步骤函数是深神经网络（DNN）最简单，最自然的激活函数之一。由于它计算为1的正变量，而对于其他变量为0，因此其内在特征（例如不连续性，没有可行的亚级别信息）阻碍了其几十年的发展。即使在设计具有连续激活功能的DNN方面有令人印象深刻的工作，可以被视为步骤功能的替代物，它仍然具有某些优势属性，例如对异常值的完全稳健性并能够达到能力预测准确性的最佳学习理论保证。因此，在本文中，我们的目标是用用作激活函数的步骤函数训练DNN（称为0/1 DNNS）。我们首先将0/1 dnns重新加密为不受约束的优化问题，然后通过块坐标下降（BCD）方法解决它。此外，我们为BCD的子问题及其收敛性获得了封闭式解决方案。此外，我们还将$ \ ell_ {2,0} $ - 正则化整合到0/1 DNN中，以加速培训过程并压缩网络量表。结果，所提出的算法在分类MNIST和时尚数据集方面具有高性能。

我们引入了一种新型的数学公式，用于训练以（可能非平滑）近端图作为激活函数的馈送前向神经网络的培训。该公式基于布雷格曼的距离，关键优势是其相对于网络参数的部分导数不需要计算网络激活函数的导数。我们没有使用一阶优化方法和后传播的组合估算参数（如最先进的），而是建议使用非平滑一阶优化方法来利用特定结构新颖的表述。我们提出了几个数值结果，这些结果表明，与更常规的培训框架相比，这些训练方法可以很好地很好地适合于培训基于神经网络的分类器和具有稀疏编码的（DeNoising）自动编码器。

人工神经网络（ANN）训练景观的非凸起带来了固有的优化困难。虽然传统的背传播随机梯度下降（SGD）算法及其变体在某些情况下是有效的，但它们可以陷入杂散的局部最小值，并且对初始化和普通公共表敏感。最近的工作表明，随着Relu激活的ANN的培训可以重新重整为凸面计划，使希望能够全局优化可解释的ANN。然而，天真地解决凸训练制剂具有指数复杂性，甚至近似启发式需要立方时间。在这项工作中，我们描述了这种近似的质量，并开发了两个有效的算法，这些算法通过全球收敛保证培训。第一算法基于乘法器（ADMM）的交替方向方法。它解决了精确的凸形配方和近似对应物。实现线性全局收敛，并且初始几次迭代通常会产生具有高预测精度的解决方案。求解近似配方时，每次迭代时间复杂度是二次的。基于“采样凸面”理论的第二种算法更简单地实现。它解决了不受约束的凸形制剂，并收敛到大约全球最佳的分类器。当考虑对抗性培训时，ANN训练景观的非凸起加剧了。我们将稳健的凸优化理论应用于凸训练，开发凸起的凸起制剂，培训Anns对抗对抗投入。我们的分析明确地关注一个隐藏层完全连接的ANN，但可以扩展到更复杂的体系结构。

Federated learning has shown its advances recently but is still facing many challenges, such as how algorithms save communication resources and reduce computational costs, and whether they converge. To address these critical issues, we propose a hybrid federated learning algorithm (FedGiA) that combines the gradient descent and the inexact alternating direction method of multipliers. The proposed algorithm is more communication- and computation-efficient than several state-of-the-art algorithms theoretically and numerically. Moreover, it also converges globally under mild conditions.

我们提出了一个基于一般学习的框架，用于解决非平滑和非凸图像重建问题。我们将正则函数建模为$ l_ {2,1} $ norm的组成，并将平滑但非convex功能映射参数化为深卷积神经网络。我们通过利用Nesterov的平滑技术和残留学习的概念来开发一种可证明的趋同的下降型算法来解决非平滑非概念最小化问题，并学习网络参数，以使算法的输出与培训数据中的参考匹配。我们的方法用途广泛，因为人们可以将各种现代网络结构用于正规化，而所得网络继承了算法的保证收敛性。我们还表明，所提出的网络是参数有效的，其性能与实践中各种图像重建问题中的最新方法相比有利。

One of the crucial issues in federated learning is how to develop efficient optimization algorithms. Most of the current ones require full device participation and/or impose strong assumptions for convergence. Different from the widely-used gradient descent-based algorithms, in this paper, we develop an inexact alternating direction method of multipliers (ADMM), which is both computation- and communication-efficient, capable of combating the stragglers' effect, and convergent under mild conditions. Furthermore, it has a high numerical performance compared with several state-of-the-art algorithms for federated learning.

