而与传统的PDE求解器相比,与现有的基于机器学习的方法有关的基于机器学习的方法。
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我们为特殊神经网络架构,称为运营商复发性神经网络的理论分析,用于近似非线性函数,其输入是线性运算符。这些功能通常在解决方案算法中出现用于逆边值问题的问题。传统的神经网络将输入数据视为向量,因此它们没有有效地捕获与对应于这种逆问题中的数据的线性运算符相关联的乘法结构。因此,我们介绍一个类似标准的神经网络架构的新系列,但是输入数据在向量上乘法作用。由较小的算子出现在边界控制中的紧凑型操作员和波动方程的反边值问题分析,我们在网络中的选择权重矩阵中促进结构和稀疏性。在描述此架构后,我们研究其表示属性以及其近似属性。我们还表明,可以引入明确的正则化,其可以从所述逆问题的数学分析导出,并导致概括属性上的某些保证。我们观察到重量矩阵的稀疏性改善了概括估计。最后,我们讨论如何将运营商复发网络视为深度学习模拟,以确定诸如用于从边界测量的声波方程中重建所未知的WAVESTED的边界控制的算法算法。
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标准的神经网络可以近似一般的非线性操作员,要么通过数学运算符的组合(例如,在对流 - 扩散反应部分微分方程中)的组合,要么仅仅是黑匣子,例如黑匣子,例如一个系统系统。第一个神经操作员是基于严格的近似理论于2019年提出的深层操作员网络(DeepOnet)。从那时起,已经发布了其他一些较少的一般操作员,例如,基于图神经网络或傅立叶变换。对于黑匣子系统,对神经操作员的培训仅是数据驱动的,但是如果知道管理方程式可以在培训期间将其纳入损失功能,以开发物理知识的神经操作员。神经操作员可以用作设计问题,不确定性量化,自主系统以及几乎任何需要实时推断的应用程序中的代替代物。此外,通过将它们与相对轻的训练耦合,可以将独立的预训练deponets用作复杂多物理系统的组成部分。在这里,我们介绍了Deponet,傅立叶神经操作员和图神经操作员的评论,以及适当的扩展功能扩展,并突出显示它们在计算机械师中的各种应用中的实用性,包括多孔媒体,流体力学和固体机制, 。
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近年来,在诸如denoing,压缩感应,介入和超分辨率等反问题中使用深度学习方法的使用取得了重大进展。尽管这种作品主要是由实践算法和实验驱动的,但它也引起了各种有趣的理论问题。在本文中,我们调查了这一作品中一些突出的理论发展,尤其是生成先验,未经训练的神经网络先验和展开算法。除了总结这些主题中的现有结果外,我们还强调了一些持续的挑战和开放问题。
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Neural networks are known to be a class of highly expressive functions able to fit even random inputoutput mappings with 100% accuracy. In this work we present properties of neural networks that complement this aspect of expressivity. By using tools from Fourier analysis, we highlight a learning bias of deep networks towards low frequency functions -i.e. functions that vary globally without local fluctuations -which manifests itself as a frequency-dependent learning speed. Intuitively, this property is in line with the observation that over-parameterized networks prioritize learning simple patterns that generalize across data samples. We also investigate the role of the shape of the data manifold by presenting empirical and theoretical evidence that, somewhat counter-intuitively, learning higher frequencies gets easier with increasing manifold complexity.