联邦学习最近在机器学习中迅速发展，引起了各种研究主题。流行的优化算法基于（随机）梯度下降方法的框架或乘数的交替方向方法。在本文中，我们部署了一种确切的惩罚方法来处理联合学习，并提出了一种算法Fedepm，该算法能够解决联合学习中的四个关键问题：沟通效率，计算复杂性，Stragglers的效果和数据隐私。此外，事实证明，它具有收敛性和作证为具有高数值性能。

近年来，已经开发出各种基于梯度的方法来解决机器学习和计算机视觉地区的双层优化（BLO）问题。然而，这些现有方法的理论正确性和实际有效性总是依赖于某些限制性条件（例如，下层单身，LLS），这在现实世界中可能很难满足。此外，以前的文献仅证明了基于其特定的迭代策略的理论结果，因此缺乏一般的配方，以统一分析不同梯度的BLO的收敛行为。在这项工作中，我们从乐观的双级视点制定BLOS，并建立一个名为Bi-Level血液血统聚合（BDA）的新梯度的算法框架，以部分地解决上述问题。具体而言，BDA提供模块化结构，以分级地聚合上层和下层子问题以生成我们的双级迭代动态。从理论上讲，我们建立了一般会聚分析模板，并导出了一种新的证据方法，以研究基于梯度的BLO方法的基本理论特性。此外，这项工作系统地探讨了BDA在不同优化场景中的收敛行为，即，考虑从解决近似子问题返回的各种解决方案质量（即，全局/本地/静止解决方案）。广泛的实验证明了我们的理论结果，并展示了所提出的超参数优化和元学习任务算法的优越性。源代码可在https://github.com/vis-opt-group/bda中获得。

作为众所周知的优化框架，乘法器（ADMM）的交替方向方法在许多分类和回归应用中取得了巨大的成功。最近，它引起了深度学习研究人员的注意，被认为是梯度下降（GD）的潜在替代品。然而，作为新兴领域，一些挑战仍未解决，包括1）缺乏全球收敛保证，2）对解决方案的收敛缓慢，以及3）立方时间复杂于特征尺寸。在本文中，我们提出了一种新颖的优化框架，以通过ADMM（DLADMM）解决一般神经网络训练问题，同时解决这些挑战。具体地，每层中的参数被向后更新，然后向前移动，以便有效地交换每层中的参数信息。当DLADMM应用于特定架构时，通过使用二次近似和回溯技术，通过专用算法设计从立方到二次数据的时间复杂度。最后但并非最不重要的是，我们在温和条件下向第一个趋同的趋同点提供延长的临界点（DLADMM）。七个基准数据集的实验证明了我们提出的DLADMM算法的收敛性，效率和有效性。

基于梯度的高参数调整的优化方法可确保理论收敛到固定解决方案时，对于固定的上层变量值，双光线程序的下层级别强烈凸（LLSC）和平滑（LLS）。对于在许多机器学习算法中调整超参数引起的双重程序，不满足这种情况。在这项工作中，我们开发了一种基于不精确度（VF-IDCA）的基于依次收敛函数函数算法。我们表明，该算法从一系列的超级参数调整应用程序中实现了无LLSC和LLS假设的固定解决方案。我们的广泛实验证实了我们的理论发现，并表明，当应用于调子超参数时，提出的VF-IDCA会产生较高的性能。

Iterative regularization is a classic idea in regularization theory, that has recently become popular in machine learning. On the one hand, it allows to design efficient algorithms controlling at the same time numerical and statistical accuracy. On the other hand it allows to shed light on the learning curves observed while training neural networks. In this paper, we focus on iterative regularization in the context of classification. After contrasting this setting with that of regression and inverse problems, we develop an iterative regularization approach based on the use of the hinge loss function. More precisely we consider a diagonal approach for a family of algorithms for which we prove convergence as well as rates of convergence. Our approach compares favorably with other alternatives, as confirmed also in numerical simulations.

我们考虑非线性优化问题，涉及神经网络代表代理模型。我们首先展示了如何直接将神经网络评估嵌入优化模型中，突出难以防止收敛的方法，然后表征这些模型的平稳性。然后，我们在具有Relu激活的前馈神经网络的特定情况下存在两种替代配方，其具有recu激活：作为混合整数优化问题，作为具有互补限制的数学程序。对于后一种制剂，我们证明了在该问题的点处的有同性，对应于嵌入式制剂的实质性。这些配方中的每一个都可以用最先进的优化方法来解决，并且我们展示了如何为这些方法获得良好的初始可行解决方案。我们将三种实际应用的配方进行比较，在燃烧发动机的设计和控制中产生的三种实际应用，在对分类器网络的对抗攻击中产生的产生，以及在油井网中的最佳流动确定。

Deep Neural Networks (DNNs) training can be difficult due to vanishing and exploding gradients during weight optimization through backpropagation. To address this problem, we propose a general class of Hamiltonian DNNs (H-DNNs) that stem from the discretization of continuous-time Hamiltonian systems and include several existing DNN architectures based on ordinary differential equations. Our main result is that a broad set of H-DNNs ensures non-vanishing gradients by design for an arbitrary network depth. This is obtained by proving that, using a semi-implicit Euler discretization scheme, the backward sensitivity matrices involved in gradient computations are symplectic. We also provide an upper-bound to the magnitude of sensitivity matrices and show that exploding gradients can be controlled through regularization. Finally, we enable distributed implementations of backward and forward propagation algorithms in H-DNNs by characterizing appropriate sparsity constraints on the weight matrices. The good performance of H-DNNs is demonstrated on benchmark classification problems, including image classification with the MNIST dataset.

Difference-of-Convex (DC) minimization, referring to the problem of minimizing the difference of two convex functions, has been found rich applications in statistical learning and studied extensively for decades. However, existing methods are primarily based on multi-stage convex relaxation, only leading to weak optimality of critical points. This paper proposes a coordinate descent method for minimizing a class of DC functions based on sequential nonconvex approximation. Our approach iteratively solves a nonconvex one-dimensional subproblem globally, and it is guaranteed to converge to a coordinate-wise stationary point. We prove that this new optimality condition is always stronger than the standard critical point condition and directional point condition under a mild \textit{locally bounded nonconvexity assumption}. For comparisons, we also include a naive variant of coordinate descent methods based on sequential convex approximation in our study. When the objective function satisfies a \textit{globally bounded nonconvexity assumption} and \textit{Luo-Tseng error bound assumption}, coordinate descent methods achieve \textit{Q-linear} convergence rate. Also, for many applications of interest, we show that the nonconvex one-dimensional subproblem can be computed exactly and efficiently using a breakpoint searching method. Finally, we have conducted extensive experiments on several statistical learning tasks to show the superiority of our approach. Keywords: Coordinate Descent, DC Minimization, DC Programming, Difference-of-Convex Programs, Nonconvex Optimization, Sparse Optimization, Binary Optimization.

在许多机器学习应用程序中出现了非convex-concave min-max问题，包括最大程度地减少一组非凸函数的最大程度，并对神经网络的强大对抗训练。解决此问题的一种流行方法是梯度下降（GDA）算法，不幸的是，在非凸性的情况下可以表现出振荡。在本文中，我们引入了一种“平滑”方案，该方案可以与GDA结合以稳定振荡并确保收敛到固定溶液。我们证明，稳定的GDA算法可以实现$ O（1/\ epsilon^2）$迭代复杂性，以最大程度地减少有限的非convex函数收集的最大值。此外，平滑的GDA算法达到了$ O（1/\ epsilon^4）$ toseration复杂性，用于一般的nonconvex-concave问题。提出了这种稳定的GDA算法的扩展到多块情况。据我们所知，这是第一个实现$ o（1/\ epsilon^2）$的算法，用于一类NonConvex-Concave问题。我们说明了稳定的GDA算法在健壮训练中的实际效率。

本文涉及低级矩阵恢复问题的$ \ ell_ {2,0} $ \ ell_ {2,0} $ - 正则化分解模型及其计算。引入了Qual $ \ ell_ {2,0} $ - 因子矩阵的规范，以促进因素和低级别解决方案的柱稀疏性。对于这种不透露的不连续优化问题，我们开发了一种具有外推的交替的多种化 - 最小化（AMM）方法，以及一个混合AMM，其中提出了一种主要的交替的近端方法，以寻找与较少的非零列和带外推的AMM的初始因子对。然后用于最小化平滑的非凸损失。我们为所提出的AMM方法提供全局收敛性分析，并使用非均匀采样方案将它们应用于矩阵完成问题。数值实验是用综合性和实际数据示例进行的，并且与核形态正则化分解模型的比较结果和MAX-NORM正则化凸模型显示柱$ \ ell_ {2,0} $ - 正则化分解模型具有优势在更短的时间内提供较低误差和排名的解决方案。