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受生物神经元的启发,激活功能在许多现实世界中常用的任何人工神经网络的学习过程中起着重要作用。文献中已经提出了各种激活功能,用于分类和回归任务。在这项工作中,我们调查了过去已经使用的激活功能以及当前的最新功能。特别是,我们介绍了多年来激活功能的各种发展以及这些激活功能的优势以及缺点或局限性。我们还讨论了经典(固定)激活功能,包括整流器单元和自适应激活功能。除了基于表征的激活函数的分类法外,还提出了基于应用的激活函数的分类法。为此,对MNIST,CIFAR-10和CIFAR-100等分类数据集进行了各种固定和自适应激活函数的系统比较。近年来,已经出现了一个具有物理信息的机器学习框架,以解决与科学计算有关的问题。为此,我们还讨论了在物理知识的机器学习框架中使用的激活功能的各种要求。此外,使用Tensorflow,Pytorch和Jax等各种机器学习库之间进行了不同的固定和自适应激活函数进行各种比较。
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在2015年和2019年之间,地平线的成员2020年资助的创新培训网络名为“Amva4newphysics”,研究了高能量物理问题的先进多变量分析方法和统计学习工具的定制和应用,并开发了完全新的。其中许多方法已成功地用于提高Cern大型Hadron撞机的地图集和CMS实验所执行的数据分析的敏感性;其他几个人,仍然在测试阶段,承诺进一步提高基本物理参数测量的精确度以及新现象的搜索范围。在本文中,在研究和开发的那些中,最相关的新工具以及对其性能的评估。
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A Transformer-based deep direct sampling method is proposed for a class of boundary value inverse problems. A real-time reconstruction is achieved by evaluating the learned inverse operator between carefully designed data and the reconstructed images. An effort is made to give a specific example to a fundamental question: whether and how one can benefit from the theoretical structure of a mathematical problem to develop task-oriented and structure-conforming deep neural networks? Specifically, inspired by direct sampling methods for inverse problems, the 1D boundary data in different frequencies are preprocessed by a partial differential equation-based feature map to yield 2D harmonic extensions as different input channels. Then, by introducing learnable non-local kernels, the direct sampling is recast to a modified attention mechanism. The proposed method is then applied to electrical impedance tomography, a well-known severely ill-posed nonlinear inverse problem. The new method achieves superior accuracy over its predecessors and contemporary operator learners, as well as shows robustness with respect to noise. This research shall strengthen the insights that the attention mechanism, despite being invented for natural language processing tasks, offers great flexibility to be modified in conformity with the a priori mathematical knowledge, which ultimately leads to the design of more physics-compatible neural architectures.
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大多数机器学习方法都用作建模的黑匣子。我们可能会尝试从基于物理学的训练方法中提取一些知识,例如神经颂(普通微分方程)。神经ODE具有可能具有更高类的代表功能的优势,与黑盒机器学习模型相比,扩展的可解释性,描述趋势和局部行为的能力。这种优势对于具有复杂趋势的时间序列尤其重要。但是,已知的缺点是与自回归模型和长期术语内存(LSTM)网络相比,广泛用于数据驱动的时间序列建模的高训练时间。因此,我们应该能够平衡可解释性和训练时间,以在实践中应用神经颂歌。该论文表明,现代神经颂歌不能简化为时间序列建模应用程序的模型。将神经ODE的复杂性与传统的时间序列建模工具进行比较。唯一可以提取的解释是操作员的特征空间,这对于大型系统来说是一个不适的问题。可以使用不同的经典分析方法提取光谱,这些方法没有延长时间的缺点。因此,我们将神经ODE缩小为更简单的线性形式,并使用合并的神经网络和ODE系统方法对时间序列建模进行了新的视图。
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量子计算有可能彻底改变和改变我们的生活和理解世界的方式。该审查旨在提供对量子计算的可访问介绍,重点是统计和数据分析中的应用。我们从介绍了了解量子计算所需的基本概念以及量子和经典计算之间的差异。我们描述了用作量子算法的构建块的核心量子子程序。然后,我们审查了一系列预期的量子算法,以便在统计和机器学习中提供计算优势。我们突出了将量子计算应用于统计问题的挑战和机遇,并讨论潜在的未来研究方向。
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Deep neural networks provide unprecedented performance gains in many real world problems in signal and image processing. Despite these gains, future development and practical deployment of deep networks is hindered by their blackbox nature, i.e., lack of interpretability, and by the need for very large training sets. An emerging technique called algorithm unrolling or unfolding offers promise in eliminating these issues by providing a concrete and systematic connection between iterative algorithms that are used widely in signal processing and deep neural networks. Unrolling methods were first proposed to develop fast neural network approximations for sparse coding. More recently, this direction has attracted enormous attention and is rapidly growing both in theoretic investigations and practical applications. The growing popularity of unrolled deep networks is due in part to their potential in developing efficient, high-performance and yet interpretable network architectures from reasonable size training sets. In this article, we review algorithm unrolling for signal and image processing. We extensively cover popular techniques for algorithm unrolling in various domains of signal and image processing including imaging, vision and recognition, and speech processing. By reviewing previous works, we reveal the connections between iterative algorithms and neural networks and present recent theoretical results. Finally, we provide a discussion on current limitations of unrolling and suggest possible future research directions.