在这项工作中，我们提出了一个强大的框架，该框架采用了对抗性良好的培训来保护机器学习模型免受干扰测试数据。我们通过在模型估计过程中为每个样本的固定预算中纳入最坏情况添加剂的误差来实现这一目标。我们的主要重点是提供一个可以插入的解决方案，该解决方案可以将其纳入现有的机器学习算法中，并具有最小的更改。为此，我们为几种广泛使用的损失函数得出了封闭形式的现成解决方案，并在对抗扰动方面具有各种规范约束。最后，我们通过在现实世界数据集上显示出明显的性能改善，以解决有监督的问题，例如回归和分类，以及无监督的问题，例如矩阵的完成和学习图形模型，而计算上的计算机很少。

我们研究了神经网络中平方损耗训练问题的优化景观和稳定性，但通用非线性圆锥近似方案。据证明，如果认为非线性圆锥近似方案是（以适当定义的意义）比经典线性近似方法更具表现力，并且如果存在不完美的标签向量，则在方位损耗的训练问题必须在其中不稳定感知其解决方案集在训练数据中的标签向量上不连续地取决于标签向量。我们进一步证明对这些不稳定属性负责的效果也是马鞍点出现的原因和杂散的局部最小值，这可能是从全球解决方案的任意遥远的，并且既不训练问题也不是训练问题的不稳定性通常，杂散局部最小值的存在可以通过向目标函数添加正则化术语来克服衡量近似方案中参数大小的目标函数。无论可实现的可实现性是否满足，后一种结果都被证明是正确的。我们表明，我们的分析特别适用于具有可变宽度的自由结插值方案和深层和浅层神经网络的培训问题，其涉及各种激活功能的任意混合（例如，二进制，六骨，Tanh，arctan，软标志， ISRU，Soft-Clip，SQNL，Relu，Lifley Relu，Soft-Plus，Bent Identity，Silu，Isrlu和ELU）。总之，本文的发现说明了神经网络和一般非线性圆锥近似仪器的改进近似特性以直接和可量化的方式与必须解决的优化问题的不期望的性质链接，以便训练它们。

这项调查的目的是介绍对深神经网络的近似特性的解释性回顾。具体而言，我们旨在了解深神经网络如何以及为什么要优于其他经典线性和非线性近似方法。这项调查包括三章。在第1章中，我们回顾了深层网络及其组成非线性结构的关键思想和概念。我们通过在解决回归和分类问题时将其作为优化问题来形式化神经网络问题。我们简要讨论用于解决优化问题的随机梯度下降算法以及用于解决优化问题的后传播公式，并解决了与神经网络性能相关的一些问题，包括选择激活功能，成本功能，过度适应问题和正则化。在第2章中，我们将重点转移到神经网络的近似理论上。我们首先介绍多项式近似中的密度概念，尤其是研究实现连续函数的Stone-WeierStrass定理。然后，在线性近似的框架内，我们回顾了馈电网络的密度和收敛速率的一些经典结果，然后在近似Sobolev函数中进行有关深网络复杂性的最新发展。在第3章中，利用非线性近似理论，我们进一步详细介绍了深度和近似网络与其他经典非线性近似方法相比的近似优势。

我们为特殊神经网络架构，称为运营商复发性神经网络的理论分析，用于近似非线性函数，其输入是线性运算符。这些功能通常在解决方案算法中出现用于逆边值问题的问题。传统的神经网络将输入数据视为向量，因此它们没有有效地捕获与对应于这种逆问题中的数据的线性运算符相关联的乘法结构。因此，我们介绍一个类似标准的神经网络架构的新系列，但是输入数据在向量上乘法作用。由较小的算子出现在边界控制中的紧凑型操作员和波动方程的反边值问题分析，我们在网络中的选择权重矩阵中促进结构和稀疏性。在描述此架构后，我们研究其表示属性以及其近似属性。我们还表明，可以引入明确的正则化，其可以从所述逆问题的数学分析导出，并导致概括属性上的某些保证。我们观察到重量矩阵的稀疏性改善了概括估计。最后，我们讨论如何将运营商复发网络视为深度学习模拟，以确定诸如用于从边界测量的声波方程中重建所未知的WAVESTED的边界控制的算法算法。