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我们开发一种方法来构造来自表示基本上非线性(或不可连锁的)动态系统的数据集构成低维预测模型,其中具有由有限许多频率的外部强制进行外部矫正的双曲线线性部分。我们的数据驱动,稀疏,非线性模型获得为低维,吸引动力系统的光谱子纤维(SSM)的降低的动态的延长正常形式。我们说明了数据驱动的SSM降低了高维数值数据集的功率和涉及梁振荡,涡旋脱落和水箱中的晃动的实验测量。我们发现,在未加工的数据上培训的SSM减少也在额外的外部强制下准确预测非线性响应。
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这本数字本书包含在物理模拟的背景下与深度学习相关的一切实际和全面的一切。尽可能多,所有主题都带有Jupyter笔记本的形式的动手代码示例,以便快速入门。除了标准的受监督学习的数据中,我们将看看物理丢失约束,更紧密耦合的学习算法,具有可微分的模拟,以及加强学习和不确定性建模。我们生活在令人兴奋的时期:这些方法具有从根本上改变计算机模拟可以实现的巨大潜力。
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神经运营商最近成为设计神经网络形式的功能空间之间的解决方案映射的流行工具。不同地,从经典的科学机器学习方法,以固定分辨率为输入参数的单个实例学习参数,神经运算符近似PDE系列的解决方案图。尽管他们取得了成功,但是神经运营商的用途迄今为止仅限于相对浅的神经网络,并限制了学习隐藏的管理法律。在这项工作中,我们提出了一种新颖的非局部神经运营商,我们将其称为非本体内核网络(NKN),即独立的分辨率,其特征在于深度神经网络,并且能够处理各种任务,例如学习管理方程和分类图片。我们的NKN源于神经网络的解释,作为离散的非局部扩散反应方程,在无限层的极限中,相当于抛物线非局部方程,其稳定性通过非本种载体微积分分析。与整体形式的神经运算符相似允许NKN捕获特征空间中的远程依赖性,而节点到节点交互的持续处理使NKNS分辨率独立于NKNS分辨率。与神经杂物中的相似性,在非本体意义上重新解释,并且层之间的稳定网络动态允许NKN的最佳参数从浅到深网络中的概括。这一事实使得能够使用浅层初始化技术。我们的测试表明,NKNS在学习管理方程和图像分类任务中占据基线方法,并概括到不同的分辨率和深度。
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In this work, we study the numerical solution of inverse eigenvalue problems from a machine learning perspective. Two different problems are considered: the inverse Strum-Liouville eigenvalue problem for symmetric potentials and the inverse transmission eigenvalue problem for spherically symmetric refractive indices. Firstly, we solve the corresponding direct problems to produce the required eigenvalues datasets in order to train the machine learning algorithms. Next, we consider several examples of inverse problems and compare the performance of each model to predict the unknown potentials and refractive indices respectively, from a given small set of the lowest eigenvalues. The supervised regression models we use are k-Nearest Neighbours, Random Forests and Multi-Layer Perceptron. Our experiments show that these machine learning methods, under appropriate tuning on their parameters, can numerically solve the examined inverse eigenvalue problems.
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